{"id":65507,"date":"2020-08-18T15:23:26","date_gmt":"2020-08-18T14:23:26","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=65507"},"modified":"2022-07-21T14:10:53","modified_gmt":"2022-07-21T13:10:53","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-derivees-convexite-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-derivees-convexite-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s d\u00e9riv\u00e9es et convexit\u00e9"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s : D\u00e9riv\u00e9es et convexit\u00e9 en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Pr\u00e9parez-vous au bac en vous exer\u00e7ant avec nos exercices sur les d\u00e9riv\u00e9es et la convexit\u00e9 au programme de Terminale. Prenez le temps de faire chaque exercice \u00e0 votre rythme et v\u00e9rifier vos connaissances en comparant vos r\u00e9sultats avec les corrig\u00e9s d’exercices<\/strong>. Le nouveau programme de maths en Terminale est tr\u00e8s lourd et demande beaucoup de travail aux \u00e9l\u00e8ves de Terminale. Prendre des cours particuliers en maths en Terminale permet de ne pas se laisser submerger par la charge de travail, et vous assure de bons r\u00e9sultats au bac.<\/p>\n

1. Calcul de d\u00e9riv\u00e9es en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

Exercice sur les calcul de d\u00e9riv\u00e9e :<\/strong><\/h3>\n

On pr\u00e9cisera s’il y a lieu l’ensemble des r\u00e9els o\u00f9 \"f\" est d\u00e9rivable. Puis on donnera une expression simplifi\u00e9e de la d\u00e9riv\u00e9e.<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f : x \mapsto (x ^2 - 4\, x + 1) \, \textrm{e} ^{x ^2}\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f : x \mapsto \displaystyle \left ( \frac x {x + 2} \right ) ^5\"<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"f : x \mapsto \textrm{e} ^{1/(x-1)}\"<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les calculs de d\u00e9riv\u00e9es\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On \u00e9crit \"f(x) = u(x) \, \textrm{e} ^{v(x)}\"
\navec \"u(x) = x ^2 - 4\, x + 1\" et \"v(x) = x^2\"
\nPuis on note \"w(x) = \textrm{e}^{v(x)}\"<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9rivabilit\u00e9
\n\"\ast\" \"v\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\", la fonction exponentielle<\/a> est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\", donc \"w\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" comme compos\u00e9e de fonctions d\u00e9rivables.
\n\"\ast\" \"u\" est une fonction polyn\u00f4me, donc est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\",
\npar produit de fonctions d\u00e9rivables, \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de la d\u00e9riv\u00e9e
\nPour tout r\u00e9el \"x\",
\n\"f'(x) = u'(x) \, \textrm{e} ^{v(x)} + u(x) \, v'(x) \, \textrm{e} ^{v(x)}\"
\n\"f'(x) = \left ( u'(x) + u(x)\, v'(x) \right ) \textrm{e} ^{v(x)}\"
\n\"f'(x) = \left ( 2 \, x - 4 + (x ^2 - 4\, x + 1) \, 2\, x \right ) \textrm{e} ^{x^2}\"
\n\"\boxed{f'(x) = 2 \,\left ( x ^3 - 4\, x ^2 + 2\, x - 2 \right ) \, \textrm{e} ^{x^2}}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"u :x \mapsto \displaystyle \frac x {x + 2}\", \"u\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\setminus\{ - 2\}\" , donc \"f = u ^5\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\setminus\{ - 2\}\" et \"f' = 5 \, u' \, u\".<\/p>\n

On \u00e9crit \"u(x) = \displaystyle \frac {a(x)} {b(x)}\" avec \"a(x) = x\" et \"b(x) = x + 2\"
\n\"u'(x) = \displaystyle \frac {a'(x) \, b(x) - a(x) \, b'(x)} {b ^5(x)}\"
\n\"u'(x) = \displaystyle \frac {x + 2 - x} {(x + 2) ^2} = \frac 2 {(x + 2)^2}\".<\/p>\n

