{"id":61980,"date":"2020-07-28T10:58:33","date_gmt":"2020-07-28T09:58:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=61980"},"modified":"2022-07-21T13:51:34","modified_gmt":"2022-07-21T12:51:34","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-continuite-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-continuite-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s continuit\u00e9 Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s de maths sur la continuit\u00e9 en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Entra\u00eenez-vous et pr\u00e9parez-vous pour le bac \u00e0 l’aide des exercices ci-dessous sur la continuit\u00e9 au programme de maths en Terminale. Il est n\u00e9cessaire pour l’\u00e9l\u00e8ve de Terminale d’avoir parfaitement assimil\u00e9 les cours de maths au programme de maths en 1\u00e8re, car les chapitres abord\u00e9s lors du programme de Terminale s’inscrivent dans la continuit\u00e9 de ceux de la classe de 1\u00e8re. Les \u00e9l\u00e8ves ont donc tout int\u00e9r\u00eat \u00e0 travailler tr\u00e8s s\u00e9rieusement d\u00e8s le d\u00e9but du lyc\u00e9e, d’autant plus que le coefficient au bac de l’\u00e9preuve de maths est relativement \u00e9lev\u00e9.<\/p>\n

1. \u00c9tude de continuit\u00e9 en Terminale<\/h2>\n

Exercice 1 sur la continuit\u00e9 en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\u00c9tudier la continuit\u00e9 et tracer le graphe de la fonction<\/a> \"f\" d\u00e9finie par
\n\"\qquad\" si \"x\in [0, 1]\", \"f(x) = 0\"
\n\"\qquad\" et si \"x \in\; ]1 , 2]\", \"f(x) = x- 1\".
\n\"f\" est continue Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\n\u00c9tudier la continuit\u00e9 et tracer le graphe de la fonction \"g\" d\u00e9finie par
\n\"\qquad\" si \"x\in [0, 1]\", \"g(x) = 1-x\"
\n\"\qquad\" et si \"x \in \; ]1 , 2]\", \"g(x) = 0\".
\n\"g\" est continue Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nLa fonction nulle sur \"[0 , 2]\" est le produit de deux fonctions continues sur \"[0 , 2]\" et diff\u00e9rentes de la fonction nulle.
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction de l’exercice 1 sur la continuit\u00e9 en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\n\"f\" est continue Vrai ou Faux ? Vrai <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" est continue sur \"[0 , 1[\" et sur \"]1 , 2]\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to 1 ^{- }} f(x) = 0\", \"\displaystyle \lim_{x \to 1 ^{+ }} f(x) = 1-1 = 0\"
\net \"f(1) = 0\", donc \"f\" est continue en \"1\".<\/p>\n

Conclusion<\/em> : \"f\" est continue sur \"[0 , 2]\".<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>\"g\" est continue Vrai ou Faux ? Vrai <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"g\" est continue sur \"[0 , 1[\" et sur \"]1 , 2]\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to 1 ^{- }} g(x) = 1 - 1 = 0\", \"\displaystyle \lim_{x \to 1 ^{+ }}g(x) = 0\"
\net \"g(1) = 0\", donc \"g\" est continue en \"1\".<\/p>\n

Conclusion<\/em> : \"g\" est continue sur \"[0 , 2]\".<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

Pour \"x\in [0, 1[, \, (f g)(x) = f(x) g(x) = 0\" car \"f(x) = 0\"
\nPour \"x \in [1 , 2],\, (f g)(x) = f(x) g(x) = 0\" car \"g(x) = 0\"
\ndonc \"f g\" est la fonction nulle et les deux fonctions continues \"f\" et \"g\" ne sont pas des fonctions nulles.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Sur la partie enti\u00e8re, chapitre de continuit\u00e9 en Terminale<\/h2>\n

Exercice sur la partie enti\u00e8re en continuit\u00e9<\/h3>\n

On d\u00e9finit la fonction \"f\" partie enti\u00e8re sur \"\mathbb{R}\" par
\n\"f(x) = n\" si \"x \in [n , n + 1[\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{Z}\".
\nOn note encore \"f(x) = \lfloor x \rfloor\"<\/p>\n

