{"id":60987,"date":"2020-07-20T20:01:27","date_gmt":"2020-07-20T19:01:27","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=60987"},"modified":"2024-09-13T14:17:03","modified_gmt":"2024-09-13T13:17:03","slug":"cours-en-ligne-recurrence-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-recurrence-terminale\/","title":{"rendered":"Cours r\u00e9currence terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur la r\u00e9currence en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Un cours en ligne sur la r\u00e9currence, chapitre au programme de maths en Terminale. Dans ce cours, est rappel\u00e9 ce qu’est le principe de r\u00e9currence, sont d\u00e9taill\u00e9es les d\u00e9monstrations par r\u00e9currence sur les r\u00e9sultats des suites g\u00e9om\u00e9triques et des suites arithm\u00e9tiques, et enfin est abord\u00e9 le principe d’in\u00e9galit\u00e9 de Bernoulli. Toutes ces notions sont essentielles au programme de Terminale et sont indispensables pour obtenir de tr\u00e8s bons r\u00e9sultats au bac. Pour mettre toutes les chances de votre c\u00f4t\u00e9, vous avez l’option des cours de soutien en maths<\/a> pour le bac.<\/p>\n

1. R\u00e9sum\u00e9 de cours sur le principe de r\u00e9currence en terminale<\/h2>\n

1.1. R\u00e9currence en commen\u00e7ant au rang 0.<\/h3>\n

Soit \"\mathcal{P}(n)\" une propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9pendant de l’entier \"n\".<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer par r\u00e9currence que pour tout entier \"n\", \"\mathcal{P}(n)\" est vraie,
\napr\u00e8s avoir clairement \u00e9crit que l’on note \"\q;\;\" pour \"n \in \mathbb{N}\", \"\mathcal{P}(n)\" : \"" \cdots \cdots "\"
\non raisonne en trois \u00e9tapes :<\/p>\n

Initialisation :<\/em> On d\u00e9montre que \"\mathcal{P}(0)\" est vraie<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> On suppose que pour un entier \"n\" donn\u00e9, la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n)\" est vraie. On d\u00e9montre alors que la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1 )\" est vraie<\/p>\n

Conclusion :<\/em> On termine en disant que l’on a d\u00e9montr\u00e9 par r\u00e9currence que la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour tout entier \"n\".<\/p>\n

Conseils importants de r\u00e9daction des r\u00e9currences pour le bac :<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. Lorsque la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n)\" consiste en une \u00e9galit\u00e9, pour d\u00e9montrer la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(0)\", partir d’un des c\u00f4t\u00e9s de l’\u00e9galit\u00e9 (en g\u00e9n\u00e9ral le plus compliqu\u00e9) pour arriver \u00e0 l’autre c\u00f4t\u00e9.<\/li>\n
  2. Pour l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 : ne vous trompez pas, dites bien que vous supposez que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour UN entier \"n\" donn\u00e9 et non pas que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour tout entier \"n\" (dans ce cas, il n’y aurait rien \u00e0 d\u00e9montrer ! ).<\/li>\n
  3. Quand vous d\u00e9finissez la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n)\" avant de commencer votre raisonnement,
    \nbien \u00e9crire pour \"n \in \mathbb{N}\", on note \"\mathcal{P}(n)\"
    \net non on note \"\mathcal{P}(n)\" : pour tout entier \"n\" …<\/li>\n<\/ol>\n

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    PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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    Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
    \n\t\t\t\t
    \n\t\t\t

    Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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    \n\t\t\t\t\t
    \n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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    \n\t\t\t\t\t\t\t\t
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    Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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     <\/p>\n

    1.2. R\u00e9currence en commen\u00e7ant au rang \"k\".<\/h3>\n

    Soit \"\mathcal{P}(n)\" une propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9pendant de l’entier \"n\".
    \nOn se donne un entier \"k \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

    Pour d\u00e9montrer par r\u00e9currence que pour tout entier \"n \geqslant k\", \"\mathcal{P}(n)\" est vraie,
    \napr\u00e8s avoir clairement \u00e9crit que l’on note
    \npour \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geqslant k\",
    \n\"\qquad \qquad \mathcal{P}(n)\" : \"" \cdots \cdots "\"
    \non raisonne en trois \u00e9tapes.<\/p>\n

    Initialisation :<\/em> On d\u00e9montre que \"\mathcal{P}(k)\" est vraie<\/p>\n

    H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> On suppose que pour un entier \"n\" donn\u00e9 v\u00e9rifiant \"n \geqslant k\", la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.
    \nOn d\u00e9montre alors que la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1 )\" est vraie<\/p>\n

    Conclusion :<\/em> On termine en disant que l’on a d\u00e9montr\u00e9 par r\u00e9currence que la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour tout entier \"n\geqslant k\".<\/p>\n

    Quand utiliser une r\u00e9currence en terminale g\u00e9n\u00e9rale ?<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. Une \u00e9vidence : quand l’\u00e9nonc\u00e9 le demande explicitement<\/li>\n
    2. Quand l’\u00e9nonc\u00e9 demande de prouver une propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9pendant de \"n\".<\/li>\n
    3. Quand vous voulez d\u00e9montrer une conjecture faite apr\u00e8s l’observation d’une propri\u00e9t\u00e9 sur de petites valeurs de \"n\".<\/li>\n
    4. Dans l’\u00e9tude de suites en terminale<\/a> (mais ce n’est pas la seule m\u00e9thode) pour d\u00e9montrer par exemple que \"u_n\" est dans un intervalle<\/a> \"I\" , que la suite est monotone.<\/li>\n<\/ol>\n

