{"id":59828,"date":"2020-07-16T17:40:24","date_gmt":"2020-07-16T16:40:24","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=59828"},"modified":"2024-09-13T14:27:36","modified_gmt":"2024-09-13T13:27:36","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-suites-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-suites-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s sur les suites en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s sur les suites en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Nos exercices corrig\u00e9s sur les suites et sur tout le programme de maths en Terminale g\u00e9n\u00e9rale vous permettront de progresser. Mettez en application toutes vos connaissances acquises en cours particulier de maths<\/a>. Vous pouvez \u00e9galement concr\u00e9tiser vos acquis lors de stages de r\u00e9vision du bac. Si vous avez du mal \u00e0 r\u00e9diger ou \u00e0 d\u00e9marrer les exercices suivants, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 revoir le cours sur les suites en terminale<\/a>.<\/p>\n

1. Annale bac : Etude conjointe de deux suites en terminale<\/h2>\n

D’apr\u00e8s bac 1982.<\/em>
\nOn d\u00e9finit les deux suites r\u00e9elles \"u\" et \"v\" par \"u_1 = 1, \, v_1 ​​= 12\"
\net pour tout \"n \in\mathbb {N} ^ *\", \"u_ { n + 1} = \displaystyle \frac {u_n + 2 \, v_n} 3\" et \"v_ {n + 1} = \displaystyle \frac {u_n + 3 \, v_n} 4\".<\/p>\n

Enonc\u00e9 de l’\u00e9tude conjointe de deux suites en terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\nEn pose pour \"n \in\mathbb {N} ^ *\", \"w_n = v_n - u_n\".
\nD\u00e9montrer que \"w\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique. Exprimer \"w_n\" en fonction de \"n\" et en d\u00e9duire la limite de \"(w_n) _n \,\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\n\"u\" est une suite augment\u00e9e et \"v\" est une suite d\u00e9croissante. Vrai ou faux?<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nLes suites \"u\" et \"v\" convergent vers la m\u00eame limite. Vrai ou faux?<\/p>\n

Question 4 :<\/strong>
\nEn pose pour \"n \in\mathbb {N} ^ *\", \"t_n = 3 \, u_n + 8 \, v_n\"
\nD\u00e9montrer que \"t\" est une suite constante.
\nEn d\u00e9duire la limite des suites \"u\" et \"v\".<\/p>\n

Question 5 :<\/strong>
\nTrouver la valeur de \"u_n\" et \"v_n \,\".
\nRetrouver les r\u00e9sultats de la question 4.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Correction de l’\u00e9tude conjointe des deux suites en terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

\"w_ {n + 1} = v_ {n + 1} - u_ {n + 1}\" \"w_ {n + 1} = \displaystyle \left (\frac 3 4 - \frac 2 3 \right) v_n + \gauche (\frac 1 4 - \frac 1 3 \droite) u_n\"
\n\"w_ {n + 1} = \displaystyle \frac 1 {12} \, v_n - \frac 1 {12} \, u_n = \frac {w_n } {12}\".<\/p>\n

\"w\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q = \displaystyle \frac 1 {12}\" et de premier terme \"\qquad \quad w_1 = v_1 - u_1 = 11\".
\nAlors pour tout \"n \in \mathbb {N} ^ *\", \"\qquad \quad w_n = \displaystyle \frac {w_1} {12 ^ {n - 1}} = \frac {11} {12 ^ {n - 1}}\"
\nComme \"\displaystyle 0 <\frac 1 {12} <1\", \"\displaystyle \boxed {\ lim_ {n \to + \infty} w_n = 0}\".<\/p>\n

D’autre part, on retient pour la suite que pour tout \"n \in \mathbb {N} ^ *, w_n> 0\" soit \"v_n> u_n \,\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On rappelle que la question pr\u00e9c\u00e9dente a permis de prouver que,
\npour tout \"n \in \mathbb {N} ^ *, w_n> 0\" soit \"v_n> u_n \,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n \in \mathbb {N} ^ *\", \"u_ {n + 1} - u_n = \displaystyle \frac {u_n + 2 \, v_n} 3 - u_n\"
\n\"u_ {n + 1 } - u_n = \displaystyle \frac {2 \, (v_n - u_n)} 3 = \frac {w_n} 3> 0\"
\n\"u\"\u00a0<\/strong>es<\/strong>t une suite augment\u00e9e.\u00a0<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n \in \mathbb {N} ^ *\", \"v_ {n + 1} - v_n = \displaystyle \frac {u_n + 3 \, v_n} 4 - v_n\"
\n\"v_ {n + 1 } - v_n = \displaystyle \frac {3 \, (u_n - v_n)} 4 = \frac {-3 \, w_n} 4 <0\"
\n\"v\"\u00a0<\/strong>est u<\/strong>ne suite d\u00e9croissante.<\/b><\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