Question 1 :
\n<\/strong>La fonction partie enti\u00e8re est continue en tout r\u00e9el \"a\" non entier et discontinue en \"a \in \mathbb{Z}\".
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>On d\u00e9finit pour \"x \in \mathbb {R}\", par \"\qquad g(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor) ^2\".
\n\u00c9tudier la continuit\u00e9 de \"g\".
\n\"g\" est discontinue, Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3 :
\n<\/strong>Repr\u00e9senter les fonctions \"f\" et \"g\" sur \"[-1, 5]\" dans le m\u00eame rep\u00e8re.<\/p>\n

Correction de l’exercice sur la partie enti\u00e8re en continuit\u00e9<\/h3>\n

Question 1 :
\n<\/strong>Vrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"n \in \mathbb{Z}\",
\nsi \"x \in \; ]n , n + 1[, \lfloor x \rfloor = n\".
\nLa fonction partie enti\u00e8re est constante donc continue sur \"]n , n + 1[\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9tude de la continuit\u00e9 en \"n \in \mathbb{Z}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to n ^{+}} \lfloor x \rfloor = n = \lfloor n \rfloor = f(n)\"
\n\"f\" est continue \u00e0 droite en \"n\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \in \; ] n - 1 , n [ ,\, \lfloor x \rfloor = n - 1\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to n ^{-}} \lfloor x \rfloor = n - 1 \neq \lfloor n \rfloor\".
\n\"f\" n’est pas continue \u00e0 gauche en \"n\".<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>\"g\" est discontinue ?\u00a0Faux<\/strong><\/p>\n

Si \"x \in [n , n + 1[\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{Z}\",
\n\"\qquad \quad g(x) = n + (x - n)^2\"
\nalors \"g\" est continue sur \"]n , n + 1[\" car c’est une fonction polyn\u00f4me<\/a>
\net \"\displaystyle \lim_{x \to n ^{ +}} g(x) = n + 0 = n = g(n)\".<\/p>\n

Sur \"]n - 1 , n [\", \"\qquad g(x) = n - 1 + (x - n + 1)^2\"
\ndonc \"\displaystyle \lim_{x \to n ^{ -}} g(x) = n - 1 + 1 = n = g(n)\".<\/p>\n

\"g\" est continue \u00e0 droite et \u00e0 gauche en \"n\", donc \"g\" est continue en \"n\".
\n\"g\" est continue sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

On remarque ici qu’une fonction s’exprimant \u00e0 l’aide d’une fonction discontinue peut \u00eatre continue.<\/p>\n

\u00a0Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

3. R\u00e9solution d’\u00e9quations<\/h2>\n

Exercice sur la r\u00e9solution d’\u00e9quations en continuit\u00e9 en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\u00c9tudier les variations de \"\qquad \quad f : x \mapsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\nL’\u00e9quation \"\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = y\" admet une et une seule solution ssi \"y \in \; ]0 , 1]\".<\/p>\n

Question 3<\/strong> :
\nD\u00e9terminer la solution de l’\u00e9quation \"f(x) = y\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur la r\u00e9solution d’\u00e9quations en continuit\u00e9 en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :
\n<\/strong>La fonction \"f : x \mapsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\" est continue sur \"[0 ,\, +\infty[\".<\/p>\n

En utilisant la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e, on l’\u00e9crit \"f(x) = \displaystyle \frac {(x + 1) - x} {\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\"
\n\"f(x) = \displaystyle \frac {1} {\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Comme \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = + \infty\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty}f(x) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"x \mapsto \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\" est strictement croissante, comme somme de fonctions strictement croissantes, et \u00e0 valeurs strictement positives, la fonction inverse \"f\" est strictement d\u00e9croissante sur \"[0 , + \infty[\".<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>On en d\u00e9duit que si \"y \notin [0 , 1[\", l’\u00e9quation \"f(x) = y\" n’admet pas de solution.
\net \"f(x) = 0\" ssi \"x = 0\".
\nDans la suite, on suppose que \"y \in \; ]0 , 1[\".<\/p>\n

On traduit \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = 0\", en prenant l’intervalle ouvert \"]- y , y[\" contenant \"0\", il existe \"A > 0\" tel que si \"x \geqslant A, \, f(x) < y\"
\nalors \"y \in\; ]f(0) ,\, f(A)[\". Donc par le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"a \in \;]0 , A[\" tel que \"f(a) = y\".<\/p>\n

Par la stricte croissance de \"f\", la solution de \"f(x) = y\" est unique.<\/p>\n

