{"id":61003,"date":"2020-07-20T21:19:58","date_gmt":"2020-07-20T20:19:58","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=61003"},"modified":"2026-10-27T15:16:56","modified_gmt":"2026-10-27T14:16:56","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-recurrence-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-recurrence-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s r\u00e9currence Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur le raisonnement par r\u00e9currence en terminale<\/h1>\n

Par Seda Biber, mis \u00e0 jour le 27\/10\/2026<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Voici 11 exercices corrig\u00e9s de r\u00e9currence pour la sp\u00e9cialit\u00e9 maths de terminale, class\u00e9s par type de question : terme g\u00e9n\u00e9ral d’une suite, somme de termes, in\u00e9galit\u00e9, sens de variation, divisibilit\u00e9. Chaque corrig\u00e9 suit la r\u00e9daction attendue au bac, en trois temps : initialisation, h\u00e9r\u00e9dit\u00e9, conclusion. Le programme de terminale demande de savoir \u00ab raisonner par r\u00e9currence pour \u00e9tablir une propri\u00e9t\u00e9 d’une suite \u00bb : ce sont exactement ces situations que vous allez travailler. Si une \u00e9tape vous bloque, relisez d’abord le r\u00e9sum\u00e9 de cours sur la r\u00e9currence en terminale<\/a>.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

💡 Astuce :<\/strong> gardez toujours le m\u00eame squelette de r\u00e9daction. 1) \u00ab Pour tout entier \"n\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \u2026 \u00bb 2) Initialisation : on v\u00e9rifie \"\mathcal{P}(0)\" (ou le premier rang demand\u00e9). 3) H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 : \u00ab Soit \"n\" un entier fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie. Montrons \"\mathcal{P}(n+1)\". \u00bb 4) Conclusion : \u00ab La propri\u00e9t\u00e9 est initialis\u00e9e et h\u00e9r\u00e9ditaire, donc par r\u00e9currence \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour tout entier \"n\". \u00bb<\/div>\n

1. D\u00e9montrer le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une suite par r\u00e9currence<\/h2>\n

C’est la question la plus classique : l’\u00e9nonc\u00e9 donne une suite d\u00e9finie par r\u00e9currence<\/a> et une formule explicite \u00e0 d\u00e9montrer. Dans l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9, on part de \"u_{n+1}\", on remplace \"u_n\" gr\u00e2ce \u00e0 l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence, puis on retrouve la formule au rang \"n+1\".<\/p>\n

Exercice 1 : suite d\u00e9finie par \"u_{n+1} = u_n + 2n + 5\"<\/h3>\n

Soit la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 2\" et, pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+1} = u_n + 2n + 5\".<\/p>\n

Montrer que pour tout entier naturel \"n\", \"u_n = n^2 + 4n + 2\".<\/p>\n

Exercice 2 : suite d\u00e9finie par \"u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2\"<\/h3>\n

Soit la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 1\" et, pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2\".<\/p>\n

Montrer que pour tout entier naturel \"n\", \"u_n = \dfrac{25}{4 \times 3^n} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1<\/h3>\n

Pour tout entier naturel \"n\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"u_n = n^2 + 4n + 2\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> pour \"n = 0\", \"0^2 + 4 \times 0 + 2 = 2 = u_0\". Donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n\" un entier naturel fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie. Alors :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ u_{n+1} = u_n + 2n + 5 = n^2 + 4n + 2 + 2n + 5 = n^2 + 6n + 7 \]\"<\/p>\n

Or \"(n+1)^2 + 4(n+1) + 2 = n^2 + 2n + 1 + 4n + 4 + 2 = n^2 + 6n + 7\".<\/p>\n

Donc \"u_{n+1} = (n+1)^2 + 4(n+1) + 2\" : \"\mathcal{P}(n+1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> la propri\u00e9t\u00e9 est initialis\u00e9e et h\u00e9r\u00e9ditaire, donc pour tout entier naturel \"n\", \"u_n = n^2 + 4n + 2\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 2<\/h3>\n

Pour tout entier naturel \"n\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"u_n = \dfrac{25}{4 \times 3^n} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4}\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> pour \"n = 0\", \"\dfrac{25}{4 \times 1} + 0 - \dfrac{21}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 = u_0\". Donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n\" un entier naturel fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie. On calcule \"u_{n+1}\" en utilisant \"\mathcal{P}(n)\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{25}{4 \times 3^n} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4} \right) + n - 2 = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{7}{4} + n - 2 \]\"<\/p>\n

soit \"u_{n+1} = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{15}{4}\".<\/p>\n