Donc si \"x \neq - 2,\" \"\displaystyle f'(x) = 5 \times \frac 2 {(x + 2)^2} \times \left ( \frac x {x + 2} \right ) ^4\"
\n\"\boxed{\displaystyle f'(x) = \frac {10 \, x ^4 } {(x + 2)^6} }\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Domaine de d\u00e9rivabilit\u00e9
\n\"f(x) = \textrm{e} ^{u(x)}\"
\n\"u\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R} \setminus \{1\}\".
\nLa fonction exponentielle est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\", donc par composition, \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R} \setminus \{1\}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de la d\u00e9riv\u00e9e
\nSi \"x \neq 1\", \"f'(x) = u'(x) \, \textrm{e} ^{u(x)}\"
\n\"\boxed{f'(x) = \displaystyle \frac {- 1} {(x - 1)^2} \, \textrm{e} ^{1/(x - 1)}}\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

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2. Exercices avec des d\u00e9riv\u00e9es en Terminale<\/h2>\n

Exercice sur les d\u00e9riv\u00e9es en terminale g\u00e9n\u00e9rale :<\/strong><\/h3>\n

D\u00e9terminer les fonctions polyn\u00f4mes<\/a> \"P\" non nulles telles qu’il existe un r\u00e9el \"a\" tel que \"P = a\, P'^2\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les d\u00e9riv\u00e9es :<\/strong><\/h3>\n

\"\bullet\" On cherche le degr\u00e9 d’une solution \"P\".
\nOn suppose que \"P\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" que l’on \u00e9crit sous la forme \"P(x) = a_n \, x^n + Q(x)\" o\u00f9 \"Q\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n - 1\".<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\", \"P'(x) = n \, a_ n\, x^{n - 1} + Q'(x)\"
\nalors \"P'^2(x) = n^2 \, a_n ^2 \, x^{2 n - 2} + R(x)\" avec \"R\" fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 au plus \u00e9gal \u00e0 \"2\, n - 3\".
\nSi \"P(x) = a \, P'(x) ^2\" , on doit avoir \"n = 2\, n - 2\" ssi \"n = 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" On d\u00e9termine \"P\".
\nDans la suite<\/a> on cherche donc \"P : x \mapsto \alpha \, x ^2 + \beta \, x + \gamma\" avec \"\alpha \neq 0\"
\n\"P' : x \mapsto 2\, \alpha \, x + \beta\"
\nPour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"P(x) = a \, P'(x) ^2\"
\nssi pour tout r\u00e9el \"x\", \"\alpha \, x ^2 + \beta \, x + \gamma = a \left ( 4 \, \alpha ^2 \, x ^2 + 4\, \alpha \, \beta \, x + \beta ^2\right )\"<\/p>\n

On obtient les conditions n\u00e9cessaires et suffisantes par \u00e9galit\u00e9 de deux fonctions polyn\u00f4mes
\n\"\left \{ \begin{matrix} \alpha = 4\, a \, \alpha^2 \\ \beta = 4\, a \, \alpha \beta<\/p>\n

Comme \"\alpha \neq 0\"
\n\"\left \{ \begin{matrix} 1 = 4\, a \, \alpha \\ \beta (1 - 4\, a \, \alpha) = 0
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} 1 = 4\, a \, \alpha \\ \beta \times 0 = 0 ssi \"\left \{ \begin{matrix} 1 = 4\, a \, \alpha \\ \gamma = \beta^2 / (4\, \alpha) \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Les solutions non nulles sont les fonctions polyn\u00f4mes \"\qquad x \mapsto \alpha \, x^2 + \beta \, x + \displaystyle \frac {\beta^2} {4\, \alpha}\"
\navec \"\alpha \neq 0\" et dans ce cas \"a = \displaystyle \frac 1 {4\, \alpha}\".<\/p>\n

3. La convexit\u00e9 en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

Exercice 1 sur la convexit\u00e9 en terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

On note \"\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\"
\net si \"x \in \mathcal{D}\", \"f(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e}^{-x}} {x + 1}\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\n\"f''(x) = \displaystyle \frac {x ^2 + a\, x + b } {(x + 1)^3 } \, \textrm{e}^{-x}\"<\/p>\n

\"a;b =\" ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La fonction \"f\"
\na. est convexe
\nb. est concave
\nc. change de concavit\u00e9.<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

En \u00e9crivant l’\u00e9quation r\u00e9duite de la tangente en \"(0 , f(0))\", trouver une in\u00e9galit\u00e9 faisant intervenir \"f(x)\" valable sur \"] - 1 , + \infty[\".<\/p>\n

