{"id":74145,"date":"2020-11-06T10:41:16","date_gmt":"2020-11-06T09:41:16","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=74145"},"modified":"2022-07-12T15:13:18","modified_gmt":"2022-07-12T14:13:18","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-integration-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-integration-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s int\u00e9gration Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Int\u00e9gration en Maths Sup : exercices et corrig\u00e9s<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Que ce soient les meilleures \u00e9coles du classement des \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs ou les autres \u00e9coles moins r\u00e9put\u00e9es, toutes accordent une tr\u00e8s grande importance \u00e0 la ma\u00eetrise des maths. C’est pourquoi les maths ont un coefficient en MP, PC, PSI et PT tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9. Ces exercices vous permettent de pouvoir faire une bonne s\u00e9ance de r\u00e9vison sur l’int\u00e9gration en Maths Sup<\/strong>.<\/p>\n

Exercice sur les sommes de Riemann en Maths Sup<\/h2>\n

Soit \"f\" une fonction<\/a> de classe \"C^1\" sur \"[0 , 1]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

D\u00e9terminer \"\; \; \displaystyle \lim _{ n \to + \infty} S_n\" o\u00f9 \"S _n = \displaystyle \frac 1 n \sum _{k = 0} ^ {n - 1} f \left (\frac {k} n \right ) \, f '\left (\frac {k + 1 } n \right )\"<\/p>\n

Exercices sur les limites de suites d’int\u00e9grales en Maths Sup<\/h2>\n

Exercice 1 sur les limites de suites d’int\u00e9grales :\u00a0\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb {N}\", on note \"\qquad \qquad u_n = \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t + t ^n} \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Question 1<\/strong>
\nCalculer \"u_0\" et \"u_1\,\".<\/p>\n

Question 2<\/strong>
\n\u00c9tudier le sens de la variation de la suite \"(u_n)_n\".<\/p>\n

La suite<\/a> \"(u_n)_n\" est convergente.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3<\/strong>
\n\u00c9crire pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"\ln(2) - u_n\" sous la forme d’une int\u00e9grale.<\/p>\n

La suite \"(u_n)_n\" converge vers \"\ln(2)\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 4<\/i><\/strong>
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 2\" et \"x \geq 1\", on note \"F_n(x) =\displaystyle \int_1 ^x \frac 1 {1 + t + t ^n} \, \textrm{d} \, t\".
\nMontrer que la fonction \"F_n\" admet une limite que l’on notera \"v_n\" lorsque \"x\" tend vers \"+\infty\".<\/p>\n

La suite \"(v_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice 2 sur les limites de suites d’int\u00e9grales :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

\"I_n = \int _ {0} ^1 t ^n \, \sqrt{\vert \ln(t) \vert } \, \textrm{d} \, t\" est d\u00e9finie si \"n \in \mathbb{N}^*\" et la suite \"(I_n)_n\" converge vers \"0\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

Exercice sur une fonction d\u00e9finie par une int\u00e9grale en Maths Sup<\/h2>\n

Soit \"f\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}\". On pose pour \"x \neq 0\", \"\qquad \quad F(x) = \displaystyle \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"f\" est d\u00e9rivable en 0, montrer que \"F\" est d\u00e9rivable en \"0\" et donner la valeur de \"F'(0)\".<\/p>\n

Montrer que \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(t) = 0\", montrer que \"F\" v\u00e9rifie la m\u00eame propri\u00e9t\u00e9.<\/p>\n

Que se passe-t-il si \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(t) = L \in \mathbb{R }^*\" ?<\/p>\n

Exercice sur les int\u00e9grales de Wallis<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\forall \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2, \, n Wn = a \, W_{n - 2}\"<\/p>\n

avec \"a =\" ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\displaystyle W_n \underset {n \to + \infty} { \sim} \sqrt{\frac {\pi} {2 \, n} }\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Valeur de \"W_{2 n + 1}\,\"<\/p>\n

Exercice sur l’application du lemme de Lebesgue<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Calculer \"I_{2 n + 1}\" et \"I_{2n}\" pour \"n \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Montrer que \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} I_{2 n + 1} - I_{2 n} = 0\".
\nEn d\u00e9duire la limite de la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"S_n = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k} {2 \, k + 1}\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Montrer que la fonction \"\quad \quad f : t \displaystyle \mapsto \frac 1 {\sin(t)} - \frac 1 t\"
\nest prolongeable par continuit\u00e9<\/a> en une fonction de classe \"C ^1\" sur \"[0 ,\, \pi/2]\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les sommes de Riemann<\/h2>\n

