{"id":65466,"date":"2020-08-18T13:55:39","date_gmt":"2020-08-18T12:55:39","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=65466"},"modified":"2023-09-15T13:18:34","modified_gmt":"2023-09-15T12:18:34","slug":"cours-en-ligne-derivees-convexite-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-derivees-convexite-terminale\/","title":{"rendered":"Cours d\u00e9riv\u00e9es et convexit\u00e9 terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les d\u00e9riv\u00e9es et la convexit\u00e9 en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Cours en ligne sur le chapitre des d\u00e9riv\u00e9es et des fonctions convexes au programme de maths en Terminale. Ce chapitre est \u00e0 ma\u00eetriser obligatoirement pour r\u00e9ussir en terminale et avoir de bons r\u00e9sultats au bac.<\/p>\n

Pour se pr\u00e9parer au bac du mieux possible, il est fortement recommand\u00e9 aux \u00e9l\u00e8ve de terminale quel que soit leur niveau, de suivre des cours particuliers en maths<\/a>.<\/p>\n

1. Retour sur les cours de premi\u00e8re<\/h2>\n

1.1. D\u00e9finitions de fonctions sur les d\u00e9riv\u00e9es et la convexit\u00e9<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction r\u00e9elle d\u00e9finie sur un intervalle<\/a> \"I\" contenant \"a\".
\n\"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" ssi la fonction \"\tau\" d\u00e9finie pour \"x \in I\" et \"x \neq a\" par \"\qquad \quad \tau(x) = \displaystyle \frac {f(x) - f(a)} {x - a}\"
\nadmet une limite finie \"L\" en \"a\".
\n\"L\" = le nombre d\u00e9riv\u00e9 de la fonction \"f\" en \"a\"
\n\"\tau(x)\" est le taux d’accroissement de la fonction \"f\" en \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un r\u00e9el \"L_d\" tel que \"\qquad \displaystyle \lim_{x \to a ^{+}} \frac {f(x) - f(a)} {x - a} = L_d\,\",
\n\"f\" est dite d\u00e9rivable \u00e0 droite en \"a\" et son nombre d\u00e9riv\u00e9 \u00e0 droite en \"a\" \"L_d\" est not\u00e9 \"f'_d(a)\".<\/p>\n

\"\bullet\" S’il existe un r\u00e9el \"L_g\" tel que \"\qquad \displaystyle \lim_{x \to a ^{-}} \frac {f(x) - f(a)} {x - a} = L_g\,\",
\n\"f\" est dite d\u00e9rivable \u00e0 gauche en \"a\" et son nombre d\u00e9riv\u00e9 \u00e0 gauche en \"a\" \"L_g\" est not\u00e9 \"f'_g(a)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \in I\" n’est pas une borne de \"I\", \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" ssi \"f\" est d\u00e9rivable \u00e0 droite et \u00e0 gauche en \"a\" et si \"\qquad \qquad f'_d(a) = f'_g(a)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"I = [a , b]\", \"f\" est d\u00e9rivable \u00e0 droite en \"a\" ssi \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\".
\nSi \"I = [b , a]\", \"f\" est d\u00e9rivable \u00e0 gauche en \"a\" ssi \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\".<\/p>\n

\u00c0 savoir : la fonction \"x \mapsto \vert x \vert\" n’est pas d\u00e9rivable en \"0\", mais elle est d\u00e9rivable \u00e0 droite et \u00e0 gauche en \"0\" avec : \"f'_d(0) = 1\" et \"f'_g(0) = - 1\".<\/p>\n

1.2. Interpr\u00e9tation des fonctions d\u00e9riv\u00e9es en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", le graphe<\/a> de \"f\" admet une tangente en \"(a , f(a))\" d’\u00e9quation \"\boxed{ y = f(a) + f'(a) (x - a)}\"
\nLa tangente est la position limite<\/a> des s\u00e9cantes \"M(a) M(x)\" lorsque \"x\" tend vers \"a\", en notant \"M(x)\" le point de coordonn\u00e9es \"(x , f(x))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue sur \"[a , b[\" et si \"\displaystyle \lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a} = \infty\", le graphe de \"f\" admet une tangente verticale (\u00e0 droite) en \"(a , \, f(a))\".
\nOn raisonne de m\u00eame pour une tangente verticale \u00e0 gauche d’un point.<\/p>\n

