{"id":61093,"date":"2020-07-31T11:55:09","date_gmt":"2020-07-31T10:55:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=61093"},"modified":"2022-06-11T18:09:42","modified_gmt":"2022-06-11T17:09:42","slug":"annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2015"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t
\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

\n
\n
\n

Corrig\u00e9 du sujet maths EDHEC 2015 ECS<\/h1>\n<\/div>\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\n

Exercice 1 : convergence de s\u00e9rie et int\u00e9grales<\/h2>\n

1.<\/strong> \"x\mapsto\dfrac{1}{x^n(x+1)}\" est continue et positive sur \"[1+\infty[\" et \"\dfrac{1}{x^n(x+1)} {\underset{{#x} \to {\borne{#+\infty}}}{\sim}} \dfrac1{x^{n+1}}\". Comme \"n+1\ge2\", l’int\u00e9grale de Riemann \"{\ensuremath{\displaystyle\int_{\borne{#1}}^{\borne{#+\infty}}#\dfrac1{x^{n+1}}\text{d}#x}\xspace}\" converge.<\/p>\n

Conclusion : \"I_n\" converge pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n

2.a.<\/strong> Nous avons \"\dfrac ax-\dfrac b{x+1}=\dfrac{(a-b)x+a}{x(x+1)}\" donc :<\/p>\n

\"\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\},\"<\/p>\n

\"\dfrac1{x(x+1)}=\dfrac1x-\dfrac1{x+1}\"<\/p>\n

2.b.<\/strong> Pour tout \"A\" de \"[1+\infty[\",<\/p>\n

\"\int_{1}^{A} \dfrac{1}{x(x+1)}\"<\/p>\n

\"= \int_{1}^{A} \dfrac1x-\dfrac1{x+1}\"<\/p>\n

\"=\left[\ln\dfrac x{x+1}\right]_1^A\"<\/p>\n

\"=\ln\dfrac A{A+1}-\ln\dfrac 1{2}\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{A\to\infty} \ln\dfrac A{A+1}=0\" et \"-\ln\dfrac12=\ln2\",\"I_1=\ln2.\"<\/p>\n

3.a.<\/strong> Soit \"n\ge2\". On a : \"\qq x\ge1,0\le\dfrac1{x^n(x+1)}\le \dfrac1{2x^n}\".<\/p>\n

Par croissance de l’int\u00e9grale, on a :<\/p>\n

\"0\le\int_{1}^{+\infty} \dfrac1{x^n(x+1)}\le\int_ {1}^{+\infty} \dfrac1{2x^n}.\"<\/p>\n

Or \"\int_{1}^{+\infty} \dfrac1{2x^n}=\displaystyle \lim_{A\to\infty}\left[\dfrac1{2(1-n)x^{n-1}}\right]_1^A\"<\/p>\n

\"=\dfrac1{2(n-1)}.\"<\/p>\n

\"\forall n\ge 2, 0\le I_n\le\dfrac1{2(n-1)}.\"<\/p>\n

3.b.<\/strong> Comme \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac1{2(n-1)}=0\", le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement permet de conclure que \"\displaystyle \lim_{n\to\infty}I_n\" existe et vaut \"0.\"<\/p>\n

4.a.<\/strong> \"\dfrac1{x^n(x+1)}+\dfrac1{x^{n+1}(x+1)}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{x+1}{x^{n+1}(x+1)}\"<\/p>\n

\"=\dfrac1{x^{n+1}}\",<\/p>\n

Par calcul de l’int\u00e9grale de Riemann et par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale, \"I_n+I_{n+1}=\int_{1}^{+\infty} \dfrac1{x^{n+1}}=\dfrac1n\"<\/p>\n

4.b.<\/strong> Soit \"n\in \mathbb{N}^*\". \"\qq x\ge1,\quad\dfrac1{x^n(x+1)}\ge \dfrac1{x^{n+1}(x+1)}\" car \"x^n\le x^{n+1}\". Par croissance de l’int\u00e9grale, \"I_n\ge I_{n+1}\". Donc la suite \"(I_n)_{n\in\N^*}\" est d\u00e9croissante.<\/p>\n

4.c.<\/strong> Par (b), pour tout \"n\ge2\",
\n\"I_{n-1}+I_n \ge2I_n\"<\/p>\n

\"\ge I_n+I_{n+1}\"<\/p>\n

donc par d’apr\u00e8s la question a, \"\dfrac1{n-1}\ge2I_n\ge\dfrac1n\", et en multipliant par \"n\" :<\/p>\n

\"\dfrac n{n-1}\ge 2nI_n\ge 1\".<\/p>\n

Par encadrement, \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} 2nI_n=1\",<\/p>\n

D’o\u00f9 \"I_n\sim_{+\infty}\dfrac1{2n}\".<\/p>\n

La s\u00e9rie de Riemann \"\sum_{n\geq 1}\dfrac1{2n}\" diverge, donc la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"I_n\" diverge.<\/p>\n

5.a.<\/strong> Par un raisonnement analogue \u00e0 pr\u00e9c\u00e9demment, on d\u00e9montre que \"\dfrac1{x^n(x+1)^2}\underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}\dfrac1{x^{n+2}}\".<\/p>\n

Donc \"J_n\" converge pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\"<\/p>\n

5.b.<\/strong> \"J_0=\displaystyle\lim_{A \rightarrow +\infty} [\dfrac{-1}{x+1}]_1^A=\dfrac12\".<\/p>\n

