{"id":71951,"date":"2020-10-20T16:34:13","date_gmt":"2020-10-20T15:34:13","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=71951"},"modified":"2022-07-22T15:01:18","modified_gmt":"2022-07-22T14:01:18","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-complexes-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-complexes-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les Complexes en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Complexes en Terminale g\u00e9n\u00e9rale : exercices corrig\u00e9s<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Ces exercices en ligne aide \u00e0 saisir les bases des complexes au <\/span>programme de Maths de Terminale<\/span>. En plus de cela, travailler sur des <\/span>annales de bac de Maths<\/span> peut vous aider \u00e0 vous mettre en conditions r\u00e9elles. Si malgr\u00e9 cela vous souffrez encore de grosses difficult\u00e9s, des <\/span>cours particuliers de maths<\/span> sauront vous remettre rapidement \u00e0 niveau.<\/span><\/p>\n

R\u00e9solutions d’\u00e9quations sur les nombres complexes en Terminale<\/h2>\n

Premi\u00e8re \u00e9quation <\/b>:<\/h3>\n

R\u00e9soudre dans \"\mathbb{C}\"\u00a0 : \"z^6 - 8\, z ^3 + 1 = 0\".<\/p>\n

Deuxi\u00e8me \u00e9quation
\n<\/b><\/h3>\n

Trouver \"z \in \mathbb{C}\" tel que \"z ^2 = 80 + 18\,\textrm{i}\".<\/p>\n

Troisi\u00e8me \u00e9quation<\/strong><\/h3>\n

R\u00e9soudre dans \"\mathbb{C}\" l’\u00e9quation
\n\"\qquad z^6 + (7 - \textrm{i})\, z ^3- 8 - 8\, \textrm{i} = 0\".<\/p>\n

Extrait d’annales de bac sur les complexes : Antilles 2003<\/h2>\n

Le plan est rapport\u00e9 au rep\u00e8re orthonormal \"\left (O, \, \overrightarrow{u} , \, \overrightarrow {v} \right )\"
\n(unit\u00e9 graphique : 2 cm).
\nOn consid\u00e8re les points \"A\" et \"B\" d’affixes respectives \"A(3+2\, \textrm{i} )\" et \"B(-1+4\, \textrm{i})\".
\nExt\u00e9rieurement au triangle \"OAB\", on construit les deux carr\u00e9s \"OA_1A_2A\" et \"OBB_1B_2\,\".<\/p>\n

Pour tous ces points, on notera l’affixe par la minuscule correspondante.<\/p>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

a.<\/strong> D\u00e9terminer \"\left ( \overrightarrow{AO} \, , \, \overrightarrow{AA_2} \right )\" et en utilisant \"\displaystyle \frac {a_2 - a} { - a}\" , d\u00e9terminer
\nl’affixe \"a_2\" de \"A_2\,\". En d\u00e9duire l’affixe \"z _ I\" du centre \"I\" du carr\u00e9 \"OA_1A_2A\".<\/p>\n

\"annales<\/p>\n

b.<\/strong> En raisonnant de m\u00eame d\u00e9terminer l’affixe \"b_1\" de \"B_1\". En d\u00e9duire l’affixe \"z_J\" du centre \"J\" du carr\u00e9 \"OBB_1B_2\,\".<\/p>\n

Question 2<\/strong><\/p>\n

Calculer l’affixe \"z_K\" du milieu \"K\" du segment \"[AB]\". \u00c0 l’aide des affixes des diff\u00e9rents points, calculer les valeurs des longueurs \"KI\" et \"KJ\", ainsi qu’une mesure de l’angle \"\left (\overrightarrow{KI }\, , \,\overrightarrow{KJ} \right )\".
\nQue peut-on en d\u00e9duire?<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Les suites de Mandelbrot en Terminale<\/h2>\n

On appelle suite de Mandelbrot toute suite complexe \"(z_n)_n\" d\u00e9finie par \"z_0 =\" 0 et pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, z_{n + 1} = z_n ^2 + c\" o\u00f9 \"c \in \mathbb{C}\".<\/p>\n

On d\u00e9montre qu’il n’y a que deux cas :<\/p>\n

\"\ast\" la suite \"(\vert z_n \vert )_n\" est born\u00e9e.<\/p>\n

\"\ast\" la suite \"(\vert z_n \vert )_n\" n’est pas born\u00e9e, ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \vert z_n \vert = + \infty\".<\/p>\n