      2. Les r\u00e9sultats sur les suites arithm\u00e9tiques d\u00e9montr\u00e9s par r\u00e9currence<\/h2>\n

      2.1. Valeur de \"u_n\" pour une suite arithm\u00e9tique<\/h3>\n

      \"\bullet\" Si \"(u_n)_{n\geqslant 0}\" est une suite arithm\u00e9tique de raison \"r\" et de premier terme \"u_0 \,\", alors pour tout entier \"n\", \"u_n = u_0 + n\, r\"<\/p>\n

      \"\bullet\" Si \"(u_n)_{n\geqslant k}\" est une suite arithm\u00e9tique de raison \"r\" et de premier terme \"u_k\,\", alors pour tout entier \"n \geqslant k\", \"\qquad \quad u_n = u_k + (n - k) \, r\".<\/p>\n

      2.2. Somme des termes d’une suite arithm\u00e9tique<\/h3>\n

      \"\bullet\" Si \"(u_n)_{n \geqslant k}\" est une suite arithm\u00e9tique<\/a> de raison \"r\" et de premier terme \"u_k\", alors pour tout entier \"n \geqslant k \,\",
      \n\"S_n = u_k + \cdots + u_ {n - 1} + u_n\"
      \n\"S_n = \displaystyle \frac {n + 1 - k} 2 ( u_k + u_n)\"<\/p>\n

      On pourra bien-s\u00fbr appliquer la formule dans le cas o\u00f9 \"k = 0\" :
      \n\"u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle \frac {n + 1} 2 (u_0 + u_n)\" .<\/p>\n

      3. Les r\u00e9sultats sur les suites g\u00e9om\u00e9triques d\u00e9montr\u00e9s par r\u00e9currence<\/h2>\n

      3.1. Valeur de \"u_n\" pour une suite g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n

      \"\bullet\" Si \"(u_n)_{n\geqslant 0}\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q\" et de premier terme \"u_0\,\", alors pour tout entier \"n\", \"u_n = u_0 \, q ^n\" .<\/p>\n

      \"\bullet\" Si \"(u_n)_{n\geqslant k}\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q\" et de premier terme \"u_k\,\", pour tout entier \"n \geqslant k\", \"u_n = u_k \, q ^{ n - k}\"<\/p>\n

      3.2. Somme des termes d’une suite g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n

      \"\bullet\" Si \"(u_n)_{n \geqslant k}\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q \neq 1\" et de premier terme \"u_n\,\"
      \nalors pour tout entier \"n \geqslant k \,\",
      \n\"S_n = u_k + \cdots + u_n = \displaystyle u_k \frac {1 - q ^{n - k + 1} } {1 - q }\"<\/p>\n

      On pourra bien-s\u00fbr appliquer la formule dans le cas o\u00f9 \"k = 0\" :
      \n\"u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle u_0 \frac {1 - q ^{n - k + 1} } {1 - q }\" .<\/p>\n

       <\/p>\n\t\t

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      AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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      C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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      \n\t\t\t\t\t
      \n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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       <\/p>\n

      4. In\u00e9galit\u00e9 de Bernoulli en terminale<\/h2>\n

      Pour tout r\u00e9el \"x > - 1\" et \"x \neq 0\" et pour tout entier \"n \in \mathbb{N}\", \"n > 1\", \"\qquad \quad (1 + x) ^n > 1 + n \, x\".<\/p>\n

      Pour \"x = 0\" , l’in\u00e9galit\u00e9 de Bernoulli est une \u00e9galit\u00e9 (1 = 1).<\/p>\n

      D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n

      On fixe \"x > - 1\" et \"x \neq 0\".
      \nSi \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geq 2\", on note \"\qquad \qquad \mathcal{P}(n) : (1 + x) ^n > 1 + n\, x\".<\/p>\n

      Initialisation :<\/em> Pour \"n = 2\", \"( 1 + x) ^2 - 1 - 2\, x = x ^2 > 0\", donc \"(1 + x)^2 > 1 + 2\, x\".
      \nOn a donc prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(2)\" est vraie.<\/p>\n

      H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie. On multiplie l’in\u00e9galit\u00e9 stricte \"(1 + x)^n > 1 + n\, x\" par \"1 + x > 0\"
      \n\"(1 + x) ^{n + 1} > (1 + n\, x) (1 + x)\"
      \nPuis \"(1 + n\, x ) (1 + x) = 1 + (n + 1) \, x + n \, x ^2\" \"(1 + n\, x)(1 + x) > 1 + (n + 1) \, x\" car \"n\, x^2 > 0\".
      \nOn a donc prouv\u00e9 que \"\qquad \quad (1 + x) ^{n + 1} > 1 + (n + 1) \, x\".
      \nLa propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

      Conclusion :<\/em> la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence sur \"n\", donc pour tout entier \"n \geqslant 2\", \"(1 + x) ^n > 1 + n\, x\".<\/p>\n

      N’h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter nos annales de maths au bac g\u00e9n\u00e9ral pour vous exercer. Si vous avez des difficult\u00e9s sur les r\u00e9currences, vous pouvez \u00e9galement faire appel \u00e0 un professeur pour des cours particuliers en maths. Se faire accompagner par un professeur particulier permet d’adopter les bonnes m\u00e9thodes de travail et de se d\u00e9barrasser d’\u00e9ventuelles lacunes. Si vous souhaitez vous entra\u00eenez seul chez vous, consultez aussi les autres cours en ligne de maths au programme de Terminale, dont :<\/p>\n