Exercice 2 sur la convexit\u00e9 en terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

\"f : x \mapsto (x +1) \, \textrm{e} ^{ - x^2}\"<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\" , \"f''(x) = 2\, Q(x) \, \textrm{e} ^{ - x^2}\" avec \"Q(x) = a(x^3 + x^2 ) - 3\, x - 1\".<\/p>\n

\"a =\" ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On peut \u00e9crire \"Q(x) = (x - 1) ( 2\, x^2 + \alpha \, x + \beta)\"<\/p>\n

avec \"\alpha;\beta =\" ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre de points d’inflexion du graphe<\/a> de \"f\" ?
\nOn pr\u00e9cisera leur(s) abscisse(s).<\/p>\n

Nombre ?<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pr\u00e9ciser l’\u00e9quation r\u00e9duite de la tangente au point d’abscisse \"1\"<\/p>\n

Correction de l’exercice 1 sur la convexit\u00e9 en terminale :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"a;b =\" 4;5<\/p>\n

\"f\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"\mathcal{D}\"<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re
\nEn \u00e9crivant \"f(x) = \displaystyle \frac 1 {a(x)} \times \textrm{e} ^{- x}\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {-a'(x)} {a^2 (x)} \times \textrm{e} ^{- x} - \frac 1 {a(x)} \times \textrm{e} ^{- x}\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \left ( \frac {-1} {(x + 1)^2} - \frac 1 {x + 1} \right ) \textrm{e} ^{- x}\"
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac { - 2 - x} {(1 + x)^2} \, \textrm{e}^{-x}\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e seconde
\nOn \u00e9crit \"f'(x) = u(x) \, \displaystyle \frac {1} {v ^2(x)} \, \textrm{e}^{-x}\"
\ndonc
\n\"f''(x) = u'(x) \, \displaystyle \frac {1} {v ^2(x)} \, \textrm{e}^{-x}\" \"\qquad \quad\displaystyle -\, u(x) \frac {2 \, v'(x)} {v^3(x)} \, \textrm{e}^{-x} - \frac {u(x)} {v ^2(x)} \, \textrm{e}^{-x}\"
\n\"f''(x)=\" \"\displaystyle \left ( \frac {- 1} {(x + 1)^2} + \frac {2(x + 2)} {(x + 1) ^3} + \frac {x + 2} {(x + 1)^2} \right ) \, \textrm{e}^{-x}\"
\nPar r\u00e9duction au m\u00eame d\u00e9nominateur
\n\"f''(x) = \displaystyle \frac {N(x)} {(x + 1)^3} \, \textrm{e}^{-x}\"
\navec \"N(x) = -(x + 1) + 2(x + 2)\" \"\qquad \qquad \qquad \quad +\, (x + 2)(x + 1)\"
\n\"N(x) = x + 3 + x^2 + 3\, x + 2\"
\n\"N(x) = x^2 + 4\, x + 5\".
\n\"\boxed{f''(x) = \displaystyle \frac {x ^2 + 4\, x + 5 } {(x + 1)^3 } \, \textrm{e}^{-x} }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"f''(x) = \displaystyle \frac {x ^2 + 4\, x + 5 } {(x + 1)^3 } \, \textrm{e}^{-x}\"
\nLe discriminant de \"x ^2 + 4\, x + 5 = 0\" est \"\Delta = 16 - 20 < 0\", donc \"x ^2 + 4\, x + 5 > 0\" pour tout r\u00e9el.
\n\"f''(x)\" est du signe de \"(x + 1)^3\".
\n\"f ''(x) > 0\" si \"x > - 1\" et \"f''(x) < 0\" si \"x < - 1\".
\n\"f\" change de concavit\u00e9 sur \"\mathcal{D}\".
\nMais le graphe n’admet pas de point d’inflexion, puisque \"f\" n’est pas d\u00e9finie en \"-1\".<\/p>\n

Question 3 : <\/strong><\/p>\n

\"f(0) = 1\" et \"f'(0) = - 2\".
\nLa tangente a pour \u00e9quation r\u00e9duite \"y = f'(0) \, x + f(0)\" soit \"y = - 2 \, x + 1\".
\nLa fonction \"f\" est convexe sur \"]-1 , + \infty[\". La courbe est au dessus de la tangente en \"(0 , f(0))\":
\npour tout \"x > - 1,\" \"\displaystyle \frac {\textrm{e}^{-x}} {x + 1}\geqslant 1 - 2\, x\".<\/p>\n