Question 3 :
\n<\/strong>Si \"y = \sqrt{x+ 1} - \sqrt{x}\" , on en d\u00e9duit en \u00e9levant au carr\u00e9 que
\n\"y ^2 = (x + 1) + x - 2\,\sqrt{x(x + 1)}\"
\ndonc \"2 \,x + 1 - y^2 = 2\,\sqrt{x(x + 1)}\"
\nen \u00e9levant au carr\u00e9, on obtient la condition n\u00e9cessaire :
\n\"(2 \,x + 1 - y^2 ) ^2 = 4\,x(x + 1)\"
\nssi \"(2\, x + 1)^2 - 2 \, y^2 \, (2\, x + 1) + y^4\" \"\qquad \qquad \qquad = 4\, x^2 + 4 \, x\"
\nssi \"4 \, x^2 + 4\, x + 1 - 4 \, x \, y^2 - 2\, y^2 + y ^4\" \"\qquad \qquad \qquad = 4\, x^2 + 4 \, x\"
\nssi \"4 \, x\, y^2 = y ^4 - 2\, y^2 + 1\"
\nssi \"x = \displaystyle \frac {(y ^2 - 1)^2} {4 \, y ^2}\".<\/p>\n

On n’a pas raisonn\u00e9 par \u00e9quivalence mais obtenu une seule valeur possible comme solution de l’\u00e9quation.
\nComme on sait que cette \u00e9quation admet une seule solution, on a bien obtenu la solution de l’\u00e9quation cherch\u00e9e.
\nElle est donc \u00e9gale \u00e0 \"\boxed{ \displaystyle \frac {(y ^2 - 1)^2} {4 \, y ^2}}\".<\/p>\n

4. Les \u00e9quations polynomiales<\/h2>\n

Exercice sur les \u00e9quations polynomiales en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nSoit \"f : x \mapsto x ^3 - 2\, x^2 - 1\".
\nMontrer que l’\u00e9quation \"f(x) = 0\" admet une unique racine \"a\" et l’encadrer entre deux entiers cons\u00e9cutifs \"p\" et \"p + 1\".
\n\"p =\" ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nOn d\u00e9finit \"g : \;]0 , + \infty[ \to \mathbb{R}, \, x \mapsto \displaystyle 2 + \frac 1 {x^2}\".
\n\"g(a) =\" ?<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nOn d\u00e9finit la suite \"g : \;]0 , + \infty[ \to \mathbb{R}, \, x \mapsto (u_n)_n\" par \"u_ 0 = 2\" et si \"n \in \mathbb{N}\", \"u_{n + 1} = g(u_n)\".
\nPour tout \"n \in \mathbb{N} , \, 2 \leqslant u_{2 n}\leqslant a \leqslant u_{2 n + 1} \displaystyle 2 + \frac 1 {x^2}\".
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les \u00e9quations polynomiales en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\n\"p =\" 2<\/p>\n

\"f\" est d\u00e9rivable<\/a> sur \"\mathbb{R}\"
\net si \"x \in \mathbb{R}, f'(x) = x( 3\, x - 4)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est croissante sur \"]- \infty , 0]\" et d\u00e9croissante sur \"[0 , 4/3]\"
\nelle admet un maximum local en \"0\", donc si \"x \leqslant 4/3, \, f(x) \leqslant f(0)\" soit \"f(x) \leqslant - 1\".<\/p>\n

\"\ast\" \"f\" est strictement croissante et continue sur \"[4/3 , + \infty[\"
\n\"f(2) = - 1\" et \"f(3) = 27 - 19 = 8\"<\/p>\n

donc \"f\" s’annule une et une seule fois sur \"[4/3 , \infty[\" et en particulier \"a \in \; ] 2 , 3[\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\n\"g(a) =\" a<\/p>\n

\"g(a) = \displaystyle \frac {2 \, a^2 + 1} {a ^2} = \frac {a ^3} {a ^2} = a\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\" on note \"\mathcal{P}(n) : 2 \leqslant u_{2 n}\leqslant a \leqslant u_{2 n + 1}\,\".<\/p>\n

Initialisation<\/em> : \"u_0 = 2\" et \"u_ 1 = 2, 25\"
\n\"f(2,25) \approx 0.2626\", donc \"a < 2,25\".
\nOn a donc prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/em> : On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie. Par stricte d\u00e9croissance de
\nla fonction \"g\" :
\n\"g(u_{n + 1}) \leqslant g(a) \leqslant g(u_n))\"
\net en utilisant \"g(x) \geqslant 2\",
\nsoit \"2 \leqslant u_{2 n + 2} \leqslant a \leqslant u_{n + 1}\"<\/p>\n

puis comme \"2 \leqslant u_{2 n + 2} \leqslant a\"
\npar stricte d\u00e9croissance de \"g\"
\n\"g(a) \leqslant g(u_{2n + 2})\" soit \"a \leqslant u_{2 \, n + 3}\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion<\/em> : la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence sur \"n\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