Soit \"T_n = \displaystyle \frac 1 n \sum_{k = 0} ^ {n - 1} f \left( \frac {k+ 1} n \right ) \, f' \left( \frac {k + 1 } n \right )\".<\/p>\n

En posant \"p = k + 1\" , \"T_n = \displaystyle \frac 1 n \sum_{p = 1} ^ {n } f \left( \frac {p} n \right ) \, f' \left( \frac {p } n \right )\" .<\/p>\n

\"T_n\" est une somme<\/a> de Riemann associ\u00e9e \u00e0 la fonction continue \"f \, f'\", donc<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} T_n = \int_0 ^1 f(t) f'(t) \textrm{d } t\"<\/p>\n

\"\displaystyle \qquad \qquad = \left [ \frac {f ^2(t)} 2 \right ] _0 ^1 = \frac {f ^2(1) - f^2(0)} 2\".<\/p>\n

\"n\, (T _ n - S_n ) =\" \"\displaystyle\sum_{k = 0} ^ {n - 1} \left ( f \left( \frac {k+ 1} n \right ) - f \left( \frac {k} n \right ) \right ) \, f' \left( \frac {k + 1 } n \right )\"<\/p>\n

On introduit \"M_1 = \displaystyle \sup _ {t \in [0,1] } \vert f'(t) \vert\".<\/p>\n

Par application de l’in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis,<\/p>\n

\"\displaystyle \left \vert f \left( \frac {k+ 1} n \right ) - f \left( \frac {k} n \right ) \right \vert \leq \frac {M_1} n\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \left \vert f' \left( \frac {k + 1 } n \right ) \right \vert \leq M_1\"<\/p>\n

donc \"\vert Tn - S_n \vert \leq \displaystyle \frac 1 n \sum _{k = 0} ^{n - 1} \frac {M_1} {n} \, M_1\"<\/p>\n

soit \"\vert Tn - S_n \vert \leq \displaystyle \frac 1 n M_1^2 \,\",<\/p>\n

ce qui donne \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty}( T_n - S_n) = 0\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_n = \frac {f ^2(1) - f^2(0)} 2\".<\/p>\n

Correction des exercices sur les limites de suites d’int\u00e9grales<\/h2>\n

Correction de l’exercice 1 sur les limites de suites d’int\u00e9grales :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1 :
\n<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"u_0 = \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t + t ^0} \, \textrm{d} \, t = \int_0 ^1 \frac 1 {2 + t} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"u_0 = \left [ \ln(2 + t) \right]_0 ^ 1 = \ln(3) - \ln(2)\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"u_1 = \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t + t} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"\displaystyle u_ 1 = \int_0 ^1 \frac 1 {1 + 2\, t} \, \textrm{d} \, t = \left [ \frac 1 2 \ln(1 + 2 \, t) \right]_0 ^ 1\"<\/p>\n

\"u_1 \displaystyle = \frac {\ln(3)} 2\".<\/p>\n

Question 2 :
\n<\/strong><\/p>\n

Vrai,<\/p>\n

\"\bullet\" \"u_{n + 1} - u_n\"<\/p>\n

\"\quad = \displaystyle \int_0 ^1 \left ( \frac 1 {1 + t + t ^{n + 1}} - \frac 1 {1 + t + t ^n} \right ) \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"\quad = \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t^n(1 - t)} {(1 + t + t ^{n + 1})(1 + t + t ^n)} \; \; \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

Par int\u00e9gration d’une fonction \u00e0 valeurs positives ou nulles sur \"[0 , 1]\" , \"u_{n + 1} - u_n \geq 0\" donc la suite \"(u_n)_n\" est croissante.<\/p>\n

\"\bullet\" On remarque que \"\displaystyle \frac 1 {1 + t + t ^n} \leq \frac 1 {1 + t}\"<\/p>\n

donc \"u_n \leq \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

soit \"u_n \leq \left [\ln(1 + t) \right] _0 ^1 \leq \ln(2)\".<\/p>\n

La suite est croissante et major\u00e9e. Elle est convergente.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

