{"id":66585,"date":"2020-08-21T17:13:18","date_gmt":"2020-08-21T16:13:18","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=66585"},"modified":"2022-12-14T15:57:23","modified_gmt":"2022-12-14T14:57:23","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-nombres-complexes-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-nombres-complexes-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s nombres complexes Terminale"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Exercices et corrig\u00e9s : Les nombres complexes en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

\n

Se pr\u00e9parer au bac avec les exercices et les corrig\u00e9s d’exercices sur le chapitre des nombres complexes au programme de maths en Terminale en option maths expertes. L’apprentissage des math\u00e9matiques ne sera efficace que s\u2019il y a entra\u00eenement sur des exercices ou sur des annales de maths du bac. Ceci est d’autant plus vrai pour les cours de maths en option maths expertes. Le niveau y est tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9 et les exigences des professeurs le sont aussi. Pour \u00eatre s\u00fbr de pouvoir suivre le rythme des cours, les \u00e9l\u00e8ves de terminale ont la possibilit\u00e9 de prendre des cours particuliers de maths<\/a> et\/ou de suivre des stages intensifs de r\u00e9visions pendant les vacances scolaires.<\/p>\n

1. Calcul sur les nombres complexes en Terminale, Maths Expertes<\/h2>\n

Exercices sur la forme cart\u00e9sienne des nombres complexes\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Calculer la forme cart\u00e9sienne des complexes suivants :<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\n\"(2 - 3\,\textrm{i })^2\"<\/p>\n

\"a;b =\" ?<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>\"(3 + 2\, \textrm{i} )^3\"
\n<\/strong><\/p>\n

\"a;b =\" ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\n\"(2 - \textrm{i}) ^5\"<\/p>\n

\"a;b=\" ?<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong>
\n\"\displaystyle \frac {\textrm{i} - 5} {3 + 5\, \textrm{ i} }\"<\/p>\n

\"a;b=\" ?<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong>
\n\"\displaystyle \frac {3 + 4\, \textrm{i}}{5 - 7\, \textrm{i}}\"<\/p>\n

\"a;b=\" ?<\/p>\n

Exercice de calcul dans le plan complexe<\/strong><\/h3>\n

Soit \"Z = \displaystyle \frac {1 + z} z\" .
\nD\u00e9terminer l’ensemble des points \"M\" d’affixe \"z\" tels que \"Z\" soit r\u00e9el,
\npuis l’ensemble des points \"M\" d’affixe \"z\" tels que \"Z\" soit imaginaire pur.<\/p>\n

Exercices de calcul sur les modules\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nR\u00e9soudre \"z + \overline {z} = \vert z \vert\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nEnsemble des complexes<\/a> \"z\" tels que \"z\", \"z^2\" et \"1 - z\" aient m\u00eame module.<\/p>\n

Nombre de solutions ?<\/p>\n

Exercices sur les \u00e9quations des nombres complexes\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\nL’\u00e9quation \"(4 - \textrm{i}) (1 + 3\, \textrm{i}) z = 2 - 3\, \textrm{i}\"
\nadmet une unique solution \"z = x + \textrm{i}\, y\" avec \"x;y=\" ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nL’\u00e9quation \"(3 + 2\, \textrm{i} ) \, z + (1 - 5\, \textrm{i} ) \,\overline{z} = - 19 - 2 \, \textrm{i}\"
\nadmet une unique solution \"z = x + \textrm{i} \, y\" avec \"x;y =\" ?<\/p>\n

Correction des exercices sur la forme cart\u00e9sienne des nombres complexes\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\n\"(2 + 3\, \textrm{i } )^2 = 2 ^2 - 3 ^2 - 2\, . \, 2\, (3\, \textrm{i})\"
\n\"\boxed{(2 + 3\, \textrm{i}) ^2 = - 5 - 12\, \textrm{i}}\".<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>En utilisant le bin\u00f4me de Newton
\n\"(a + b)^3 = a^3 + 3\,a^2\, b + 3\, a \, b ^2 + b ^3\"<\/p>\n

\"(3 + 2\, \textrm{i} )^3 = 3^3 + 3\times 3 ^2 \times 2\, \textrm{i}\" \"\qquad \qquad + 3\times 3 \times (- 4 ) - 8 \, \times i\"
\n\"(3 + 2\, \textrm{i} )^3 =27 + 54\, \textrm{i} - 36 - 8 \, \textrm{i}\"
\n\"\boxed{(3 + 2\, \textrm{i} )^3 = - 9 + 46\, \textrm{i} }\".<\/p>\n

