{"id":58628,"date":"2020-07-08T13:58:33","date_gmt":"2020-07-08T12:58:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=58628"},"modified":"2026-10-17T12:58:21","modified_gmt":"2026-10-17T11:58:21","slug":"cours-en-ligne-theoreme-de-pythagore","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-theoreme-de-pythagore\/","title":{"rendered":"Cours en ligne sur le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Tage Mage <\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFractions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPourcentages<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tTh\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tTh\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRacines Carr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Th\u00e9or\u00e8me de Pythagore : cours, formule, exemples et r\u00e9ciproque<\/h1>\n

Par Seda Biber, mis \u00e0 jour le 17\/10\/2026<\/em><\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/strong> dit que dans un triangle rectangle, le carr\u00e9 de l\u2019hypot\u00e9nuse est \u00e9gal \u00e0 la somme des carr\u00e9s des deux autres c\u00f4t\u00e9s. Si ABC est rectangle en A, alors BC\u00b2 = AB\u00b2 + AC\u00b2<\/strong>. Il sert \u00e0 calculer une longueur dans un triangle rectangle. Sa r\u00e9ciproque permet de prouver qu\u2019un triangle est rectangle. Exemple : un triangle rectangle dont les c\u00f4t\u00e9s de l\u2019angle droit mesurent 3 cm et 4 cm a une hypot\u00e9nuse de 5 cm, car 3\u00b2 + 4\u00b2 = 9 + 16 = 25 = 5\u00b2.<\/p>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne du Tage Mage<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 : l\u2019essentiel sur le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/h2>\n\n\n\n\n\n\n\n
Je veux\u2026<\/strong><\/td>\nJ\u2019utilise\u2026<\/strong><\/td>\nCalcul (triangle ABC, hypot\u00e9nuse BC)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
Calculer l\u2019hypot\u00e9nuse<\/td>\nle th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/td>\nBC\u00b2 = AB\u00b2 + AC\u00b2, puis BC = \u221a(AB\u00b2 + AC\u00b2)<\/td>\n<\/tr>\n
Calculer un c\u00f4t\u00e9 de l\u2019angle droit<\/td>\nle th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/td>\nAB\u00b2 = BC\u00b2 \u2212 AC\u00b2, puis AB = \u221a(BC\u00b2 \u2212 AC\u00b2)<\/td>\n<\/tr>\n
Prouver qu\u2019un triangle est rectangle<\/td>\nla r\u00e9ciproque<\/td>\nBC\u00b2 = AB\u00b2 + AC\u00b2, donc le triangle est rectangle en A<\/td>\n<\/tr>\n
Prouver qu\u2019un triangle n\u2019est pas rectangle<\/td>\nla contrapos\u00e9e<\/td>\nBC\u00b2 \u2260 AB\u00b2 + AC\u00b2, donc le triangle n\u2019est pas rectangle<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Que dit le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore ?<\/h2>\n

Un triangle rectangle<\/strong> a un angle droit. Le c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9 \u00e0 cet angle droit s\u2019appelle l\u2019hypot\u00e9nuse<\/strong>. C\u2019est toujours le plus long c\u00f4t\u00e9 du triangle.<\/p>\n

[Sch\u00e9ma : triangle ABC rectangle en A, hypot\u00e9nuse BC]\n

L\u2019\u00e9nonc\u00e9 (on parle aussi de propri\u00e9t\u00e9 de Pythagore<\/strong>) est le suivant :<\/p>\n

Si un triangle est rectangle, alors le carr\u00e9 de la longueur de l\u2019hypot\u00e9nuse est \u00e9gal \u00e0 la somme des carr\u00e9s des longueurs des deux autres c\u00f4t\u00e9s.<\/strong><\/p>\n

Dans une copie, on r\u00e9dige ainsi : \u00ab Le triangle ABC est rectangle en A. D\u2019apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, BC\u00b2 = AB\u00b2 + AC\u00b2. \u00bb<\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me, sa r\u00e9ciproque et sa contrapos\u00e9e sont au programme de 4e<\/strong>. En 3e, on r\u00e9utilise l\u2019\u00e9galit\u00e9 de Pythagore dans les automatismes et dans des probl\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie. Comme Thal\u00e8s, c\u2019est un outil pour calculer des longueurs : retrouvez le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s<\/a> et les autres figures g\u00e9om\u00e9triques<\/a> du coll\u00e8ge. Ces calculs servent aussi au sous-test 2 de notre cours en ligne du Tage Mage<\/a>.<\/p>\n

💡 Astuce :<\/strong> pour trouver l\u2019hypot\u00e9nuse, rep\u00e9rez l\u2019angle droit et prenez le c\u00f4t\u00e9 qui lui fait face. Si le triangle s\u2019appelle ABC et qu\u2019il est rectangle en A, l\u2019hypot\u00e9nuse est le c\u00f4t\u00e9 qui ne contient pas la lettre A : BC.<\/div>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Quelle est la formule du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore ?<\/h2>\n