\"\ln(2) - u_n =\"<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t} \, \textrm{d} \, t - \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t+ t ^n } \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"\ln(2) - u_n = \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t ^n} {(1 + t)(1 + t + t ^n)} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

donc \"0 \leq \ln(2) - u_n \leq \displaystyle \int_0 ^1 {t ^n} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

car \"\displaystyle 0 \leq \frac {1} {(1 + t)(1 + t + t ^n)} \leq 1\"<\/p>\n

donc \"0 \leq \ln(2) - u_n \leq \displaystyle \frac 1 {n + 1}\" ce qui donne par encadrement que la suite \"(u_n)_n\" converge vers \"\ln(2)\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"F_n\" est croissante sur \"[1 , + \infty[\". Elle admet une limite finie ou infinie en \"+ \infty\".<\/p>\n

On suppose \"n \geq 2\", \"F_n(x) \leq \displaystyle \int_1 ^x \frac 1 { t ^n} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

soit \"F_n(x) \leq \displaystyle \left [ \frac { - 1} {(n -1) \, t ^{n - 1} } \right] _1 ^x\"<\/p>\n

\"F_n(x) \leq \displaystyle \frac {1} {n - 1} \left ( 1 - \frac {1} {x ^{n - 1}} \right) \leq \frac {1} {n - 1}\"<\/p>\n

\"F_n\" est major\u00e9e par \"\displaystyle \frac 1 {n - 1}\".<\/p>\n

Elle admet une limite finie \"v_n\" lorsque \"x \to + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" On a obtenu \"0 \leq F_n(x) \leq \displaystyle \frac 1 {n - 1}\"<\/p>\n

donc pour tout \"n \geq 2, \, 0 \leq v_n\leq \displaystyle \frac 1 {n - 1}\".<\/p>\n

Par encadrement, on en d\u00e9duit que la suite \"(v_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur les limites de suites d’int\u00e9grales :\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Vrai<\/p>\n

\"f _n : t \mapsto t ^n \, \sqrt{\vert \ln(t) \vert }\" , \"0 \mapsto 0\" est continue sur \"[0 , 1]\" (utilisation d’un prolongement par continuit\u00e9 en \"0\") donc \"I_n\" est d\u00e9finie si \"n \geq 1\".<\/p>\n

\"f_{1}\" est continue sur \"[0 , 1]\" donc born\u00e9e, soit \"M = \displaystyle \sup _{t \in [0 , 1] } \vert f_1(t) \vert\".<\/p>\n

Si \"n \geq 2\", \"f_n(t) = t ^{n - 1} \, f_1(t)\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"\qquad \quad \forall\, t \in [0 , 1] , \vert f_n(t) \vert \leq M \, t ^{n - 1}\"<\/p>\n

donc \"\vert I_n \vert \leq \int_0 ^1 M \, t ^{n - 1} \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

soit \"\displaystyle\vert I_n \vert \leq M \left [ \frac {t ^n} n \right ] _ 0 ^1 \leq \frac {M} n\"<\/p>\n

ce qui donne \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} I_n = 0\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur une fonction d\u00e9finie par une int\u00e9grale<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" admet un DL d’ordre 1 au voisinage de \"0\" donn\u00e9 par<\/p>\n

\"\qquad \quad f(t) \underset {t \to 0} { = } f(0) + f'(0) \, t+ \textrm{o}(t)\"<\/p>\n

donc \"g\" admet un DL d’ordre 2<\/p>\n

\"\qquad g(t) \underset {t \to 0} { = } f(0)\, t + f'(0) \, t^2 + \textrm{o}(t^2)\"<\/p>\n

On obtient celui de \"G\" \u00e0 l’ordre 3<\/p>\n

\"\quad G(x) \underset {x \to 0} { = } \displaystyle f(0)\frac {x^2} 2 + f'(0)\frac {x^3} 3 + \textrm{o}(x^3 )\"<\/p>\n

et enfin<\/p>\n

\"\quad F(x) \underset {x \to 0} { = } \displaystyle f(0)\frac {1} 2 + f'(0)\frac {x} 3 + \textrm{o}(x )\"<\/p>\n

Comme \"F\" admet un DL d’ordre 1 au voisinage de \"0\", \"F\" est d\u00e9rivable en \"0\" et \"F'(0) = \displaystyle \frac {f'(0)} 3\".<\/p>\n

\"\bullet\" On avait vu que pour \"x \neq 0\", \"\qquad \quad F'(x) = \displaystyle \frac {f(x) - 2\, F(x)} {x}\"<\/p>\n

en utilisant les DL de \"f\" et \"F\" \u00e9crits \u00e0 l’ordre 1 :<\/p>\n

\"f(x) - 2 \, F(x) \displaystyle \underset {x \to 0} { = }\" \"\; \; \displaystyle f(0) + f'(0) x - f(0) - \frac {2 \,f'(0)} 3 \, x + \textrm{o} (x)\"<\/p>\n