Question 3 :
\n<\/strong>En utilisant le bin\u00f4me de Newton
\n\"(a - b)^3 = a^5 - 5\,a^4\, b +10 \, a ^3 \, b ^2\" \"\qquad \qquad -\, 10 \, a ^2 \, b ^3 + 5 \, a \, b ^4 - b ^5\"<\/p>\n

\"z = (2 - \textrm{i}) ^5 = 2^5 - 5 \times 2 ^4 \textrm{ i}\" \"\qquad +\, 10 \times 2 ^3 \times (-1) - 10 \times 4 \times ( -\textrm{i})\" \"\qquad + \, 5 \times 2 \times (1) - \textrm{i}\"
\n\"z = 32 - 80 \textrm{ i} - 80 + 40\, \textrm{i} + 10 - \textrm{i}\"
\n\"z =\boxed{ - 38 - 41\textrm{ i} }\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong>
\n\"\displaystyle z = \frac {\textrm{i} - 5} {3 + 5\, \textrm{ i} }\"
\n\"\displaystyle z = \frac {\left ( \textrm{i} - 5\right) \, \left ( 3 - 5\, \textrm{ i}\right) } {3 ^2 + 5 ^2 }\"
\n\"\displaystyle z = \frac { 3\, \textrm{i} - 15 + 5 +25 \textrm{ i} } {34}\"
\n\"\displaystyle z = \frac { - 10 +28 \textrm{ i}} {34} = \boxed{\frac {-5} {17} + \frac {14} {17} \, \textrm{i} }\".<\/p>\n

Question 5 :
\n<\/strong>\"z = \displaystyle \frac {3 + 4\, \textrm{i}}{5 - 7\, \textrm{i}}\"
\n\"z = \displaystyle \frac {(3 + 4\, \textrm{i})\, (5 + 7 \, \textrm{i} ) }{5^2 + 7 ^2}\"
\n\"z = \displaystyle \frac {15 - 28 + \textrm{i} (20 + 21)} {25 + 49}\"
\n\"z =\boxed{ \displaystyle \frac { -13 + 41\, \textrm{i} } {74}}\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Correction de l’exercice de calcul dans le plan complexe<\/strong><\/h3>\n

On cherche la forme cart\u00e9sienne de \"Z\".
\n\"\bullet\" On suppose que \"z = x + \textrm{i} \, y\" avec \"z \neq 0\" et \"(x , y) \in \mathbb{R}^2\"
\nOn \u00e9crit que \"Z = \displaystyle 1 + \frac 1 z = 1 + \frac {\overline{z} } {\vert z \vert ^2}\"
\n\"Z = \displaystyle 1 + \frac {x - \textrm{i} \, y} {x ^2 + y ^2}\"
\ndonc \"\mathcal{R}e(Z) = \displaystyle 1 + \frac {x} {x ^2 + y ^2}\"
\n\"\qquad \; \mathcal{I}m(Z) = \displaystyle-\frac {y} {x ^2 + y ^2}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"Z \in \mathbb{R}\" ssi \"\mathcal{I}m(Z) = \displaystyle-\frac {y} {x ^2 + y ^2} = 0\"
\nssi \"y = 0\" et \"z \neq 0\"
\nssi \"M\" est un point de l’axe des r\u00e9els diff\u00e9rent de \"O\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"Z\" est imaginaire pur
\nssi \"\mathcal{R}e(Z) = \displaystyle 1 + \frac {x} {x ^2 + y ^2} = 0\"
\nssi \"x^2 + y^2 + x = 0\" et \"(x , y) \neq (0 , 0)\"
\nOn \u00e9crit \"x ^2 + y ^2 + x = (x + 1/2)^2 + y ^2 - 1/4\"
\n\"Z\" est imaginaire pur ssi \"(x + 1/2)^2 + y ^2 = 1/4\" et \"(x , y) \neq (0 , 0)\"
\nssi \"M\" est un point du cercle de centre \"(-1/2 , 0)\" et de rayon \"1/2\" diff\u00e9rent de \"O\".<\/p>\n

