{"id":66225,"date":"2020-08-20T17:52:53","date_gmt":"2020-08-20T16:52:53","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=66225"},"modified":"2023-05-03T13:45:46","modified_gmt":"2023-05-03T12:45:46","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-fonction-logarithme-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-fonction-logarithme-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s fonctions logarithmes terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s : les fonctions logarithmes en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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1. \u00c9quations de fonction logarithme en Terminale<\/h2>\n

Exercice sur les \u00e9quations de fonction logarithme en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

R\u00e9soudre les \u00e9quations d’inconnue \"x \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

\"6 \, \textrm{e} ^{2 \, x} - 5 \, \textrm{e} ^x + 1 = 0\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\"\ln(x - 3) + \ln(x + 1) = \ln(x ^2 + 5)\"<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"\ln(3 - x) + \ln(3 + x) = \ln (11 - 3 \,x)\"<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

\"\ln(6\, x -2)+\ln(2\,x -1) = \ln(x)\".<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

\"\ln(3 \, x + 1) + \ln(3 \, x - 2)\" \"\qquad \qquad \qquad = \ln(x ^2 - x + 1)\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les \u00e9quations de fonction logarithme en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Solution : -ln(3);-ln(2)<\/p>\n

En notant \"t = \textrm{e} ^x\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation : \"\qquad \qquad 6 \, t ^2 - 5 \, t + 1 = 0\" dont le discriminant est \"\Delta = 25 - 24 = 1\" et les racines sont<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \frac {5 - 1} {12} = \frac 1 3\" et \"\displaystyle \frac {5 + 1} {12} = \frac 1 2\".<\/p>\n

Il reste \u00e0 r\u00e9soudre<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{e} ^x = \frac 1 3\" ssi \"\displaystyle x = \ln\left (\frac 1 3 \right ) = - \ln (3)\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \textrm{e} ^x = \frac 1 2\" ssi \"x =\displaystyle \ln \left (\frac 1 2 \right ) = - \ln (2)\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est \"\qquad \boxed{\mathcal{S} = \{ -\ln(3) ,-\ln( 2)\}}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Solution : pas de solution<\/p>\n

On suppose que \"x > 3\", \"x > - 1\" ssi \"x > 3\"<\/p>\n

Sous la condition \"x > 3\", l’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0<\/p>\n

\"\ln\left ( (x - 3) \,(x + 1)\right ) = \ln(x ^2 + 5)\"<\/p>\n

ssi \"(x - 3) \,(x + 1) = x ^2 + 5\"<\/p>\n

ssi \"x ^2 - 3\, x + x - 3 = x^2 + 5\"<\/p>\n

ssi \"2\, x = - 8\" ssi \"x = - 4\".<\/p>\n

Comme \"-4\" n’est pas dans l’ensemble de d\u00e9finition, l’\u00e9quation n’a pas de solution.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

Solution : 1;2<\/p>\n

On suppose que<\/p>\n

\"3 - x > 0\", \"3 + x > 0\" et \"11 - 3 \, x > 0\"<\/p>\n

ssi \"x < 3\", \"x > - 3\" et \"x < 11/3\"<\/p>\n

ssi \"- 3 < x < 3\".<\/p>\n

Sous ces conditions, l’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0<\/p>\n

\"\ln ((3 - x)(3 + x)) = \ln (11 - 3 \,x)\"<\/p>\n

ssi \"9 - x^2 = 11 - 3 \, x\"<\/p>\n

ssi \"x ^2 - 3 \, x + 2 = 0\".<\/p>\n

\"1\" est racine \u00e9vidente de cette \u00e9quation, l’autre est donc \u00e9gale au produit \"2\" des racines.<\/p>\n

Les valeurs \"1\" et \"2\" v\u00e9rifient les conditions impos\u00e9es \u00e0 \"x\", donc l’ensemble des solutions est \"\boxed{\mathcal{S} = \{ 1 , 2\}}\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

Solution : 2\/3<\/p>\n

On suppose que \"6\, x -2 > 0\", \"2 \, x - 1 > 0\" et \"x > 0\" ssi \"x > 1/2\".<\/p>\n

Sous cette condition, l’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0<\/p>\n

