{"id":73649,"date":"2020-10-29T14:40:30","date_gmt":"2020-10-29T13:40:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=73649"},"modified":"2023-09-15T18:46:43","modified_gmt":"2023-09-15T17:46:43","slug":"cours-en-ligne-espaces-vectoriels-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espaces-vectoriels-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les espaces vectoriels Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Cours sur les espaces vectoriels en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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B\u00e9n\u00e9ficiez de cours en ligne sur le chapitre des espaces vectoriels au programme de maths sup en maths. Un cours de maths qui viendra compl\u00e9ter les cours dispens\u00e9s par les professeurs de pr\u00e9pa mais aussi les cours particuliers de maths<\/a> tout au long de l’ann\u00e9e.<\/p>\n

*Dans tout le chapitre, \"\mathbb{K}\" d\u00e9signe le corps des r\u00e9els<\/a> ou des complexes<\/a>.*<\/p>\n

A. Espaces vectoriels de dimension finie en Maths Sup<\/h2>\n

1. D\u00e9finition des espaces vectoriels de dimension fini en maths sup<\/b><\/h3>\n

D1 :<\/strong> Un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel \"E\" est de dimension finie lorsqu’il admet une famille g\u00e9n\u00e9ratrice finie.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de la base extraite :<\/strong>
\nSi \"E\" est un espace vectoriel de dimension finie distinct de \"\{0\}\", de toute famille g\u00e9n\u00e9ratrice finie, on peut extraire une base de \"E\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de la base incompl\u00e8te :<\/strong>
\nSoit \"E\" un espace vectoriel de dimension finie. Toute famille libre de \"E\" peut \u00eatre compl\u00e9t\u00e9e en une base de \"E\".<\/p>\n

2. Dimension des espaces vectoriels<\/strong><\/h3>\n

T1 :<\/strong> Dans un espace vectoriel engendr\u00e9 par une famille de \"n\" vecteurs, toute famille de \"n + 1\" vecteurs est li\u00e9e.<\/p>\n

T2 :<\/strong> Si \"E\" est un espace vectoriel de dimension finie distinct de \"\{0\}\", toutes les bases de \"E\" ont m\u00eame cardinal, que l’on appelle dimension de \"E\" et que l’on note \"\textrm{dim} \, E\".<\/p>\n

On pose par convention \"\textrm{dim} \{0\} = 0\".<\/p>\n

3. Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels de dimension finie<\/strong><\/h3>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geqslant 2\".<\/p>\n

On suppose que pour tout \"i \in [\![1 , n]\!]\",<\/p>\n

\"E_i\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie. \"E = \displaystyle \prod_{i=1}^{n} est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie et<\/p>\n

\"\dim(E)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dim(E_i)\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

B. Propri\u00e9t\u00e9s des espaces vectoriels de dimension finie en Maths Sup<\/h2>\n

1. Caract\u00e9risation d’une base d’un espace vectoriel<\/strong><\/h3>\n

P1 :<\/strong> Soit \"E\" un \"\mathds{K}\"-espace vectoriel de dimension \"n > 0\" et \"(a_1 \, , \,a_2\, ,... , \, a_n)\" une famille de \"n\" vecteurs de \"E\".
\n\"(a_1 \, , \,a_2\, ,\; ... \; ,\, a_n)\" est une base de \"E\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"(a_1\, , \,a_2 \, ,\; ... \; ,\, a_n)\" est une famille libre de \"E\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"(a_1 \, , \,a_2\ ,\; ... \; ,\, a_n)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\".<\/p>\n

2. Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie<\/h3>\n

P2 :<\/strong> Si \"E\" est un \"\mathds{K}\"-espace vectoriel de dimension finie et \"F\" est un s.e.v. de \"E\",<\/p>\n

\"\bullet\" \"F\" est de dimension finie et \"\dim F \leqslant \dim E.\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"F = E\" ssi \"\dim F = \dim E.\"<\/p>\n

P3 :<\/strong> Formule de Grassmann<\/em><\/p>\n

Soient \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel \"E\", \"F + G\" est de dimension finie et<\/p>\n

\"\dim (F + G) = \dim F + \dim G\"<\/p>\n

\"- \dim (F \cap G).\"<\/p>\n

3. Rang d’une famille de vecteurs en Maths Sup<\/h3>\n

D :<\/strong> Le rang de la famille de vecteurs \"(a_1 \, ,\, a_2 \, ,\;...\; ,\, a_n)\" du \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel \"E\" est \u00e9gal \u00e0 \"\quad \quad \textrm{dim Vect} (a_1\, ,\, a_2\, ,\;...\; ,\, a_n)\" .<\/p>\n

On le note \"\textrm{rg}(a_1\, ,\, a_2 \, ,\;...\; ,\, a_n)\".<\/p>\n

P4 :<\/strong> Le rang de la famille \"(a_1\, ,\, a_2\, ,\;...\; ,\, a_n)\" est inchang\u00e9<\/p>\n