Correction des exercices de calcul sur les modules\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nOn note \"z = x + \textrm{i} \, y\" o\u00f9 \"(x , y) \in\mathbb{R}^2\" .
\nOn r\u00e9sout donc \"2 \, x = \sqrt{x ^2 + y^2}\"
\nssi \"x \geqslant 0\" et \"4 \, x^2 = x^2+ y ^2\"
\nssi \"x \geqslant 0\" et \"3 \, x^2 = y ^2\"
\nssi \"x \geqslant 0\" et \"y = \sqrt{3} \, x\" ou \"y = - \sqrt{3}\, x\"<\/p>\n

L’ensemble des solutions est la r\u00e9union des deux ensembles :
\n\"\quad \{ x \left ( 1 + \textrm{i } \sqrt{3} \right ) \, /\, x \geqslant 0\}\"
\n\"\quad \{ x \left ( 1 - \textrm{i } \sqrt{3} \right ) \, /\, x \geqslant 0\}\".<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong>Nombre de solutions : 2\u00a0
\n<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"\vert z \vert = \vert z^2 \vert\" ssi \"\vert z \vert = \vert z \vert^2\"
\nssi \"\vert z \vert \left ( 1 - \vert z \vert \right ) = 0\"
\nssi \"\vert z \vert = 0\" ou \"\vert z \vert = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\vert z \vert = 0\" alors \"z = 0\" donc \"1 - z = 1\", les trois modules ne sont pas \u00e9gaux.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\vert z \vert = 1\", on \u00e9crit \"z = x + \textrm{i} \, y\" avec \"(x , y) \in \mathbb{R}^2\" et \"x^2 + y^2 = 1\"
\n\"\vert 1 - z \vert ^2 = (1 - x)^2 + y^2\"
\n\"\vert 1 - z \vert ^2 = x^2 + y^2 - 2 \, x + 1 = 2 - 2\, x\"
\n\"\vert 1 - z \vert = 1\" ssi \"2 - 2\, x = 1\" ssi \"x = 1/2\"
\nalors \"y^2 = 1 - x^2 = 3/4\".<\/p>\n

Il y a deux solutions
\n\"\qquad \quad \boxed { \displaystyle \frac {1 + \textrm{i } \, \sqrt{3}} 2\textrm{ et } \frac {1 - \textrm{i }\, \sqrt{3}} 2}\".<\/p>\n

Correction des exercices sur les \u00e9quations des nombres complexes\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\"x;y=\" -19\/170;-43\/170<\/p>\n

\"(4 - \textrm{i}) (1 + 3\, \textrm{i}) z = 5 - 3\, \textrm{i}\"
\nssi \"( 4 - \textrm{i} + 12 \, \textrm{i} + 3)\, z = 2 - 3 \, \textrm{i}\"
\nssi \"(7 + 11 \, \textrm{i}) \, z = 2 - 3 \, \textrm{i}\"
\nssi \"\displaystyle z = \frac {2 - 3 \, \textrm{i}} {7 + 11 \, \textrm{i}}\"
\nssi \"\displaystyle z = \frac {(2 - 3 \, \textrm{i})\, ( 7 - 11 \, \textrm{i})}{49 + 121}\"
\nssi \"z = \displaystyle \frac {14 - 33 - (21 + 22) \, \textrm{i}} {170}\"
\nssi \"z = \displaystyle \frac {-19 - 43 \, \textrm{i} } {170}\"
\nssi \"\boxed{z = \displaystyle \frac {-19 - 43 \, \textrm{i} } {170}}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\n\"x;y =\" 4;5<\/p>\n

\"(3 + 2\, \textrm{i} ) \, z + (1 - 5\, \textrm{i} ) \,\overline{z} = - 19 - 2 \, \textrm{i}\"
\nOn note \"z = x + \textrm{i} \, y\" avec \"(x , y) \in \mathbb{R}^2\".
\nL’\u00e9quation s’\u00e9crit
\n\"(3 + 2\, \textrm{i} ) \, (x + \textrm{i} \, y) + (1 - 5\, \textrm{i} ) \,(x - \textrm{i} \, y)\" \"\qquad \qquad\qquad \qquad = - 19 -2\, \textrm{i}\"
\nssi \"3 \, x - 2\, y + \textrm{i} (2\, x + 3\, y) + x - 5\, y\" \"\qquad \qquad \qquad -\, \textrm{i} \, (5 \, x + y) = - 19 - 2 \, \textrm{i}\"
\nssi \"4 \, x - 7\, y + \textrm{i} \, ( 2 \, y - 3\, x) = - 19 -2 \, \textrm{i}\".<\/p>\n