1.3. La fonction d\u00e9riv\u00e9e et son utilisation<\/h3>\n

\"\bullet\" D: si \"f : I \to \mathbb{R}\" est d\u00e9rivable en tout point de \"I\", la fonction d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" est la fonction \"f' : I \to \mathbb{R}, x \mapsto f'(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e et variation
\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9finie et d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\n\"\ast\" \"f\" est constante sur \"I\" ssi pour tout \"x \in I, \,f'(x) = 0\".
\n\"\ast\" \"f\" est croissante sur \"I\" ssi pour tout \"x \in I,\, f'(x) \geqslant 0\".
\n\"\ast\" \"f\" est d\u00e9croissante sur \"I\" ssi pour tout \"x \in I, \,f'(x) \geqslant 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e et extremum
\nSoit \"f\" une fonction admettant un extremum en \"a \in I\", o\u00f9 \"a\" n’est pas une borne de \"I\".
\nSi \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", \"f'(a) = 0\".<\/p>\n

La r\u00e9ciproque est fausse comme dans l’exemple \"f : x \mapsto x^3\", la d\u00e9riv\u00e9e s’annule en \"0\" et \"f\" n’admet pas d’extremum en \"0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Programme de Terminale : Si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", \"f\" est continue<\/a> en \"a\".<\/p>\n

1.4. La fonction d\u00e9riv\u00e9e et son utilisation<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"u\" et \"v\" sont d\u00e9rivables sur \"I\",
\n\"\ast\" \"u + v\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et \"\qquad \qquad (u + v)' = u' + v'\"
\n\"\ast\" Si \"k \in \mathbb{R}\", \"k \, u\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et
\n\"\qquad \qquad (k \, u)' = k \, u'\"
\n\"\ast\" \"u \, v\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et \"\qquad \qquad (u \, v) ' = u' \, v + u \, v'\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u\" et \"v\" sont d\u00e9rivables sur \"I\" et si \"v\" ne s’annule pas sur \"I\",
\n\"\ast\" \"\displaystyle \frac 1 v\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et \"\qquad \qquad \displaystyle \left ( \frac 1 v \right ) ' = \frac {- v'} {v ^2}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \frac u v\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et \"\qquad \qquad \displaystyle \left ( \frac u v \right ) ' = \frac { u' v - u \, v'} {v ^2}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"f : \mathbb {R} ^{+} \to \mathbb{R}, \, x \mapsto \sqrt{x}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R} ^{+*}\" et si \"x > 0,\, f'(x) = \displaystyle \frac 1 {2 \, \sqrt{x} }\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" d\u00e9rivable sur \"I\". Soient \"a , b\" deux r\u00e9els avec \"a \neq 0\".
\nOn note \"J = \{ x \in \mathbb{R}\, /\, a\, x + b \in I \}\".
\nOn d\u00e9finit \"g : J \to \mathbb{R },\, x \mapsto f(a \, x + b)\".
\n\"g\" est d\u00e9rivable sur \"J\" et
\n\"\quad\" si \"x \in J, \, g'(x) = a f'(a \, x + b)\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. D\u00e9riv\u00e9es d’une fonction compos\u00e9e en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

2.1. Th\u00e9or\u00e8me de composition en terminale<\/h3>\n

Si \"v\" est une fonction d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", si la fonction \"u\" est d\u00e9rivable sur l’intervalle \"J\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et si pour tout \"x \in I, v(x) \in J\", la fonction \"u \circ v\" est d\u00e9finie sur \"I\" et d\u00e9rivable sur \"I\" et pour tout \"x \in I,\" \"\qquad (u \circ v)'(x) = v'(x) \, u'(v(x))\".
\nce que l’on \u00e9crit sous la forme \"\qquad \quad (u \circ v)' = v' \, . \, u' \circ v\".<\/p>\n