5. Continuit\u00e9 des suites r\u00e9currentes<\/h2>\n

Exercice sur la continuit\u00e9 des suites r\u00e9currentes en Terminale<\/h3>\n

On consid\u00e8re \"f : x \mapsto 2 - (x + 1) \, \textrm{e} ^{- x}\"<\/strong><\/p>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\u00c9tudier la fonction \"f\" sur \"\mathbb{R }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nSi \"x \leqslant 0, f(x) - x > 0\".
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\n\u00c9tudier les variations de \"\qquad g : x \mapsto f(x) - x\" sur \"\mathbb{R}^+\".
\n\"g\" y est strictement d\u00e9croissante, Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur la continuit\u00e9 des suites r\u00e9currentes en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :
\n<\/strong>\"f\" est d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Limite<\/a> en \"+ \infty\"
\nComme \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{e} ^{-x} = 0\" et \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x \, \textrm{e} ^{-x} = 0\" (croissance compar\u00e9e), alors \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)= 2\"
\nLa droite d’\u00e9quation \"y= 2\" est asymptote \u00e0 la courbe en \"+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Limite en \"- \infty\"
\nComme \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} -(x + 1) \,\textrm{e} ^{-x} = - \infty\"
\ncomme produit de deux fonctions qui tendent vers \"+\infty\" si \"x \to + \infty\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)= +\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e
\nSi \"x\" est r\u00e9el, \"f'(x) = - \textrm{e} ^{- x} + (x + 1) \, \textrm{e}^{-x} = x\, \textrm{e} ^{- x}\"
\n\"f\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}^{+}\" et d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}^{-}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

On note \"g(x) = f(x) - x\".
\nSi \"x \in \mathbb{R} ^{- }\", \"g'(x) = f'(x) - 1 < 0\"
\n\"g\" est strictement d\u00e9croissante sur \"]- \infty, 0]\" et \"g(0) = 2 - 1 > 0\"
\ndonc si \"x \in \mathbb{R}^{ - }, \, g(x) > 0\" soit \"f(x) > 0\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\n\"g\" y est strictement d\u00e9croissante, Vrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

\"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^+\" .<\/p>\n

\"g'(x) = f'(x) - 1 = x \, \textrm{e} ^{ - x} - 1\"
\n\"g''(x) = -x \, \textrm{e} ^{-x} +\textrm{e} ^{ - x}\"
\n\"g''(x) = (1 - x) \, \textrm{e}^{ - x}\" est du signe de \"1 - x\"
\n\"g'\" est croissante sur \"[0 , 1]\" et d\u00e9croissante sur \"[1 , + \infty[\".
\nElle admet un maximum en \"1\" et \"g'(1) = \textrm{e} ^{- 1} - 1 < 0\"
\ndonc pour tout \"x \geqslant 0\", \"g'(x) \leqslant g'(1) < 0\".<\/p>\n

\"g\" est strictement d\u00e9croissante sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

5. G\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires<\/h2>\n

Exercice sur la g\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires en Terminale<\/h3>\n

Question 1<\/strong> :<\/strong>
\n\"\varphi :\; ]0 , \, 1] \to \mathbb{R}, \, \displaystyle x \mapsto \frac 1 x - 1\" est une fonction continue \u00e0 valeurs positives ou nulles.
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\nOn suppose que \"f\" est continue sur \"[0 , + \infty[\" et admet une limite finie \"L\" en \"+\infty\".
\nOn note pour \"x \in\; ]0 , 1] , \,g(x) = f(\varphi(x))\" et \"g(0) = L\".
\n\"g\" est continue sur \"[0 , 1]\".
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nOn suppose \"L \neq f(0)\"
\nSi \"k\" est strictement compris entre \"f(0)\" et \"L\", il existe \"a \in \mathbb{R}^{+*}\" tel que \"k = f(a)\".
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction d’exercice sur la g\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 x\" est continue sur \"]0 , \, 1]\" donc \"\varphi\" est continue sur \"]0 , \, 1]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x \in \;]0 , 1]\", \"\varphi(x) = \displaystyle \frac {1 - x} x \geqslant 0\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Continuit\u00e9 sur \"]0 , 1]\".
\n\"\ast\" \"\varphi\" est continue sur \"]0 , 1]\" \u00e0 valeurs dans \"[0 , + \infty[\"
\n\"\ast\" \"f\" est continue sur \"[0 , + \infty[\"
\nLa compos\u00e9e \"g = f \circ \varphi\" est continue sur \"]0 , 1]\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \varphi(x) = + \infty\" et \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = L\"
\npar composition des limites,
\n\"\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to 0} f(\varphi(x)) = L\",
\nce qui s’\u00e9crit \"\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = g(0)\",
\nce qui prouve la continuit\u00e9 de \"g\" en \"0\".<\/p>\n