En \u00e9galant parties r\u00e9elles et imaginaires, on obtient le syst\u00e8me
\n\"\left \{ \begin{matrix} 4 \, x - 7\, y = - 19 \\ 2 \, y - 3\, x = - 2 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} 4 \, x - 21\, x/2 + 7 = - 19 \\ y = 3\, x/2 - 1 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} - 13 \, x /2 = - 26 \\ y = 3\, x/2 - 1 \end{matrix} \right.\"
\nssi \"\left \{ \begin{matrix} x =4\\ y = 3 \times 2 - 1 = 5 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

L’\u00e9quation admet une unique solution \"\boxed{4 + 5\, \textrm{i} }\".<\/p>\n

2.Formes trigonom\u00e9triques, nombres complexes :Terminale Maths Expertes<\/h2>\n

Exercices sur les modules et les arguments des nombres complexes\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nModule et argument de \"\displaystyle \frac {\sqrt{2} + \textrm{i } \sqrt{6}} {\sqrt{3} + \textrm{i }}\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\na – Module et argument de \"z = \displaystyle \frac {\sqrt{3} - \textrm{i} } {1 + \textrm{i}}\"<\/p>\n

b – En d\u00e9duire \"\cos \left ( \displaystyle \frac {5\,\pi} {12} \right )\" et \"\sin\left ( \displaystyle \frac {5\,\pi} {12} \right )\"<\/p>\n

c – En d\u00e9duire \"\cos \left ( \displaystyle \frac {\pi} {12} \right )\" et \"\sin\left ( \displaystyle \frac {\pi} {12} \right )\"<\/p>\n

Exercices sur l’utilisation du plan complexe en Terminale\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Dans ce paragraphe, on se place dans le plan complexe rapport\u00e9 au rep\u00e8re orthonorma direct \"\left ( O , \,\overrightarrow{u}\,,\, \overrightarrow{v} \right )\".<\/p>\n

Soit \"x\" un r\u00e9el non nul. On note \"A, B\" et \"C\" les points du plan complexe d’affixes respectives
\n\"\;\; z_A = 1 - x \, \textrm{i}\" , \"z_B = 2\, \textrm{i}\" et \"z_C = - 2\".<\/p>\n

Question 1 :<\/strong>
\nCalculer \"AB\" et \"AC\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nTrouver \"x\" tel que le triangle soit isoc\u00e8le en \"A\".<\/p>\n

\"x=\" ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
\nExiste-t-il un r\u00e9el \"x\" tel que le triangle \"ABC\" soit \u00e9quilat\u00e9ral ?<\/p>\n

Question 4 :<\/strong>
\nDonner les valeurs de \"x\" tel que le triangle \"ABC\" soit rectangle<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong>
\nLes points \"A, B\" et \"C\" sont align\u00e9s pour \"x =\" ?<\/p>\n

Question 6 :\u00a0<\/strong>
\nD\u00e9terminer l’affixe du point \"D\" tel que \"ABCD\" soit un parall\u00e9logramme<\/a>.<\/p>\n

Correction des exercices sur les modules et les arguments des nombres complexes\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :
\n<\/strong>En multipliant par la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e du d\u00e9nominateur,
\n\"Z = \displaystyle \frac {\sqrt{2} + \textrm{i } \sqrt{6}} {\sqrt{3} + \textrm{i }}\"
\n\"Z = \displaystyle \frac {\left ( \sqrt{2} + \textrm{i } \sqrt{6}\right ) \, \left (\sqrt{3} - \textrm{i } \right ) }{3 + 1}\"
\n\"Z = \displaystyle \frac { 2\, \sqrt{6} + \textrm{i } \left (3 \sqrt{2} - \sqrt{2} \right ) }{4}\"
\n\"Z = \displaystyle \frac {\sqrt{6} + \textrm{i } \, \sqrt{2} }{2} = \sqrt{2} \left( \frac {\sqrt{3} }2 + \textrm{i} \, \frac 1 2 \right )\"
\n\"u = \displaystyle \frac {\sqrt{3} }2 + \textrm{i} \, \frac 1 2\" est un complexe de module 1 et d’argument \"\displaystyle \frac {\pi} 6\" car
\n\"\displaystyle \qquad \cos\left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \displaystyle \frac {\sqrt{3} } {2}\" et \"\displaystyle \sin\left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \displaystyle \frac {1} 2\".
\n\"\quad \boxed{\vert Z \vert = \sqrt{2}}\" et \"\boxed{\arg(Z) = \displaystyle \frac {\pi} 6 \quad (2\,\pi)}\".<\/p>\n

