{"id":73661,"date":"2020-10-29T14:41:10","date_gmt":"2020-10-29T13:41:10","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=73661"},"modified":"2022-07-12T15:07:18","modified_gmt":"2022-07-12T14:07:18","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-espaces-vectoriels-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-espaces-vectoriels-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les espaces vectoriels"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Espaces vectoriels exercices et corrig\u00e9s en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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S’entra\u00eener sur des exercices ou sur des annales des concours des \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs est le meilleur moyen de r\u00e9viser efficacement, mais aussi de se rendre compte de son niveau, de ses points forts et de ses axes d’am\u00e9lioration. Les entra\u00eenements sur des cas concrets sont indispensables pour int\u00e9grer les meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs fran\u00e7aises.<\/p>\n

Exercice sur les familles libres et li\u00e9es en Maths Sup<\/h2>\n

Dans \"\mathcal{C}(\mathbb{R}, \, \mathbb{R})\", les familles suivantes forment-elles une famille libre ou li\u00e9e ?<\/p>\n

Si elles forment une famille li\u00e9e, donner une relation entre les applications.<\/p>\n

Question 1 :<\/strong>
\n\"f : x \mapsto \cos(x)\", \"g : x \mapsto \sin(x)\", \"h : x \mapsto 1\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong>
\n\"f : x \mapsto \cos^2(x)\" , \"g : x \mapsto \cos(2 \, x)\" et \"h : x \mapsto 1\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong>
\nSoient \"a , b\" et \"c\" trois r\u00e9els<\/a> deux \u00e0 deux distincts modulo \"\pi\".<\/p>\n

\"f : x \mapsto \cos(x + a)\", \"g : x \mapsto \cos(x + b)\"<\/p>\n

et \"h : x \mapsto \cos(x + c)\"<\/p>\n

Question 4 :<\/strong>
\nSi \"\alpha ,\, \beta ,\, \gamma\" sont r\u00e9els et non nuls,<\/p>\n

\"f : x \mapsto \textrm{e}^{\alpha \, x} \, \cos(\beta \, x)\"<\/p>\n

\"g : x \mapsto \textrm{e}^{\alpha \, x} \, \sin(\beta \, x)\"<\/p>\n

\"h : x \mapsto \textrm{e} ^{\gamma \, x}\"<\/p>\n

Exercice sur les bases de sous-espaces vectoriels en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer une base de \"F \cap G\".<\/p>\n

\"\textrm{dim} (F \cap G) =\" ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Donner une \u00e9quation<\/a> de \"G\" dans la base canonique.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

Exercice sur l’application lin\u00e9aire d’un espace vectoriel<\/h2>\n

Soit \"E = \mathbb{R}_3[\textrm{X}]\".<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

L’application d\u00e9finie sur \"E\" par \"\quad \quad \varphi(P) = P - (\textrm{X} + 1)\, P'\" est un endomorphisme de \"E\".<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer une base de l’image et du noyau de \"\varphi\".<\/p>\n

Exercice sur l’existence d’un endomorphisme<\/h2>\n

Soit \"E\" un espace vectoriel<\/strong> de dimension finie et \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels<\/strong> de \"E\".<\/p>\n

Donner une CNS pour qu’il existe un endomorphisme \"u\" de \"E\" tel que \"\quad \quad \textrm {Ker }u = F\" et \"\textrm {Im }u = G\".<\/p>\n

Exercice sur le th\u00e9or\u00e8me du rang d’un espace vectoriel<\/h2>\n

Soient \"E\" et \"F\" deux \"\mathbb{K}\"-e.v. de dimension finie et \"(f ,\, g) \in \mathcal{L}(E)^2\".<\/p>\n

Montrer que les 3 propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont \u00e9quivalentes<\/p>\n

a) \"\textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)\"<\/p>\n

b) \"\textrm{Im}(f + g) = \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g\"<\/p>\n

c) \"E = \textrm{Ker}(f) + \textrm{Ker}(g)\" et \"\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les familles libres et li\u00e9es<\/h2>\n

Question 1 <\/strong>:<\/p>\n

Soient \"\alpha, \beta , \gamma \in \mathbb{R}\" tels que \"\quad \quad \quad \quad \alpha \, f + \beta \, g + \gamma \, h= 0\".<\/p>\n