Si l\u2019on note c<\/em> l\u2019hypot\u00e9nuse et a<\/em> et b<\/em> les deux c\u00f4t\u00e9s de l\u2019angle droit, la formule s\u2019\u00e9crit :<\/p>\n

c<\/em>\u00b2 = a<\/em>\u00b2 + b<\/em>\u00b2<\/strong><\/p>\n

On en d\u00e9duit deux formules selon la longueur cherch\u00e9e :<\/p>\n\n\n\n\n\n
Longueur cherch\u00e9e<\/strong><\/td>\nFormule<\/strong><\/td>\nExemple<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
L\u2019hypot\u00e9nuse c<\/em><\/td>\nc<\/em> = \u221a(a<\/em>\u00b2 + b<\/em>\u00b2)<\/td>\na<\/em> = 6 et b<\/em> = 8 : c<\/em> = \u221a(36 + 64) = \u221a100 = 10<\/td>\n<\/tr>\n
Un c\u00f4t\u00e9 de l\u2019angle droit a<\/em><\/td>\na<\/em> = \u221a(c<\/em>\u00b2 \u2212 b<\/em>\u00b2)<\/td>\nc<\/em> = 10 et b<\/em> = 8 : a<\/em> = \u221a(100 \u2212 64) = \u221a36 = 6<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
💡 Astuce :<\/strong> pour l\u2019hypot\u00e9nuse, on ajoute<\/strong> les carr\u00e9s. Pour un autre c\u00f4t\u00e9, on soustrait<\/strong>. V\u00e9rifiez toujours que l\u2019hypot\u00e9nuse trouv\u00e9e est plus longue que les deux autres c\u00f4t\u00e9s.<\/div>\n

Le dernier calcul passe par une racine carr\u00e9e. Si vous h\u00e9sitez, revoyez la fiche de r\u00e9vision sur les racines carr\u00e9es<\/a>.<\/p>\n

Comment calculer l\u2019hypot\u00e9nuse ?<\/h2>\n

\u00c9nonc\u00e9 :<\/strong> le triangle ENT est rectangle en N, avec NT = 9 cm et NE = 7 cm. Calculez ET.<\/p>\n

[Sch\u00e9ma : triangle ENT rectangle en N]\n

Solution r\u00e9dig\u00e9e :<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. Le triangle ENT est rectangle en N, donc son hypot\u00e9nuse est [ET].<\/li>\n
  2. D\u2019apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore : ET\u00b2 = NE\u00b2 + NT\u00b2.<\/li>\n
  3. ET\u00b2 = 7\u00b2 + 9\u00b2 = 49 + 81 = 130.<\/li>\n
  4. ET = \u221a130 \u2248 11,4 cm<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n

    Comment calculer un c\u00f4t\u00e9 de l\u2019angle droit ?<\/h2>\n

    \u00c9nonc\u00e9 :<\/strong> le triangle ABC est rectangle en C, avec AB = 13 cm et BC = 5 cm. Calculez AC.<\/p>\n

    [Sch\u00e9ma : triangle ABC rectangle en C]\n

    Solution r\u00e9dig\u00e9e :<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. Le triangle ABC est rectangle en C, donc son hypot\u00e9nuse est [AB].<\/li>\n
    2. D\u2019apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore : AB\u00b2 = AC\u00b2 + BC\u00b2.<\/li>\n
    3. Donc AC\u00b2 = AB\u00b2 \u2212 BC\u00b2 = 13\u00b2 \u2212 5\u00b2 = 169 \u2212 25 = 144.<\/li>\n
    4. AC = \u221a144 = 12 cm<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n

      Comment d\u00e9montrer qu\u2019un triangle est rectangle ? (r\u00e9ciproque de Pythagore)<\/h2>\n

      La r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/strong> dit : si, dans un triangle, le carr\u00e9 du plus long c\u00f4t\u00e9 est \u00e9gal \u00e0 la somme des carr\u00e9s des deux autres c\u00f4t\u00e9s, alors ce triangle est rectangle.<\/strong> L\u2019angle droit est au sommet oppos\u00e9 au plus long c\u00f4t\u00e9.<\/p>\n

      \u00c9nonc\u00e9 :<\/strong> le triangle ABC a pour c\u00f4t\u00e9s AB = 12 cm, AC = 16 cm et BC = 20 cm. Est-il rectangle ?<\/p>\n

      [Sch\u00e9ma : triangle ABC]\n

      Solution r\u00e9dig\u00e9e :<\/strong><\/p>\n

        \n
      1. Le plus long c\u00f4t\u00e9 est [BC].<\/li>\n
      2. D\u2019une part, BC\u00b2 = 20\u00b2 = 400.<\/li>\n
      3. D\u2019autre part, AB\u00b2 + AC\u00b2 = 12\u00b2 + 16\u00b2 = 144 + 256 = 400.<\/li>\n
      4. On constate que BC\u00b2 = AB\u00b2 + AC\u00b2. D\u2019apr\u00e8s la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n
        💡 Astuce :<\/strong> calculez les deux membres s\u00e9par\u00e9ment (\u00ab d\u2019une part \u00bb, \u00ab d\u2019autre part \u00bb) et ne les comparez qu\u2019\u00e0 la fin. \u00c9crire BC\u00b2 = AB\u00b2 + AC\u00b2 avant d\u2019avoir v\u00e9rifi\u00e9 revient \u00e0 supposer ce que l\u2019on veut d\u00e9montrer.<\/div>\n