D’autre part, l’expression attendue au rang \"n+1\" vaut :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3(n+1)}{2} - \dfrac{21}{4} = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3n}{2} + \dfrac{6}{4} - \dfrac{21}{4} = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{15}{4} \]\"<\/p>\n

Les deux expressions sont \u00e9gales, donc \"\mathcal{P}(n+1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour tout entier naturel \"n\".<\/p>\n

💡 Astuce :<\/strong> pour d\u00e9montrer une \u00e9galit\u00e9 \"A = B\", le plus direct est de partir de \"A\" pour arriver \u00e0 \"B\". Quand le calcul devient lourd, faites comme dans l’exercice 2 : simplifiez s\u00e9par\u00e9ment \"A\" et \"B\" et montrez qu’ils valent la m\u00eame quantit\u00e9 \"C\".<\/div>\n

2. Calculer une somme par r\u00e9currence<\/h2>\n

Ici, \"\mathcal{P}(n)\" porte sur une somme de \"n\" termes. Le passage au rang \"n+1\" repose toujours sur la m\u00eame id\u00e9e : la somme de \"n+1\" termes, c’est la somme de \"n\" termes plus le terme suivant. Attention au premier rang : ces sommes commencent souvent \u00e0 \"n = 1\".<\/p>\n

Exercice 3 : somme des entiers de 1 \u00e0 n<\/h3>\n

Pour tout entier \"n \geqslant 1\", on note \"S_n = 1 + 2 + \cdots + n\".<\/p>\n

Montrer que pour tout entier \"n \geqslant 1\", \"S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\".<\/p>\n

Exercice 4 : somme altern\u00e9e de carr\u00e9s<\/h3>\n

Pour tout entier \"n \geqslant 1\", on note \"T_n = -1^2 + 2^2 - 3^2 + \cdots + (-1)^n n^2\", c’est-\u00e0-dire la somme des termes \"(-1)^k k^2\" pour \"k\" allant de 1 \u00e0 \"n\".<\/p>\n

En utilisant le r\u00e9sultat de l’exercice 3, montrer que pour tout entier \"n \geqslant 1\", \"T_n = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2}\".<\/p>\n

Exercice 5 : somme de fractions<\/h3>\n

Pour tout entier \"n \geqslant 1\", on note :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ S_n = \dfrac{2}{1 \times 2 \times 3} + \dfrac{2}{2 \times 3 \times 4} + \cdots + \dfrac{2}{n(n+1)(n+2)} \]\"<\/p>\n

Montrer que pour tout entier \"n \geqslant 1\", \"S_n = \dfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3<\/h3>\n

Pour tout entier \"n \geqslant 1\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> pour \"n = 1\", \"S_1 = 1\" et \"\dfrac{1 \times 2}{2} = 1\". Donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n \geqslant 1\" fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie.<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ S_{n+1} = S_n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \]\"<\/p>\n

en factorisant par \"(n+1)\". C’est bien \"\mathcal{P}(n+1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, \"S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\" pour tout entier \"n \geqslant 1\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 4<\/h3>\n

Pour tout entier \"n \geqslant 1\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"T_n = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2}\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> \"T_1 = (-1)^1 \times 1^2 = -1\" et \"(-1)^1 \times \dfrac{1 \times 2}{2} = -1\". Donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n \geqslant 1\" fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie. On ajoute le terme suivant :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ T_{n+1} = T_n + (-1)^{n+1}(n+1)^2 = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1}(n+1)^2 \]\"<\/p>\n

Comme \"(-1)^n = -(-1)^{n+1}\", on factorise par \"(-1)^{n+1}\" puis par \"\dfrac{n+1}{2}\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ T_{n+1} = (-1)^{n+1}\left( (n+1)^2 - \dfrac{n(n+1)}{2} \right) = (-1)^{n+1} \dfrac{n+1}{2}\big( 2(n+1) - n \big) = (-1)^{n+1} \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \]\"<\/p>\n

C’est bien \"\mathcal{P}(n+1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, \"T_n = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2}\" pour tout entier \"n \geqslant 1\". Autrement dit, \"T_n = (-1)^n S_n\" avec la somme \"S_n\" de l’exercice 3.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 5<\/h3>\n

