{"id":61867,"date":"2020-07-27T14:32:19","date_gmt":"2020-07-27T13:32:19","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=61867"},"modified":"2024-10-16T13:59:45","modified_gmt":"2024-10-16T12:59:45","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-limites-fonctions-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-limites-fonctions-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s limites de fonction terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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\u00a0Limites de fonction exercices et corrig\u00e9s\u00a0Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Pr\u00e9parez vos r\u00e9visions en vous exer\u00e7ant sur nos exercices de math\u00e9matiques sur le chapitre des limites de fonction en Terminale. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 compl\u00e9ter avec les annales de bac en Terminale en maths pour asseoir durablement vos connaissances. Ce chapitre est tr\u00e8s important pour la suite de l’ann\u00e9e car dans toute \u00e9tude de fonction exponentielle<\/a> ou encore de fonction logarithme en terminale<\/a>, il y aura forc\u00e9ment un calcul de limite \u00e0 effectuer. Par ailleurs, vous pouvez aussi faire appel \u00e0 un prof particulier en maths<\/a> pour comprendre et ma\u00eetriser les limites de fonction et r\u00e9ussir le bac.<\/p>\n

1. Calcul de limites : exercices corrig\u00e9s<\/h2>\n

Consignes :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque le probl\u00e8me mettra en \u00e9vidence une asymptote horizontale ou verticale, on pr\u00e9cisera son \u00e9quation.<\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9pondra<\/p>\n

\"\ast\" +oo , -oo pour une limite \u00e9gale \u00e0 \"+\infty\", \"-\infty\"<\/p>\n

\"\ast\"a\/b pour une limite \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac a b\"<\/p>\n

\"\ast\" Pour \u00ab\u00a0limite \u00e0 gauche, \u00e0 droite\u00a0\u00bb : donner les 2 limites s\u00e9par\u00e9es par une virgule, sans espace<\/p>\n

Exercice 1 : Limites en \"\pm \infty\"\u00a0<\/strong><\/h3>\n

D\u00e9terminer les limites suivantes en \"+\infty\" ou\"-\infty\" selon le cas.<\/p>\n

Question 1 :<\/strong>
\nEn \"+\infty\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac {- 3 \, x ^2 +\, x - 6} {x^2 + 1}\"<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\nEn \"- \infty\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac { 4 \, x ^3 -\, x^2 + 1 } {5 \ x^2 - \,x + 2}\"<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nEn \"+ \infty\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac {1 - 3\, x} { 5 - 4 \, x - 2\, x^2}\"<\/p>\n

Question 4 :<\/strong>
\na) En \"+\infty\", \"f : x \mapsto \sqrt{x ^2 - 1} + x\"<\/p>\n

b) En \"-\infty\", \"f : x \mapsto \sqrt{x ^2 - 1} + x\".<\/p>\n

Question 5 :<\/strong>
\nEn \"-\infty\", \"f : x \mapsto \sqrt{x ^2 - x} + x\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Correction de l’exercice 1 sur les Limites en \"\pm \infty\"\u00a0 :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

Limite : -3<\/p>\n

On a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac \infty \infty\"<\/p>\n

Car la limite d’une fonction polyn\u00f4me<\/a> en \"\pm \infty\" est la limite du terme de plus haut degr\u00e9 .<\/p>\n

On factorise \"- 3\, x^2\" au num\u00e9rateur et \"x ^2\" au d\u00e9nominateur de la fraction<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac {- 3 \, x ^2 +\, x - 6} {x^2 + 1}\"<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac {\displaystyle - 3 \, x ^2 \left ( 1 - \frac 1 {3\, x} + \frac 2 {x^2} \right ) } {\displaystyle x^2 \left (1 + \frac 1 {x^2} \right )}\"<\/p>\n

\"f(x) = - 3 \; \displaystyle \frac {\displaystyle 1 - \frac 1 {3\, x} + \frac 2 {x^2} } {\displaystyle 1 + \frac 1 {x^2} }\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 - \frac 1 {3\, x} + \frac 2 {x^2} \right ) = 1\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \frac 1 {x^2} \right ) = 1\",<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = - 3\".<\/p>\n

Remarque : on d\u00e9montre de m\u00eame que \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - 3\".<\/p>\n