\"J_0=\dfrac{1}{2}.\"<\/p>\n

6.a.<\/strong> Soit \"k\in\mathbb{N}^*\". Pour tout \"x\ge1\", \"\dfrac1{x^k(x+1)^2}+\dfrac1{x^{k-1}(x+1)^2}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1+x}{x^{k}(x+1)^2}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{x^{k}(x+1)}\", d’o\u00f9 par lin\u00e9arit\u00e9, \"J_k+J_{k-1}=I_k.\"<\/p>\n

6.b.<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\"<\/p>\n

\"\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}I_k\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}(J_k+J_{k-1})\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}J_k + \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}J_{k-1}\"<\/p>\n

\"=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}J_k - \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k-1}J_k\"<\/p>\n

\"=(-1)^{n-1}J_n+J_0\" par t\u00e9lescopage.<\/p>\n

\"\forall n \in \mathbb{N}^*,\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}I_k = (-1)^{n-1}J_n+\dfrac12\"<\/p>\n

6.c.<\/strong> Soit \"n\ge2\". On a : \"\qq x\ge1,0\le\dfrac1{x^n(x+1)^2}\le \dfrac1{4x^n}.\".<\/p>\n

D’apr\u00e8s un raisonnement analogue aux questions 3.a et 3.b, on a<\/p>\n

\"\forall n \ge2, 0\le J_n\le\dfrac1{4(n-1)}\", et \"\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} J_n=0\"<\/p>\n

6.d.<\/strong> Par passage \u00e0 la limite dans la question 6.b, on a<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}I_k = (-1)^{n-1}\times0+\dfrac12.\"<\/p>\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"(-1)^{n-1}I_n\" converge et sa somme vaut \"1/2.\"<\/p>\n

7.<\/strong> n = input(‘entrez une valeur de n sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 2 :’)}<\/p>\n

I= log(2) ; J = 1\/2 ; J = I+J<\/p>\n

for k = 2:n<\/p>\n

I = 1\/(k-1) – I ; J = I + J ; end<\/p>\n

disp(I, ‘la valeur de I est :’)<\/p>\n

disp(J, ‘la valeur de J est :’)<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Exercice 2 : convergence d’int\u00e9grale<\/h2>\n

1.a.<\/strong> Soit \"x \in [0;+\infty[.\"<\/p>\n

\"F_Y(x)=P(Y\le x)\"<\/p>\n

\"=P(|X|\le x)\"<\/p>\n

\"=P(-x\le X\le x)\"<\/p>\n

\"=\Phi(x)-\Phi(-x)\"<\/p>\n

\"=\Phi(x)-(1-\Phi(x))\"<\/p>\n

\"=2\Phi(x)-1\".<\/p>\n

De plus, pour \"x<0\", \"F_Y(x)=P(|X|\le x)=0\" car \"|X|\ge0\".<\/p>\n

Comme \"\Phi\" est de classe \"C\classC1\" sur \"\mathbb{R}\", \"F_Y\" est de classe \"C\classC1\" sur \"\mathbb{R}^*\".<\/p>\n

De plus, \"\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} F_Y(x)=0\"<\/p>\n

\"=F_Y(0)\"<\/p>\n

\"=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0{+}} F_Y(x)\" puisque \"\Phi(0)=1/2\", \"F_Y\" est continue sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\n

Ainsi \"Y\" est une variable \u00e0 densit\u00e9.<\/p>\n

Et par d\u00e9rivation sur \"\mathbb{R}^*\", une densit\u00e9 de \"Y\" est :<\/p>\n

\"f_Y :x\mapsto\begin{cases}2\varphi(x)=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2/2}\si x\ge0,\\ 0\sinon\end{cases}\"<\/p>\n

1.b.<\/strong> Soit \"A\ge0\".<\/p>\n

\"\int_{0}^{A}{xe^{-x^2/2}}dx\"<\/p>\n

\"=\left[-e^{x^2/2}\right]_0^A\"<\/p>\n

\"=-e^{-A^2/2}+1 \displaystyle \underset {A \to +\infty } \longrightarrow 1\".<\/p>\n

Donc par lin\u00e9arit\u00e9 \"Y\" admet une esp\u00e9rance, \u00e9gale \u00e0 \"\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}}\".<\/p>\n

1.c.<\/strong> On constate que \"Y^2= |X|^{2}=X^2\". Or d’apr\u00e8s la formule de Huygens, \"\mathbb{E}(X^2)\" existe et vaut \"\mathbb{V}(X)+\mathbb{E}(X)^2=1+0=1\" et \"Y\" poss\u00e8de une variance, \u00e9gale \u00e0 \"1-\dfrac{2}{pi}.\"<\/p>\n

2.a. <\/strong>La fonction \"\bullet\" \"t\mapsto\sqrt{2t}\" est de classe \"C^{1}\" et strictement croissante sur \"]0;+\infty[\", c’est donc une bijection de classe \"C^{1}\". On va utiliser un changement de variable.<\/p>\n

\"\bullet\" Comme \"t=\dfrac{u^{2}}{2}\", \"dt=udu\" et \"g(t)dt=\dfrac{e^{-u^2/2}}{u\sqrt{\pi/2}}udu=\sqrt{\dfrac2\pi}e^{-u^2/2}du\".<\/p>\n

\"\bullet\" Enfin, pour \"t\to0\", \"u\to0\", et pour \"t\to+\infty\", \"u\to+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Le th\u00e9or\u00e8me du changement de variable assure alors que \"{\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#g(t)\text{d}#t}\tspace}\" est de m\u00eame nature que \"{\ensuremath{\displaystyle\int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^{\dfrac{-u^{2}}{2}}\text{d}#u}\uspace}\", et que ces int\u00e9grales sont \u00e9gales en cas d’existence.<\/p>\n