\"F'(x)\underset {x \to 0} { = } \displaystyle\frac {f'(0) } 3 + \textrm{o}(1)\"<\/p>\n

ce qui donne \"\qquad \displaystyle \lim_{x \to 0} F'(x) = \frac {f'(0)} 3 = F'(0)\".<\/p>\n

\"F'\" est continue en \"0\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"F\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb {R}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Cas d’une limite nulle. On traduit la limite :<\/p>\n

\"\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R} ^{+* }, \, \exists \, A > 0\" si \"t \geq A\" , \"\vert f(t) \vert \leq \varepsilon\".<\/p>\n

On suppose que \"x > A\"<\/p>\n

\"\quad \left \vert \int_0 ^x t \, f(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\leq \int_0 ^x t \, \vert f(t)\vert \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"\quad \quad \leq \int_0 ^A t \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t + \int_A ^x t \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \,t\"<\/p>\n

\"\quad \quad \leq \int_0 ^A t \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t + \int_A ^x t \, \varepsilon\, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

On introduit \"\displaystyle M = \sup _{t \in [0 , A] } \vert f(t) \vert\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \left \vert \int_0 ^x t \, f(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\leq M \int_0 ^A t \textrm{d} \, t + \varepsilon\, \left [ \frac {t ^2 } 2 \right] _A ^x\"<\/p>\n

\"\displaystyle \left \vert \int_0 ^x t \, f(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\leq \frac {M \, A^2} 2 + \varepsilon\, \frac {x ^2 } 2\"<\/p>\n

Ensuite \"\vert F(x) \vert \leq \displaystyle \frac {M \, A^2} {2 \, x ^2 } + \frac { \varepsilon} 2\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_ {x \to + \infty} \frac {M \, A^2} {2 \, x ^2 } = 0\",<\/p>\n

\"\exists \, B > 0, \,\" \"\forall \, x \geq B,\, \displaystyle \frac {M \, A^2} {2 \, x ^2 } \leq \frac {\varepsilon} 2\"<\/p>\n

puis si \"x \geq \max(A , B), \, \vert F(x) \vert \leq \varepsilon\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} F(x) = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Cas g\u00e9n\u00e9ral, on pose \"h(x) = f(x) - L\", \"h\" admet \"0\" pour limite en \"+ \infty\"<\/p>\n

et \"H(x) = \displaystyle \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; h(t) \, \textrm{d} \, t\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"H(x) = \displaystyle \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; f(t) \, \textrm{d} \, t - \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; L \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

soit \"H(x) = F(x) - \displaystyle \frac {L} 2\" .<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty } F(x) = \frac L 2\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les int\u00e9grales de Wallis en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"a = n-1\"<\/p>\n

En int\u00e9grant \"W_n\" par parties avec les fonctions de classe \"C^1\" sur \"I\" :<\/p>\n

\"u : t \mapsto - \cos(t)\" et \"v : t \mapsto \sin^{n - 1} (t)\"<\/p>\n

\"u'(t) = \sin(t)\"<\/p>\n

et \"v'(t) = (n - 1) \sin^{n - 2}(t)\, \cos(t)\".<\/p>\n

\"Wn = \left [ - \cos(t)\, \sin ^{n - 1} (t) \right ] _0 ^{\pi/2}\" \"\quad \quad +\, (n- 1) \int _ 0 ^{\pi/2} \cos^2 (t) \sin ^{n - 2} (t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

En utilisant \"\cos^2 t = 1 - \sin^2 t\", on obtient par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale \"\quad \quad W_n = (n - 1) (W_{n - 2} - W_n)\".<\/p>\n

donc \"n \, W_n = (n - 1)\, W_{n - 2}\,\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

Comme la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \frac {W_{n + 1}} {W _n }\" converge vers \"1\", \"W_n \underset {n \to + \infty} { \sim} W_{n - 1}\"<\/p>\n

et comme \"n \, W_n\, W_{n - 1} = \displaystyle \frac {\pi} 2\",<\/p>\n

on a : \"W_n ^2 \underset {n \to + \infty} { \sim} \displaystyle \frac {\pi} {2 \, n}\".<\/p>\n