2.2. Les d\u00e9riv\u00e9es \u00e0 conna\u00eetre en terminale<\/h3>\n

On suppose que \"u\" est d\u00e9rivable sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\"
\n\"\ast\" pour tout \"n \in \mathbb{N}^ *\"
\n\"\qquad \qquad (u^n)' = n \, u' \, u^{n - 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"u\" ne s’annule pas,
\npour tout \"n \in \mathbb{N}^ *\", \"\displaystyle \left ( \frac 1 {u^n} \right) ' = \displaystyle \frac {- n\, u'} { u^{n + 1}}\".<\/p>\n

\"\ast\" on note \"\textrm{e} ^u : I \to \mathbb{R }, x \mapsto \textrm{e} ^{u(x)}\", \"\qquad \qquad \left ( \textrm{e} ^u \right ) ' = u' \, \textrm{e} ^u\".<\/p>\n

\"\ast\" On suppose que \"u\" est \u00e0 valeurs strictement positives sur \"I\".
\nOn note \"\sqrt{u} : I \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{u(x)}\", \"\qquad \qquad \left ( \sqrt{u} \right ) ' = \displaystyle \frac {u'} {2\, \sqrt{u}}\".<\/p>\n

\"\ast\" On note \"\cos u : t \mapsto \cos(u(t))\" et \"\sin u : t \mapsto \sin(u(t))\"
\n\"\qquad \qquad (\cos u)' = - u' \, \sin u\" \"\qquad \qquad (\sin u) ' = u' \, \cos u\".<\/p>\n

3. La convexit\u00e9 en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

3.1. D\u00e9riv\u00e9e seconde<\/h3>\n

Soit \"f : I \to \mathbb{R}\" une fonction d\u00e9rivable, si \"f'\" est d\u00e9rivable sur \"I\", on dit que \"f\" admet une d\u00e9riv\u00e9e seconde sur \"I\" et on note \"f'' = (f')'\".<\/p>\n

3.2. Fonction convexe et fonction concave<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur l’intervalle \"I\" . On note \"\Gamma\" son graphe.
\n\"\ast\" \"f\" est convexe lorsque pour tout \"(a , b) \in I^2\" avec \"a < b\", la courbe \"\Gamma\" est situ\u00e9e sous la corde \"[A\, B]\" o\u00f9 \"A(a , f(a))\" et \"B(b , f(b))\".
\n\"\ast\" \"f\" est concave lorsque pour tout \"(a , b) \in I^2\" avec \"a < b\", la courbe \"\Gamma\" est situ\u00e9e au dessus de la corde \"[A \,B]\" o\u00f9 \"A(a , f(a))\" et \"B(b , f(b))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction deux fois d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\nIl y a \u00e9quivalence entre
\n\"\ast\" \"f\" est convexe sur \"I\"
\n\"\ast\" \"f'\" est croissante sur \"I\"
\n\"\ast\" \"f''\" est \u00e0 valeurs positives ou nulles
\n\"\ast\" pour tout \"a \in I\", le graphe \"\Gamma\" de \"f\" est situ\u00e9 au dessus de la tangente en \"(a ,\, f(a))\" \u00e0 la courbe \"\Gamma\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction deux fois d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\nIl y a \u00e9quivalence entre
\n\"\ast\" \"f\" est concave sur \"I\"
\n\"\ast\" \"f'\" est d\u00e9croissante sur \"I\"
\n\"\ast\" \"f''\" est \u00e0 valeurs n\u00e9gatives ou nulles
\n\"\ast\" pour tout \"a \in I\", le graphe \"\Gamma\" de \"f\" est situ\u00e9 en dessous de la tangente en \"(A , f(a))\" \u00e0 la courbe \"\Gamma\".<\/p>\n