\"\quad \ln((6\, x -2)(2\,x -1)) = \ln(x)\"<\/p>\n

soit \u00e0 \"(6\, x -2)(2\,x -1) = x\"<\/p>\n

par stricte croissance de la fonction \"\ln\".<\/p>\n

On obtient la condition n\u00e9cessaire et suffisante :<\/p>\n

\"12 \, x ^2 - 4 \, x - 6 \, x + 2 = x\"<\/p>\n

ssi \"12\, x ^2 - 11 \, x + 2 = 0\"<\/p>\n

dont le discriminant est \u00e9gal \u00e0 \"\Delta = 121 - 8 \times 12 =25\" et les racines sont \"\displaystyle \frac {11 + 5} {24} = \frac 2 3\" et<\/p>\n

\"\displaystyle \frac {11 - 5} {24 } = \frac 1 4\".<\/p>\n

Seule \"\displaystyle \frac {2} 3\" v\u00e9rifie \"\displaystyle \frac {2} 3 > \frac 1 2\".<\/p>\n

L’\u00e9quation admet une unique solution \"\boxed{\displaystyle \frac {2} 3}\" .<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

Solution : 3\/4<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\", \"x ^2 - x + 1 > 0\" car le discriminant est \u00e9gal \u00e0 \"\Delta = - 3\".<\/p>\n

On suppose que<\/p>\n

\"3 \, x + 1 > 0\" et \"3 \, x - 2 > 0\" ssi \"x > 2 /3\".<\/p>\n

Sous cette condition, l’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0<\/p>\n

\"\ln((3\, x + 1) (3 \, x - 2) ) = \ln(x ^2 - x + 1)\"<\/p>\n

soit \u00e0 \"(3\, x + 1) (3 \, x - 2 ) = x ^2 - x + 1\"<\/p>\n

ssi \"9\, x ^2 + 3 \, x - 6 \, x - 2 = x ^2 - x + 1\"<\/p>\n

ssi \"8\, x ^2 - 2 \, x - 3 = 0\"<\/p>\n

dont le discriminant vaut \"\qquad \qquad \Delta = 4 + 96 = 100\".<\/p>\n

Les deux racines sont \"\displaystyle \frac {2 + 10} {16} = \frac 3 4\" et \"\displaystyle \frac {2 - 10} {16} = \frac {-1} 2\".<\/p>\n

\"\displaystyle \frac 3 4 - \frac 2 3 = \frac {9 - 8} {12} > 0\"<\/p>\n

Seule \"3 /4\" est sup\u00e9rieure \u00e0 \"2/3\", c’est la seule solution de l’\u00e9quation.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2. In\u00e9quations de fonction logarithme en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

Exercice sur les in\u00e9quations de fonction logarithme en Terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

L’ensemble des solutions de \"\qquad \quad 4 \, \textrm{e} ^x + 2 \, \textrm{e} ^{ - x} > 9\" est<\/p>\n

\"] - \infty\, , \, a \, \ln(b)[\, \cup \, ] \ln(c)\, , \, + \infty[\"<\/p>\n

avec \"a,b,c\" = ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

L’ensemble des solutions de<\/p>\n

\"\qquad \quad 7 \, \textrm{e} ^x < \textrm{e} ^{2 \, x} + 1 2 < 8 \, \textrm{e} ^{ x}\" est \"\mathcal{S} = ]\ln(a) ,\, \ln(b)[\, \cup \, ] c \, \ln(c) , \, \ln(d) [\" .\u00a0
\n<\/strong><\/p>\n

avec \"a,b,c,d =\" ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les in\u00e9\u00e9quations de fonction logarithme en Terminale<\/h3>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

avec \"a,b,c\" = -2,2,2<\/p>\n

En notant \"t = \textrm{e} ^x\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation : \"\qquad \qquad \displaystyle 4 \, t + \frac {2} t > 9\".<\/p>\n

Comme \"t > 0\" elle est \u00e9quivalente \u00e0 \"\qquad \qquad 4 \ t ^2 - 9 \, t + 2 > 0\".<\/p>\n

Le discriminant de l’\u00e9quation \"4 \ t ^2 - 9 \, t + 2 = 0\" est \"\Delta = 81 - 32 = 49\"<\/p>\n

Cette \u00e9quation admet deux racines distinctes \"\displaystyle \frac{ 9 - 7} 8 = \frac 1 4\" et \"\displaystyle \frac{ 9 + 7} 8 = 2\".<\/p>\n