On aurait aussi pu factoriser \"x^2\" au lieu de \"- 3 \, x^2\" au num\u00e9rateur.<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

Limite : -oo<\/p>\n

On a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac \infty \infty\"<\/p>\n

car la limite d’une fonction polyn\u00f4me en \"\pm \infty\" est la limite du terme de plus haut degr\u00e9 .<\/p>\n

On factorise \"x ^3\" au num\u00e9rateur et \"x^2\" au d\u00e9nominateur<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac { 4 \, x ^3 -\, x^2 + 1 } {5\, x^2 - x + 2}\"<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac {\displaystyle x ^3 \left ( 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} \right ) } {\displaystyle x^2 \left (5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} \right )}\"<\/p>\n

\"f(x) = x \displaystyle \frac {\displaystyle 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} } {\displaystyle 5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} }\"<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left ( 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} \right ) = 4\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left ( 5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} \right ) = 5\",<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\qquad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac {\displaystyle 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} } {\displaystyle 5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} } = \frac 4 5\"<\/p>\n

Et comme \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x = - \infty\",<\/p>\n

\"\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

On d\u00e9montre de m\u00eame que \"\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nLimites : 0<\/p>\n

On a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac \infty \infty\"
\ncar la limite d’une fonction polyn\u00f4me en \"\pm \infty\" est la limite du terme de plus haut degr\u00e9 .<\/p>\n

On factorise \"x\" au num\u00e9rateur et \"x^2\" au d\u00e9nominateur
\n\"f(x) = \displaystyle\frac {1 - 3\, x} { 5 - 4 \, x - 2\, x^2}\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {\displaystyle x \left ( - 3 +\frac 1 { x} \right ) } {\displaystyle x^2 \left (- 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} \right )}\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac 1 {x} \, \cdot \, \frac {\displaystyle - 3 +\frac 1 { x} } {\displaystyle - 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} }\"<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left (- 3 +\frac 1 { x} \right ) = -3\"
\net \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left ( - 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} \right ) = -2\",
\non en d\u00e9duit que \"\qquad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac {\displaystyle - 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} } {\displaystyle - 3 +\frac 1 { x} } = \frac 2 3\".<\/p>\n

Et comme \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac 1 x = 0\", \"\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = 0\".<\/p>\n

On d\u00e9montre de m\u00eame que \"\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = 0\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong>
\na : Limite : +oo<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \sqrt{x ^2 - 1} = + \infty\"
\net \"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x = + \infty\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \left ( \sqrt{x ^2 - 1} + x \right ) = + \infty\".<\/p>\n

b : Limite : 0<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x\to - \infty} \sqrt{x ^2 - 1} = + \infty\"
\net \"\displaystyle \lim_{x\to - \infty} x = - \infty\"
\non a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\infty - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e
\n\"f(x) = \displaystyle \sqrt{x ^2 - 1} + x\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {(x^2 - 1) - x^2 } {\sqrt{x ^2 - 1} - x }\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {1 } {x - \sqrt{x ^2 - 1} }\"
\ncomme \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} (x - \sqrt{x ^2 - 1} ) = - \infty\" (somme de deux fonctions de limite \"- \infty\"), \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = 0\".<\/p>\n

On obtient une asymptote horizontale d’\u00e9quation \"y = 0\" en \"-\infty\".
\nLa courbe est situ\u00e9e en dessous de son asymptote car \"f(x) < 0\".<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong>
\nLimite : 1\/2<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x\to - \infty} \sqrt{x ^2 - x} = + \infty\"
\net \"\displaystyle \lim_{x\to - \infty} x = - \infty\",
\non a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\infty - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e
\n\"f(x) = \displaystyle \sqrt{x ^2 - x} + x\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {(x^2 - x) - x^2 } {\sqrt{x ^2 - x} - x }\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {-x } { \sqrt{x ^2 - x} - x }\"
\n\"\displaystyle \lim_{x\to - \infty} (\sqrt{x ^2 - x} - x ) = + \infty\" (par somme de deux fonctions de limite \u00e9gale \u00e0 \"+\infty\") et on a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac {\infty} {\infty}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On factorise \"x\" au d\u00e9nominateur
\n\"\displaystyle \sqrt{x ^2 - x} - x = \sqrt{x^2 \left ( 1 - \frac {1} {x} \right ) } - x\"
\nen faisant attention que \"x < 0\", donc \"\sqrt{x ^2} = - x\",
\n\"\displaystyle \sqrt{x ^2 - 1} - x = - x \sqrt{ 1 - \frac {1} {x} } - x\"
\non peut alors simplifier le quotient :
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {1} {\displaystyle \sqrt{ 1 - \frac {1} {x} } + 1}\"
\ncomme \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \left ( \sqrt{ 1 - \frac {1} {x} } + 1 \right ) = 2\" alors \"\boxed{\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \frac {1} 2 }\".<\/p>\n