\"fonction D\u00e9monstration \u00e0 conna\u00eetre
\nSi la fonction \"f''\" est positive ou nulle,
\npour tout \"a \in I\", le graphe \"\Gamma\" de \"f\" est situ\u00e9 en dessous de la tangente en \"(a , \,f(a))\" \u00e0 la courbe \"\Gamma\".<\/p>\n

3.3. Point d’inflexion au programme de terminale<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et \"\Gamma\" son graphe.
\nSoit \"a \in I\" et \"A (a , \, f(a))\" est un point d’inflexion de \"\Gamma\" lorsque la courbe traverse sa tangente en \"A\".
\nCe qui est \u00e9quivalent \u00e0 \"f\" change de concavit\u00e9 en \"a\".<\/p>\n

Lorsque \"f\" est deux fois d\u00e9rivable,
\n\"A(a , f(a))\" est un point d’inflexion ssi \"f''\" s’annule en changeant de signe en \"a\".<\/p>\n

\"point<\/p>\n

3.4. Application \u00e0 la d\u00e9monstration d’in\u00e9galit\u00e9<\/h3>\n

\"\bullet\" En utilisant un raisonnement<\/a> de convexit\u00e9, on va montrer que
\n\"\ast\" pour tout r\u00e9el \"x\", \"\textrm{e} ^x \geqslant 1 + x\"
\n\"\ast\" si \"a, b\" sont r\u00e9els, \"\displaystyle \textrm{e} ^{(a + b)/2} \leqslant \frac{\textrm{e} ^a + \textrm{e} ^b} 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"f : x \mapsto \textrm{e} ^x\" est convexe sur \"\mathbb{R}\" car elle est deux fois d\u00e9rivable et \"f''(x) = f'(x) = \textrm{e} ^x \geqslant 0\"
\n\"f'(0) = 1\".
\nLa tangente en \"(0 , f(0)) = (0 , 1)\" a pour \u00e9quation \"y = 1 + x\".
\nLa courbe est au dessus de sa tangente en \"(0 , 1)\" : pour tout r\u00e9el \"x\", \"\textrm{e} ^x \geqslant 1 + x\"<\/p>\n

\"\bullet\" On conserve la m\u00eame fonction.
\nOn consid\u00e8re les points \"A(a , \textrm{e}^a )\" et \"B(b , \textrm{e}^b)\"
\nLe milieu \"C\" de ce segment a pour coordonn\u00e9es \"\left ( \displaystyle \frac {a + b} 2 \, ,\, \frac{\textrm{e} ^a + \textrm{e} ^b} 2 \right)\" , il est situ\u00e9 au dessus du point d’abscisse \"(a + b) / 2\" de \"\Gamma\"
\ndonc \"\displaystyle \textrm{e} ^{(a + b)/2} \leqslant \frac{\textrm{e} ^a + \textrm{e} ^b} 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant un raisonnement de convexit\u00e9, on va montrer que pour tout \"x > - 1\" , \"\sqrt{1 + x} \leqslant \displaystyle \frac x 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"f : x \mapsto \sqrt{1 + x}\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"]- 1 , + \infty[\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {1} {2 \sqrt{1 + x} }\"
\n\"f''(x) = \displaystyle \frac { - 1 } {4 \sqrt{1 + x} }. \frac 1 {1 + x}\"
\nen posant \"v(x) = 2 \sqrt{1 + x}\" et en utilisant \"\left ( \displaystyle \frac 1 v \right ) ' =\displaystyle \frac {- v' } {v ^2}\" avec \"v' : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {4 \sqrt{1 + x}}\"
\n\"f''(x) = \displaystyle \frac {- 1} {4 \sqrt{1 + x} \, (1 + x) } < 0\"
\n\"f\" est concave.
\n\"f'(0) = \displaystyle \frac 1 2\"
\nLa tangente en \"(0 , f(0))\" a pour \u00e9quation \"y = 1 + \displaystyle \frac 1 2 x\".
\nLa courbe est situ\u00e9e sous cette tangente donc \"\sqrt{1 + x} \leqslant 1 + \displaystyle \frac 1 2 x\,\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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