{"id":71904,"date":"2020-10-20T16:39:33","date_gmt":"2020-10-20T15:39:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=71904"},"modified":"2022-07-21T14:18:48","modified_gmt":"2022-07-21T13:18:48","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-denombrement-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-denombrement-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur le D\u00e9nombrement en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices sur le D\u00e9nombrement en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Il est important de bien conna\u00eetre le chapitre sur le d\u00e9nombrement en Terminale<\/strong>. Il constitue une partie importante du <\/span>programme de Maths de Terminale<\/span>, indispensable si l\u2019on veut plus tard int\u00e9grer les meilleures pr\u00e9pa MP. Si vous rencontrez des difficult\u00e9s , des <\/span>cours particuliers de Maths<\/span> avec un professeur particulier sauront vous aider \u00e0 surmonter les lacunes et \u00e0 atteindre un haut niveau de connaissances.<\/span><\/p>\n

Exercice sur le d\u00e9nombrement et les tirages en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n

Une urne contient cinq boules noires num\u00e9rot\u00e9es de 1 \u00e0 5, quatre boules rouges num\u00e9rot\u00e9es de 1 \u00e0 4 et deux boules blanches num\u00e9rot\u00e9es 1 et 2.<\/p>\n

On tire successivement et sans remise trois boules dans l’urne.<\/p>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre de tirages possibles ?<\/p>\n

Question 2<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre de tirages comportant trois boules rouges ?<\/p>\n

Question 3<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre de tirages comportant au moins une boule noire ?<\/p>\n

Question 4<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre de tirages comportant trois boules de trois couleurs diff\u00e9rentes ?<\/p>\n

Question 5<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre de tirages comportant des boules de 2 couleurs ?<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice sur les Codes et le D\u00e9nombrement en Terminale<\/h2>\n

Dans la suite<\/a>, \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geqslant 3\".<\/p>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre d’entiers de \"n\" chiffres contenant un seul 0 et un seul \"1\" ?<\/p>\n

a)<\/strong> \"n\, (n - 1) \, 8 ^{n - 2}\"<\/p>\n

b)<\/strong> \"(n - 1) ^2 \, 8 ^{n - 2}\"<\/p>\n

Question 2<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre d’entiers de \"n\" chiffres form\u00e9s par 2 entiers non nuls ?
\nPr\u00e9ciser cette valeur pour \"n = 5\"<\/p>\n

Question 3<\/strong><\/p>\n

Quel est le nombre d’entiers de \"n\" chiffres form\u00e9s par 2 entiers dont l’un est nul ?
\nPr\u00e9ciser la valeur pour \"n = 5\"<\/p>\n

Exercice sur le Bin\u00f4me de Newton en Terminale<\/h2>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

D\u00e9montrer la formule du bin\u00f4me de Newton :
\nSi \"a\" et \"b\" sont des r\u00e9els et \"n \in \mathbb{N}^*\"
\n\"\qquad (a+ b) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k\, a ^k \, b ^{n - k}\".<\/p>\n

Question 2<\/strong><\/p>\n

Utiliser le bin\u00f4me de Newton pour d\u00e9montrer que si \"\textrm{Card}(E) = n\", \"\textrm{Card}(\mathcal{P}(E) ) = 2 ^n\".<\/p>\n

Question 3<\/strong><\/p>\n

Soit \"E\" un ensemble de \"n\" \u00e9l\u00e9ments. Le nombre de parties de \"E\" ayant un nombre pair d’\u00e9l\u00e9ments est \u00e9gal \u00e0 \"2 ^{n - 1}\".<\/p>\n

Vrai ou faux ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice sur les tirages<\/h2>\n

Correction question 1<\/strong><\/p>\n

On effectue 3 tirages successifs et sans remise dans un ensemble de 11 boules.
\nOn d\u00e9termine donc le nombre de 3 listes sans r\u00e9p\u00e9tition des 11 boules.
\nIl y en a \"11\times 10 \times 9 = \boxed{990}\".<\/p>\n

