{"id":71952,"date":"2020-10-20T16:40:46","date_gmt":"2020-10-20T15:40:46","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=71952"},"modified":"2023-09-15T13:21:20","modified_gmt":"2023-09-15T12:21:20","slug":"cours-en-ligne-denombrement-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-denombrement-terminale\/","title":{"rendered":"Cours sur le D\u00e9nombrement en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur le D\u00e9nombrement en Terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths de Terminale<\/a><\/p>\n

Pour maximiser vos <\/span>r\u00e9sultats au bac<\/span>, il vous faudra ma\u00eetriser le chapitre sur le d\u00e9nombrement<\/strong>. En effet, il s\u2019agit d\u2019un important chapitre du <\/span>programme de Maths de Terminale<\/span>, essentiel pour le bac mais aussi, si vous voulez plus tard int\u00e9grer les meilleures pr\u00e9pa MP. En cas de lacunes, des <\/span>cours particuliers de maths<\/span><\/a> pourront vous aider \u00e0 d\u00e9passer vos difficult\u00e9s et \u00e0 arriver \u00e0 un excellent niveau.<\/span><\/p>\n

1. Op\u00e9rations sur les ensembles en Terminale<\/h2>\n

1.1. Rappels sur les op\u00e9rations sur les ensembles en Terminale <\/b>:<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"E\" est un ensemble, on dit que \"F\" est une partie de \"E\" ou un sous ensemble de \"E\" lorsque tout \u00e9l\u00e9ment de \"F\" est \u00e9l\u00e9ment de \"E\".
\nDans ce cas, on \u00e9crit \"F \subset E\".
\nOn dit aussi que \"F\" est inclus dans \"E\".<\/p>\n

Un ensemble \"F\" n’est pas inclus dans l’ensemble \"E\" s’il existe \"x \in F\" tel que \"x \notin E\".<\/p>\n

L’ensemble vide not\u00e9 \"\varnothing\" est une partie de tout ensemble \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Deux ensembles \"E\" et \"F\" sont \u00e9gaux s’ils v\u00e9rifient les conditions \u00e9quivalentes :<\/p>\n

\"\ast\" \"E\" et \"F\" ont les m\u00eames \u00e9l\u00e9ments<\/p>\n

\"\ast\" \"x\" est \u00e9l\u00e9ment de \"E\" ssi \"x\" est \u00e9l\u00e9ment de \"F\"<\/p>\n

\"\ast\" \"E \subset F\" et \"F \subset E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"A\" et \"B\" deux parties de l’ensemble \"E\".<\/p>\n

\"\ast\" La r\u00e9union de \"A\" et \"B\" est la partie de \"E\" form\u00e9e des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" qui appartiennent \u00e0 \"A\" ou \u00e0 \"B\" :
\n\"\quad A \cup B = \{ x \, / \, x \in A \textrm{ ou } x \in B \}\".<\/p>\n

\"\ast\" L’intersection de \"A\" et \"B\" est la partie de \"E\" form\u00e9e des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" qui appartiennent \u00e0 \"A\" et \u00e0 \"B\" :
\n\"\quad A \cap B = \{ x \, / \, x \in A \textrm{ et } x \in B \}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"A\" et \"B\" sont dits disjoints lorsque \"A \cap B = \varnothing\".<\/p>\n

\"denombrement\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" est une partie de l’ensemble \"E\",<\/p>\n

\"\ast\" le compl\u00e9mentaire de \"A\" dans \"E\" est l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" qui n’appartiennent pas \u00e0 \"A\" : \"\quad \overline {A} = E \setminus A = \{x \in E \,/\, x \notin A \}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"A\" et \"\overline{A}\" sont disjointes<\/p>\n

\"\ast\" \"A \cup \overline{A} = E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" et \"B\" sont des parties de l’ensemble \"E\",<\/p>\n