Question 2 :
\na –<\/strong>
\n\"\bullet\" \"u = \sqrt{3} - \textrm{i }\"
\n\"\vert u \vert ^2 = 3 = 1 = 4\", donc \"\vert u \vert = 2\"
\nPuis on cherche \"t \in \mathbb{R}\" tel que
\n\"\quad \cos(t) = \displaystyle \frac {\sqrt{3}} 2\" et \"\sin(t) = \displaystyle \frac { - 1} 2\"
\non peut donc choisir \"t = \displaystyle \frac {- \pi} 6\"
\n\"\arg(u) = \displaystyle \frac {-\pi} 6 \quad (2\,\pi)\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"v = 1 + \textrm{i }\"
\n\"\vert v \vert ^2 = 1 + 1 = 2\", donc \"\vert v \vert = \sqrt{2}\"
\nPuis on cherche \"t' \in \mathbb{R}\" tel que
\n\"\qquad \cos(t') = \displaystyle \frac {1} {\sqrt{2}}\" et \"\sin(t) = \displaystyle \frac {1} {\sqrt{2}}\".
\nOn peut donc choisir \"t' = \displaystyle \frac {\pi} 4\".
\n\"\arg(v) = \displaystyle \frac {\pi} 4 \quad (2\,\pi)\".<\/p>\n

\"\bullet\" alors si \"z = \displaystyle \frac {1 + \textrm{i } \sqrt{3}} {\sqrt{3} + \textrm{i }} = \frac u v\"
\n\"\vert z \vert = \displaystyle \frac {\vert u \vert } {\vert v \vert} = \frac {2} {\sqrt{2}}\" soit \"\boxed{\vert z \vert = \sqrt{2}}\"
\net \"\arg(z) = \arg(u) - \arg(v) \quad( 2\, \pi)\"
\n\"\arg(z) = \displaystyle - \frac {\pi} 6 - \frac {\pi} 4 \quad (2\,\pi)\"
\n\"\boxed{\arg(z) = \displaystyle - \frac {5\,\pi} {12} \quad (2\,\pi)}\".<\/p>\n

b –<\/strong>
\nOn cherche la forme cart\u00e9sienne de \"z\" :
\n\"z = \displaystyle \frac {\sqrt{3} - \textrm{i} } {1 + \textrm{i}} = \displaystyle \frac {(\sqrt{3} - \textrm{i} )(1 - \textrm{i}) } {1 + 1}\"
\n\"z = \displaystyle \frac {\sqrt{3} - 1} 2 - \textrm{i } \frac {1 + \sqrt{3}} 2\"
\nOn a trouv\u00e9 la forme trigonom\u00e9trique<\/a> de \"z\" :
\n\"\displaystyle z = \sqrt{2} \left( \cos \left ( - \frac {5\, \pi} {12} \right ) + \textrm{i} \sin\left ( - \frac {5\, \pi} {12} \right ) \right )\"
\ndonc en \u00e9galant les parties r\u00e9elles et imaginaires
\n\"\displaystyle \sqrt{2}\, \cos \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} - 1} 2\"
\net \"\displaystyle - \sqrt{2}\, \sin \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} + 1} 2\"
\ndonc \"\boxed{\displaystyle \cos \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} - 1} {2\, \sqrt{2}} }\" et \"\boxed{\displaystyle \, \sin \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} + 1} {2\, \sqrt{2}} }\".<\/p>\n

c –
\n<\/strong>Puis en utilisant \"\displaystyle \frac {\pi} {12} = \frac {\pi} 2 - \frac {5\, \pi} {12}\"
\n\"\qquad \displaystyle \cos(t ) = \sin \left (\frac {\pi} 2 - t \right )\" \"\quad\" et \"\displaystyle \sin(t) = \cos \left (\frac {\pi} 2 - t \right )\",<\/p>\n

\"\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \sin \left ( \frac {\pi} 2 - \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \sin \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right )\"
\n\"\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \cos \left ( \frac {\pi} 2 - \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \cos \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right )\"<\/p>\n

\"\displaystyle\boxed{ \cos \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} + 1} {2\, \sqrt{2}} }\"
\n\"\displaystyle \boxed{\sin \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} - 1} {2\, \sqrt{2}}}\".<\/p>\n