Sur rappelle que la question 1 a permis de prouver que,
\npour tout \"n \in \mathbb {N} ^ *, w_n> 0\" soit \"v_n> u_n \,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"n \in \mathbb {N} ^ *, \, u_n \leqslant v_n \leqslant v_1\" en utilisant le signe de \"v_n - u_n\" obtenu en question 1 et la d\u00e9croissance de la suite \"v\".
\nLa suite \"u\" est augment\u00e9e et major\u00e9e par \"v_1 = 12\", elle est convergente vers \"\ell\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"n \in \mathbb {N} ^ *, \, u_1 \leqslant u_n \leqslant v_n\" en utilisant le signe de \"v_n - u_n\" obtenu en question 1 et la croissance de la suite \"u\".
\nLa suite \"v\" est d\u00e9croissante et minor\u00e9e par \"u_1 = 1\", elle est convergente vers \"\ell \, '\".<\/p>\n

Puis en utilisant \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} w_n = 0\", alors \"\ell \, '- \ell = 0\".<\/p>\n

Les suites\u00a0\"u\"\u00a0\u00a0et\u00a0\"v\"\u00a0convergent vers la m\u00eame limite.<\/strong><\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

Pour \"n \in \mathbb {N} ^ *\", \"t_ {n + 1} = 3 \, u_ {n + 1} + 8 \, v_ {n + 1}\"
\n\"t_ {n + 1} = (u_n + 2 \, v_n) + 2 \, (u_n + 3 \, v_n)\"
\n\"t_ {n + 1} = 3 \, u_n + 8 \, v_n = t_n \,\".<\/p>\n

La suite \"(t_n) _n\" est constante \u00e9gale \u00e0 \"t_1 = 3 \, u_1 + 8 \, v_1 ​​= 3 + 8*12 = 99\".<\/p>\n

En passant \u00e0 la limite dans la relation \"3 \, u_n +8 \, v_n = 99\", on obtient \"\qquad \qquad 3 \, \ell + 8 \, \ell \, '= 99\"
\nsachant que \"\ell = \ell \, '\", on obtient \"11 \, \ell = 99\" soit \"\ell = 9\".<\/p>\n

Les suites\u00a0\"u\"\u00a0et\u00a0\"v\"\u00a0convergent vers\u00a0\"9\".<\/strong><\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

Sur un syst\u00e8me \"\left \ {\ begin {matrix} 3 \, u_n + 8 \, v_n = 99 \\ v_n - u_n = w_n \end {matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\Ast\" En plus la premi\u00e8re \u00e9quation et 3 fois la deuxi\u00e8me:
\n\"11 \, v_n = 99 + 3 \, w_n = \displaystyle 99 + 3. \frac {11} {12 ^ {n - 1}}\"
\ndonc \"\boxed {v_n = \displaystyle 9 + \frac {3} {12 ^ {n - 1}} \;}\".<\/p>\n

\"\ast\" En formant la premi\u00e8re \u00e9quation – 8 fois la deuxi\u00e8me, sur R\u00e9sultat:
\n\"11 \, u_n = 99 - 8 \, w_n = \displaystyle 99 - \frac {8* 11} {12 ^ {n - 1}}\"
\ndonc \"\boxed {u_n = \displaystyle 9 - \frac {8} {12 ^ {n - 1}} \; }\".<\/p>\n

En utilisant \"\displaystyle \lim _ {n \ to + \infty} \frac {1} {11 ^ {n - 1}} = 0\", on retrouve \"\displaystyle \boxed {\ lim_ {n \ to + \infty} u_n = \lim_ {n \ to + \infty} v_n = 9}\".<\/p>\n