\"\bullet\" \"\varphi\" \u00e9tant une densit\u00e9, \"{\ensuremath{\displaystyle\int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#e^{\dfrac{-u^{2}}{2}}\text{d}#u}\uspace}\" existe. Donc les deux int\u00e9grales existent.<\/p>\n

Ainsi, \"{\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#g(t)\text{d}#t}\tspace}\"<\/p>\n

\"=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}{\ensuremath{\displaystyle\int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#e^{\dfrac{-u^{2}}{2}}\text{d}#u}\uspace}\"<\/p>\n

\"=2{\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}\varphi(u)\text{d}#u}\uspace}\"<\/p>\n

2.b.<\/strong> \"\varphi\" est une densit\u00e9 paire, donc :<\/p>\n

\"{\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#g(t)\text{d}#t}\tspace}\"<\/p>\n

\"=2{\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}\varphi(u)\text{d}#u}\uspace}\"<\/p>\n

\"={\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#-\infty}}^{\borne{#+\infty}}\varphi(u)\text{d}#u}\uspace}\"<\/p>\n

\"=1\"<\/p>\n

De plus, \"g\" est positive sur \"\mathbb{R}\" et continue sur \"\mathbb{R}^*\", donc \"g\" peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme une densit\u00e9.<\/p>\n

3.a.<\/strong> Comme \"Z(\Omega) = [0 ; +\infty[\", \"T(\Omega) = [0 ; +\infty[\", donc pour \"x<0\", \"F_T(x)=0\".<\/p>\n

Pour \"x\ge0\",<\/p>\n

\"F_T(x)=P(\sqrt{2Z}\le x)=P(Z\le x^2/2)\" car \"Z\" est positive.<\/p>\n

\"F_T(x)=\begin{cases}G(x^2/2) si x\ge0,\\0 sinon \end{cases}\"<\/p>\n

\"G\" \u00e9tant de classe \"\class1\" sur \"]0 ; +\infty[\", par composition \"F_T\" est de classe \"\class1\" sur \"\mathbb{R}^*\", et une densit\u00e9 de \"T\" est donn\u00e9e par :<\/p>\n

\"f_T:x\mapsto\begin{cases}xg(x^2/2)=\sqrt{\dfrac2\pi}e^{-x^2/2} si x\ge0,\\0 sinon \end{cases}\"<\/p>\n

Les densit\u00e9s \"f_Y\" et \"f_T\" \u00e9tant identiques, \"T\" suit la m\u00eame loi que \"Y.\"<\/p>\n

3.b.<\/strong> \"T=\sqrt{2Z}\" induit \"Z=\dfrac{T^2}{2}\", or \"T^2\" admet une esp\u00e9rance, \u00e9gale \u00e0 \"\mathbb{E}(Y^2)\", valant \"1\" d’apr\u00e8s la question 1.c. <\/strong>Par lin\u00e9arit\u00e9, \"Z\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance \u00e9gale \u00e0 \"\dfrac{1}{2}.\"<\/p>\n

4.<\/strong> x = grand(1,1,’norm’,0,1)} permet de simuler \"X\".<\/p>\n

y = abs(x)} permet de simuler \"Y\", donc \"T\" qui suit la m\u00eame loi.<\/p>\n

z = y\\^{}2\/2} permet de simuler \"Z\".<\/p>\n

La valeur absolue ne sert \u00e0 rien, puisqu’on \u00e9l\u00e8ve au carr\u00e9, on peut proposer :<\/p>\n

z = (grand(1,1,’norm’,0,1))\\^{}2\/2}}<\/p>\n

5.a.<\/strong> L’algorithme propos\u00e9 simule \"n\" variables \"(W_i)_{1\le i\le n}\" ind\u00e9pendantes de loi exponentielle de param\u00e8tre \"1\", et calcule la moyenne des variables \"(W_i')_{1\le i\le n}\" d\u00e9finies par \"W_i'=\dfrac{W_i\sqrt{W_i}}{\sqrt\pi}\". On sait que (d’apr\u00e8s la loi faible des grands nombres), cette moyenne s’approche de leur esp\u00e9rance commune \"m=\mathbb{E}(W_i').\"<\/p>\n

Donc pour \"n\" grand, s contient une valeur proche de \"m\".<\/p>\n

Or par transfert : \"m=\mathbb{E}(\dfrac{W_i\sqrt{W_i}}{\sqrt\pi})\"<\/p>\n

\"={\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#\dfrac{x\sqrt x}{\sqrt(\pi)}e^{-x}\text{d}#x}\xspace}\"<\/p>\n

\"={\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#x^{2}g(x)\text{d}#x}\xspace}\"<\/p>\n

5.b.<\/strong> Par le th\u00e9or\u00e8me du transfert et les questions pr\u00e9c\u00e9dentes,<\/p>\n

\"={\ensuremath{\displaystyle \int_{\borne{#0}}^{\borne{#+\infty}}#x^{2}g(x)\text{d}#x}\xspace}\"<\/p>\n

\"=\mathbb{E}(Z^{2})\"<\/p>\n

\"=\mathbb{E}(\dfrac{T^{4}}{4})\"<\/p>\n

\"=\mathbb{E}(\dfrac{Y^{4}}{4})\"<\/p>\n

\"=\mathbb{E}(\dfrac{|X|^{4}}{4})\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1}{4}\mathbb{E}(X^{4})\"<\/p>\n

\"=\dfrac{3}{4}\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Exercice 3 : base orthonormale et alg\u00e8bre bilin\u00e9aire<\/h2>\n

1.<\/strong> D’apr\u00e8s le cours, \"f\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de l’espace euclidien \"\mathbb{R}^n\" donc il est diagonalisable et il existe une base orthonormale \"\mathcal{B'}\"de \"\mathbb{R}^n\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"f\".<\/p>\n