On \u00e9crit donc \"\displaystyle 4 \, t + \frac {2} t > 9\"<\/p>\n

ssi \"(4 \, t - 1) (t - 2) > 0\"<\/p>\n

ssi \"t > 2\" ou \"t < 1/4\".<\/p>\n

Donc l’in\u00e9quation propos\u00e9e est \u00e9quivalente \u00e0 \"\textrm{e} ^x > 2\" ou \"\textrm{e} ^x < 1 / 4\"<\/p>\n

ssi \"x > \ln(2)\" ou \"x < - 2 \; \ln(2)\".<\/p>\n

\"\mathcal{S} =\; ] - \infty, - 2 \, \ln(2)[\; \cup \; ] \ln(2) , + \infty[\;\" .<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

avec \"a,b,c,d =\" 2,3,2,6<\/p>\n

\"7 \, \textrm{e} ^x < \textrm{e} ^{2 \, x} + 1 2 < 8 \, \textrm{e} ^{ x}\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} \textrm{e} ^{2 \, x} + 1 2 - 7 \, \textrm{e} ^x > 0 \\<\/p>\n

soit en posant \"t = \textrm{e} ^{ x}\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} t ^2 - 7 \, t + 12 > 0\\ t ^2 - 8 \, t + 12 < 0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\ast\" Le discriminant \"\Delta\" de \"t ^2 - 7\, t + 12 = 0\" est \"\Delta = 49 - 48 = 1\", les racines sont \"3\" et \"4\", ce qui donne la factorisation<\/p>\n

\"\quad t ^2 - 7 \,t + 12 = (t - 3)(t - 4)\".<\/p>\n

\"\ast\" Le discriminant \"\Delta\" de \"t ^2 - 8\, t + 12 = 0\" est \"\Delta = 64 - 48 = 16\", les racines sont \"2\" et \"6\", ce qui donne la factorisation<\/p>\n

\"\quad t ^2 - 8 \, t + 12 = (t - 2)(t - 6)\".<\/p>\n

On r\u00e9sout en premier lieu le syst\u00e8me d’in\u00e9quations<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} (t - 3)(t - 4) > 0\\ (t - 2)(t - 6)< 0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} t < 3 \textrm { ou } t > 4\\ 2 < t < 6 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

en s’aidant si n\u00e9cessaire d’un tableau de signes, on obtient \"2 < t < 3\" ou \"4 < t < 6\".<\/p>\n

On rappelle que \"t = \textrm{e} ^{ x}\".<\/p>\n

On a donc obtenu<\/p>\n

\"\qquad 2 < \textrm{e} ^{ x} < 3\" ou \"4 < \textrm{e} ^{ x} < 6\"<\/p>\n

ce qui donne par stricte croissance de la fonction \"\ln\"<\/p>\n

\"\ln(2) < x < \ln (3)\" ou \"\ln(4) < x < \ln(6)\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est \"\; \; \; \boxed{\mathcal{S} = ]\ln(2)\, ,\, \ln(3)[\, \cup \, ] 2 \, \ln(2)\, , \, \ln(6) [\;}\" .<\/p>\n

 <\/p>\n

3. Syst\u00e8mes d’\u00e9quations en Terminale<\/h2>\n

Exercice sur les syst\u00e8mes d’\u00e9quations au programme de terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre le syst\u00e8me \"\qquad \left \{ \begin{matrix} \ln(x\, y + y - x - 1) = 1 \\ x \, y + x + y = 2 \end{matrix} \right.\"
\n<\/strong><\/p>\n

valeur de \"x\" = ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre le syst\u00e8me \"\qquad \left \{ \begin{matrix} \ln(x) + \ln(y) = 1/2\\ x + y = 4\end{matrix} \right.\"
\n<\/strong><\/p>\n

Nombre de solutions ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les syst\u00e8mes d’\u00e9quations au programme de terminale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Valeur de \"x\" = (1-e)\/2 ou (1-e^1)\/2<\/p>\n

Le syst\u00e8me suppose que \"\qquad \quad x \, y + y - x - 1 > 0\"<\/p>\n

et il s’\u00e9crit \"\left \{ \begin{matrix} x\, y + y - x - 1 = \textrm{e} ^1 \\ x \, y + x + y = 2 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

en rempla\u00e7ant la premi\u00e8re \u00e9quation par la diff\u00e9rence de la deuxi\u00e8me et de la premi\u00e8re, on obtient un syst\u00e8me \u00e9quivalent :<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} 2\, x = 1 - \textrm{e} \\ x \, y + x + y = 2 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} x = (1 - \textrm{e} )/2 \\ (x + 1) \, y = 2 - x \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} x = (1 - \textrm{e} )/2 \\ (3 - \textrm{e}) \, y = 3 + \textrm{e} \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\displaystyle x = \frac {1 - \textrm{e}} 2\" et \"y = \displaystyle \frac {3 + \textrm{e}}{3 - \textrm{e}}\"<\/p>\n