\"\ast\" \"\overline { A \cup B} = \overline{A} \cap \overline {B}\",<\/p>\n

\"\ast\" \"\overline { A \cap B} = \overline{A} \cup \overline {B}\".<\/p>\n

\"denombrement\"<\/p>\n

1.2. Produit cart\u00e9sien en Terminale
\n<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Le produit cart\u00e9sien des ensembles \"E\" et \"F\" est
\n\"\;\; E \times F = \{ (e , f) \, / \, e \in E \,,\, f \in F \}\".
\nLes \u00e9l\u00e9ments de \"E \times F\" sont appel\u00e9s couples.
\n\"(e , f) = (e' , f')\" ssi \"e = e'\" et \"f = f'\".<\/p>\n

\"\bullet\" Le produit cart\u00e9sien des ensembles \"E\", \"F\" et \"G\" est
\n\"E \times F \times G =\"
\n\"\quad \{ (e , f, g ) \, / \, e \in E \,,\, f \in F \,,\, g \in G \}\".
\nLes \u00e9l\u00e9ments de \"E \times F \times G\" sont appel\u00e9s triplets .
\n\"(e , f, g ) = (e' , f', g' )\" ssi \"e = e'\", \"f = f'\" et \"g = g'\".<\/p>\n

\"\bullet\" Plus g\u00e9n\u00e9ralement si \"k \geqslant 3\" et si pour tout \"i \in [\![1, k]\!]\", \"E_i\" est un ensemble, le produit cart\u00e9sien des ensembles \"E_1\,,\, E_2\,,\, \cdots \,,\, E_n\" est not\u00e9
\n\"\qquad \quad E_1 \times E_2 \times \, \cdots \, \times E_k\"
\nc’est l’ensemble des \"k\"-uplets
\n\"(x_1\,,\, x_2 \,,\, \cdots \, ,\, x_k)\" lorsque pour tout \"i\in [\![1 , k]\!]\", \"x _ i \in E _ i\,\".<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 pour tout \"i \in [\![1 , k]\!]\", \"E_i = E\", on note le produit cart\u00e9sien \"E ^k\".
\nUn \u00e9l\u00e9ment de \"E^k\" est appel\u00e9 \"k\"-uplet ou \"k\"-liste d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\".<\/p>\n

En g\u00e9om\u00e9trie<\/a>, par exemple, vous avez d\u00e9j\u00e0 raisonn\u00e9 avec \"\mathbb{R}^2\" et \"\mathbb{R}^3\" .<\/p>\n

\"denombrement\"<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Principe additif et multiplicatif en Terminale<\/h2>\n

Dans la suite, on suppose que l’on raisonne dans des ensembles ayant un nombre fini d’\u00e9l\u00e9ments. On dit alors qu’ils sont finis.<\/p>\n

Si \"E\" a \"n\" \u00e9l\u00e9ments, on dit que le cardinal de \"E\" est \u00e9gal \u00e0 \"n\" et on note \"\textrm{Card}(E) = n\".<\/p>\n

On pose \"\textrm{Card}(\varnothing ) = 0\".<\/p>\n

Toute partie \"F\" d’un ensemble fini \"E\" est finie et \"\textrm{Card} (F) \leqslant \textrm{Card}(E)\".<\/p>\n

2.1. Principe additif en Terminale<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Si deux ensembles \"A\" et \"B\" sont finis et disjoints, \"A \cup B\" est fini et
\n\"\textrm{Card}(A \cup B) = \textrm{Card}(A) + \textrm{Card}(B)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n\" ensembles \"A_1\,,\, A_2\, ,\, \cdots \, ,\, A_n\" sont finis et 2 \u00e0 2 disjoints, \"A_1 \cup A_2\,\cup\,\cdots \, \cup A_n\" est fini et
\n\"\;\;\; \textrm{Card}(A_1 \cup A_2\,\cup\,\cdots \, \cup A_n ) =\" \"\textrm{Card}(A_1) + \textrm{Card} (A_2) + \cdots + \textrm{Card}(A_n)\"<\/p>\n

Application :<\/strong> Si \"A\" est une partie de l’ensemble fini \"E\",
\n\"\quad \textrm{Card}(\overline{A}) = \textrm{Card}(E) - \textrm{Card}(A)\".<\/p>\n