Correction des exercices sur l’utilisation du plan complexe en Terminale\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\"A B = \vert z_B - z_A \vert = \vert ( - 1+ (2 + x) \, \textrm{i} \vert\"
\n\"AB ^2 = 1 + (2 + x)^2 = x^2 + 4\, x + 5\".<\/p>\n

\"AC = \vert z_C - z_A \vert = \vert (- 3 + x \, \textrm{i} \vert\"
\n\"A C^2 = 9+ x^2\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\n\"x=\" 1<\/p>\n

\"AB^2 = A C^2\" ssi \"x^2 + 4\, x + 5= x^2 + 9\" ssi \"\, x =4\" ssi \"\boxed{x = 1}\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nSi \"x = 1\", \"A B^2 = 10\"
\net \"B C = \vert z_C - z_B \vert =\vert - 2 - 2\, \textrm{i}\vert\"
\n\"BC ^2 = 4 + 4 = 8\".<\/p>\n

Le triangle ne peut pas \u00eatre \u00e9quilat\u00e9ral.<\/p>\n

Question 4 :<\/strong>
\n\"\ast\" Le triangle est rectangle en \"A\"
\nssi \"A B^2 + A C^2 = BC ^2\"
\nssi \"x^2 + 4\, x + 5 + x^2 + 9 = 8\"
\nssi \"2\, x ^2 + 4\, x + 6 = 0\"
\nssi \"x^2 +2\, x + 3 = 0\"
\nCette \u00e9quation n’a pas de racine r\u00e9elle car \"\Delta = 4 - 12 < 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Le triangle est rectangle en \"B\"
\nssi \"BA ^2 + BC^2 = AC ^2\"
\nssi \"x^2 + 4\, x + 5 + 8 = x^2 + 9\"
\nssi \"4 \, x = 9 - 13 = - 4\"
\nssi \"x = -1\".<\/p>\n

\"\ast\" Le triangle est rectangle en \"C\"
\nssi \"CA ^2 + CB^2 = AB ^2\"
\nssi \"x^2 + 9 + 8 = x^2 + 4\, x + 5\"
\nssi \"4\, x = 12\" ssi \"x = 3\".<\/p>\n

Le triangle est rectangle ssi \"x = -1\" ou \"x =3\".<\/p>\n

Question 5 :<\/strong>
\n\"x =\" -3<\/p>\n

On calcule les affixes \"u\" et \"v\" de \"\overrightarrow{A C}\" et \"\overrightarrow {B C}\"
\n\"u = z_C - z_A = - 3 + x \, \textrm{i}\"
\n\"v = z_C - z_B = - 2 - 2\, \textrm{i}\"<\/p>\n

Il existe un r\u00e9el \"k\" tel que \"\overrightarrow{A C} = k \overrightarrow {B C}\" ssi \"u = k \, v\" ssi \"- 3 = - 2\, k\" et \"x = - 2\, k\"
\nssi \"k = 3/2\" et \"x = - 3\".<\/p>\n

Les points sont align\u00e9s ssi \"\boxed{x = - 3}\".<\/p>\n

Question 6 :<\/strong>
\nOn suppose donc que \"A, B\" et \"C\" ne sont pas align\u00e9s c’est \u00e0 dire \"x \neq - 3\".<\/p>\n

\"ABCD\" est un parall\u00e9logramme ssi \"\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D C}\"
\nssi \"z_B-z_A = z_C - z_D\"
\nssi \"z D = z_C + z_A - z_B\"
\nssi \"z_D = - 2 + 1 - x - 2 \, \textrm{i}\"
\nssi \"\boxed{z_D = - 1 - x - 2\, \textrm{i}}\".<\/p>\n

3. La trigonom\u00e9trie et les nombres complexes en Terminale Maths Expertes<\/h2>\n

Exercices avec \"\cos(a \pm b)\" etc … en Terminale\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nPour tout r\u00e9el \"x\", \"\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2\, x)\"<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nSi \"\cos(x) \, \sin(x) \neq 0\", simplifier
\n\"\qquad \displaystyle \frac {\sin(3\, x)} {\sin(x)} - \frac {\cos(3\, x)} {\cos(x)}\".<\/p>\n