2.a.<\/strong> Soit \"x\" un vecteur de \"\mathbb{R}^n.\"<\/p>\n

\"\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}u_{i}\", d\u00e9composition de \"x\" dans \"\mathcal{B'}\". Notons \"\lambda_k\" la valeur propre associ\u00e9e \u00e0 \"u_k\", ainsi pour tout \"k\" de \"k\in[\![1,n]\!]\", \"f(u_k)=\lambda_k uk\".<\/p>\n

\"<x,f(x)>\"<\/p>\n

\"=<{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}u_{i}},{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}f(uk)}>\"<\/p>\n

\"=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^n x_ix_k\lambda_k<{u_i},{u_k}>\",par bilin\u00e9arit\u00e9.<\/p>\n

Or \"<{u_i},{u_k}>=1\" si \"k=i\" et \"0\" sinon. Donc \"<{x},{f(x)>=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2\lambda_i\ge0\" puisque pour tout \"i\", \"\lambda_i>0\".<\/p>\n

Donc \"\forall x\in\mathbb{R}^n, <{x},{f(x)}>\ge0\".<\/p>\n

2.b.<\/strong> En reprenant les notations pr\u00e9c\u00e9dentes, \"(<x,f(x)>=0)\"<\/p>\n

\"\Rightarrow(\forall i\in[\![1,n]\!],x_i^2\lambda_i=0)\"<\/p>\n

\"\Rightarrow(\forall i\in[\![1,n]\!], x_i=0)\"<\/p>\n

(car \"\forall i,\lambda_i\neq0\")<\/p>\n

Donc \"<x,f(x)>=0\Rightarrow x=0.\"<\/p>\n

La r\u00e9ciproque est \u00e9vidente puisque \"<0,0>=0\".<\/p>\n

Ainsi : \"<x,f(x)> = 0\" si, et seulement si, \"x=0.\"<\/p>\n

2.c.<\/strong> \"x\", \"y\" et \"z\" d\u00e9signent des vecteurs de \"\mathbb{R}^n\",\"\alpha\" un r\u00e9el.<\/p>\n

\"\bullet \varphi\" est sym\u00e9trique car<\/p>\n

\"\varphi(y,x)=<y,f(x)>\"<\/p>\n

\"=<f(x),y>\" par sym\u00e9trie de \"<.,.>\"<\/p>\n

\"\varphi(y,x)=<x,f(y)>\"<\/p>\n

\"=\varphi(x,y)\" car \"f\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

\"\bullet \varphi\" est lin\u00e9aire \u00e0 gauche car<\/p>\n

\"\varphi(\alpha x+y,z)=<\alpha x+y},{f(z)>\"<\/p>\n

\"=\alpha<x,f(z)>+<y,f(z)>\"<\/p>\n

\"=\alpha\varphi(x,z)+\varphi(y,z).\"<\/p>\n

Par sym\u00e9trie, \"\varphi\" est aussi lin\u00e9aire \u00e0 droite.<\/p>\n

\"\bullet \varphi\" est positive par 2.(a) et d\u00e9finie par 2.(b).<\/p>\n

\"\varphi\" est un produit scalaire sur \"\mathbb{R}^n.\"<\/p>\n

3.a. <\/strong>Soit \"g\" l’endomorphisme d\u00e9fini par :<\/p>\n

\"\forall i\in[\![1,n]\!], g(u_i)=\big(\sqrt{\lambda_i}\big)u_i\"<\/p>\n

Pour tout \"(i,j)\" de \"i\in[\![1,n]\!]^2\",<\/p>\n

\"<u_i,g(u_j)> = \sqrt{\lambda_j}<u_i,u_j>\"<\/p>\n

\"=\begin{cases}\sqrt{\lambda_i} si j=i\\0 sinon \end{cases}\"<\/p>\n

\"<g(u_i),u_j>=\sqrt{\lambda_i}<u_i,u_j>\"<\/p>\n

\"=\begin{cases}\sqrt{\lambda_i} si j=i\\0 sinon \end{cases}}\"<\/p>\n

\"=<u_i,g(u_j)>\"<\/p>\n

Ainsi \"g\" est sym\u00e9trique << sur la base \"\mathcal{B'}\" >>. Ce r\u00e9sultat s’\u00e9tend \u00e0 \"\mathbb{R}^n\" par bilin\u00e9arit\u00e9.<\/p>\n

\"\mathcal{B'}\" est une base orthonormale form\u00e9e de vecteurs propres de \"g\", et que ses valeurs propres sont les \"\sqrt{\lambda_i}\", strictement positives.<\/p>\n

De plus, pour tout \"i\" de \"i\in[\![1,n]\!]\", \"g^2(u_i)=g(\sqrt{\lambda_i}u_i)\"<\/p>\n

\"=\sqrt{\lambda_i}g(u_i)\"<\/p>\n

\"=\lambda_iu_i=f(u_i)\".<\/p>\n

Les endomorphismes \"g^2\" et \"f\" co\u00efncident sur la base \"\mathcal{B'}\", donc ils sont \u00e9gaux.<\/p>\n

Il existe un endomorphisme \"g\", sym\u00e9trique, tel que \"Sp(g)\subset ]0; +\infty[\" et \"g^2=f.\"<\/p>\n

3.b. <\/strong>\"g\" n’admet pas \"0\" pour valeur propre, \"g\" est injectif. Et comme \"g\" est un endomorphisme d’un espace de dimension finie, \"g\" est bijectif.<\/p>\n