On appelle ensemble de Mandelbrot<\/em> l’ensemble des complexes \"c\" tels que la suite<\/a> de Mandelbrot associ\u00e9e soit born\u00e9e.<\/p>\n

La repr\u00e9sentation dans le plan complexe des points de \"\mathcal{M}\" est donn\u00e9e par l’image illustrant ce chapitre.
\nC’est un ensemble fractal tr\u00e8s c\u00e9l\u00e8bre.<\/p>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

\"0\", \"-1\", \"-\textrm{i}\" sont des points de \"\mathcal{M}\", \"2 \notin \mathcal{M}\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2<\/strong><\/p>\n

La repr\u00e9sentation dans le plan complexe de \"\mathcal{M}\" est sym\u00e9trique par rapport \u00e0 l’axe des r\u00e9els.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3<\/strong><\/p>\n

Si \"z\" et \"z'\" sont complexes, \"\qquad \quad \vert z + z'\vert \geqslant \vert z\vert - \vert z' \vert\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction des \u00e9quations sur les nombres complexes en Terminale<\/strong><\/h2>\n

Correction de la Premi\u00e8re \u00e9quation<\/strong><\/p>\n

L’\u00e9quation \"t ^2 - 9 \, t + 8 = 0\" admet \"1\" pour racine \u00e9vidente, le produit des racines est \"8\" donc l’autre racine est \"8\".<\/p>\n

Il reste \u00e0 r\u00e9soudre \"z ^3 = 1\" puis \"z^3 = 8\".<\/p>\n

\"\ast\" \"z ^3 = 1\" ssi \"z\" est racine cubique de \"1\" ssi \"z\in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"z ^3 = 8\" ssi \"\left ( \dfrac z 2 \right )^3 = 1\" ssi \"\dfrac z 2\" est racine cubique de \"1\" ssi \"\dfrac z 2 \in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}\"<\/p>\n

L’ensemble des solutions est :<\/p>\n

\"\qquad \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\,,\, 2\, ,\, 2\, \textrm{j} \,,\, 2 \, \textrm{j} ^2 \}\"<\/p>\n

donc \"\left \{ 1 \,,\, \dfrac { - 1 + \textrm{i} \, \sqrt{3} } 2 \,,\, \dfrac { - 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} } 2 \,, \right.\" \"\qquad \quad \qquad \left. \, - 1 + \textrm{i} \, \sqrt{3}\,,\, - 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} \right \}\".<\/p>\n

Correction de la Deuxi\u00e8me \u00e9quation<\/strong><\/p>\n

\"\vert 80 + 18\, \textrm{i} \vert ^2 = 80^2 + 18 ^2 =6724 = 82^2\".<\/p>\n

On cherche \"z\" v\u00e9rifiant \"z ^2 = 80 + 18\, \textrm{i}\" sous la forme \"z = x + \textrm {i} \, y\" avec \"(x , \,y) \in \mathbb{R }^2\" solution du syst\u00e8me :<\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&80 \\ 2 \, x \, y &=&18\\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{80^2 + 18 ^2} = 82 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} 2\, x^2 &=&162 \\ x \, y &=&9\\ 2\, y ^2 &=& 2 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"x^2 = 9^2\", \"y ^2 = 1\" et \"x \, y > 0\".<\/p>\n

alors \"9+ \, \textrm{i}\" v\u00e9rifie \"( 9 + \textrm{i})^2 = 80 + 18\,\textrm{i}\".<\/p>\n

Correction de la Troisi\u00e8me \u00e9quation<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On pose \"Z = z^3\" et on r\u00e9sout l’\u00e9quation du second degr\u00e9 \"\qquad Z ^ 2 + (7 - \textrm{i}) \,Z- 8 - 8\, \textrm{i} = 0\"
\ndont le discriminant est :<\/p>\n

\"\Delta = (7 - \textrm{i} ) ^2 + 32 + 32\, \textrm{i}\"<\/p>\n

\"\Delta = 49 - 14\, \textrm{i} - 1 + 32 + 32\, \textrm{i}\"<\/p>\n

\"\Delta = 80 + 18\,\textrm{i} = (9+\textrm{i}) ^2\".<\/p>\n

Les racines de cette \u00e9quation du second degr\u00e9 sont \"Z_1 = \dfrac {- 7 + \textrm{i} + 9 + \textrm{i}} {2} = 1 + \textrm{i}\" et \"Z_2 = \dfrac {-7 + \textrm{i} - 9 - \textrm{i}} {2} = - 8\".<\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9sout \"z^3 =( - 2)^3\" ssi \"\left ( - \dfrac z 2 \right ) ^3 = 1\" ssi \"\dfrac{-z} 2 \in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}\"<\/p>\n

avec \"j = \dfrac {- 1+ \textrm{i}\, \sqrt{3}} 2\" et \"\textrm{j} ^2 = \overline {\textrm{j} }\".<\/p>\n