Dans ce cas, \"x\, y + y - x - 1 = \textrm{e} > 0\", donc les r\u00e9els obtenus sont bien solutions<\/p>\n

Le syst\u00e8me admet une unique solution : \"\qquad \quad \displaystyle \boxed{x = \frac {1 - \textrm{e}} 2 }\" et \"\boxed{y = \displaystyle \frac {3 + \textrm{e}}{3 - \textrm{e}}}\".<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

Nombre de solutions : 2<\/p>\n

On impose donc \"x > 0\" et \"y > 0\" et le syst\u00e8me est \u00e9quivalent \u00e0<\/p>\n

\"\quad \left \{ \begin{matrix} \ln(x \, y) = 1\\ x + y = 4\end{matrix} \right.\" ssi \"\left \{ \begin{matrix} x\, y = \textrm{e} \\ x + y = 4\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"x\" et \"y\" sont les racines de l’\u00e9quation<\/p>\n

\"\qquad t ^2 - s \, t + p = t ^2 - 4 \, t + \textrm{e} = 0\"<\/p>\n

de discriminant \"\qquad \Delta = 16 - 4 \,\textrm{e} = 4 \, ( 4 - \textrm{e} ) > 0\".<\/p>\n

On obtient deux racines \"t _ 1 = \displaystyle \frac{ 4 - 2 \sqrt{4 - \textrm{e}}} 2 = 2 - \sqrt{4 - \textrm{e}}\" et \"t_2 =2 + \sqrt{4 - \textrm{e}}\".<\/p>\n

Il y a deux couples solutions<\/p>\n

\"\;\; (x , y) = (t_1 \,,\, t_2)\" et \"(x , y) = (t_2 \,,\, t_1)\".<\/p>\n

 <\/p>\n

4. Calculs de d\u00e9riv\u00e9es de fonctions log en Terminale<\/h2>\n

Exercice sur les calculs de d\u00e9riv\u00e9es en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Dans cette partie, pr\u00e9ciser le domaine de d\u00e9rivabilit\u00e9<\/a> et calculer la d\u00e9riv\u00e9e des fonctions suivantes :<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

\"x \mapsto \ln(x ^2 + x + 1)\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\"x \mapsto \ln(9 - x^2)\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"x \mapsto \ln(6\, x^2 + x - 1)\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

\"x \mapsto \ln(2\, \textrm{e} ^{x} - \textrm{e} ^{ - x} +1)\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les calculs de d\u00e9riv\u00e9es en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

Le discriminant de \"x ^2 + x + 1= 0\" est \"\Delta = - 3 < 0\", donc pour tout r\u00e9el \"x\", \"x ^2 + x + 1 > 0\".<\/p>\n

On note \"u : x \mapsto x ^2 + x + 1\".<\/p>\n

La fonction \"f : x \mapsto \ln(x ^2 + x + 1)\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" par composition et<\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}\", \"\boxed{f'(x) = \displaystyle \frac {2 \, x + 1} {x ^2 + x + 1} }\" .<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9rivabilit\u00e9<\/strong><\/p>\n

Soit \"u : x \mapsto 9 - x^2\"<\/p>\n

\"u(x) = (3 - x)(3 + x)\",<\/p>\n

\"u(x) > 0\" ssi \"x \in \; ] - 3 , 3[\".<\/p>\n

La fonction \"f : x \mapsto \ln(u(x))\" est d\u00e9rivable sur \"] - 3 , 3[\" par composition de fonctions d\u00e9rivables.<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e<\/strong> si \"x \in\; ] - 3 , 3[\",<\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}\", \"\boxed{f'(x) = \displaystyle \frac {- 2 \, x} {9- x^2} }\".<\/p>\n

Question 3 : <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9rivabilit\u00e9<\/strong><\/p>\n

Soit \"u : x \mapsto 6\, x^2 + x - 1\".<\/p>\n

Le discriminant est \u00e9gal \u00e0 \"\qquad \quad \Delta = 1 + 24 = 25\".<\/p>\n

