{"id":61003,"date":"2020-07-20T21:19:58","date_gmt":"2020-07-20T20:19:58","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=61003"},"modified":"2024-09-13T14:14:01","modified_gmt":"2024-09-13T13:14:01","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-recurrence-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-recurrence-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s r\u00e9currence Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s : raisonnement par r\u00e9currence en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Testez-vous et v\u00e9rifiez vos connaissances sur le chapitre du raisonnement par r\u00e9currence au programme de sp\u00e9cialit\u00e9 maths en Terminale avec les exercices avec corrig\u00e9s d\u00e9taill\u00e9s propos\u00e9s ci-dessous. Ce chapitre est tr\u00e8s important et chaque ann\u00e9e au bac, des questions sont pos\u00e9es sur le raisonnement par r\u00e9currence, il est donc plus que n\u00e9cessaire de bien ma\u00eetriser son cours pour esp\u00e9rer d’excellents r\u00e9sultats au bac surtout avec le fort le coefficient au bac de l’\u00e9preuve de maths. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter les annales de maths du bac pour le constater. Si vous ne parvenez pas \u00e0 r\u00e9soudre ces exercices avec la r\u00e9daction ad\u00e9quate, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter le r\u00e9sum\u00e9 de cours sur la r\u00e9currence en terminale<\/a>.<\/p>\n

1. Exercices de r\u00e9currence sur le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une suite<\/h2>\n

Exercice 1 : R\u00e9currence et terme g\u00e9n\u00e9ral d’une suite num\u00e9rique :<\/strong><\/h3>\n

Soit la suite num\u00e9rique<\/a> d\u00e9finie par \"u_0 = 2\" et si \"n \in\mathbb{N}\", \"u_{n + 1}= u_n + 2\, n + 5\".
\nMontrer que pour tout \"n\in \mathbb{N}\" \"\qquad \quad u_n = n ^2 + 4\, n + 2\".<\/p>\n

Exercice 2 sur le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une suite :<\/strong><\/h3>\n

On d\u00e9finit la suite \"(u_n)_n\" avec \"u_0 = 1\" et pour tout entier \"n\", \"\qquad \quad u_{n + 1} = \displaystyle \frac {1 } 3 \, u_n + n - 2\".
\nMontrer que pour tout entier \"n\", \"\qquad u_n = \displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^n} + \frac {3\, n } 2 - \frac {21} 4\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Correction de l’exercice 1 : r\u00e9currence et terme d’une suite num\u00e9rique :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\" , on note \"\qquad \quad \mathcal{P}(n) : u_n = n ^2 + 4\, n + 2\"<\/p>\n

Initialisation :<\/em> Pour \"n = 0\", \"n ^2 + 4\, n + 2 = 2 = u_0\,\", \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}\" fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie.
\n\"u_{n + 1} = u_n + 2 \, n + 5\"
\n\"u_{n + 1} = n ^2 + 4\, n + 2 + 2\, n + 5\"
\n\"u_{n + 1} = n ^2 + 6\, n + 7\"
\n\"u_{n + 1} = (n + 1) ^2 + 4 \, n + 6\"
\n\"u_{n + 1} = (n + 1)^2 + 4\, (n + 1) + 2\"
\ndonc \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur le terme d’une suite :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"\qquad u_n = \displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^n} + \frac {3\, n } 4 - \frac {21} 4\".<\/p>\n

Initialisation : Pour \"n = 0\", \"\displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^n} - \frac {3\, n } 4 - \frac {21} 4 = \displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {1} - \frac {0} 4 - \frac {21} 4\"
\n\"\qquad =\displaystyle \frac {25 - 21} 4 = 1 = u_0\"
\nDonc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 : Soit \"n \in \mathbb{N}\" donn\u00e9 tel que \"\mathcal {P}(n)\" soit vraie.
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {1 } 3 \, u_n + n - 2\"
\n\"\; \; = \displaystyle \frac 1 3 \left ( \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^n} + \frac {3\, n } 2 - \frac {21} 4 \right ) + n - 2\"
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^{n + 1} } + \frac {n } 2 - \frac {7} 4 + n - 2\"
\n\"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^{n + 1} } + \frac {3\, n } 2 - \frac {15} 4\"<\/p>\n

On calcule d’autre part :
\n\"\displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^{n + 1} } + \frac {3\, (n + 1) } 2 - \frac {21} 4\"
\n\"\quad \displaystyle = \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^{n + 1} } + \frac {3\, n } 2 + \frac 3 2 - \frac {21} 4\"
\n\"\quad =\displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^{n + 1} } + \frac {3\, n } 2 + - \frac {15} 4\"
\net on a donc prouv\u00e9 que \"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {25} 4 . \frac {1} {3 ^{n + 1} } + \frac {3\, (n + 1) } 2 - \frac {21} 4\"<\/p>\n