\"\forall \, x \in \mathbb{R}\", \"\, \alpha \cos(x) + \beta \, \sin(x) + \gamma = 0\"<\/p>\n

pour \"x = 0\", \"\alpha + \gamma = 0\"<\/p>\n

pour \"x = \pi\", \"- \alpha + \gamma = 0\" donc \"\alpha = \gamma = 0\".<\/p>\n

avec \"x = \pi/2\", \"\beta = 0\".<\/p>\n

Donc la famille est libre.<\/p>\n

Question 2 <\/b>:<\/p>\n

C’est une famille li\u00e9e car \"\forall\, x \in \mathbb{R},\, \cos(2\, x) = 2 \cos^2(x) - 1\" soit \"g = 2\, f - h\".<\/p>\n

Question 3 <\/b>:<\/p>\n

C’est une famille li\u00e9e car \"f,\, g\" et \"h\" sont combinaisons lin\u00e9aires de la famille \"F : x \mapsto \cos(x)\" et \"G : x \mapsto \sin(x)\".<\/p>\n

On \u00e9crit \"f = \cos(a) \, F - \sin(a)\, G\" et \"g = \cos(b) \, F - \sin(b) \, G\" donc
\n\"\sin (b) \, f - \sin(a) \, g =\" \"\quad \quad (\cos(a) \, \sin(b) - \cos(b) \, \sin(a)) F\"<\/p>\n

soit \"\sin (b) \, f - \sin(a) \, g = \sin(b - a) F\"<\/p>\n

et \"\cos(b)\, f - \cos(a) \, g =\" \"\quad \quad (\cos(a) \, \sin(b) - \sin(a) \, \cos(b)) G\"<\/p>\n

soit \"\cos(b)\, f - \cos(a) \, g = \sin(b - a) \, G\"<\/p>\n

On termine avec \"h = \cos(c) \, F - \sin(c) \, G\" donc<\/p>\n

\"\displaystyle h = \frac {\cos(c)} {\sin(b - a) } \left (\sin (b) \, f - \sin(a) \, g \right )\" \"\quad \quad \quad \displaystyle - \frac {\sin(c)} {\sin(b - a) } \left ( \cos(b)\, f - \cos(a) \, g \right )\"<\/p>\n

en r\u00e9ordonnant et avec un peu de trigonom\u00e9trie<\/a><\/p>\n

\"\quad \displaystyle h = \frac {\sin(b - c)} {\sin(b - a) }\, f + \frac {\sin(c - a)} {\sin(b - a) } \, g\".<\/p>\n

Question 4 <\/b>:<\/p>\n

Soient \"a, b\" et \"c\" trois r\u00e9els tels que \"\quad \quad \quad a \, f + b \, g + c \,h = 0\".
\n\"\forall\, x \in \mathbb{R }\"
\n\"\left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ \alpha \, x} + c \, \textrm{e} ^{\gamma \, x} = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\alpha = \gamma\" , on obtient pour tout r\u00e9el \"x\",
\n\"a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) + c = 0\"<\/p>\n

en prenant la valeur en \"0\", en \"\pi/\beta\", en \"\pi/(2 \, \beta)\", on obtient
\n\"a + c = 0\" , \"- a + c = 0\" et \"b + c = 0\" donc \"a = b = c = 0\".<\/p>\n

La famille est libre.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\alpha \neq \gamma\" , on obtient pour tout r\u00e9el \"x\",
\n\"\left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ \alpha \, x} + c \, \textrm{e} ^{\gamma \, x} = 0\"<\/p>\n

donc<\/p>\n

\"\left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ (\alpha - \gamma) \, x} + c = 0\"<\/p>\n

La fonction<\/a> \"x \mapsto a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x)\" est born\u00e9e.<\/p>\n

On passe \u00e0 la limite lorsque \"x \to + \infty\" si \"\alpha - \beta < 0\" et \"x \to - \infty\" si \"\alpha - \beta > 0\" , comme \"x \mapsto \left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ (\alpha - \gamma) \, x}\" admet une limite<\/a> nulle, on obtient en passant \u00e0 la limite, \"c = 0\".<\/p>\n

Il reste alors \"\forall\, x \in \mathbb{R},\" \"\quad \quad \quad a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) = 0\".<\/p>\n

En \u00e9valuant en \"0\" puis en \"\pi / (2\, \beta)\" on obtient \"a = 0\" puis \"b = 0\".<\/p>\n

La famille \"(f , g , h)\" est libre.<\/p>\n

Correction sur les bases de sous-espaces vectoriels<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

En utilisant la question pr\u00e9c\u00e9dente,
\n\"4\, u_1 + 3 \, u_2 = 10 \, v_1 + v_2 - v_3\" est un vecteur \"w = (10,11,9,7)\" non nul de \"F \cap G\".<\/p>\n