\"\bullet\" On r\u00e9sout \"z ^3 = 1 + \textrm{i}\"<\/p>\n

\"u =1 + \textrm{i} = \sqrt{2} \left ( \dfrac {1} { \sqrt{2}}+ \textrm{i} \dfrac {1} {\sqrt{2}} \right )\"<\/p>\n

\"u = \sqrt{2}\; \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / 4 } = \sqrt{2}\; \textrm{e} ^{ 9\, \textrm{i} \, \pi / 4 }\"<\/p>\n

\"u = a^3\" avec \"a = 2 ^{1/6} \; \textrm{e} ^{ 3\, \textrm{i} \, \pi / 4 }\".<\/p>\n

On doit donc r\u00e9soudre \"\left ( \dfrac z a \right ) ^3 = 1\"<\/p>\n

ssi \"\dfrac z a \in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}\"<\/p>\n

ssi \"z \in \{a, \, \textrm{j} \, a \,,\, \textrm{j} ^2\, a \}\".<\/p>\n

On rappelle que<\/p>\n

\"a = 2 ^{1/6} \; \textrm{e} ^{ 3\, \textrm{i} \, \pi / 4 } = 2 ^{1/6} \, \dfrac {-1 + \textrm{i}}{\sqrt {2} }\"<\/p>\n

\"a = \dfrac {-1 + \textrm{i}} {2 ^{1/3} }\".<\/p>\n

Les 6 racines de l’\u00e9quation sont<\/p>\n

\"- 2, \, - 2\, \textrm{e} ^{ 2\; \textrm{i} \, \pi / 3}\,,\, - 2\; \textrm{e} ^{ 4\, \textrm{i} \, \pi / 3}\"<\/p>\n

\"2 ^{1/6}\, \textrm{e} ^{3\, \textrm{i} \, \pi / 4 }, \, 2 ^{1/6} \, \textrm{e} ^{11\, \textrm{i} \, \pi / 12 }\" \"\qquad \qquad \qquad \,,\, 2 ^{1/6} \, \textrm{e} ^{ 19\, \textrm{i} \, \pi / 12}\"<\/p>\n

soit aussi<\/p>\n

\"- 2 , 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} \,,\, 1 + \textrm{i} \;\sqrt{3}\"<\/p>\n

et \"\dfrac { - 1 + \textrm{i} } {2 ^{1/3 } }\", \"\dfrac {(1 - \sqrt{3}) - \textrm{i} (1 + \sqrt{3} ) } {2^{4/3}}\" et \"\dfrac { (1 + \sqrt{3} ) + \textrm{i} \, (\sqrt{3} - 1 ) } {2 ^{4/3} }\" .<\/p>\n

Correction de l’extrait d’annales de bac sur les complexes<\/h2>\n

Correction de la question 1<\/strong><\/p>\n

a. <\/strong>\"\left ( \overrightarrow{AO} \, , \, \overrightarrow{AA_2} \right ) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\"<\/p>\n

ce qui se traduit par<\/p>\n

\"\left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{AA_2} \right ) - \left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{AO} \right ) = \dfrac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\"<\/p>\n

Soit \"\arg ( a_2 - a) - \arg (-a) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\".<\/p>\n

Si l’on note \"Z = \displaystyle \frac {a_2 - a} { - a}\", on a d\u00e9montr\u00e9 que \"\displaystyle \arg(Z) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\".<\/p>\n

Puis \"\left \vert Z \right \vert = \displaystyle \frac {\vert a_2 - a \vert } {\vert - a \vert }\" soit \"\displaystyle \vert Z \vert = \frac {A A_2} {AO} = 1\".<\/p>\n

\"Z\" est un complexe de module 1 et d’argument \"\dfrac {\pi} 2\", donc \"Z = \textrm{i}\"<\/p>\n

ce qui donne \"a_2 - a= \textrm{i} (-a)\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad \boxed{a _2 = a\, (1 - \textrm{i})}\".<\/p>\n