On a d\u00e9montr\u00e9 que \"\mathcal {P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion : par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\".<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer une \u00e9galit\u00e9 de la forme \"A = B\", il est plus \u00e9l\u00e9gant de partir de \"A\" pour arriver \u00e0 \"B\".
\nLorsque cela vous para\u00eet trop compliqu\u00e9, vous pouvez comme ici, d\u00e9montrer que \"A\" et \"B\" sont \u00e9gales \u00e0 la m\u00eame quantit\u00e9 \"C\".
\nCe sera peut \u00eatre ce que vous ferez pour d\u00e9montrer passer de \"\mathcal{P}(n)\" \u00e0 \"\mathcal{P}(n + 1)\" , en \u00e9crivant l’\u00e9galit\u00e9 que vous devez prouver au rang \"n + 1\" en la simplifiant.<\/p>\n

2. Somme de termes d’une suite et exercices de r\u00e9currence en terminale<\/h2>\n

Exercice 1 sur la somme de termes et r\u00e9currence :<\/strong><\/h3>\n

Pour tout entier \"n\in \mathbb{N}^*\", on note
\n\"S_n\" \"= \displaystyle \frac 2 {1(1+1)(1+2) }+ \frac 2 {2.(2 + 1) (2 + 2)}\" \"\qquad \qquad \displaystyle + \cdots + \frac 2 {n(n + 1)(n + 2)}\"
\nPour tout \"n \in \mathbb{N }^*\", montrer que \"\qquad S_n = \displaystyle \frac {n(n + 3)} {2(n + 1) (n + 2)}\"<\/p>\n

Exercice 2 sur la somme de termes en terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

On note \"T_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n (-1) ^k \, k ^2\"
\n\"= (-1) ^1 . 1^2 + (-1) ^2 . 2^2 + \cdots + (-1) ^n \, n ^2\"
\net \"S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \, k = 1 + 2 + \cdots + n\".
\nMontrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\qquad \qquad \qquad T_n = (-1 ) ^{n} \, S_n\,\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 1 sur la somme de termes et r\u00e9currence :<\/strong><\/h3>\n

On note pour \"n \in \mathbb{N}^* ,\" \"\qquad \mathcal{P}(n) : S_n = \displaystyle \frac {n(n + 3)} {2(n + 1) (n + 2)}\"<\/p>\n

Initialisation :<\/em> Si \"n = 1,\"
\n\"\displaystyle \frac {n(n + 3)} {2(n + 1) (n + 2)}= \frac {1 . 4}{2 . 2 . 3} = \frac 1 3\"
\n\"\displaystyle \qquad \quad = \frac 2 {1 . (1 + 1) (1 + 2) }\"
\ndonc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> Soit \"n \in \mathbb{N}^*\" fix\u00e9 tel que \"\mathcal{P}(n)\" soit vraie.
\nAlors \"S_{n + 1} = \displaystyle S_n + \frac {2} {(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\"
\ndonc par \"\mathcal{P}(n)\",
\n\"S_{n + 1} = \displaystyle \frac {n(n + 3)} {2(n + 1) (n + 2)}\" \"\qquad \qquad \qquad \displaystyle +\, \frac {2} {(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\"
\n\"S_{n + 1} = \displaystyle \frac {n(n + 3) ^2 + 4 } {2(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\"<\/p>\n

On transforme<\/em>
\n\"A(n) = n(n + 3)^2 + 4\"
\n\"A(n) = n(n ^2 + 6\, n + 9) + 4\"
\n\"A(n) = n ^3 + 6\, n^2 + 9\, n + 4\"
\nSachant que l’on doit obtenir \"S_{n + 1} = \displaystyle \frac {(n + 1)(n + 4)} {2(n + 2)(n + 3 )}\"
\nOn calcule \"(n + 1) ^2\, (n + 4) = (n ^2 + 2\, n + 1) (n + 4)\" \"\qquad = n ^3 + 6 \, n^2 + 9\, n + 4\"
\nalors
\n\"S(n + 1) = \displaystyle \frac {(n + 1)^2(n + 4)} {2(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\"
\nce qui donne apr\u00e8s simplification \"S_{n + 1} = \displaystyle \frac {(n + 1)(n +4)} {2(n + 2)(n + 3)}\".
\nOn a \u00e9tabli que \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n \in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur la somme de terme en Terminale :<\/strong><\/h3>\n