2. Exercice Etude d’une population, exemple de suites en terminale<\/h2>\n

Ce sujet d’annale du bac de Polyn\u00e9sie 2017 traite de l’\u00e9tude d’une population, ici des tortues sur une \u00eele. L’\u00e9tude d’une population est un exercice tr\u00e8s classique de suites au bac, et tombe r\u00e9guli\u00e8rement. <\/em>Parties A et B ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Partie A<\/strong>
\nAu d\u00e9but de l’an 2000, on comptait 300 tortues. Une \u00e9tude a permis de mod\u00e9liser ce nombre de tortues par la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par :
\n\"\left \{ \begin{matrix} u_0 = 0,3\\ \textrm{si }n \in \mathbb{N},\, u_{n + 1} = 0,9\, u_n \, (1 - u_n)\end{matrix} \right.\"
\no\u00f9 pour tout entier naturel \"n\", \"u_n\" mod\u00e9lise le nombre de tortues, en milliers, au d\u00e9but de l’ann\u00e9e \"2000+n\".<\/p>\n

Question 1.<\/strong>
\nCalculer, dans ce mod\u00e8le, le nombre de tortues au d\u00e9but de l’ann\u00e9e \"2001\" puis de l’ann\u00e9e \"2002\".<\/p>\n

Question 2<\/strong>
\na. Pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \"0 \leqslant u_n \leqslant 1\"
\nVrai ou faux?<\/p>\n

Question 2 (suite)<\/strong>
\nb. Pour tout entier naturel \"n\", \"\qquad 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9\, u_n\" .
\nVrai ou faux?<\/p>\n

Question 2 (fin)<\/strong>
\nc. D\u00e9terminer la limite de la suite \"(u_n)\". Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues ?<\/p>\n

Question 3<\/strong>
\nDes \u00e9tudes permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues \u00e0 une date donn\u00e9e est inf\u00e9rieur au seuil critique de 30 individus, alors l’esp\u00e8ce est menac\u00e9e d’extinction.
\nOn souhaite qu’\u00e0 la fin de son ex\u00e9cution, la fonction Python ci-dessous affiche la derni\u00e8re ann\u00e9e avant laquelle il reste un nombre de tortues au moins \u00e9gal \u00e0 seuil (exprim\u00e9 en milliers) de tortues lorsque pour l’ann\u00e9e \"2000\" il y a \"u_0\" tortues (en milliers).<\/p>\n

Recopier et compl\u00e9ter la fonction afin qu’elle satisfasse cette exigence en appelant tortues(0.3 , 30 )<\/p>\n

def tortues (u0, seuil):
\n\"\qquad \vert\" u = u0
\n\"\qquad \vert\" n = 0
\n\"\qquad \vert\" while …. :
\n\"\qquad \vert \qquad \vert\" u = …
\n\"\qquad \vert \qquad \vert\" n = …
\n\"\qquad \vert\" return …<\/p>\n

Partie B<\/b>
\nAu d\u00e9but de l’ann\u00e9e 2010, il ne reste que 32 tortues.
\nAfin d’assurer la p\u00e9rennit\u00e9 de l’esp\u00e8ce, des actions sont men\u00e9es pour am\u00e9liorer la f\u00e9condit\u00e9 des tortues.
\nL’\u00e9volution de la population est alors modifi\u00e9e et le nombre de tortues peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par la suite \"(v_n)\" d\u00e9finie par :
\n\"\left \{ \begin{matrix} v_{10} = 0,032\\ \textrm{si }n \geqslant 10,\, v_{n + 1} = 1,06\, v_n \, (1 - v_n)\end{matrix} \right.\"
\no\u00f9 pour tout entier naturel \"n > 10\", \"v_n\" mod\u00e9lise le nombre de tortues, en milliers, au d\u00e9but de l’ann\u00e9e \"2000+n\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nCalculer le nombre de tortues au d\u00e9but de l’ann\u00e9e \"2011\" puis de l’ann\u00e9e \"2012\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\na.<\/b>\u00a0Quel est le sens de variation de la fonction \"f : x\mapsto 1,06\, x\, (1 -x)\" sur \"[0 , 1/2]\" ?<\/p>\n

Question 2<\/b>\u00a0(suite)
\nb.<\/b> Pour tout entier \"n \geqslant 10,\" \"\qquad \qquad 0 < v_n\leqslant v_{n + 1} \leqslant 1/2\". Vrai ou faux?<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>(fin)
\nc.<\/b>\u00a0D\u00e9montrer que la suite\"(v_n)_{n\geqslant 10}\" converge vers \"\ell\" et d\u00e9terminer une \u00e9quation v\u00e9rifi\u00e9e par \"\ell\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLa population de tortues est-elle encore en voie d’extinction ?<\/p>\n