\"I\" est le milieu du segment \"[O\, A_2]\", donc \"\boxed{z_I = \displaystyle \frac {a_2} 2 = \frac {a\, (1 - \textrm{i})} 2 }.\"<\/p>\n

b.<\/strong> \"\left ( \overrightarrow{OB} \, , \, \overrightarrow{OB_2} \right ) = \dfrac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\"<\/p>\n

ce qui se traduit par<\/p>\n

\"\left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{OB_2} \right ) - \left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{OB} \right ) = \dfrac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\".<\/p>\n

Soit \"\arg ( b_2 ) - \arg (b) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\".<\/p>\n

Si l’on note \"Z' = \displaystyle \frac {b_2 } {b}\", on a d\u00e9montr\u00e9 que \"\displaystyle \arg(Z') = \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)\".<\/p>\n

Puis \"\left \vert Z' \right \vert = \displaystyle \frac {\vert b_2 \vert } {\vert b \vert }\", \"\displaystyle \vert Z' \vert = \frac {O B_2} {OB} = 1\".<\/p>\n

\"Z'\" est un complexe de module 1 et d’argument \"\dfrac {\pi} 2\", donc \"Z' = \textrm{i}\",<\/p>\n

ce qui donne \"\boxed{b_2 = \textrm{i} \, b}\".<\/p>\n

\"J\" est le milieu du segment \"[B\, B_2]\", donc \"\boxed{z_J = \displaystyle \frac {b_2 + b } 2 = \frac { (1 + \textrm{i}) \, b } 2 }\".<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong><\/p>\n

\"z_K = \displaystyle \frac {a + b} 2\".<\/p>\n

On d\u00e9termine les affixes \"Z\" et \"Z'\" de \"\overrightarrow {K I}\" et \"\overrightarrow {K J}\" :<\/p>\n

\"Z = z_I - z_K = \displaystyle \frac 1 2 \, \left ( a(1 - \textrm{i}) - a - b \right )\"<\/p>\n

\"Z = - \displaystyle \frac { \textrm {i} \, a + b } 2\".<\/p>\n

\"Z' = z_J - z_K =\dfrac { (1 + \textrm{i}) \, b } 2 - \dfrac { a + b } 2\"<\/p>\n

\"Z' = \dfrac {\textrm{i} \, b - a} 2 = \dfrac {\textrm{i} \, \left( b + \textrm{i} \, a\right ) } 2 \"<\/p>\n

donc \"Z' = - \textrm{i} \, Z\".<\/p>\n

Ce qui donne \"\vert Z' \vert = \vert - \textrm{i} \vert \times \vert Z\vert\"<\/p>\n

soit \"\boxed{K J = K I}\".<\/p>\n

et \"\arg (Z') = - \displaystyle \frac {\pi} 2 + \arg(Z) \; \; (2 \, \pi)\"<\/p>\n

soit \"\left ( \overrightarrow {u}\,,\, \overrightarrow {K J} \right ) = \displaystyle - \frac {\pi} 2 + \left ( \overrightarrow {u}\, ,\, \overrightarrow {K I} \right )\;\;(2\, \pi)\"<\/p>\n

soit aussi \"\displaystyle \left ( \overrightarrow {KI}\, , \, \overrightarrow {K J} \right ) = \displaystyle - \frac {\pi} 2\;\; (2\,\pi)\".<\/p>\n

Donc \"\boxed{(K I) \perp (KJ)}\".<\/p>\n

Le triangle \"J K I\" est rectangle isoc\u00e8le en \"K\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

Correction des suites de Mandelbot<\/h2>\n

Correction de la question 1<\/strong><\/p>\n

Vrai :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"c =\" 0 , la suite \"(z_n)_n\" est une suite constante \u00e9gale \u00e0 0.<\/p>\n

donc \"\boxed{0 \in\mathcal{M}}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"c = - 1\",<\/p>\n

pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"z_{n + 1} = z_n^2 - 1\".<\/p>\n

\"z_1 = - 1\" , \"z_2 = (-1)^2 - 1 = 0\"<\/p>\n

alors \"z_{2n} = 0\" et \"z_{2 n + 1} = - 1\".<\/p>\n

La suite \"(\vert z_n \vert )_n\" est born\u00e9e. \"\boxed{- 1\in\mathcal{M}}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"c = - \textrm{i}\",<\/p>\n

pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"z_{n + 1} = z_n^2 - \textrm{i}\".<\/p>\n