On obtient une asymptote horizontale d’\u00e9quation \"y = 1/2\" en \"-\infty\".<\/p>\n

Exercice 2 : Limites en 0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\nEn \"0\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac {\sqrt{x ^2}} {x( x + 1)}\"<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\nEn \"0\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac {\sqrt{x + 4} - \sqrt{3\, x + 4}} {\sqrt{x + 1} - 1 }\"<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nEn \"0\", \"\displaystyle f : x \mapsto \frac {\sin(3\, x)} {x}\"<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur les limites en 0 en Terminale :<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :
\n<\/strong>limite \u00e0 gauche, \u00e0 droite : -1,1<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle \frac {\sqrt{x ^2}} {x( x + 1)}\"
\nOn a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac 0 0\".
\nSi \"x > 0\", \"f(x) = \displaystyle \frac {x} {x( x + 1)} = \frac 1 {x + 1}\"
\nSi \"x < 0\", \"f(x) = \displaystyle \frac {- x} {x( x + 1)} = \frac {-1} {x + 1}\"<\/p>\n

\"\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 1\" et \"\displaystyle\lim_{x \to 0^{- }} f(x) = - 1\".<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>limite : -1<\/p>\n

\"\bullet\" On a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac 0 0\" :
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{3\, x + 4} ) = \sqrt{4} - \sqrt{4} = 0\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 1} - 1 ) = \sqrt{1} - 1 = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e du num\u00e9rateur et d\u00e9nominateur :
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {\sqrt{x + 4} - \sqrt{3\, x + 4}} {\sqrt{x + 1} - 1 }\"
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {(x + 4) -(3 \, x + 4) } {\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4}} \; \frac {\sqrt{x + 1} + 1 } {(x + 1) - 1}\"
\non simplifie par \"x\"
\n\"\displaystyle f(x) = \frac { - 2 } {1} \; \; \frac {\sqrt{x + 1} + 1 } {\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4}}\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4} ) = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 4\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 1} + 1 ) = \sqrt{1} + 1 = 2\"<\/p>\n

Par quotient des limites,
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} - 2\, \frac {\sqrt{x + 1} + 1 } {\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4}} = - 2 \, \frac {2} 4\"
\n\"\displaystyle \boxed{\lim_{x \to 0} f(x) = - 1}\".<\/p>\n

Question 3 :
\nlimite : 3<\/strong><\/p>\n

Utiliser un taux d’accroissement.<\/p>\n

C’est une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac {0} {0}\".
\nOn note \"u(x) = \sin(3\, x)\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {u(x) - u(0)} x\"
\nc’est le taux d’accroissement de \"u\" en \"0\", comme \"u\" est d\u00e9rivable<\/a>,
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = u'(0) = 3 \, \cos(3 . 0)\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(3\,x)} x = 3\"<\/p>\n

On a utilis\u00e9
\n\"\ast\" si \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et si \"a\" et \"b\" sont r\u00e9els, \"g : x \mapsto f(a \, x + b)\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et \"g'(x) = a\, f'(a \, x + b)\"
\n\"\ast\" et \"\sin\" a pour d\u00e9riv\u00e9e \"\cos\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