Correction question 2<\/strong><\/p>\n

On cherche le nombre de 3 listes sans r\u00e9p\u00e9tition des 4 boules rouges.
\nil y en a \"4\times 3 \times 2 = \boxed{24}\".<\/p>\n

Correction question 3<\/strong><\/p>\n

On note \"N\" : \u00ab\u00a0on a obtenu au moins une boule noire\u00a0\u00bb.
\n\"\overline {N}\" est l’ensemble des tirages ne donnant pas de boule noire, c’est donc le nombre de 3-listes sans r\u00e9p\u00e9tition de \"11 - 5 = 6\" boules non noires.
\n\"\textrm{Card } (\overline {N}) = 6\times 5 \times 4 = 120\"
\ndonc \"\textrm{Card} (N) = 990 - \textrm{Card } (\overline {N}) = 990 - 120\" \"\textrm{Card } (N) =\boxed{ 870}\".<\/p>\n

Correction question 4<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" On choisit l’ordre des couleurs : il y faut faire une permutation des 3 couleurs, il y a donc \"3! = 6\" permutations des couleurs<\/p>\n

\"\ast\" L’ordre de sortie des couleurs \u00e9tant d\u00e9termin\u00e9, il y a \"5\" fa\u00e7ons de choisir une boule noire, \"4\" fa\u00e7ons de choisir une rouge et \"2\" d’obtenir une blanche.
\nDonc il y a \"5 \times 4 \times 2 = 40\" tirages tricolores pour un ordre de couleurs donn\u00e9.<\/p>\n

Il y a \"6 \times 40 = \boxed{240}\" tirages tricolores.<\/p>\n

Correction question 5<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9termine le nombre de tirages unicolores :
\nOn a vu que le nombre de tirages rouges est \u00e9gal \u00e0 24.
\nDe m\u00eame, le nombre de tirages noirs est \u00e9gal \u00e0 \"5 \times 4 \times 3 = 60\"
\nIl est impossible d’avoir un tirage de 3 boules blanches.
\nLe nombre de tirages unicolores est \"u = 24 + 60\".<\/p>\n

\"\ast\" Le nombre total de tirages est \"N = 990\". (question 1)<\/p>\n

\"\ast\" Le nombre de tirages tricolores \"t\" est \"t = 240\". (question 3)<\/p>\n

\"\ast\" Donc le nombre \"b\" de tirages bicolores est \"b = N - t - u = 990 - 240 - 84 =\boxed{ 666}\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice sur les Codes et le D\u00e9nombrement<\/h2>\n

Correction question 1<\/strong><\/p>\n

R\u00e9ponse b)<\/strong> \"(n - 1) ^2 \, 8 ^{n - 2}\"<\/p>\n

\"\ast\" Le premier chiffre de ce nombre ne doit pas \u00eatre un 0. Il y a donc \"n - 1\" positions possibles pour le 0.
\n\"\ast\" On place le \"1\" dans l’une des \"n - 1\" positions libres.
\n\"\ast\" Pour remplir les \"n - 2\" emplacements libres, il reste \u00e0 d\u00e9finir une \"n - 2\"– liste des 8 chiffres de \"[[2 ,\, 9]]\", il y a \"8 ^{n - 2}\" fa\u00e7ons de terminer la d\u00e9finition de l’entier.<\/p>\n

Il y a donc \"\boxed{(n - 1) ^2 \, 8 ^{n - 2} }\" entiers r\u00e9pondant \u00e0 la question.<\/p>\n

Correction question 2<\/strong><\/p>\n

On choisit les deux entiers de \"[[1 ,\, 9]]\", il y a \"\displaystyle \binom 9 2 = \dfrac {9 \times 8} 2 = 36\" choix possibles.
\nOn note \"a\" et \"b\" ces deux chiffres.<\/p>\n