M\u00e9thode :<\/strong> Utiliser le principe additif pour d\u00e9nombrer un ensemble \"E\", c’est \u00e9crire \"E\" comme r\u00e9union de \"2\" (resp. \"n\") ensembles finis disjoints (resp. 2 \u00e0 2 disjoints) et utiliser l’un des deux r\u00e9sultats pr\u00e9c\u00e9dents.<\/p>\n

M\u00e9thode pour d\u00e9nombrer<\/strong> \"A \cup B\" lorsque \"A \cap B \neq \varnothing\", \u00e9crire \"A \cup B\" comme r\u00e9union des 3 ensembles, 2 \u00e0 2 disjoints,
\n\"\qquad A \cap B\", \"A \cap \overline {B}\" et \"B \cap \overline {A}\".<\/p>\n

\"\ast \,A \cap \overline {B}\" est l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"A\" qui ne sont pas dans \"B\", c’est aussi le compl\u00e9mentaire dans \"A\" de \"A \cap B\"<\/p>\n

\"\ast \, B \cap \overline{A}\" est l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"B\" qui ne sont pas dans \"A\", c’est aussi le compl\u00e9mentaire dans \"B\" de \"A \cap B\".<\/p>\n

\"denombrement\"<\/p>\n

2.2. Principe multiplicatif en Terminale<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" Si deux ensembles \"A\" et \"B\" sont finis, \"A \times B\" est fini et
\n\"\textrm{Card}(A \times B) = \textrm{Card}(A) \times \textrm{Card}(B)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n\" ensembles \"A_1\,,\, A_2\, ,\, \cdots \, ,\, A_n\" sont finis, \"A_1 \times A_2\,\times\,\cdots \, \times A_n\" est fini et
\n\"\textrm{Card}(A_1 \times A_2\,\times \,\cdots \, \times A_n ) =\"
\n\"\qquad \textrm{Card}(A_1) \times \cdots \, \times \textrm{Card}(A_n)\".<\/p>\n

En particulier, si \"E\" est un ensemble fini, \"\qquad \textrm{Card} (E ^n ) = \left ( \textrm{Card}(E) \right ) ^n\".<\/p>\n

M\u00e9thode :<\/strong> Utiliser le principe multiplicatif pour d\u00e9nombrer un ensemble \"E\" c’est \u00e9crire \"E\" comme produit cart\u00e9sien de \"2\" (resp. \"n\") ensembles finis et utiliser l’un des deux r\u00e9sultats pr\u00e9c\u00e9dents.<\/p>\n

On utilise cette m\u00e9thode<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" lorsque l’on choisit successivement deux \u00e9l\u00e9ments dans deux ensembles disjoints \"E\" et \"F\" : on cherche donc le nombre d’\u00e9l\u00e9ments de \"E \times F\".<\/p>\n

\"\ast\" lorsque l’on choisit \"k\" \u00e9l\u00e9ments en remettant apr\u00e8s chaque tirage l’\u00e9l\u00e9ment tir\u00e9 dans l’ensemble \"E\".
\nOn d\u00e9termine un \"k\"– uplet de \"E ^k\", il y a donc \"\left ( \textrm{Card}(E) \right ) ^k\" choix.<\/p>\n

3. Les \"k\"-listes en Terminale<\/h2>\n

3.1. \"k\"-liste et applications en Terminale<\/b><\/h3>\n

\"\bullet\" On a vu que le nombre de \"k\"-listes d’un ensemble \"E\" de cardinal \"n\" est le nombre de \"k\" -uplets de \"E^k\" : soit \"\qquad \quad \left ( \textrm{Card}(E) \right ) ^k = n ^k\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Le nombre d’applications d’un ensemble \"A\" de cardinal \"k\" dans un ensemble \"E\" de cardinal \"n\" est le nombre de \"k\" -uplets d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\" soit \"n ^k\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"E\" un ensemble \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments. Le nombre de parties de \"E\" est \u00e9gal \u00e0 \"2 ^n\".<\/p>\n

3.2. Factorielle d’un entier en Terminale<\/h3>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}^*\", on appelle factorielle de \"n\" l’entier not\u00e9 \"n!\" avec \"n! = 1 \times 2\times 3 \times \cdots \, \times (n - 1) \times n\"
\net \"0! = 1\"<\/p>\n

alors pour tout \"n \in \mathbb{N},\" \"\qquad \quad (n + 1)! = (n + 1) \times n!\"<\/p>\n