Si \"n\in \mathbb{N}^*\" , \"\mathcal {P}(n)\" : \"T_n = (-1 ) ^{n} \, S_n\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em>
\n\"T_1 = (-1) ^2 . 1 ^2 = (-1) ^1 \, S_1\" donc \"\mathcal {P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" donn\u00e9 tel que \"\mathcal {P}(n)\" soit vraie.
\n\"T_{n + 1} = T_n + (-1) ^{n + 1} \, (n + 1) ^2\" \"T_{n + 1} = (-1)^n S_n + (-1) ^{n + 1} \, (n + 1) ^2\"
\ndonc \"T_{n + 1} = (-1)^{n + 1} \left ( (n + 1) ^2 - S_{n} \right )\"<\/p>\n

Pour un r\u00e9sultat classique :<\/em>
\n\"T_{n + 1} = \displaystyle (-1)^{n + 1} \left ( (n + 1) ^2 - \frac {n ( n +1)} 2 \right )\"
\n\"T_{n + 1} = \displaystyle (-1)^{n + 1} \frac {n + 1} 2 \left ( 2 (n + 1) - n \right )\"
\n\"T_{n + 1} = \displaystyle (-1)^{n + 1} \frac {n + 1} 2 ( n + 2 )\"
\n\"T_{n + 1} = \displaystyle (-1)^{n + 1} \, S_{n + 1}\"
\ndonc on a prouv\u00e9 \"\mathcal {P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\" au moins \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

3. In\u00e9galit\u00e9s et r\u00e9currence en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

Exercice 1 sur les in\u00e9galit\u00e9s dans le raisonnement par r\u00e9currence :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

On d\u00e9finit la suite \"(u_n)_n\" avec \"u_0 = 1\" et pour tout entier \"n\", \"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {9 } {6 - u_n}\"
\nCes relations d\u00e9finissent une suite telle que pour tout entier \"0 < u_n < 3\"<\/p>\n

Exercice 2 sur les in\u00e9galit\u00e9s dans le raisonnement par r\u00e9currence :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

On d\u00e9finit la suite \"(u_n)_n\" avec \"u_0 = 2\" et pour tout entier \"n\", \"u_{n + 1} = \displaystyle \frac {2\, u_n + 1 } {u_n + 1 }\"
\nCes relations d\u00e9finissent une suite telle que pour tout entier \"3/2 < u_n \leqslant 2\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 1 sur les in\u00e9galit\u00e9s, <\/b>la<\/b><\/span>\u00a0r\u00e9currence en Terminale : <\/b><\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"u_n\" est d\u00e9fini et \"0 < u_n < 3\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> Par hypoth\u00e8se, \"u_0\" est d\u00e9fini et v\u00e9rifie \"0 < u_0 < 3\" donc \"\mathcal{P}(0)\" est d\u00e9fini.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> Soit \"n \in \mathbb{N}\" donn\u00e9 tel que \"\mathcal {P}(n)\" soit vraie.
\nOn peut alors d\u00e9finir \"u_{n + 1}\" car \"6 -u_n \neq 0\"
\n\"\ast\" Comme \"u_n > 0\" et \"6 - u_n > 0\", par quotient \"u_{ n+ 1} > 0\".<\/p>\n

\"\ast\" \"3 - u_{n + 1} = 3 - \displaystyle \frac 9 {6 - u_n}\"
\n\"3 - u_{n + 1} = \displaystyle \frac {3(6 - u_n - 3)} {6 - u_n}\"
\n\"3 - u_{n + 1} = \displaystyle \frac {3(3 - u_n) } {6 - u_n} > 0\".
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 \"\mathcal {P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur les in\u00e9galit\u00e9s, la r\u00e9currence en Terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note
\n\"\;\; \mathcal{P}(n)\" : \"u_n\" est d\u00e9fini et \"3/2 < u_n \leqslant 2\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em> Par hypoth\u00e8se, \"u_0\" est d\u00e9fini et v\u00e9rifie \"3/2 < u_0 \leqslant 2\" donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> Soit \"n \in \mathbb{N}\" donn\u00e9 tel que \"\mathcal {P}(n)\" soit vraie.
\nOn peut alors d\u00e9finir \"u_{n + 1}\" car \"1 \leqslant u_n \leqslant 2 \Rightarrow u_n + 1 > 0\".<\/p>\n