\"g\" est continue sur \"[0 , 1]\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On applique le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires \u00e0 la fonction continue \"g\",
\n\"k\" est strictement compris entre \"g(0)\" et \"g(1)\", il existe \"c \in \; ]0 , 1[\" tel que \"g(c) = k\".<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"a = \varphi(c) > 0\".
\n\"k = g(c) = f(\varphi(c)) = f(a)\" avec \"a > 0\".<\/p>\n

Alors \"f\" prend sur \"[0 , + \infty[\" toute valeur entre \"f(0)\" et \"L\" (\"L\" exclu).<\/p>\n

6. D\u00e9terminer des fonctions, chapitre de la continuit\u00e9 en Terminale<\/h2>\n

Exercice pour d\u00e9terminer des fonctions<\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et continue en \"0\" telle qu’il existe \"a \neq \pm 1\" tel que pour tout r\u00e9el \"x\", \"f(a \, x) = f(x)\"<\/strong><\/p>\n

Question 1 :
\n<\/strong> Si \"n \in \mathbb{N}\", on peut exprimer \"f(x)\" en fonction de \"f(a^n \, x)\"
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nSi \"\vert a \vert < 1\", \"f\" est constante.
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nSi \"\vert a \vert > 1\", \"f\" est constante.
\nVrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction de l’exercice pour d\u00e9terminer des fonctions<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai\u00a0<\/strong><\/p>\n

On \u00e9tablit la formule \u00e0 d\u00e9montrer par r\u00e9currence en calculant \"f(a \, x)\" , \"f(a ^2 \, x)\" etc …<\/p>\n

Soit \"x \in \mathbb{R}\". On note pour \"n \in \mathbb {N}^*\"
\n\"\qquad \qquad \mathcal{P}(n) : f(x) = f(a ^n \, x)\".<\/p>\n

Initialisation :<\/em>
\n\"\mathcal{P}(1)\" est vraie par hypoth\u00e8se sur \"f\".<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em> On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie, en appliquant l’hypoth\u00e8se sur \"f\" au point \"a^n \, x\",
\n\"f (a \, a^n \, x) = f(a^n \, x) = f(x)\" par \"\mathcal{P}(n)\", ce qui prouve \"\mathcal{P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/em> La propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e par r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"\vert a \vert < 1\"
\nComme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a^n \, x= 0\", par continuit\u00e9 de \"f\" en \"0\", \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(a^n \, x)= f(0)\".
\nMais comme c’est une suite<\/a> constante \u00e9gale \u00e0 \"f(x)\", on a prouv\u00e9 que \"f(x) = f(0)\" donc \"f\" est constante.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nVrai ou Faux ? Vrai<\/strong><\/p>\n

Si \"\vert a \vert > 1\", en appliquant l’hypoth\u00e8se sur \"f\" \u00e0 \"x/a\", on obtient pour tout r\u00e9el \"x\",\"f(a \, x / a) = f(x/a)\"
\nsoit en notant \"b = 1/a\", pour tout \"x\", \"f(x) = f(b \, x)\" avec \"f\" continue en \"0\" et \"\vert b \vert < 1\".
\nLa question pr\u00e9c\u00e9dente donne \"f\" est une application constante.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

Pour renforcer vos connaissances, nous vous recommandons de r\u00e9aliser \u00e9galement les exercices des annales du bac en maths. Si certains chapitres ou certaines notions vous sont difficiles, n\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 prendre connaissances des autres cours en ligne de maths au programme de Terminale dont les chapitres suivants :<\/p>\n