3.c.<\/strong> Soit \"(i,j)\" dans \"i\in[\![1,n]\!]^2\".<\/p>\n

\"\varphi(g^{-1}(e_i),g^{-1}(e_j))\"<\/p>\n

\"=<g^{-1}(e_i),f(g^{-1}(e_j))>\"<\/p>\n

\"=<g^{-1}(e_i),g(e_j)>\" car \"f\circ g^{-1}\" \"=g\",<\/p>\n

\"\varphi(g^{-1}(e_i),g^{-1}(e_j))\"<\/p>\n

\"=<g(g^{-1}(e_i)),e_j>\" car \"g\" est sym\u00e9trique,<\/p>\n

\"\varphi(g^{-1}(e_i),g^{-1}(e_j))\"<\/p>\n

\"=<e_i,e_j>\"<\/p>\n

\"=\begin{cases} 1 si i=j,\\0 sinon,\end{cases}\" puisque la base canonique est orthonormale pour le produit calaire canonique \"<.,.>\".<\/p>\n

Ainsi,\"\varphi(g^{-1}(e_i),g^{-1}(e_j))\"<\/p>\n

\"=\begin{cases}1 si i=j,\\0 sinon \end{cases}\"<\/p>\n

\"\big(g^{-1}(e_1),\dots,g^{-1}(e_n)\big)\" est une base orthonormale pour le produit scalaire \"\varphi.\"<\/p>\n

Probl\u00e8me<\/h2>\n

Partie 1 : reste d’une s\u00e9rie<\/h3>\n

1.<\/strong> Pour \"n\ge r\" :<\/p>\n

\"\dbinom nr =\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}\",<\/p>\n

or \"n(n-1)\dots(n-r+1) {\underset{{#n} \to {\borne{#+\infty}}}{\sim}} n^r\"<\/p>\n

Donc \"\dbinom nr {\underset{{#n} \to {\borne{#+\infty}}}{\sim}} \dfrac{n^r}{r!}.\"<\/p>\n

2.a.<\/strong> Puisque \"x\in ]0;1[\", nous avons par croissance compar\u00e9e \"{\displaystyle \lim_{#n \to {\borne{#+\infty}}}} n^{r+2}x^n=0.\"<\/p>\n

2.b.<\/strong> \"n^2 \dbinom nrx^n {\underset{{#n} \to {\borne{#+\infty}}}{\sim}} \dfrac{n^{r+2}}{r!} \displaystyle \underset {n \to +\infty } \longrightarrow 0\", donc \"\dbinom nrx^n=o(\dfrac1{n^2})\" en \"+\infty\".<\/p>\n

Comme \"\sum_{n\geq 1}\dfrac1{n^{2}}\" est une s\u00e9rie de Riemann convergente, \"\displaystyle \sum_n\dbinom nrx^n\" est convergente.<\/p>\n

3.a.<\/strong> \"S_0= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} 1 \times x^{n}\" … Il s’agit d’une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique
\nDonc : \"S_0=\dfrac1{1-x}\"<\/p>\n

3.b.<\/strong> \"(1-x)S_{r+1}= {\displaystyle\sum_{#n=#r+1}^{\borne{#+\infty}}} \dbinom n{r+1}x^n - {\displaystyle\sum_{#n=#r+1}^{\borne{#+\infty}}} \dbinom n{r+1}x^{n+1}\"<\/p>\n

\"= {\displaystyle\sum_{#n=#r}^{\borne{#+\infty}}} \dbinom {n+1}{r+1}x^{n+1} - {\displaystyle\sum_{#n=#r+1}^{\borne{#+\infty}}} \dbinom n{r+1}x^{n+1}\"<\/p>\n

\"=x {\displaystyle\sum_{#n=#r}^{\borne{#+\infty}}} [\dbinom {n+1}{r+1} - \dbinom n{r+1}]x^{n}+\dbinom{r}{r+1}x^{r+1}\"<\/p>\n

Or \"\dbinom {n+1}{r+1} - \dbinom n{r+1}=\dbinom {n}r\" par la formule de Pascal et \"\dbinom{r}{r+1}=0\", d’o\u00f9 \"(1-x)S_{r+1}=xS_r.\"<\/p>\n

3.c.<\/strong> Par une it\u00e9ration (on pourrait \u00e9galement le montrer par r\u00e9currence) :
\n\"S_r=\dfrac x{(1-x)}S_{r-1}\"<\/p>\n

\"=\dfrac x{(1-x)}\times\dfrac x{(1-x)}S_{r-2}\"<\/p>\n

\"=\dots=(\dfrac x{(1-x)})^rS_{0}\", ainsi \"\forall x\in ]0;1[, r\in\N, {\displaystyle\sum_{#n=#r}^{\borne{#+\infty}}} \dbinom r{n}x^{n} =\dfrac{x^r}{(1-x)^{r+1}}.\"<\/p>\n

3.d.<\/strong> Et en divisant par \"x^r\" (\"x>0\"),<\/p>\n

\"\forall x\in ]0;1[, r \in \mathbb{N},<\/p>\n

Partie 2 : loi g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n

1.a.<\/strong> Comme le joueur peut ne jamais jouer, \"X(\Omega)=\mathbb{N}\".<\/p>\n

\"P(X=0)=P(D_1)=\alpha\", et pour \"k\in\mathbb{N}^*\",<\/p>\n

\"P(X=k)=P(\overline{D_1}\cap\overline{D_2}\cap\dots\cap\overline{D_k}\cap{D_{k+1}})\",<\/p>\n

D’apr\u00e8s la formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es :<\/p>\n

\"P(X=k)\"<\/p>\n

=\"P(\overline{D_1})P_{\overline{D_1}}(\overline{D_2})P_{\overline{D_1}\cap\overline{D_2}}(\overline{D_{3}}) \dots P_{\overline{D_1}\cap\overline{D_2}\cap\dots\cap\overline{D_k}}(D_{k+1})\"<\/p>\n