\"\ast\" \"u_{n + 1} - \displaystyle \frac 3 2 = \displaystyle \frac {2\, u_n + 1 } {u_n + 1 } - \frac 3 2\"
\n\"u_{n + 1} - \displaystyle \frac 3 2 = \displaystyle \frac { 4\, u _n + 2 - 3\, u_n - 3 } {2(u_n + 1 )}\"
\n\"u_{n + 1} - \displaystyle \frac 3 2 = \displaystyle \frac { u _n - 1 } {2(u_n + 1 )} > 0\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle 2 - u_{n + 1} = \displaystyle 2 - \frac {2\, u_n + 1 } {u_n + 1 }\"
\n\"2 - u_{n + 1} = \displaystyle \frac { 1 } {u_n + 1 } > 0\"
\nOn a d\u00e9montr\u00e9 \"\mathcal {P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\"<\/p>\n

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4. Exercices confondus sur le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale<\/h2>\n

Exercice 1 le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale :<\/strong><\/h3>\n

On dit qu’un entier \"n\" est divisible par \"9\" lorsqu’il existe \"k\in \mathbb{Z}\" tel que \"n = 9\, k\".
\nMontrer que pour tout entier \"n\" non nul, \"9\" divise \"4 ^n + 15\, n - 1\". Cet exercice est classique en arithm\u00e9tique<\/a>.<\/p>\n

Exercice 2 le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

On dit que 6 divise \"N \in \mathbb{N}\" lorsqu’il existe \"k \in \mathbb{N}\" et que \"N = 6\, k\".
\nMontrer que pour tout entier \"n\", 6 divise \"5 \, n ^3 + n\"<\/p>\n

Correction de l’exercice 1 sur le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Si \"n\in \mathbb{N}^*\" , on note
\n\"\qquad \quad \mathcal{P}(n)\" : \"9\" divise \"4 ^n + 15\, n - 1\"<\/p>\n

Initialisation :<\/em> pour \"n = 1\" \"4 ^n + 15 \, n - 1 = 4 + 15 - 1 = 18 = 9 \times 2\" donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour un entier \"n \in \mathbb{N}^*\" donn\u00e9.
\nSoit en notant \"u_n = 4 ^n + 15\, n - 1\", il existe \"k\in \mathbb{Z}\" tel que \"u_n = 9\, k\".
\n\"u_{n + 1} = 4 ^{n + 1} + 15\, n + 15 - 1\" \"u_{n + 1 } = 4 (4 ^n + 15\, n - 1)\"\"\qquad \qquad \qquad +\, (15 - 60)\, n + 14 + 4\"
\nOn reconna\u00eet \"u_n\" et on utilise \"\mathcal[P}(n)\" :
\n\"u_{n + 1} = 4 (9\, k ) - 45 \, n + 18\"
\n\"u_{n + 1} = 9 (4\, k - 5 \, n + 2)\"
\ncomme \"4\, k - 5\, n + 2 \in \mathbb{Z}\", alors \"9\" divise \"u_{n + 1}\".
\nOn a prouv\u00e9 \"\mathcal {P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\"<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : 6 divise \"5 \, n ^3 + n\" c.a.d. on peut trouver \"k \in \mathbb{N}\" tel que \"5\, n ^3 + n = 6 \, k\"<\/p>\n

Initialisation :<\/em> Par hypoth\u00e8se, \"0^3 + 0 = 6 . 0\" donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> Soit \"n \in \mathbb{N}\" donn\u00e9 tel que \"\mathcal {P}(n)\" soit vraie.
\nIl existe \"k \in \mathbb{N}\" tel que \"5 \, n ^3 + n = 6 \, k\"
\nOn note \"u_n = 5\, n ^3 + n\" et \"u_{n + 1} = 5\, (n + 1) ^3 + (n + 1)\"
\n\"u_{n + 1} = 5(n ^3 + 3 \, n ^2 + 3\, n + 1) + n + 1\"
\n\"u_{n + 1} = 5 \, n ^3 + n + (15 \, n ^2 + 15 \, n) + 6\"
\n\"u_{n + 1} = 6 . k + 15 \, n(n + 1) + 6\"
\n\"n(n + 1)\" est le produit de deux entiers cons\u00e9cutifs, l’un est pair et l’autre impair, il est pair donc il peut s’\u00e9crire \"n(n + 1) = 2 \, p\" avec \"p \in \mathbb{N}\"
\n\"u_{n + 1} = 6 . k + 15 \, ( 2 \,p )+ 6\" \"u_{n + 1}= 6\, (k + 5 \, p + 1)\"
\ndonc 6 divise \"u_{n + 1}\".
\nOn a prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion :<\/em> par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\"<\/p>\n

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