Former un entier de \"n\" chiffres ne contenant que ces deux entiers revient \u00e0 prendre un \u00e9l\u00e9ment de \"\{a,\, b\}^n\" diff\u00e9rent des \"n\"-uplets \"(a,a,\,\cdots , a)\" et \"(b , b,\cdots, b)\".
\nIl y a donc \"2 ^n - 2\" entiers form\u00e9s de \"a\" et \"b\" avec au moins un \"a\" et au moins un \"b\".<\/p>\n

Donc \"\boxed{36 \times (2 ^n - 2)}\" entiers r\u00e9pondent \u00e0 la question.<\/p>\n

Pour \"n = 5\" : \"36\, (32 - 2) = 1080\".<\/p>\n

Correction question 3<\/strong><\/p>\n

On choisit l’entier \"a\" non nul qui apparait dans ces entiers (9 choix).
\nOn le place en position \"1\".<\/p>\n

Pour terminer la d\u00e9finition de l’entier, on introduit un \u00e9l\u00e9ment de \"\{0,\, a\}^{n - 1}\" diff\u00e9rent de la liste \"(a , \, \cdots \, , a )\" : il y en a \"2 ^{n - 1} - 1\".<\/p>\n

Donc \"\boxed{9 \times \left ( 2 ^{n - 1} - 1 \right ) }\" entiers r\u00e9pondent \u00e0 la question.<\/p>\n

Pour \"n = 5\", on obtient \"\qquad 9 \times (2 ^4 - 1) = 9 \times 15 = 135\".<\/p>\n

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Corrig\u00e9 de l’exercice sur le Bin\u00f4me de Newton<\/h2>\n

Correction question 1<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on note
\n\"\quad \mathcal{P}(n)\" : \"(a + b) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k\, a ^k \,b ^{n - k}\".<\/p>\n

Initialisation :<\/span> Pour \"n = 1\", \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k \, a ^k \, b^{n - k} =\" \"\qquad \displaystyle \binom 1 0 \, a ^0 \, b ^{1 - 0} + \binom 1 1 \, a ^1 \, b^{1 - 1}\"
\n\"a + b = (a + b) ^1\"
\nOn a donc prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(1)\".<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/span> On suppose que \"\mathcal {P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

On multiplie l’\u00e9galit\u00e9 de \"\mathcal {P}(n)\" par \"a + b\"<\/p>\n

\"(a+ b) ^{n + 1} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k a ^{k + 1} \, b ^{n - k}\" \"\qquad \qquad \displaystyle +\, \sum _ {k = 0} ^n \binom n k a^{k} \, b ^{n - k + 1 }\"<\/p>\n

on pose \"i = k + 1\" dans la premi\u00e8re somme :<\/p>\n

\"(a + b) ^{n + 1} = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n + 1} \binom n {i - 1} a ^{i} \,b ^{n - i + 1 }\" \"\displaystyle \qquad \qquad + \, \sum _ {k = 0} ^n \binom n k a^{k } \, b ^{n - k + 1 }\"<\/p>\n

On additionne donc deux expressions :<\/p>\n

\"\qquad \qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n + 1} x_ i + \sum _ {i = 0} ^{n} y_ i\"<\/p>\n

en notant \"x_ i = \displaystyle \binom n {i - 1} a ^{i} \, b^{n - i + 1 }\" et \"\displaystyle y_ i = \binom n {i} a ^{i} \, b ^{n - i + 1 }\".<\/p>\n

\"\ast\" on a un seul indice \"i = 0\" avec<\/p>\n

\"y _ 0 = \displaystyle \binom n {0} \, a ^{0} \, b ^{n - 0 + 1 }\" \"y_0 \displaystyle = \binom {n + 1} {0}\, a ^{0} \, b ^{n - 0 + 1 }\"<\/p>\n

car \"\displaystyle \binom {n} 0 = \binom {n + 1} 0 = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" on a un seul indice \"i = n + 1\", avec<\/p>\n

\"x_{n + 1} =\displaystyle \binom n {n} \, a ^{n + 1 } \, b ^{0}\" \"a_{n + 1} \displaystyle = \binom {n + 1} {n +1}\, a ^{n + 1 } \, b ^{0}\"<\/p>\n

car \"\displaystyle \binom {n} n = \binom {n + 1} {n + 1} = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque \"1 \leqslant i \leqslant n\"<\/p>\n