Pour tout entier \"n \geqslant 1\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"S_n = \dfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> pour \"n = 1\", \"S_1 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\" et \"\dfrac{1 \times 4}{2 \times 2 \times 3} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\". Donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n \geqslant 1\" fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie. On met au m\u00eame d\u00e9nominateur \"2(n+1)(n+2)(n+3)\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ S_{n+1} = \dfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)} + \dfrac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \dfrac{n(n+3)^2 + 4}{2(n+1)(n+2)(n+3)} \]\"<\/p>\n

On d\u00e9veloppe le num\u00e9rateur : \"n(n+3)^2 + 4 = n^3 + 6n^2 + 9n + 4\". On veut faire appara\u00eetre \"(n+1)\" pour simplifier. Or \"(n+1)^2(n+4) = (n^2 + 2n + 1)(n+4) = n^3 + 6n^2 + 9n + 4\". Donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ S_{n+1} = \dfrac{(n+1)^2(n+4)}{2(n+1)(n+2)(n+3)} = \dfrac{(n+1)(n+4)}{2(n+2)(n+3)} \]\"<\/p>\n

C’est exactement la formule au rang \"n+1\", puisque \"(n+1) + 3 = n + 4\", \"(n+1) + 1 = n + 2\" et \"(n+1) + 2 = n + 3\". Donc \"\mathcal{P}(n+1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la formule est vraie pour tout entier \"n \geqslant 1\".<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension
cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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3. D\u00e9montrer une in\u00e9galit\u00e9 ou un encadrement par r\u00e9currence<\/h2>\n

Pour une in\u00e9galit\u00e9, l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 demande plus de soin qu’une \u00e9galit\u00e9 : chaque fois que vous multipliez ou divisez une in\u00e9galit\u00e9, v\u00e9rifiez le signe du nombre utilis\u00e9. Pour encadrer \"u_{n+1}\", la m\u00e9thode la plus s\u00fbre consiste souvent \u00e0 \u00e9tudier le signe d’une diff\u00e9rence, comme \"3 - u_{n+1}\".<\/p>\n

Exercice 6 : l’in\u00e9galit\u00e9 de Bernoulli<\/h3>\n

Soit \"x\" un r\u00e9el positif. Montrer que pour tout entier naturel \"n\", \"(1+x)^n \geqslant 1 + nx\".<\/p>\n

Cette d\u00e9monstration figure au programme de terminale : elle sert ensuite \u00e0 \u00e9tablir la limite de \"(q^n)\" lorsque \"q > 1\".<\/p>\n

Exercice 7 : encadrer une suite homographique<\/h3>\n

Soit la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 1\" et, pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+1} = \dfrac{9}{6 - u_n}\".<\/p>\n

Montrer que pour tout entier naturel \"n\", \"u_n\" est bien d\u00e9fini et \"0 < u_n < 3\".<\/p>\n

Exercice 8 : encadrer une autre suite<\/h3>\n

Soit la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 2\" et, pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 1}\".<\/p>\n

Montrer que pour tout entier naturel \"n\", \"u_n\" est bien d\u00e9fini et \"\dfrac{3}{2} < u_n \leqslant 2\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 6<\/h3>\n

Pour tout entier naturel \"n\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"(1+x)^n \geqslant 1 + nx\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> pour \"n = 0\", \"(1+x)^0 = 1\" et \"1 + 0 \times x = 1\". On a bien \"1 \geqslant 1\", donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n\" un entier naturel fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie : \"(1+x)^n \geqslant 1 + nx\". Comme \"1 + x > 0\", on peut multiplier les deux membres par \"1 + x\" sans changer le sens de l’in\u00e9galit\u00e9 :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ (1+x)^{n+1} \geqslant (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2 \]\"<\/p>\n

Or \"nx^2 \geqslant 0\", donc \"(1+x)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)x\" : \"\mathcal{P}(n+1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, pour tout entier naturel \"n\", \"(1+x)^n \geqslant 1 + nx\".<\/p>\n

Application :<\/em> si \"q > 1\", on pose \"x = q - 1 > 0\". Alors \"q^n \geqslant 1 + n(q-1)\", et \"1 + n(q-1)\" tend vers \"+\infty\". Par comparaison, \"q^n\" tend vers \"+\infty\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 7<\/h3>\n

Pour tout entier naturel \"n\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \u00ab \"u_n\" est d\u00e9fini et \"0 < u_n < 3\" \u00bb.<\/p>\n

Initialisation :<\/em> \"u_0 = 1\" est d\u00e9fini et \"0 < 1 < 3\". Donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> soit \"n\" un entier naturel fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie.<\/p>\n