Les racines de \"u(x) = 0\" sont donc \"\displaystyle \frac { - 1 - 5} {12} = \frac {- 1} 2\" et \"\displaystyle \frac { - 1 + 5} {12} = \frac {1} 3\"<\/p>\n

donc \"u(x) = (3 \, x - 1) (2 \, x + 1)\"<\/p>\n

\"u(x) > 0\" ssi \"x < -1/2\" ou \"x > 1/3\".<\/p>\n

\"f : x \mapsto \ln(u(x))\" est d\u00e9rivable sur \"\qquad \boxed{\mathcal{D} =\; ] - \infty, - 12[ \, \cup \, ]1/3 , + \infty[\,}\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e<\/strong><\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}\", \"\boxed{f'(x) = \displaystyle \frac {12 \, x + 1} {6\, x^2 + x - 1} }\" .<\/p>\n

Questions 4 : <\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9rivabilit\u00e9<\/strong><\/p>\n

On note \"u(x) = 2\, \textrm{e} ^{x} - \textrm{e} ^{ - x} + 1\" et \"t = \textrm{e} ^{x}\"<\/p>\n

\"u(x) =\displaystyle 2 \, t - \frac 1 t + 1 = \frac 1 t \left ( 2 \, t ^2 + t - 1 \right )\"<\/p>\n

\"-1\" est racine \u00e9vidente de \"\qquad \quad 2 \, t ^2 + t - 1= 0\",<\/p>\n

l’autre racine est \u00e9gale \u00e0 l’oppos\u00e9 \"-1/2\" du produit des racines donc \u00e0 \"1/2\".<\/p>\n

On peut factoriser \"\qquad 2 \, t ^2 + t - 1 = (2 \, t - 1) (t + 1)\"<\/p>\n

et donc \"u(x) = \displaystyle \frac {(2 \, t - 1) (t + 1)} t\"<\/p>\n

soit \"u(x) = \textrm{e} ^{ - x} \left ( \textrm{e} ^x + 1 \right ) \, \left ( 2\, \textrm{e} ^x -1 \right )\".<\/p>\n

\"u(x)\" est du signe de \"2\, \textrm{e} ^x -1\".<\/p>\n

\"u(x) > 0\" ssi \"2\, \textrm{e} ^x -1 > 0\" ssi \"x > \displaystyle \ln \left( \frac 1 2 \right )\" ssi \"x > - \ln(2)\".<\/p>\n

\"f\" est d\u00e9rivable sur \"\boxed{\; ] - \ln(2) , \, + \infty[\; }\" par composition.<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9riv\u00e9e<\/strong><\/p>\n

\"f'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}\" avec \"u'(x) = 2\, \textrm{e} ^{x} + \textrm{e} ^{ - x}\"
\ndonc \"f'(x) = \displaystyle \frac {2\, \textrm{e} ^{x} + \textrm{e} ^{ - x}} {2\, \textrm{e} ^{x} - \textrm{e} ^{ - x} + 1}\"
\nqui est aussi \u00e9gal \u00e0 :
\n\"f'(x) = \displaystyle \frac {2\, \textrm{e} ^{2\, x} + 1} {2\, \textrm{e} ^{2\, x} + \textrm{e} ^{ x} - 1}\;\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

5. Calculs de limites de fonction logarithme<\/h2>\n

Exercice sur le calcul de limites en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+ } (x - \ln(x))\".<\/p>\n

Valeur ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x))\".<\/p>\n

Valeur ?<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\n\"\displaystyle \lim_{x \to+ \infty } \frac {\ln(x) + 1} {\ln(x)}\".<\/p>\n

Valeur ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur le calcul de limites en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nValeur = \"+\infty\"<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+ } \ln(x) = - \infty\" et \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+ } x = 0\" donc\"\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+ } (x - \ln(x) ) =+ \infty}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\nValeur = \"+\infty\"<\/p>\n

C’est une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\infty - \infty\".<\/p>\n

\"\displaystyle f(x) = x - \ln(x) = x \, \left (1 - \frac {\ln(x)} x \right )\"
\navec \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {\ln(x)} x = 0\" donc
\n\"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 - \frac {\ln(x)} x \right ) = 1\"
\npuis par produit, \"\displaystyle \boxed{\lim_{x \to+ \infty}(x - \ln(x)) = + \infty}\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nValeur = 1<\/p>\n

C’est une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\displaystyle \frac {\infty} {\infty}\".<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle 1 + \frac { 1} {\ln(x)}\"
\navec \"\displaystyle \lim_{x \to+ \infty } \frac {1} {\ln(x)} = 0\"
\ndonc \"\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to+ \infty } \frac {\ln(x) + 1} {\ln(x)} = 1}\".<\/p>\n

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