\"\displaystyle x_ i + y _ i = \left ( \binom n {i - 1} + \binom n {i} \right ) a ^{i} \, b ^{n - i + 1 }\"<\/p>\n

On peut ensuite utiliser la formule du triangle de Pascal :<\/p>\n

et \"x _ i + y _ i = \displaystyle \binom {n + 1} i \, a^i \, b ^{n + 1 - i}\"<\/p>\n

ce qui permet d’\u00e9crire
\n\"\displaystyle (a + b) ^{n + 1} = \sum _ {i = 0} ^{n + 1} \binom {n + 1} i \, a^i \, b^{n + 1 - i}\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/span> la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n

Correction question 2<\/strong><\/p>\n

Soit \"E\" un ensemble fini \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

On \u00e9crit \"\mathcal{P}(E) = \displaystyle \bigcup_{k = 0} ^n \mathcal {P} _ k(E)\"
\nen notant \"\mathcal {P} _ k(E)\" l’ensemble des parties de \"E\" \u00e0 \"k\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

On a \u00e9crit \"\mathcal{P}(E)\" comme r\u00e9union d’ensembles 2 \u00e0 2 disjoints,<\/p>\n

donc \"\textrm{Card } \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \textrm{Card }\mathcal{P}_k(E)\"<\/p>\n

\"\textrm{Card }\mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k\"<\/p>\n

\"\textrm{Card } \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, 1 ^k \, 1^ {n - k}\" \"\textrm{Card } \mathcal{P}(E)= (1 + 1) ^n = 2^n\" par le bin\u00f4me de Newton.<\/p>\n

Correction question 3<\/strong><\/p>\n

C’est vrai<\/strong>.<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"\mathcal{A}\" l’ensemble des parties de \"E\" de cardinal pair et \"\mathcal{B} _{2 k}\" l’ensemble des parties de \"E\" de cardinal \"2 \, k\".<\/p>\n

On introduit \"N\" tel que \"n = 2\, N\" si \"n\" est pair et \"n = 2\, N + 1\" si \"n\" est impair.<\/p>\n

Alors \"0 \leqslant 2 \, k \leqslant n\" ssi \"0 \leqslant k \leqslant N\".<\/p>\n

\"\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup _ {k = 0} ^N \mathcal{B} _{2 \, k}\"<\/p>\n

Les ensembles \"\mathcal{B} _{2 \, k}\" sont 2 \u00e0 2 disjoints,<\/p>\n

\"\Rightarrow \textrm{Card } \mathcal{A} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^N \textrm{Card } \mathcal{B} _{2 \, k}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \Rightarrow \textrm{Card } \mathcal{A} = \sum _ {k = 0} ^N \binom {n} {2 k}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On note \"\displaystyle N' = N - 1\" si \"n = 2 N\" et \"N' = N\" si \"n = 2 N + 1\"<\/p>\n

Alors \"0 \leqslant 2\, k + 1 \leqslant n\" ssi \"0 \leqslant k \leqslant N'\".<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}\", \"(1 + x) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k \, x ^k\"<\/p>\n

\"(1 + x)^n =\" \"\; \; \displaystyle \sum _ {k = 0} ^N \binom n {2 \, k} \, x ^{2 \, k} +\sum _ {k = 0} ^{N'} \binom n {2 \, k +1 } \, x ^{2 \, k+ 1 }\"<\/p>\n

Si \"a = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^N \binom n {2 \, k}\" et \"b = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{N'} \binom n {2 \, k + 1}\",<\/p>\n

en utilisant \"x = 1\" puis \"x = - 1\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad 2 ^n = a + b\" et \"0 = a - b\"<\/p>\n

soit \"a = b = 2 ^{n - 1}\".<\/p>\n

Il y a donc \"\boxed{2 ^{n - 1}}\" parties de cardinal pair dans un ensemble \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

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