\"P(X=k)=(1-\alpha)^k\alpha\", formule encore valable si \"k=0\".<\/p>\n

Donc :<\/p>\n

\"X(\Omega)=\mathbb{N}\",<\/p>\n

et \"\forall k\in\mathbb{N}, P(X=k)=(1-\alpha)^k\alpha.\"<\/p>\n

1.b.<\/strong> Comme \"X(\Omega)=\mathbb{N}\", \"T(\Omega)=\mathbb{N}^*\", et pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}^*\", \"P(T=k)=P(X+1=k)\"<\/p>\n

\"=P(X=k-1)\"<\/p>\n

\"=(1-\alpha)^{k-1}\alpha\", donc \"T\" suit la loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"\alpha.\"<\/p>\n

Comme \"X=T-1\" et \"\mathbb{E}(T)=\dfrac1\alpha\", on a, par lin\u00e9arit\u00e9, \"X\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance, et \"\mathbb{E}(X)=\dfrac1\alpha-1\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1-\alpha}\alpha.\"<\/p>\n

1.c. <\/span><\/strong>De m\u00eame, \"X=T-1\" entraine \"\mathbb{V}(X)\" existe et \"\mathbb{V}(X)=\mathbb{V}(T)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{1-\alpha}{\alpha^2}.\"<\/p>\n

2.a.<\/strong> \"\bullet\" Si \"n=0\", l’\u00e9v\u00e8nement \"[X=n]\" entraine \"[Y=0]\" puisque le joueur ne joue jamais (100\\% des gagnants ont tent\u00e9 leur chance …).<\/p>\n

Sachant \"[X=0]\", \"Y\" est constante (ou d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e), \u00e9gale \u00e0 \"0.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n\in\mathbb{N}^*\", l’\u00e9v\u00e8nement \"[X=n]\" entraine que le joueur participe \u00e0 \"n\" partie(s) ind\u00e9pendante(s) avec une m\u00eame probabilit\u00e9 de succ\u00e8s \"p\". Son nombre de succ\u00e8s \"Y\" suit alors la loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p\".<\/p>\n

Sachant \"[X=n]\" avec \"n\in\mathbb{N}^*\", la loi conditionnelle de \"Y\" est \"\mathcal{B}(n,p).\"<\/p>\n

2.b.<\/strong> \"Y(\Omega)=\mathbb{N}\", et le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e8nements \"([X=n])_{n\in\mathbb{N}}\" permet d’\u00e9crire, \u00e0 l’aide de la formule des probabilit\u00e9s totales, pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\", \"P(Y=k)= {\displaystyle\sum_{#n=#0}^{\borne{#+\infty}}} P(X=n)P_{[X=n]}(Y=k)\"<\/p>\n

\"=0+ {\displaystyle\sum_{#n=#k}^{\borne{#+\infty}}} (1-\alpha)^n\alpha\dbinom nkp^k(1-p)^{n-k}\"<\/p>\n

\"=\alpha(\dfrac{p}{1-p})^k\times {\displaystyle\sum_{#n=#k}^{\borne{#+\infty}}} \dbinom nk[(1-\alpha)(1-p)]^n\", soit, en reconnaissant \"S_k\" de la partie 1 avec \"x=(1-\alpha)(1-p) \in ]0;1[\",<\/p>\n

\"P(Y=k)=\alpha(\dfrac{p}{1-p})^k \times \dfrac{[(1-\alpha)(1-p)]^k}{[1-(1-\alpha)(1-p)]^{k+1}}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{\alpha p^k(1-\alpha)^k}{(\alpha+p-\alpha p)^{k+1}}\"<\/p>\n

\"=(\dfrac{p-\alpha p}{\alpha+p-\alpha p})^k \times \dfrac\alpha{\alpha +p-\alpha p}\"<\/p>\n

Soit \"\beta=\dfrac{p-\alpha p}{\alpha+p-\alpha p}\".<\/p>\n

Alors \"1-\beta=\dfrac{\alpha +p-\alpha p-p+\alpha p}{\alpha+p-\alpha p}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{\alpha}{\alpha+p-\alpha p}.\"<\/p>\n

Ainsi : <\/span>\"Y(\Omega)=\mathhbb{N}\", et, \"\forall k\in\mathbb{N}, P(Y=k)=\beta^k(1-\beta)\" avec \"\beta=\dfrac{p(1-\alpha)}{\alpha+p-\alpha p}.\"<\/p>\n

3.<\/strong> En s’inspirant de la d\u00e9marche de 1.(b), \"Y+1\" suit la loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"1-\beta\", \"\mathbb{E}(Y)\" existe et vaut \"\dfrac1{1-\beta}-1=\dfrac{p(1-\alpha)}{\alpha}.\"<\/p>\n

Et de m\u00eame, \"\mathbb{V}(Y)=\mathbb{V}(Y+1)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{\beta}{(1-\beta)^2}\"<\/p>\n

\"=\dfrac {p(1-\alpha)(\alpha+p-\alpha p)}{\alpha^2}.\"<\/p>\n

4.a.<\/strong> Le joueur gagnant \"Y\" parties et en perdant \"X-Y\", \"G=Y-(X-Y)=2Y-X.\"<\/p>\n

4.b.<\/strong> Par lin\u00e9arit\u00e9, \"\mathbb{E}(G)=2\mathbb{E}(Y)-\mathbb{E}(X)\"<\/p>\n