On peut aussi \u00e9crire puisque \"x + 1 > 0\",
\nsi \"x > - 1\", \"\textrm{e}^{-x} \geqslant (1 - 2 \, x) (x + 1)\"
\ncette in\u00e9galit\u00e9 reste vraie en \"- 1\".
\nSi \"x \geqslant - 1\", \"\boxed{\textrm{e} ^{-x} \geqslant (1 - 2\, x)\,(1 + x) }\".<\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur la convexit\u00e9 en terminale :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"a =\" 2<\/p>\n

\"f\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\"
\n\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re
\n\"f(x) = a(x) \, \textrm{e} ^{b(x)}\"
\n\"f(x) = a'(x) \, \textrm{e} ^{b(x)} + a(x) \, b'(x) \,\textrm{e} ^{b(x)}\"
\n\"f'(x) = (a'(x) + a(x)\, b'(x)) \, \textrm{e} ^{b(x)}\"
\n\"f'(x) = (1 - 2\, x (x + 1) ) \, \textrm{e} ^{- x^2}\"
\n\"f'(x) = (1 - 2 \, x - 2 \, x^2) \, \textrm{e} ^{- x^2}\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e seconde
\ncomme ci-dessus,
\n\"f''(x) = (a'(x) + a(x)\, b'(x)) \textrm{e} ^{b(x)}\"
\navec \"a(x) = 1 - 2 \, x - 2 \, x^2\"
\n\"f''(x)\" \"= \left ( - 2 - 4\, x - 2\, x (1 - 2 \, x - 2 \, x^2) \right ) \, \textrm{e} ^{- x^2}\"
\n\"= 2 \left ( -1 - 2 \, x - x + 2\, x^2 + 2\, x^3 \right ) )\, \, \textrm{e} ^{- x^2}\"
\n\"\boxed{f''(x) = 2 \left (2 \, x^3 + 2\, x ^2 - 3 \, x - 1 \right ) \, \textrm{e} ^{- x^2} }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

avec \"\alpha;\beta =\" 4;1<\/p>\n

\"Q(1) = 0\", on peut factoriser \"x - 1\" et \u00e9crire
\n\"Q(x) = (x - 1) ( \gamma\, x^2 + \alpha \, x + \beta)\"
\nen comparant les termes en \"x ^3\", on obtient \"\gamma = 2\".<\/p>\n

On d\u00e9veloppe
\n\"Q(x) = (x - 1) ( 2\, x^2 + \alpha \, x + \beta)\"
\n\"Q(x) = 2\, x^3 + (\alpha - 2)\, x^2 + (\beta - \alpha ) x - \beta\"
\npar unicit\u00e9 de l’\u00e9criture d’une fonction polyn\u00f4me
\n\"\left \{ \begin{matrix} \alpha - 2 = 2\\ \beta - \alpha = - 3 \\ - \beta = - 1 \end{matrix} \right.\" ssi \"\left \{ \begin{matrix} \alpha = 4\\ \beta = 1 \end{matrix} \right.\"
\ndonc \"\boxed{Q(x) = (x - 1) (2\, x^2 + 4\, x + 1) }\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

Nombre = 3<\/p>\n

Les racines de \"2\, x^2 + 4\, x + 1 = 0\" sont \"\displaystyle \frac { - 2 - \sqrt{2} } 2\" et \"\displaystyle \frac {\sqrt{2} - 2 } 2\".
\n\"Q\" et donc \"f''\" s’annule en changeant de signe en
\n\"\qquad 1\", \"\displaystyle \frac { - 2 - \sqrt{2} } 2\" et \"\displaystyle \frac {\sqrt{2} - 2 } 2\"
\nOn a trois points d’inflexion.<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

L’\u00e9quation r\u00e9duite de la tangente au point d’abscisse 1 est
\n\"y = f'(1)(x - 1) + f(1)\"
\n\"f(1) = 2\, \textrm{e}^{- 1}\" , \"f'(1) = - 3\, \textrm{e} ^{ - 1}\"
\n\"\boxed{y = \textrm{e} ^{ - 1} \left ( - 3\, x + 5\right )}\".<\/p>\n

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