\"z_1 = - \textrm{i}\" , \"z_2 = (-\textrm{i})^2 - \textrm{i} = - 1 - \textrm{i}\"<\/p>\n

\"z_2 = (-1 - \textrm{i})^2 - \textrm{i} = 2\, \textrm{i} - \textrm{i} = \textrm{i}\"<\/p>\n

\"z_4 = (\textrm{i})^2 - \textrm{i} = - 1 - \textrm{i} = z_2\"<\/p>\n

d’o\u00f9 si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"z_{2n } = z_{2}\" et \"z_{2n + 1} = z_3\,\".<\/p>\n

La suite \"(\vert z_n \vert )_n\" est born\u00e9e. \"\boxed{ - \textrm{i} \in \mathcal {M}}.\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"c = 2\",<\/p>\n

pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"z_{n + 1} = z_n^2 + 2\".<\/p>\n

On note si \"n \in \mathbb{N}^*,\, \mathcal{P}(n) \,:\, z_n \geqslant 2 ^n\".<\/p>\n

Initialisation <\/span><\/p>\n

\"z_1 = 2 \geqslant 2 ^1\" donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/span><\/p>\n

On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

Alors \"z_{n + 1} = z_n^2 + 2\" est un r\u00e9el tel que<\/p>\n

\"z_{n + 1} \geqslant 2 ^{n + 1} + 2 \geqslant 2 ^{n + 1}\"<\/p>\n

donc \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion<\/span>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n

Alors la suite \"(\vert z_n \vert )_n\" n’est pas born\u00e9e, donc \"\boxed{2 \notin \mathcal{M}}\".<\/p>\n

Correction de la question 2<\/strong><\/p>\n

Vrai :<\/strong><\/p>\n

Soit \"c \in \mathbb{C}\", on note \"(z_n)_n\" la suite de Mandelbrot d\u00e9finie par le complexe \"c\" et \"(z'_n)_n\" celle d\u00e9finie \u00e0 partir du complexe \"\overline {c}\".<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on note \"\mathcal{P}(n) \,:\, z'_n = \overline {z_n}\,\".<\/p>\n

Initialisation<\/span>
\n\"z'_1 = \overline{c} = \overline {z_1}\" donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/span><\/p>\n

On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

Alors \"z'_{n + 1} = {z'_n} ^2 + \overline{c} = \overline{z_n} ^2 + \overline{c}\"<\/p>\n

\"z'_{n + 1} = \overline {z_n ^2 + c} = \overline{z_{n + 1}}\".<\/p>\n

Donc \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

Conclusion <\/span><\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence.<\/p>\n

Alors pour tout \"n \in \mathbb{N},\, \vert z_n \vert = \vert z'_n \vert\".<\/p>\n

La suite \"(\vert z_n \vert )_n\" est born\u00e9e ssi \"(\vert z'_n \vert )_n\" est born\u00e9e.<\/p>\n

Donc \"c \in \mathcal{M}\" ssi \"\overline{c}\in \mathcal{M}\".<\/p>\n

La repr\u00e9sentation de \"\mathcal{M}\" est sym\u00e9trique par rapport \u00e0 l’axe des r\u00e9els.<\/p>\n

Correction de la question 3<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/strong><\/p>\n

\"\vert z \vert = \vert (z + z') - z' \vert\"<\/p>\n

donne par in\u00e9galit\u00e9 triangulaire :<\/p>\n

\"\vert z \vert \leqslant \vert z + z' \vert + \vert - z' \vert\"<\/p>\n

soit \"\vert z \vert \leqslant \vert z + z' \vert + \vert z' \vert\"<\/p>\n

donc \"\vert z \vert - \vert z' \vert \leqslant \vert z + z' \vert\".<\/p>\n

La sp\u00e9cialit\u00e9 maths a un <\/span>coefficient au Bac<\/span> tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9, comme vous pouvez le voir sur notre <\/span>simulateur du bac<\/span>. Il est donc essentiel de la travailler au maximum, de m\u00eame que votre deuxi\u00e8me sp\u00e9cialit\u00e9. C\u2019est indispensable si vous voulez \u00eatre enti\u00e8rement satisfait au moment des <\/span>r\u00e9sultats du Bac<\/span>. Tous les chapitres suivants devront \u00eatre parfaitement assimil\u00e9s pour r\u00e9ussir l’\u00e9preuve maths lors du bac :<\/p>\n