Par la formule de Grassmann, \"\textrm{dim}(F + G) =\" \"\quad \quad \quad \textrm{dim}(F)+ \textrm{dim}(G) - \textrm{dim}(F \cap G)\",<\/p>\n

on obtient \"\textrm{dim}(F \cap G) = 1\", alors \"w\" est une base de la droite \"F \cap G\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"G\" est un hyperplan de \"E\", donc il admet une \u00e9quation de la forme \"\quad \quad \quad \alpha \, x + \beta \, y + \gamma \, z + \delta \, t = 0\".<\/p>\n

On rappelle qu’une base de \"h\" est donn\u00e9e par \"v_1 = (1,1,1,1)\", \"v_2 = (0 , 1 , 0 , -1)\" et \"v_3 = (0 , 0 , 1 , 2)\".<\/p>\n

En \u00e9crivant que ces trois vecteurs v\u00e9rifient l’\u00e9quation de l’hyperplan, on obtient le syst\u00e8me<\/a><\/p>\n

\"\left \{ \begin{matrix} \alpha + \beta + \gamma + \delta &=&0\\ \quad \quad \beta - \delta &=&0 \\ \quad \quad \gamma + 2 \, \delta &=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} \alpha &=&0\\ \beta &=& \delta \\ \gamma &=& - 2 \, \delta\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"G\" a pour \u00e9quation \"y - 2 \, z + t = 0\" dans la base canonique.<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur l’application lin\u00e9aire en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(P , Q) \in E^2\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\",
\n\"\varphi(\lambda \, P + Q) = \lambda \, P + Q\" \"\quad \quad \quad \quad \quad -\, (\textrm{X} + 1)\, (\lambda \, P' + Q')\"
\n\"\varphi(\lambda \, P + Q) = \lambda \,( P - (\textrm{X} + 1)\, P')\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, Q - (\textrm{X} + 1)\, Q'\"
\n\"\varphi(\lambda \, P + Q) = \lambda \, \varphi(P) + \varphi(Q)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"P \in E\", comme \"(\textrm{X} + 1)\, P'\" est un polyn\u00f4me<\/a> de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 3, \"\varphi(P) \in E\".<\/p>\n

Donc \"\varphi\" est un endomorphisme de \"E\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" . On d\u00e9termine les images des vecteurs de la base canonique.
\n\"\varphi(1) = 1\"
\n\"\varphi(\textrm{X}) = \textrm{X} - \textrm{X}- 1 = - 1\"
\n\"\varphi(\textrm{X}^2 ) = \textrm{X}^2 - 2 \, \textrm{X} (\textrm{X}+ 1)\"
\n\"\varphi(\textrm{X}^2 ) = - \textrm{X}^2 - 2 \, \textrm{X}\"
\n\"\varphi(\textrm{X}^3 ) = \textrm{X}^3 - 3 \, \textrm{X}^2 (\textrm{X}+ 1)\"
\n\"\varphi(\textrm{X}^3 ) = -2\, \textrm{X}^3 - 3 \, \textrm{X}^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il est \u00e9vident que
\n\"\ast\" \"\varphi (1 + \textrm{X} ) = 0\"
\n\"\ast\" \"\textrm{rg} \, \varphi = \textrm{rg} \left ( \varphi (1), \varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3) \right )\"
\n\"\textrm{rg} \, \varphi = \textrm{rg} \left ( \varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3) \right )\"<\/p>\n

donc \"\textrm{rg}\, \varphi = 3\" car la famille \"(\varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3))\" est une famille de \"3\" polyn\u00f4mes de degr\u00e9s 2 \u00e0 2 distincts,<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"(\varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3))\" est une base de \"\textrm{Im} \, \varphi\"<\/p>\n

\"\bullet\" Par le th\u00e9or\u00e8me du rang, \"\textrm{dim Ker}\,\varphi = 1\" et on a trouv\u00e9 un \u00e9l\u00e9ment non nul de \"\textrm{Ker} \,\varphi\", donc une base du noyau est \"1 + \textrm{X}\"<\/p>\n