        Comment d\u00e9montrer qu\u2019un triangle n\u2019est pas rectangle ?<\/h2>\n

        On utilise la contrapos\u00e9e<\/strong> du th\u00e9or\u00e8me : si le carr\u00e9 du plus long c\u00f4t\u00e9 n\u2019est pas \u00e9gal \u00e0 la somme des carr\u00e9s des deux autres, alors le triangle n\u2019est pas rectangle.<\/strong><\/p>\n

        \u00c9nonc\u00e9 :<\/strong> le triangle ABC a pour c\u00f4t\u00e9s AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC = 12 cm. Est-il rectangle ?<\/p>\n

        [Sch\u00e9ma : triangle ABC]\n

        Solution r\u00e9dig\u00e9e :<\/strong><\/p>\n

          \n
        1. Le plus long c\u00f4t\u00e9 est [BC].<\/li>\n
        2. D\u2019une part, BC\u00b2 = 12\u00b2 = 144.<\/li>\n
        3. D\u2019autre part, AB\u00b2 + AC\u00b2 = 6\u00b2 + 9\u00b2 = 36 + 81 = 117.<\/li>\n
        4. On constate que BC\u00b2 \u2260 AB\u00b2 + AC\u00b2. D\u2019apr\u00e8s la contrapos\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, le triangle ABC n\u2019est pas rectangle<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n

          Th\u00e9or\u00e8me, r\u00e9ciproque ou contrapos\u00e9e : lequel utiliser ?<\/h2>\n\n\n\n\n\n\n
          Propri\u00e9t\u00e9<\/strong><\/td>\nCe que l\u2019on sait<\/strong><\/td>\nCe que l\u2019on obtient<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
          Th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/td>\nLe triangle est rectangle<\/td>\nUne longueur manquante<\/td>\n<\/tr>\n
          R\u00e9ciproque<\/td>\nLes trois longueurs, avec l\u2019\u00e9galit\u00e9 v\u00e9rifi\u00e9e<\/td>\nLe triangle est rectangle<\/td>\n<\/tr>\n
          Contrapos\u00e9e<\/td>\nLes trois longueurs, sans \u00e9galit\u00e9<\/td>\nLe triangle n\u2019est pas rectangle<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n
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          COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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          POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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          Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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          Quels sont les triplets de Pythagore ?<\/h2>\n

          Un triplet de Pythagore<\/strong> est un ensemble de trois nombres entiers qui v\u00e9rifient l\u2019\u00e9galit\u00e9 de Pythagore. Un triangle dont les c\u00f4t\u00e9s ont ces longueurs est donc rectangle.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
          Triplet<\/strong><\/td>\nV\u00e9rification<\/strong><\/td>\nMultiples<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
          (3, 4, 5)<\/td>\n9 + 16 = 25<\/td>\n(6, 8, 10), (9, 12, 15)\u2026<\/td>\n<\/tr>\n
          (5, 12, 13)<\/td>\n25 + 144 = 169<\/td>\n(10, 24, 26)\u2026<\/td>\n<\/tr>\n
          (8, 15, 17)<\/td>\n64 + 225 = 289<\/td>\n(16, 30, 34)\u2026<\/td>\n<\/tr>\n
          (7, 24, 25)<\/td>\n49 + 576 = 625<\/td>\n(14, 48, 50)\u2026<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

          Si vous multipliez les trois nombres d\u2019un triplet par un m\u00eame entier n<\/em>, vous obtenez un autre triplet : (3n<\/em>, 4n<\/em>, 5n<\/em>). Reconna\u00eetre un triplet fait gagner du temps. Dans un triangle rectangle d\u2019hypot\u00e9nuse 13 cm dont un c\u00f4t\u00e9 mesure 5 cm, l\u2019autre c\u00f4t\u00e9 mesure 12 cm.<\/p>\n

          Comment d\u00e9montrer le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore ?<\/h2>\n

          La preuve la plus simple utilise les aires. Prenez un grand carr\u00e9 de c\u00f4t\u00e9 a<\/em> + b<\/em>. Placez \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur quatre triangles rectangles identiques, de c\u00f4t\u00e9s a<\/em> et b<\/em> et d\u2019hypot\u00e9nuse c<\/em>, un dans chaque coin. Au centre, il reste un carr\u00e9 de c\u00f4t\u00e9 c<\/em>.<\/p>\n

          [Sch\u00e9ma : grand carr\u00e9 de c\u00f4t\u00e9 a + b, quatre triangles rectangles et carr\u00e9 central de c\u00f4t\u00e9 c]\n

          On calcule l\u2019aire du grand carr\u00e9 de deux fa\u00e7ons :<\/p>\n