3.3. \"k\"-liste sans r\u00e9p\u00e9tition en Terminale<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"k \in [\![1,\, n]\!]\".
\nSoit \"E\" un ensemble de cardinal \"n\".
\nOn appelle \"k\"– liste sans r\u00e9p\u00e9tition des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" tout \"k\"– uplet de \"E\" form\u00e9 d’\u00e9l\u00e9ments 2 \u00e0 2 distincts.<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"k \in [\![1,\, n]\!]\".
\nLe nombre de \"k\" listes sans r\u00e9p\u00e9tition des \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\" est \u00e9gal \u00e0
\n\"\dfrac {n!} {(n - k)!} = n\, (n - 1) \, \cdots \, (n - k + 1)\".<\/p>\n

3.4. Permutation en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"E\" un ensemble de cardinal \"n\".
\nOn appelle permutation des \u00e9l\u00e9ments de \"E\" toute \"n\"-liste sans r\u00e9p\u00e9tition des \u00e9l\u00e9ments de \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il y a \"n!\" permutations d’un ensemble \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

4. Combinaison en Terminale<\/h2>\n

4.1. D\u00e9finition et valeur<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"E\" un ensemble form\u00e9 de \"n \in \mathbb{N}\" \u00e9l\u00e9ments. Soit \"k \in [\![0 , \, n]\!]\".
\nOn appelle combinaison de \"k\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\" toute partie de \"E\" \u00e0 \"k\" \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"n \in \mathbb{N}\" et \"k \in [\![0 , \, n]\!]\".
\nLe nombre de combinaisons de \"k\" \u00e9l\u00e9ments d’une partie \"E\" \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom n k =\dfrac {n! } {k! \, (n - k)!}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \binom n k =\dfrac {n\, (n - 1) \, \cdots \, (n - k + 1) } {k! }\".<\/p>\n

En particulier \"\displaystyle \binom n 0 = \binom n n = 1\" et \"\displaystyle \binom n 1 = \binom n {n - 1} = n\"<\/p>\n

Il est conseill\u00e9 de retenir aussi que \"\quad \displaystyle \binom n 2 = \binom n {n - 2} = \dfrac {n(n - 1)} 2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Application aux mots :
\nOn \u00e9crit un mot de \"n\" lettres \u00e0 partir de \"a\" et \"b\". Soit \"k \in [\![0 , n]\! ]\".
\nLe nombre de mots de \"n\" lettres o\u00f9 \"a\" est \u00e9crit \"k\" fois est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom n k\".<\/p>\n

\"\bullet\" Application au nombre de chemins
\nOn effectue \"n\" d\u00e9placements, \u00e0 chaque d\u00e9placement, on a le choix entre un d\u00e9placement \u00e0 gauche et un d\u00e9placement \u00e0 droite.
\nLe nombre de chemins de \"n\" d\u00e9placements o\u00f9 l’on a effectu\u00e9 \"k\" d\u00e9placements \u00e0 droite est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom n k\".<\/p>\n

On peut s’aider par un arbre comme ci-dessous :<\/p>\n

\"denombrement\"<\/p>\n

4.2. Propri\u00e9t\u00e9s des coefficients du bin\u00f4me en Terminale<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"n\in \mathbb{N}\" et \"k \in [\! [0 , n]\!]\",
\n\"\qquad \quad \displaystyle \binom n k = \binom n {n - k}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Formule du triangle de Pascal
\nSoit \"n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2\". Si \"1\leqslant k \leqslant n - 1\",
\n\"\qquad \displaystyle \binom { n- 1 } {k} + \binom {n - 1 } {k - 1} = \binom {n } {k}\".<\/p>\n

On peut obtenir les coefficients du bin\u00f4me lorsque \"n\" est faible (en g\u00e9n\u00e9ral \"n \leqslant 10\"), en calculant le triangle de Pascal<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k = 2 ^n\"<\/p>\n