Correction de l’exercice sur l’existence d’endomorphisme en Maths Sup<\/h2>\n

a)<\/strong> S’il existe \"u \, \in \, \mathcal {L} (E)\" tel que \"\textrm {Ker }u = F\" et \"\textrm {Im }u = G\",<\/p>\n

par le th\u00e9or\u00e8me du rang, \"\dim E =\dim \textrm {Ker }u + \dim \textrm {Im }u\",<\/p>\n

donc \"\dim E = \dim F + \dim G\".<\/p>\n

b)<\/strong> On \u00e9tudie la r\u00e9ciproque.<\/p>\n

On suppose que \"\quad \quad \dim E = \dim F + \dim G\".
\n\"\bullet\" Premi\u00e8re m\u00e9thode : application du th\u00e9or\u00e8me de recollement des applications lin\u00e9aires.<\/p>\n

\"\ast\" On note \"f\" l’application lin\u00e9aire nulle de \"F\" dans \"E\".<\/p>\n

Soit \"H\" un suppl\u00e9mentaire de \"F\".<\/p>\n

\"\dim H = \dim E - \dim F = \dim G\".<\/p>\n

Il existe donc un isomorphisme \"g\" de \"H\" sur \"G\".<\/p>\n

On note \"u\" l’endomorphisme de \"E\" obtenu par recollement des applications lin\u00e9aires \"f\" et \"g\".
\ni.e. si \"x \in E\" est \u00e9crit \"x = a + b\" avec \"a \in F\" et \"b \in H\", on d\u00e9finit \"\quad \quad u(x) = f(a) + g(b) = g(b)\".<\/p>\n

\"\ast\" Il est alors \u00e9vident que \"F \, \subset \, \textrm {Ker }u\" et que \"G \, \subset \, \textrm {Im }u\".<\/p>\n

\"\ast\" L’hypoth\u00e8se et le th\u00e9or\u00e8me du rang donnent :
\n\"(\dim \textrm {Ker }u - \dim F)\"
\n\"\quad \quad \quad + \, (\dim \textrm {Im }u - \dim G) = 0\".<\/p>\n

Comme somme<\/a> nulle de deux entiers naturels, \"\dim \textrm {Ker }u - \dim F = 0\" et \"\dim \textrm {Im }u - \dim G = 0\".<\/p>\n

Par inclusion et \u00e9galit\u00e9 des dimensions, on a prouv\u00e9 que
\n\"\quad \quad \textrm {Ker }u = F\" et \"\textrm {Im }u = G\".<\/p>\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me m\u00e9thode<\/em> : application du th\u00e9or\u00e8me de caract\u00e9risation des applications lin\u00e9aires.
\n\"\ast\" Si \"\dim F = 0\", alors \"F = \{0\}\" et \"G =E\", l’application \"\textrm {Id}_E\" convient.
\n\"\ast\" Si \"\dim G = 0\", alors \"G = \{0\}\" et \"F = E\", l’application nulle convient.
\n\"\ast\" Si \"\dim F . \dim G \neq 0\", on note \"n =\dim E\" et \"p = \dim G\".<\/p>\n

On introduit une base \"(g_1\, , \, {\dots} \, ,\, g_p)\" de \"G\" et une base \"(f_{p+1}\, , \, {\dots} \, ,\, f_{n})\" de \"F\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de la base incompl\u00e8te, on peut d\u00e9terminer une base \"\mathcal{B} = (f_1\, , \, ... \, , f_p\, , \,f_{p+1}\, , \, ... \, , f_{n})\" de \"E\".<\/p>\n

On note \"u\" l’unique endomorphisme de \"E\" tel que
\nsi \"1 \leq i \leq p,\; u(f_i) = g_i\"
\net si \"p + 1\, \leq i \, \leq n, \;u(f_i)= 0\".<\/p>\n

Il est alors \u00e9vident que \"F \, \subset \, \textrm {Ker }u\" et que \"G \, \subset \, \textrm {Im }u\".<\/p>\n

On termine comme dans la premi\u00e8re m\u00e9thode.<\/p>\n

Correction de l’exercice sur le th\u00e9or\u00e8me du rang<\/h2>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\quad \quad \quad \textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)\".<\/p>\n

Comme \"\textrm{Im}(f + g) )\subset \textrm{Im}\,f + \textrm{Im}\, g\",
\n\"\textrm{dim} (\textrm{Im}( f +g ) \leq \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, \textrm{dim} \left (\textrm{Im} \, f \cap \textrm{Im} \, g \right )\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\textrm{dim} \left (\textrm{Im} \, f \cap \textrm{Im} \, g \right ) \leq 0\".<\/p>\n

Alors \"\textrm{Im} \, f \cap \textrm{Im} \, g = \{0\}\".<\/p>\n

On peut donc \u00e9crire \"\quad \quad \textrm{Im}\, f + \textrm{Im}\, g = \textrm{Im}\, f \oplus \textrm{Im}\, g\".<\/p>\n