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 <\/p>\n

Correction de l’\u00e9tude de la population<\/strong><\/p>\n

Partie A<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/strong> 189,138
\n\"u_1 = 0,9\times 0,3 \times 0,7 = 0,189\"
\n\"u_2 = 0,9\times 0,189 \times 0,811 = 0,1379511\"
\nque l’on arrondit de fa\u00e7on \u00e0 avoir un nombre entier de tortues : 138 tortues en 2012 et 189 en 2011.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong> Vrai
\nOn note si \"n \in \mathbb{N},\" \"\mathcal{P}(n)\" : \"u_n\in [0 , 1]\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\ndef tortues (u0, seuil):
\n\"\qquad \vert\" u = u0
\n\"\qquad \vert\" n = 0
\n\"\qquad \vert\" while (u >= seuil):
\n\"\qquad \vert \qquad \vert\" u = 0.9 * u * (1\"-\" u)
\n\"\qquad \vert \qquad \vert\" n = n +1
\n\"\qquad \vert\" return n \"-\"1<\/p>\n

Partie B<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\"v_{11} = 1,06 \times 0,32\times (1 - 0,32)\"
\n\"v_{11} = 0.03283456\"
\n\"v_{12} =\" \"\; \; \; 1,06\times 0.03283456 \times (1 - 0.03283456)\"
\n\"v_{12} = 0.033661838769782786\"
\nque l’on arrondit \u00e0 \"10^{-3}\" pr\u00e8s pour avoir un nombre entier de tortues.
\nIl y a 33 tortues en 2011 puis 34 tortues en 2012.<\/p>\n

Question 2) a) :<\/strong> Fonction strictement croissance
\n\"f\" est une fonction polyn\u00f4me<\/a>, donc \"f\" est d\u00e9rivable<\/a> et
\n\"f'(x) = 1,06 (1 - 2 \, x) > 0\" si \"x \in [0 , 1/2[\", donc \"f\" est strictement croissante sur \"[0 , 1/2]\".
\nDe plus \"f(0) = 0\" et \"f(1/2) =0.265 < 1/2\"<\/p>\n

Question 2) b) :<\/strong> Vrai<\/p>\n

On note si \"n \geqslant 10\" , \"\mathcal{P}(n) : 0 < v_n\leqslant v_{n + 1} \leqslant 1/2\"<\/p>\n

Initialisation\u00a0<\/u>: Ayant prouv\u00e9 que \"v_10 } = 0.032\" et \"v_{11} = 0.03283456\", on a bien v\u00e9rifi\u00e9 \"\mathcal {P}(10)\"<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/u>\u00a0: On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour un entier donn\u00e9 tel que \"n \geqslant 10\"
\nAlors la stricte croissance de \"f\" sur \"[0 , 1/2]\" donne
\n\"f(0) < f(v_n)\leqslant f(v_{n + 1}) \leqslant f(1/2)\"
\ndonc \"0 < v_{n + 1} \leqslant v_{n + 2} \leqslant 1/2\" car \"f(1/2) \leqslant 1/2\"<\/p>\n

Conclusion<\/u>\u00a0: la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence<\/a> pour tout \"n geqslant 10\".<\/p>\n

Question 2) c) :<\/strong>
\nLa suite \"(v_n)_{n\geqslant 10}\" est croissante et major\u00e9e par \"1/2\".
\nElle est convergente vers \"\ell\".Par op\u00e9rations sur les limites<\/a> et en utilisant \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_{n + 1} = \ell\",\u00a0on obtient :\u00a0\"\ell = 1.06 \,\ell\, (1 - \ell)\".<\/p>\n

Question 3 : Non<\/strong><\/p>\n

Comme la suite \"(v_n)_n\" est croissante, elle ne peut converger vers \"0\" car sinon on aurait pour tout entier \"n \geqslant 10\", \"v_n \leqslant 0\", ce qui est absurde.<\/p>\n

Donc sa limite \"\ell\" est non nulle et on obtient en simplifiant par \"\ell\", \"1 = 1,06\, (1 - \ell)\" soit \"\ell = 1 - \displaystyle \frac 1 {1,06}\"
\nce qui donne\u00a0 \"\ell \approx 0.0566\".<\/p>\n

La population de tortues n’est plus en extinction et pour \"n\" assez grand, on aura une population sup\u00e9rieure \u00e0 celle de l’ann\u00e9e \"2000\" c’est-\u00e0-dire \u00e0 300.<\/p>\n

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