 <\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Quelques m\u00e9thodes en compl\u00e9ment<\/h2>\n

5.1 Utilisation du compl\u00e9mentaire en Terminale<\/h3>\n

Pour d\u00e9nombrer \"A\" \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" \u00a0\u00bb (o\u00f9 \"A \subset E\"),<\/p>\n

\"\ast\" En g\u00e9n\u00e9ral il est plus simple de d\u00e9nombrer le compl\u00e9mentaire \"\overline{A}\" (c’est le cas lorsque le compl\u00e9mentaire se traduit par \u00ab\u00a0sans\u00a0\u00bb) et d’utiliser \"\;\; \textrm{Card}(A) = \textrm{Card}(E) - \textrm{Card}(A)\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque le nombre maximum \"M\" d’\u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" est faible, on peut envisager de noter \"B _ k\" \u00ab\u00a0avoir \"k\" \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"\mathcal{P}\,\"\u00a0\u00bb et \u00e9crire \"A = \displaystyle \bigcup_{k = 1} ^{M} B_k\,\", les ensembles \u00e9tant deux \u00e0 deux disjoints, \"\quad \quad \quad \textrm{Card }A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^M \textrm{Card }B_k \,\"
\npar le principe additif.<\/p>\n

5.2. Autour de \"A \cup B\"<\/h3>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux parties de \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pas de probl\u00e8me si \"A \cap B = \varnothing\" car \"\textrm{Card}(A \cup B) = \textrm{Card}(A) + \textrm{Card}(B)\"<\/p>\n

Lorsque \"A \cap B \neq \varnothing\", on a plusieurs m\u00e9thodes :<\/p>\n

\"\bullet\" Par utilisation d’un tableau <\/strong>\u00e0 4 lignes et 4 colonnes<\/p>\n

Deux lignes interm\u00e9diaires \"A\" et \"\overline {A}\".
\nDeux colonnes interm\u00e9diaires \"B\" et \"\overline {B}\".
\nDans les 4 cases interm\u00e9diaires du tableau, le cardinal de l’intersection de la ligne et de la colonne.
\nEn fin des lignes 2 et 3, le cardinal de cette partie
\nEn fin des colonnes 2 et 3, le cardinal de cette partie.
\nEn derni\u00e8re ligne, derni\u00e8re colonne, \"\textrm{Card}(E)\".<\/p>\n

\"denombrement\"<\/p>\n

5.3. D\u00e9nombrer des tirages en Terminale<\/h3>\n

Soit \"E\" un ensemble de \"n\" \u00e9l\u00e9ments distincts. Soit \"k \in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

\"\bullet\" tirer \"k\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\" avec remise entre chaque tirage, c’est choisir un \u00e9l\u00e9ment de \"E ^k\", il y a \"n ^ k\" tirages.<\/p>\n

\"\bullet\" tirer \"k\leqslant n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\" en une seule fois : on obtient une combinaison de \"k\" \u00e9l\u00e9ments parmi \"n\", il y a \"\displaystyle \binom n k\" tirages<\/p>\n

\"\bullet\" tirer successivement \"k\leqslant n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\" sans remise : on obtient une \"k\"– liste d’\u00e9l\u00e9ments 2 \u00e0 2 distincts de \"E\", il y en a \"\dfrac {n!} {(n - k)!}\".<\/p>\n

5.4. Reconnaitre un mod\u00e8le binomial en Terminale<\/h3>\n

On suppose que \"n\" et \"k\" sont des entiers tels que \"0 \leqslant k \leqslant n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque l’on r\u00e9p\u00e8te \"n\" fois un tirage entre des \u00e9l\u00e9ments de \"2\" cat\u00e9gories \"a\" et \"b\", il y a \"\displaystyle \binom n k\" tirages donnant \"k\" fois un \u00e9l\u00e9ment de cat\u00e9gorie \"a\" et \"n - k\" \u00e9l\u00e9ments de cat\u00e9gorie \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque l’on r\u00e9p\u00e8te \"n\" fois une exp\u00e9rience menant \u00e0 deux r\u00e9sultats possibles \"E\" et \"S\", le nombre de fa\u00e7ons d’obtenir une suite<\/a> de \"n\" exp\u00e9riences donnant \"k\" fois le r\u00e9sultat \"S\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \binom n k\".<\/p>\n