Alors \"\textrm{dim} (\textrm{Im} \, f \oplus \textrm{Im}\, g ) =\textrm{dim} (\textrm{Im} \, f) + \textrm{dim} (\textrm{Im} \, g)\"
\n\"\textrm{dim} (\textrm{Im} \, f \oplus \textrm{Im}\, g ) = \textrm{dim Im}(f + g)\"
\net \"\textrm{Im}(f + g) \subset \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g\" donnent \"\quad \quad \quad \textrm{Im}(f + g) = \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"\quad \quad \textrm{Im}(f + g) = \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\quad \quad \textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g) \quad (*)\".
\n\"\ast\" \"\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g ) =\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f )\" \"\quad +\, \textrm{dim} (\textrm{Ker } \, g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )\"<\/p>\n

En appliquant la relation (*) et plusieurs fois la formule du rang,<\/p>\n

\"\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g )\" \"=2 \, n - \textrm{rg}(f) - \textrm{rg}(g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )\"
\n\"=2\, n - \textrm{rg}(f + g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )\".
\n\"=n + \textrm{dim Ker}(f + g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )\"<\/p>\n

Ce que l’on \u00e9crit sous la forme (**)
\n\"\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g ) - n =\"
\n\"\quad \textrm{dim Ker}(f + g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )\".<\/p>\n

L’inclusion simple \u00e0 justifier
\n\"\quad \quad \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \subset \textrm{Ker }(f + g)\"<\/p>\n

donne \"\textrm{dim} \left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right ) \leq \textrm{dim Ker }(f + g)\"<\/p>\n

et en utilisant (**) :<\/p>\n

\"\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g) - n\geq 0\".
\n\"\Rightarrow \textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g) = n\"
\ncar \"\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g\" est un sev de \"E\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g = E\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{dim Ker}(f + g)=n - \textrm{rg}(f + g)\" et (*)
\n\"\textrm{dim Ker}(f + g) = n -\textrm{rg}(f) - \textrm{rg}(g)\".
\n\"=n - n + \textrm{dim Ker}\, f - n + \textrm{dim Ker}\, g\"
\n\"\textrm{dim Ker}(f + g)=\" \"\quad \quad \textrm{dim Ker}\, f + \textrm{dim Ker}\, g -n\"<\/p>\n

et en utilisant \"\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g = E\" et la formule de Grassmann,<\/p>\n

\"\textrm{dim Ker}(f + g)= \textrm{dim}\, \left ( \textrm{Ker} \, f \cap \textrm{Ker} \, g \right )\".<\/p>\n

Comme \"\textrm{Ker} f \, \cap \textrm{Ker} g \subset \textrm{Ker}(f + g)\" est une inclusion toujours v\u00e9rifi\u00e9e, on a prouv\u00e9 que \"\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g\".<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"E = \textrm{Ker}\, f + \textrm{Ker}\, g\" et \"\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g\".
\n\"\ast\" En utilisant \"\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g\"
\n\"\textrm{rg}(f + g) = n - \textrm{dim Ker}(f + g)\"
\n\"\textrm{rg}(f + g) = n - \textrm{dim} \left ( \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g \right )\"<\/p>\n

\"\ast\" En utilisant \"\textrm{Ker}(f) + \textrm{Ker}(g) = E\",
\n\"\textrm{dim} \, E = \textrm{dim Ker}\, f + \textrm{dim Ker}\, g\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker}\, f \cap \textrm{Ker} \, g\right )\"<\/p>\n

en utilisant \"\textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g = \textrm{Ker}(f + g)\",<\/p>\n

\"n = n - \textrm{rg}(f) + n - \textrm{rg}(g) - n + \textrm{rg}(f + g)\"<\/p>\n

soit \"\textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 l’\u00e9quivalence des trois propri\u00e9t\u00e9s.<\/p>\n

Pendant leur ann\u00e9e de Maths Sup, les \u00e9tudiants ont la possibilit\u00e9 de se faire accompagner pour am\u00e9liorer leur moyenne et maximiser leurs chances de r\u00e9ussite aux concours, gr\u00e2ce \u00e0 des cours particuliers ou stages intensifs en Maths Sup. En dehors de ces accompagnement, les \u00e9tudiants peuvent aussi utiliser les cours en ligne pour s’entra\u00eener sur divers chapitres du programme dont :<\/p>\n