Exercice 3 : Limite en \"a \in \mathbb{R}^*\"<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\nEn \"a = - 1\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac {2 \,x - 1} {x + 1}\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nEn \"a = \displaystyle \frac 1 3\",\u00a0\"\displaystyle f : x \mapsto \frac {- 2\, x} {(3 \, x - 1)^2}\"<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nEn \"a = 2\", \"f : x \mapsto \displaystyle \frac {2 \,x^2 - 3} {2 - x }\"<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 3 sur les limites en \"a \in \mathbb{R}^*\" en Terminale :<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nlimite \u00e0 gauche, \u00e0 droite : +oo,-oo<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to 1} (2\, x - 1) = -3 .\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{+}} (x + 1) = 0\" et \"x + 1 > 0\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{+}} \frac 1 {x + 1} = + \infty\"
\nalors \"\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to 1^{+} } \frac {2 \,x - 1} {x + 1} = - \infty }\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{-}} (x + 1) = 0\" et \"x + 1< 0\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{-} }\frac 1 {x + 1} = - \infty\"
\nalors \"\displaystyle \boxed{\lim_{x \to 1^{-} } \frac {2 \,x - 1} {x + 1} = + \infty }\".<\/p>\n

On obtient une asymptote verticale d’\u00e9quation \"x = - 1\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nlimite \u00e0 gauche, \u00e0 droite : -oo,-oo<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to 1/3} {(3 \, x - 1)^2} = 0\" et \"(3\, x - 1)^2 \geqslant 0\",
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 1/3} \frac 1 {(3 \, x - 1)^2} = +\infty\".<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to 1/3} {-2\, x} = \frac {- 2} 3\",
\ndonc \"\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to 1/3} \frac {- 2\, x} {(3 \, x - 1)^2} = - \infty}\".<\/p>\n

La droite verticale d’\u00e9quation \"\displaystyle x = \frac {1} 3\" est asymptote \u00e0 la courbe.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nlimite \u00e0 gauche, \u00e0 droite :\u00a0 +oo,-oo<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to 2} (2\, x^2 - 3) = 5\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to { 2} ^{+}} (2 - x) = 0\" et \"2 - x < 0\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to { 2} ^{+} }\frac 1 {2 - x} = - \infty\"
\nalors \"\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to 2^{+} } \frac {2 \,x^2 - 3} {2 - x } = - \infty }\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to {2} ^{-} }(2 - x) = 0\" et \"2 - x > 0\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to { 2} ^{-} }\frac 1 {2 - x } = + \infty\"
\nalors \"\displaystyle \boxed{\lim_{x \to 2^{-} } \frac {2 \,x^2 - 3} {2 - x } =+ \infty }\".<\/p>\n

On obtient une asymptote verticale d’\u00e9quation \"x = 2\".<\/p>\n

2. Limites de fonction et suites : exercices corrig\u00e9s<\/h2>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f : [a , + \infty[ \to \mathbb{R}\" admettant une limite \"L\" (finie ou infinie) en \"+\infty\".
\nPour toute suite<\/a> \"(u_n)_n\" de \"[a , + \infty[\" telle que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty\", \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = L\".<\/p>\n

Corrig\u00e9s limites de fonction de la question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9monstration dans le cas o\u00f9 \"L \in \mathbb{R}\"
\n\"\ast\" On introduit un intervalle \"I\" ouvert quelconque contenant \"L\".
\nPar d\u00e9finition de \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = L\",
\nil existe \"A \geqslant a\" tel que si \"x \geqslant A\", \"f(x) \in I\"<\/p>\n

\"\ast\" Comme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty\" , \u00e0 partir d’un certain rang \"N\", \"u_n \geqslant A\", donc \"f(u_n) \in I\".<\/p>\n

\"\ast \ast\" Ayant prouv\u00e9 que pour tout intervalle<\/a> \"I\" ouvert quelconque contenant \"L\", il existe un rang \"N\" entier tel que si \"n \geqslant N\", \"f(u_n) \in I\", on a donc prouv\u00e9 que \"\qquad \qquad \displaystyle \lim_ {n \to+ \infty} f(u_n) = L\"<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9monstration dans le cas o\u00f9 \"L = + \infty\"
\n\"\ast\" Soit \"A \geqslant 0\".
\nPar d\u00e9finition de \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty\"
\nil existe \"B \geqslant a\" tel que si \"x \geqslant B\", \"f(x) \geqslant A\"<\/p>\n

\"\ast\" Comme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty\", \u00e0 partir d’un certain rang \"N\", \"u_n \geqslant B\", donc \"f(u_n) \geqslant A\".<\/p>\n