\"\bullet\" si l’on permute les vecteurs,<\/p>\n

\"\bullet\" si l’on multiplie un vecteur par un scalaire non nul<\/p>\n

\"\bullet\" si l’on ajoute \u00e0 l’un des vecteurs une combinaison lin\u00e9aire des autres vecteurs.<\/p>\n

C. Somme de sous-espaces vectoriels en Maths Sup<\/h2>\n

1. Suppl\u00e9mentaires en dimension finie en Maths Sup<\/h3>\n

P1 :<\/strong> Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie et \"F\" un sous-espace vectoriel strict (c’est-\u00e0-dire distinct de \"E\" et de \"\{0\}\") de \"E\".<\/p>\n

Soit \"(f_1\, ,\, f_2 \, ,\;...\; , \,f_p)\" une base de \"F\". Il est possible par le th\u00e9or\u00e8me de la base incompl\u00e8te de la compl\u00e9ter en une base de \"E\" not\u00e9e \"\quad (f_1\, ,\, f_2 \, ,\;...\; , \,f_p\, ,\, e_{p + 1}\, ,\;...\; ,\, e_n)\".<\/p>\n

Cette base est dite adapt\u00e9e au sous-espace vectoriel \"F\".<\/p>\n

Alors Vect\"( e_{p + 1} \, ,\;...\; ,\, e_n)\" est un suppl\u00e9mentaire de \"F\".<\/p>\n

P2 :<\/strong> Dans un \"\mathbb{K}\" -espace vectoriel \"E\" de dimension finie, tout s.e.v. admet un suppl\u00e9mentaire.<\/p>\n

Pour tout suppl\u00e9mentaire \"G\" de \"F\",
\n\"\quad \quad \textrm {dim} \, G = \textrm {dim} \, E - \textrm {dim} \, F\".<\/p>\n

P3 :<\/strong> Soient \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie et \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de \"E\".<\/p>\n

Les propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont \u00e9quivalentes:<\/p>\n

1. \"E = F \oplus G\"<\/p>\n

2. \"F \cap G = \{0\}\" et
\n\"\dim E = \dim F + \dim G\"<\/p>\n

3. \"E = F + G\" et
\n\"\dim E = \dim F + \dim G.\"<\/p>\n

2. Somme directe dans un espace vectoriel de dimension finie<\/h3>\n

T1 :<\/strong> Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie. Si \"E_1\, ,\, E_2\, ,\,... \,,\, E_n\" sont des sous-espaces vectoriels dont la somme<\/a> \"F\" est directe et si pour tout \"i \in[\![1 , n]\!]\", \"\mathcal{B}_i\" est une base de \"E_i\,\",
\nla famille \"\mathcal{B}\" obtenue par concat\u00e9nation des bases \"\mathcal{B}_1\, ,\; \mathcal{B}_2 \, ,...\, , \; \mathcal{B}_n\" est une base de \"F\".<\/p>\n

On parlera de fa\u00e7on impropre de la \u00ab\u00a0r\u00e9union\u00a0\u00bb des bases \"\mathcal{B}_i\,\".<\/p>\n

La base \"\mathcal{B}\" est dite adapt\u00e9e \u00e0 la d\u00e9composition en somme directe \"F = \displaystyle\bigoplus_{i=1}^nE_i\,\".<\/p>\n

T2 :<\/strong> Soient \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie et \"E_1 \, ,\, E_2\, , \,... \, ,\, E_n\" des sous-espaces vectoriels de \"E\".<\/p>\n

Si la somme des sous-espaces vectoriels \"E_i\" est directe,
\n\"\dim \displaystyle\bigoplus_{i=1}^n E_i =\sum_{i=1}^{n}\dim E_i\,\".<\/p>\n

C :<\/strong> Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie.<\/p>\n

On suppose que la somme des sous espaces vectoriels \"E_1\,\", \"E_2\,\", … , \"E_n\" est directe.
\n\"\displaystyle E=\bigoplus_{i=1}^nE_i \textrm{ ssi }\dim E=\sum_{i=1}^{n}\dim E_i\,\".<\/p>\n

T3 :<\/strong> Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie \"n > 0\" de base \"(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\,\".<\/p>\n

Soit \"p\in \mathbb{N}^*\" et \"(I_1\, , I_2\, ,... , I_p)\" une partition de \"[\![1 , n]\!]\". Pour tout \"k \in [\![1 , p]\!]\", on note \"F_k =\" Vect \"((e_i)_{i\in I_k} )\" ; alors
\n\"\displaystyle E=\bigoplus_{k=1}^pF_k\,\".<\/p>\n

T4 :<\/strong> Soient \"F_1\, ,\, ... \, ,\, F_n\" des sous-espaces vectoriels du \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie \"E\".<\/p>\n

a) \"\displaystyle\dim\left( \sum_{i=1}^{n}F_i\right)\leqslant \sum_{i=1}^{n} \dim (F_i)\"<\/p>\n

b) \"\displaystyle\dim\left( \sum_{i=1}^{n}F_i\right)= \sum_{i=1}^{n} \dim (F_i) \Leftrightarrow\" la somme des sous-espaces vectoriels \"F_1\, ,\,...\, , \,F_n\" est directe.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