Exercices sur la formule de Moivre\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nSoit \"x \in \mathbb{R}\". Exprimer \"\cos(4\,x)\" en fonction de \"\cos(x)\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nEn d\u00e9duire la valeur de \"\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 8 \right )\".<\/p>\n

Exercice sur la lin\u00e9arisation en Terminale\u00a0<\/strong><\/h3>\n

R\u00e9soudre l’\u00e9quation
\n\"\qquad \cos^4 (x) + \sin ^4 (x) = \displaystyle \frac {6 + \sqrt{3} } 8\".
\nQuelles sont les solutions de cette \u00e9quation dans \"[0 , 2\, \pi[\" ?<\/p>\n

Exercice\u00a0sur la transformation de \"a\,\cos(x) + b \, \sin(x)\"\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Soient \"a , b \in \mathbb{R}\" tels que \"(a , b) \neq 0\", il existe un r\u00e9el \"\varphi\" tel que
\n\"a\, \cos(x) + b\, \sin(x)\" \"\qquad \qquad = \sqrt{a^2 + b ^2} \, \cos(x - \varphi )\"
\nIntroduire le complexe \"a + \textrm{i} \, b\" et sa forme trigonom\u00e9trique.<\/p>\n

Correction des exercices avec \"\cos(a \pm b)\" etc … en Terminale\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\nVrai<\/p>\n

\"\cos^4(x) - \sin^4(x) =\" \"\quad (\cos^2(x) - \sin^2(x))\, (\cos^2(x) + \sin^2(x) )\"
\n\"\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2\, x) \times 1\"
\n\"\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2\, x)\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\n\"\displaystyle A = \frac {\sin(3\, x)} {\sin(x)} - \frac {\cos(3\, x)} {\cos(x)}\"
\n\"A = \displaystyle \frac {\sin(3\, x) \, \cos(x) - \cos(3\, x) \, \sin(x)} {\sin(x) \, \cos( x)}\"
\n\"A = \displaystyle \frac {\sin(3\, x - x)} {\sin(x) \, \cos( x)}\"
\n\"A = \displaystyle \frac {\sin(2\, x )} {\sin(x) \, \cos( x)}\"
\n\"A = \displaystyle \frac {2\, \sin(x )\, \cos(x) } {\sin(x) \, \cos( x)} = 2\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Correction des exercices sur la formule de Moivre\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong>
\n\"\bullet\" Premi\u00e8re m\u00e9thode :
\n\"\cos(4\, x) = \cos(2 \times 2 \, x) = 2 \cos^2 (2\, x) - 1\"
\n\"\cos(4\, x) = 2 (2 \, \cos^2(x) - 1) ^2 - 1\"
\n\"\;\; = 2 (4 \,\cos^4 (x) - 4 \,\cos^2(x) + 1) - 1\"
\n\"\cos(4\, x) = 8\, \cos^4(x) - 8\, \cos^2(x) + 1\"<\/p>\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me m\u00e9thode :
\n\"\cos(4 \, x) + \textrm{i} \, \sin(4 \, x) = \left ( \cos( x) + \textrm{i} \, \sin( x) \right ) ^4\"
\npar le bin\u00f4me de Newton
\n\"(a + b) ^4 =\" \"\quad a^4 + 4\, a^3 \, b + 6\, a^2 \, b ^2 + 4\, a \, b^3 + b ^4\"
\n\"\cos(4 \, x) + \textrm{i} \, \sin(4 \, x) = \cos^4 ( x)\" \"\; \; + \,4 \, \textrm{i} \, \cos^3(x) \, \sin( x) - 6 \cos^2(x) \, \sin^2(x)\" \"\quad -\, 4\, \textrm{i} \, \cos(x)\sin ^3(x) + \sin^4(x)\"
\nen \u00e9galant les parties r\u00e9elles
\n\"\cos(4\, x) = \cos^4(x) - 6 \cos^2(x) \, \sin^2(x)\" \"\qquad \qquad \qquad + \, \sin ^4(x)\"
\navec \"\sin ^2(x) = 1 - \cos^2(x)\"
\n\"\cos(4\, x) = \cos^4(x) - 6 \, \cos^2(x) (1 - \cos^2(x))\"
\n\"\qquad \qquad \qquad \quad +\, (1 - \cos ^2(x)) ^2\"
\napr\u00e8s simplifications :
\n\"\boxed{\cos(4\, x) =8\, \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1 }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
\nOn pose \"x = \displaystyle \frac {\pi} 8\", \"4\, x = \displaystyle \frac {\pi} 2\"
\ndonc \"0 =8\, \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1\".
\nEn posant \"t = \cos^2(x)\" alors \"t \in [0 , 1]\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"8\, t ^2 - 8\, t + 1 = 0\"
\nde discriminant \"\Delta = 64 - 32 = 32\"
\non a deux racines \"\qquad t_1 = \displaystyle \frac {8 + 4 \sqrt{2} } {16} = \frac {2 + \sqrt{2} } 4\"
\n\"\quad \;\" et \"t_2 = \displaystyle \frac {2 - \sqrt{2}} 4 < \frac 1 2\".
\ncomme \"\cos(\pi/8) > \cos(\pi/4) > 0\", \"\cos^2(x) > \displaystyle \frac 1 2\", on doit \u00e9liminer la valeur \"t_ 2\" et donc \"\cos^2(x) = \displaystyle \frac {2 + \sqrt{2}} 2\".
\nSachant que \"\cos(x) > 0\", on obtient \"\qquad \qquad \displaystyle \boxed{\cos \left ( \frac {\pi} 8 \right ) = \sqrt{\frac {2+ \sqrt{2}} 2 } }\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur la lin\u00e9arisation en Terminale\u00a0<\/strong><\/h3>\n