\"\ast \ast\" Ayant prouv\u00e9 que pour tout \"A \geqslant 0\", il existe un rang \"N\" entier tel que si \"n \geqslant N\", \"f(u_n) \geqslant A\", on a donc prouv\u00e9 que \"\qquad \qquad \displaystyle \lim_ {n \to+ \infty} f(u_n) = +\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas o\u00f9 \"L = - \infty\", il suffit d’appliquer le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent \u00e0 la fonction \"-f\".<\/p>\n

3. \u00c9tude compl\u00e8te d’une fonction en Terminale<\/h2>\n

On note \"f : \displaystyle x \mapsto \frac {x^2 + x + 4} {x + 1}\".<\/p>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\u00c9tude des branches infinies<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>\u00c9tude des variations de \"f\"\u00a0
\n<\/strong><\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nTableau de variation et graphe<\/a><\/p>\n

Correction de l’exercice :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

\"f\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R} \setminus \{ - 1 \}\".
\n\"\bullet\" \u00c9tude en \"- 1\"
\n\"\displaystyle \lim_ {x \to - 1} (x ^2 + x + 4) = 4\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{+}} (x + 1) = 0\" et \"x + 1 > 0\", donc \"\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{+}} f(x) = +\infty\".
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{-}} (x + 1) = 0\" et \"x + 1 < 0\", donc \"\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{-}} f(x) = -\infty\".
\nLa droite d’\u00e9quation \"x = - 1\" est asymptote \u00e0 la courbe.<\/p>\n

\"\bullet\" Limites en \"\pm \infty\"
\nOn l\u00e8ve l’ind\u00e9termination \"\displaystyle \frac {\infty} {\infty}\" en factorisant \"x^2\" au num\u00e9rateur et \"x\" au d\u00e9nominateur
\n\"\displaystyle f(x) = \frac {x^2} {x} \, \frac {1 + 1/x + 4/x^2}{1 + 1/x}\"
\n\"\displaystyle f(x) = {x} \, \frac {1 + 1/x + 4/x^2}{1 + 1/x}\"
\ncomme \"\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac 1 x + \frac 4 {x ^2} \right ) = 1\"
\net \"\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac 1 x \right ) = 1\"
\nalors \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\"
\n\"\quad\" et \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la branche infinie en \"\pm \infty\"
\n\"\ast\" On forme \"\displaystyle \frac {f(x)} x = \frac {1 + 1/x + 4/x^2}{1 + 1/x}\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {f(x)} x = 1\"
\net \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac {f(x)} x = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" On forme \"f(x) - x = \displaystyle \frac {x^2 + x + 4 - x^2 - x} {x + 1}\"
\n\"f(x) - x = \displaystyle \frac { 4} {x + 1}\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)- x = 0\"
\net \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)- x = 0\".<\/p>\n

La droite d’\u00e9quation \"y = x\" est asymp- tote oblique \u00e0 la courbe.<\/p>\n

\"\ast\" Position par rapport \u00e0 l’asymptote
\n\"f(x) - x = \displaystyle \frac { 4} {x + 1}\" est du signe de \"x + 1\"
\nLa courbe est au dessus de l’asymptote sur \"]- 1 , + \infty[\" et en dessous sur \"] - \infty , - 1[\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R} \setminus \{ - 1 \}\".
\n\"\displaystyle f'(x) = \frac{(2 \, x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 4)} {(x + 1)^2}\"
\n\"\displaystyle f'(x) = \frac{(2 \, x^2 + 3\,x + 1) - (x^2 + x + 4)} {(x + 1)^2}\"
\n\"\displaystyle f'(x) = \frac{ x^2 + 2\,x - 3} {(x + 1)^2}\".<\/p>\n

\"1\" est racine \u00e9vidente de \"\qquad \quad P(x) = x^2 + 2\,x - 3\"
\nl’autre racine est \u00e9gale au produit des racines donc \u00e9gale \u00e0 \"-3\", ce qui permet la factorisation
\n\"\qquad \quad P(x) = (x - 1)(x + 3)\"
\n\"f'(x)\" est du signe de \"(x - 1)(x + 3)\".<\/p>\n

\"f\" est strictement croissante sur \"] - \infty , - 3[\" et sur \"]1, + \infty[\"
\net strictement d\u00e9croissante sur \"]- 3 , - 1[\" et sur \"]-1 , 1[\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"limites<\/p>\n

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