D. Applications lin\u00e9aires en dimension finie en Maths Sup<\/h2>\n

1. Compl\u00e9ments des applications lin\u00e9aires en dimensions finies<\/h3>\n

Dans ce \u00a7, \"E\" et \"F\" sont deux \"\mathbb{K}\"-e.v.<\/p>\n

P1 :<\/strong> Si \"E\" est de dimension finie, \"E\" et \"F\" sont isomorphes si, et seulement si, \"\dim E = \dim F.\"<\/p>\n

P2 :<\/strong> Si \"E\" et \"F\" sont de dimension finie, \"\dim \mathcal{L}(E , F) = \dim E \times \dim F.\"<\/p>\n

2. Rang d’une application lin\u00e9aire en Maths Sup<\/h3>\n

D :<\/strong> Dans la suite<\/a>, on suppose que \"E\" et \"F\" sont deux \"\mathds{K}\"-espaces vectoriels.<\/p>\n

On dit que \"u \in \mathcal{L}(E , F)\" est de rang fini lorsque l’espace vectoriel \"\textrm{Im } u\" est de dimension finie.
\nOn appelle rang de \"u\" la dimension de \"\textrm{Im } u\". On le note \"\textrm{rg}(u)\".<\/p>\n

P3 :<\/strong> Lorsque \"E\" est de dimension finie et \"u \in \mathcal{L}(E , F)\", \"u\" est de rang fini.<\/p>\n

Si \"(e_1\, \, \cdots \, , e_n)\" est une base de \"E\", \"\quad \textrm{rg}(u) = \textrm{rg} \left ( u(e_1)\, \, \cdots \, , u(e_n) \right)\".<\/p>\n

P4 :<\/strong> Soient \"E, \, F, F\" 3 \"\mathbb{K}\"– espaces vectoriels, \"u\in \mathcal{L}(E,F)\" et \"v\in \mathcal{L}(F,G)\"<\/p>\n

a)<\/strong> Si \"u\" et \"v\" sont de rang fini, \"v \circ u\" est de rang fini et
\n\"\quad \textrm{rg} (v \circ u) \leqslant \min( \textrm{rg} (v) , \textrm{rg}(u)).\"<\/p>\n

b)<\/strong> Si \"v\" est de rang fini et si \"u\" est un isomorphisme, \"v \circ u\" est de rang fini et \"\textrm{rg}(v \circ u) = \textrm{rg}(v)\".<\/p>\n

c)<\/strong> Si \"u\" est de rang fini et si \"v\" est un isomorphisme, \"u \circ v\" est de rang fini et \"\textrm{rg}(v\circ u) = \textrm{rg}(u)\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me du rang : <\/strong><\/p>\n

Soient \"E\" et \"F\", deux \"\mathds{K}\"-e.v. , \"E\" \u00e9tant de dimension finie et \"u \in \mathcal{L}(E , F).\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{Im }u\" est isomorphe \u00e0 tout suppl\u00e9mentaire \"S\" de Ker \"u\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{Im } u\" est de dimension finie et<\/p>\n

\"\textrm{dim}\, E = \textrm{dim Ker } u + \textrm{dim Im }u\".<\/p>\n

T1 :<\/strong> Soient \"E\" et \"F\" deux \"\mathds{K}\"-e.v. de m\u00eame dimension \"n > 0\" et \"u\in \mathcal{L}(E , F)\".<\/p>\n

Il y a \u00e9quivalence entre :<\/p>\n

a) \"u\" est un isomorphisme de \"E\" sur \"F\",<\/p>\n

b) \"u\" est injective,<\/p>\n

c) \"u\" est surjective,<\/p>\n

d) \"\textrm{rg}(u) = n\".<\/p>\n

T2 :<\/strong> Soient \"E\" et \"F\" deux \"\mathds{K}\"-e.v. de m\u00eame dimension \"n > 0\" et \"u\in \mathcal{L}(E , F)\".<\/p>\n

Il y a \u00e9quivalence entre<\/p>\n

a) \"u\" est un isomorphisme de \"E\" sur \"F,\"<\/p>\n

b) \"\exists \, v \in \mathcal{L}(F , E)\", \"u \circ v = \textrm { Id}_F\" ,<\/p>\n

c) \"\exists \, w \in \mathcal{L}(F , E)\", \"w \circ u = \textrm { Id}_E\" ,<\/p>\n

Dans ce cas, \"v = w = u^{- 1}\".<\/p>\n

Pour r\u00e9ussir en Maths Sup, les \u00e9tudiants de pr\u00e9pa scientifique doivent s’organiser dans leurs r\u00e9visions et s’obliger \u00e0 travailler de fa\u00e7on r\u00e9guli\u00e8re pendant leurs 2 ann\u00e9es de pr\u00e9pa. Aussi, pour combler des lacunes ou tout simplement pour se remettre \u00e0 niveau en maths, les stages intensifs en pr\u00e9pa scientifique sont tr\u00e8s efficaces et les cours en ligne permettent \u00e9galement de maximiser cette progression. Les entra\u00eenements peuvent, par exemple, se faire sur les cours en ligne suivants :<\/p>\n