\"=2\dfrac{p(1-\alpha)}{\alpha}-\dfrac{1-\alpha}\alpha\"<\/p>\n

\"=\dfrac{(1-\alpha)(2p-1)}{\alpha}.\"<\/p>\n

4.c.<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"n\in\mathbb{N}^*\". Sachant \"[X=n]\", \"Y\" suit \"\mathcal{B}(n,p)\" donc \"\mathbb{E}(Y|[X=n])\" existe et vaut \"np\". Par lin\u00e9arit\u00e9, \"\mathbb{E}(XY|[X=n])\" existe et vaut \"n^2p\" puisque \"XY=nY\".<\/p>\n

Notons que, pour \"n=0\", on a encore \"\E(XY|[X=n])=n^2p=\dots0\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"P(X=n)\mathbb{E}(XY|[X=n])\"<\/p>\n

\"=pn^2P(X=n)\" est le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie convergente puisque \"X\" admet un moment d’ordre \"2.\"<\/p>\n

\"\bullet\" D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de l’esp\u00e9rance totale, avec le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e8nements \"([X=n])_{n\in\mathbb{N}}\", \"XY\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(XY)= {\displaystyle\sum_{#n=#0}^{\borne{#+\infty}}} P(X=n)\E(XY|[X=n]).\"<\/p>\n

Par transfert<\/p>\n

\"\E(XY)=p{\displaystyle\sum_{#n=#0}^{\borne{#+\infty}}} n^2P(X=n)\"<\/p>\n

\"=p\mathbb{E}(X^2)\"<\/p>\n

\"=p(\mathbb{V}(X)+\mathbb{E}(X)^2)\"<\/p>\n

\"=p(\dfrac{1-\alpha}{\alpha^2}+\dfrac{(1-\alpha)^2}{\alpha^2}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{p(1-\alpha)(1+1-\alpha)}{\alpha^2}\", d’o\u00f9<\/p>\n

\"\mathbb{E}(XY)\" existe et vaut \"\dfrac{p(1-\alpha)(2-\alpha)}{\alpha^2}.\"<\/p>\n

4.d.<\/strong> \"\mathbb{V}(G)=\mathbb{V}(2Y-X)\"<\/p>\n

\"=4\mathbb{V}(Y)+\mathbb{V}(X)-4\cov(X,Y)\", et \"\cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{p(1-\alpha)(2-\alpha)}{\alpha^2}-\dfrac{1-\alpha}{\alpha}\times\dfrac{p(1-\alpha)}{\alpha}\"<\/p>\n

\"=\dfrac{p(1-\alpha)}{\alpha^2}\big((2-\alpha)-(1-\alpha)\big)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{p(1-\alpha)}{\alpha^2}\"<\/p>\n

\"\mathbb{V}(G)=\dfrac{1-\alpha}{\alpha^2}\big(4p(p+\alpha+\alpha p)+1-4p\big)\"<\/p>\n