\"\cos^4 (x) + \sin ^4 (x) = (\cos^2(x) + \sin ^2(x) ) ^2\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad - 2\, \sin^2 (x) \, \cos^2(x)\"
\n\"\qquad \qquad = 1 - \displaystyle \frac 1 2 \sin ^2(2 \, x)\"
\n\"\qquad \qquad = 1 - \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 - \cos(4 \, x) \right )\"
\n\"\qquad \qquad = \displaystyle \frac 3 4 + \frac { \cos(4 \, x)} 4\"<\/p>\n

L’\u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0
\n\"\displaystyle \cos(4 \, x) = \frac {\sqrt{3}} 2\"
\nssi \"\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, 4 \, x = \frac {\pi } 6 + 2 \, k \, \pi\"
\nou \"\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, 4 \, x = - \frac {\pi } 6 + 2 \, k \, \pi\"
\nssi \"\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , x = \frac {\pi } {24} + \frac {k \, \pi} 2\"
\nou \"\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z} \, , x = - \frac {\pi } {24} + \frac {p \, \pi} 2\"<\/p>\n

Si l’on cherche les solutions dans \"[0 , 2\, \pi[\", ce sont les r\u00e9els
\n\"\qquad \displaystyle \frac {\pi} {24} ,\, \frac {11\,\pi} {24} ,\, \frac {13 \pi} {24} ,\,\frac {23\, \pi} {24} ,\,\frac {25\,\pi} {24}\"
\n\"\qquad \displaystyle \frac {35\, \pi} {24} ,\,\frac {37 \pi} {24} \, ,\, \frac {47\, \pi} {24}\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur la transformation de \"a\,\cos(x) + b \, \sin(x)\"\u00a0<\/strong><\/h3>\n

\"a + \textrm{i} \, b\" a pour module \"\sqrt{a^2 + b ^2}\" et un argument \"\varphi\" et donc \"a + \textrm{i} \, b = \sqrt{a^2 + b ^2} \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \,\varphi }\"
\nalors \"a = \sqrt{a^2 + b ^2}\, \cos(\varphi )\" et \"b = \sqrt{a^2 + b ^2} \, \sin( \varphi )\"
\n\"a\, \cos(x) + b\, \sin(x) =\" \"\sqrt{a^2 + b ^2} \left ( \cos(x) \,\cos( \varphi) + \sin(x) \, \sin(\varphi) \right )\"
\n\"a\, \cos(x) + b\, \sin(x) = \sqrt{a^2 + b ^2} \, \cos(x - \varphi )\"<\/p>\n

L’option maths expertes augmente le coefficient au bac de la sp\u00e9cialit\u00e9 maths, les \u00e9l\u00e8ves de terminale n’ont alors pas le droit \u00e0 l’erreur. Tous les chapitres de maths doivent ainsi \u00eatre parfaitement acquis pour r\u00e9ussir au bac. Par cons\u00e9quent pour s’assurer d’\u00eatre au niveau, les \u00e9l\u00e8ves peuvent s’aider des diff\u00e9rents cours en ligne de maths au programme de l’option maths expertes :<\/p>\n