5.5. Utiliser un arbre en Terminale<\/h3>\n

L’illustration par un arbre est \u00e0 r\u00e9server aux cas o\u00f9 l’\u00e9nonc\u00e9 demande explici- tement de repr\u00e9senter les diff\u00e9rentes situations par un arbre ou pour des effectifs faibles.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour repr\u00e9senter \"E \times F\", o\u00f9 \"\textrm{Card}(E) = n\" et \"\textrm{Card}(F) = p\", en partant de la racine, placer \"n\" branches termin\u00e9es par les \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\".
\nDe chacune de ces extr\u00e9mit\u00e9s, tracer \"p\" branches termin\u00e9es par les \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"F\".
\nEn parcourant les \"n \times p\" branches, on obtient les \"n \, p\" couples \"(e , f)\" de \"E \times F\"<\/p>\n

\"\bullet\" On peut aussi repr\u00e9senter les \"k\"– listes sans r\u00e9p\u00e9tition des \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\".<\/p>\n

\"\ast\" En partant de la racine, placer \"n\" branches termin\u00e9es par les \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\".<\/p>\n

\"\ast\" De chacune de ces extr\u00e9mit\u00e9s, tracer \"n - 1\" branches menant aux \"n - 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\" n’ayant pas encore \u00e9t\u00e9 tir\u00e9s.<\/p>\n

\"\ast\" Puis une troisi\u00e8me s\u00e9rie de branches issues de ces \"n(n - 1)\" branches etc…<\/p>\n

\"\ast \ast\" \u00c0 l’issue du trac\u00e9, le parcours des \"n(n - 1) \cdots (n - k + 1)\" branches donnent les \"k\" listes sans r\u00e9p\u00e9tition des \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans un mod\u00e8le binomial<\/a>.
\nPour d\u00e9nombrer dans une suite de \"n\" \u00e9preuves ayant \"2\" r\u00e9sultats (not\u00e9s \"E\" et \"S\" ici) , on peut aussi s’aider d’un arbre :<\/p>\n

\"\ast\" On part de la racine, et on place 2 branches termin\u00e9es par \"E\" et \"S\".<\/p>\n

\"\ast\" De chacune de ces 2 branches, par- tent 2 nouvelles branches termin\u00e9es par \"E\" et \"S\"<\/p>\n

\"\ast\" On recommence jusqu’\u00e0 avoir trac\u00e9 \"n\" branches successives.
\nOn obtient un arbre \u00e0 \"2 ^n\" branches correspondant aux \"n\" listes de \"\{E,\, S\}\".
\nOn peut ensuite pour \"k\" donn\u00e9 suivre les branches donnant \"k\" fois \"S\" et obtenir le nombre \"\displaystyle \binom {n} {k}\" de branches contenant exactement \"k\" fois \"S\".<\/p>\n

\"\bullet\" Mots de longueur \"n\" \u00e9crits avec \"2\" lettres.
\nOn obtient le m\u00eame principe lorsque l’on veut \u00e9crire les mots de \"n\" lettres form\u00e9s uniquement de \"a\" et de \"b\".
\nFaire un arbre comme dans le cas pr\u00e9c\u00e9dent, en rempla\u00e7ant \"E\" par \"a\" et \"S\" par \"b\".
\nL’arbre a \"2^n\" branches et on peut mettre en \u00e9vidence les \"\displaystyle \binom {n} k\" branches formant des mots contenant exactement \"k\" fois la lettre \"a\".<\/p>\n

Les Maths ayant un gros <\/span>coefficient au bac<\/span>, comme vous pouvez d\u2019ailleurs le voir en consultant notre <\/span>simulateur du Bac<\/span>, il est important de bien suivre les cours et s\u2019entra\u00eener sur des exercices. N’h\u00e9sitez donc pas \u00e0 vous rendre sur les cours en ligne de maths de terminale pour v\u00e9rifier vos connaissances, testez-vous par exemple sur les chapitres suivants :<\/span><\/p>\n