\"=\dfrac{(1-\alpha)(4p^2(1+\alpha)+4p(\alpha-1)+1)}{\alpha^2}.\"<\/p>\n

5.a. <\/strong>alpha = input(‘entrez la valeur de alpha :’)<\/p>\n

p = input(‘entrez la valeur de p :’)<\/p>\n

X = grand(1,1,’geom’,alpha) – 1<\/p>\n

Y = grand(1,1,’bin’,X,p)<\/p>\n

disp(X) ; disp(Y)<\/p>\n

5.b.<\/strong> Que l’on peut compl\u00e9ter par :<\/p>\n

G = 2*Y – X<\/p>\n

disp(G)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet maths EDHEC 2015 ECS Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Exercice 1 : convergence de s\u00e9rie et int\u00e9grales 1. est continue et positive sur et . Comme , l’int\u00e9grale de Riemann converge. Conclusion : converge pour tout de . 2.a. Nous avons donc : 2.b. Pour tout de , […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ocean_post_layout":"full-screen","ocean_both_sidebars_style":"","ocean_both_sidebars_content_width":0,"ocean_both_sidebars_sidebars_width":0,"ocean_sidebar":"ressource","ocean_second_sidebar":"0","ocean_disable_margins":"enable","ocean_add_body_class":"","ocean_shortcode_before_top_bar":"","ocean_shortcode_after_top_bar":"","ocean_shortcode_before_header":"","ocean_shortcode_after_header":"","ocean_has_shortcode":"","ocean_shortcode_after_title":"","ocean_shortcode_before_footer_widgets":"","ocean_shortcode_after_footer_widgets":"","ocean_shortcode_before_footer_bottom":"","ocean_shortcode_after_footer_bottom":"","ocean_display_top_bar":"default","ocean_display_header":"default","ocean_header_style":"","ocean_center_header_left_menu":"0","ocean_custom_header_template":"0","ocean_custom_logo":0,"ocean_custom_retina_logo":0,"ocean_custom_logo_max_width":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_width":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_width":0,"ocean_custom_logo_max_height":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_height":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_height":0,"ocean_header_custom_menu":"0","ocean_menu_typo_font_family":"0","ocean_menu_typo_font_subset":"","ocean_menu_typo_font_size":0,"ocean_menu_typo_font_size_tablet":0,"ocean_menu_typo_font_size_mobile":0,"ocean_menu_typo_font_size_unit":"px","ocean_menu_typo_font_weight":"","ocean_menu_typo_font_weight_tablet":"","ocean_menu_typo_font_weight_mobile":"","ocean_menu_typo_transform":"","ocean_menu_typo_transform_tablet":"","ocean_menu_typo_transform_mobile":"","ocean_menu_typo_line_height":0,"ocean_menu_typo_line_height_tablet":0,"ocean_menu_typo_line_height_mobile":0,"ocean_menu_typo_line_height_unit":"","ocean_menu_typo_spacing":0,"ocean_menu_typo_spacing_tablet":0,"ocean_menu_typo_spacing_mobile":0,"ocean_menu_typo_spacing_unit":"","ocean_menu_link_color":"","ocean_menu_link_color_hover":"","ocean_menu_link_color_active":"","ocean_menu_link_background":"","ocean_menu_link_hover_background":"","ocean_menu_link_active_background":"","ocean_menu_social_links_bg":"","ocean_menu_social_hover_links_bg":"","ocean_menu_social_links_color":"","ocean_menu_social_hover_links_color":"","ocean_disable_title":"on","ocean_disable_heading":"on","ocean_post_title":"","ocean_post_subheading":"","ocean_post_title_style":"","ocean_post_title_background_color":"","ocean_post_title_background":0,"ocean_post_title_bg_image_position":"","ocean_post_title_bg_image_attachment":"","ocean_post_title_bg_image_repeat":"","ocean_post_title_bg_image_size":"","ocean_post_title_height":0,"ocean_post_title_bg_overlay":0.5,"ocean_post_title_bg_overlay_color":"","ocean_disable_breadcrumbs":"on","ocean_breadcrumbs_color":"","ocean_breadcrumbs_separator_color":"","ocean_breadcrumbs_links_color":"","ocean_breadcrumbs_links_hover_color":"","ocean_display_footer_widgets":"default","ocean_display_footer_bottom":"default","ocean_custom_footer_template":"0","footnotes":""},"class_list":["post-61093","page","type-page","status-publish","entry"],"yoast_head":"\nAnnales maths EDHEC 2015 ECS : sujet & corrig\u00e9<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"D\u00e9couvrez l'annale corrig\u00e9 du sujet de maths de l'EDHEC en 2015 en ECS pour vous entrainer sur des questions types de l'EDHEC\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Annales maths EDHEC 2015 ECS : sujet & corrig\u00e9\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"D\u00e9couvrez l'annale corrig\u00e9 du sujet de maths de l'EDHEC en 2015 en ECS pour vous entrainer sur des questions types de l'EDHEC\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Groupe R\u00e9ussite\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-06-11T17:09:42+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"170\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"180\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@GroupeReussite\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"18 minutes\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\\\/\",\"name\":\"Annales maths EDHEC 2015 ECS : sujet & corrig\u00e9\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#website\"},\"datePublished\":\"2020-07-31T10:55:09+00:00\",\"dateModified\":\"2022-06-11T17:09:42+00:00\",\"description\":\"D\u00e9couvrez l'annale corrig\u00e9 du sujet de maths de l'EDHEC en 2015 en ECS pour vous entrainer sur des questions types de l'EDHEC\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\\\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Accueil\",\"item\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2015\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\",\"description\":\"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fr-FR\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#organization\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/05\\\/logo-groupe-reussite-carre.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/05\\\/logo-groupe-reussite-carre.png\",\"width\":170,\"height\":180,\"caption\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/groupe-reussite.fr\\\/ressources\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/GroupeReussiteOfficiel\\\/\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/GroupeReussite\",\"https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/c\\\/GroupeReussite\",\"https:\\\/\\\/www.instagram.com\\\/groupe_reussite_officiel\\\/\",\"https:\\\/\\\/fr.linkedin.com\\\/company\\\/groupe-reussite\",\"https:\\\/\\\/www.tiktok.com\\\/@groupereussite\",\"https:\\\/\\\/fr.pinterest.com\\\/GroupeReussite\\\/\",\"https:\\\/\\\/www.reddit.com\\\/user\\\/Groupe-Reussite\\\/\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Annales maths EDHEC 2015 ECS : sujet & corrig\u00e9","description":"D\u00e9couvrez l'annale corrig\u00e9 du sujet de maths de l'EDHEC en 2015 en ECS pour vous entrainer sur des questions types de l'EDHEC","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/","og_locale":"fr_FR","og_type":"article","og_title":"Annales maths EDHEC 2015 ECS : sujet & corrig\u00e9","og_description":"D\u00e9couvrez l'annale corrig\u00e9 du sujet de maths de l'EDHEC en 2015 en ECS pour vous entrainer sur des questions types de l'EDHEC","og_url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/","og_site_name":"Groupe R\u00e9ussite","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/","article_modified_time":"2022-06-11T17:09:42+00:00","og_image":[{"width":170,"height":180,"url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","type":"image\/png"}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_site":"@GroupeReussite","twitter_misc":{"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e":"18 minutes"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/","name":"Annales maths EDHEC 2015 ECS : sujet & corrig\u00e9","isPartOf":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website"},"datePublished":"2020-07-31T10:55:09+00:00","dateModified":"2022-06-11T17:09:42+00:00","description":"D\u00e9couvrez l'annale corrig\u00e9 du sujet de maths de l'EDHEC en 2015 en ECS pour vous entrainer sur des questions types de l'EDHEC","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fr-FR","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2015\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Accueil","item":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2015"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","name":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances","description":"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie","publisher":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fr-FR"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization","name":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fr-FR","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","contentUrl":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","width":170,"height":180,"caption":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances"},"image":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/","https:\/\/x.com\/GroupeReussite","https:\/\/www.youtube.com\/c\/GroupeReussite","https:\/\/www.instagram.com\/groupe_reussite_officiel\/","https:\/\/fr.linkedin.com\/company\/groupe-reussite","https:\/\/www.tiktok.com\/@groupereussite","https:\/\/fr.pinterest.com\/GroupeReussite\/","https:\/\/www.reddit.com\/user\/Groupe-Reussite\/"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/61093","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=61093"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/61093\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=61093"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}