Comme \"W_n > 0\", on obtient l’\u00e9quivalent \u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On utilise \"(2 n + 1) \, W_{2 n + 1}\, W_{2 n} = \displaystyle \frac {\pi} 2\"<\/p>\n

et \"\displaystyle W_{2n} = \frac {(2 n)! }{(n ! )^2 } \frac {\pi} {2^{2 n + 1} }\, ,\"<\/p>\n

pour obtenir<\/p>\n

\"W_{2 n + 1} = \displaystyle \frac { (n!)^2 \, 2 ^{2 n}} {(2 n + 1)!}\"<\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur l’application du lemme de Lebesgue<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

\"\ast\" Comme \"\displaystyle \cos \left ( \frac {(2 \, p + 1) \pi} 2 \right ) = 0\"<\/p>\n

\"I_{2 p + 3} = I_{2 p + 1}\,\", donc
\n\"\quad \forall \, n \in \mathbb{N} ,\, I_{2 n + 1} = I_1 = \displaystyle \frac {\pi} 2\".<\/p>\n

\"\ast\" Comme \"\displaystyle \cos \left ( \frac {2\, p \, \pi} 2 \right ) = (- 1) ^p\"<\/p>\n

\"I_{2 p + 2} - I_{2 p} = \displaystyle \frac {2\, (- 1) ^p} {2 p + 1}\" ,<\/p>\n

donc par sommation et t\u00e9lescopage sachant que \"I_0 = 0\" :<\/p>\n

\"\displaystyle I_{2 n} = \sum _{p = 0} ^ {n - 1} ( I_{2 p + 2} - I_{2 p})\"<\/p>\n

\"\displaystyle I_{2 n} = \sum _{p = 0} ^ {n - 1} \frac {2\, (- 1) ^p} {2 p + 1}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"I_{2 n + 1} - I_{2 n} =\" \"\quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{\pi/2} \frac {\sin((2 \,n + 1)t) - \sin(2 \, n\, t)} {\sin(t)} \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Avec un peu de trigonom\u00e9trie<\/a>,<\/p>\n

\"\displaystyle \sin((2 \,n + 1)t) - \sin(2\, n \, t) =\" \"\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 \, \sin \frac t 2 \, \cos \frac {(4 n + 1)\, t} 2\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \sin(t) = 2 \sin \frac t 2 \, \cos \frac t 2\"<\/p>\n

\"\displaystyle \frac {\sin((2 n + 1)t) - \sin(2 n t)} {\sin(t) } =\" \"\quad\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac 1 {\cos(t/2) }\, \cos \frac {(4 n + 1)\, t} 2\"<\/p>\n

On a donc \u00e9crit \"\displaystyle \frac {\pi} 2 - I_{2 n} = \int_{0} ^{\pi/2} \cos \frac {(4 n + 1)\, t} 2 \, \varphi(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

o\u00f9 \"\varphi : t \mapsto \displaystyle \frac 1 {\cos(t/2)}\" est une fonction de classe \"C^1\" sur \"[0, \, \pi/2]\" .<\/p>\n

Par le lemme de Lebesgue,<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle \lim _ {n \to + \infty} \left ( \frac {\pi} 2 - I_{2 n } \right ) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" donc \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum _{p = 0} ^ {n} \frac {2\, (- 1) ^p} {2\, p + 1} = \frac {\pi} 2\"<\/p>\n

soit \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \sum _{p = 0} ^ {n} \frac {(- 1) ^p} {2 \, p + 1} = \frac {\pi} 4\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" est continue sur \"]0, \, \pi/2]\".<\/p>\n

\"f(t) = \displaystyle \frac {t - \sin(t)} {t \sin(t)}\".<\/p>\n

\"t \sin(t) \underset {t \to 0} {\sim} t ^2\" et \"t - \sin(t) \underset {t \to 0} { = } o(t ^2)\" \"\Rightarrow \displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) = 0\",<\/p>\n

on prolonge \"f\" par continuit\u00e9 en 0 en posant \"f(0) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"]0 , \, \pi/2]\" et<\/p>\n

\"\quad \quad f'(t) = \displaystyle \frac {- \cos(t)} {\sin^2(t) } + \frac 1 {t ^2}\"<\/p>\n

\"\quad \quad f'(t) = \displaystyle \frac {\sin^2(t) - t ^2 \cos(t)} {t ^2 \, \sin^2(t) }\"<\/p>\n

Comme \"t^2 \sin^2(t) \underset {t \to 0} {\sim} t ^4\", on \u00e9crit le d\u00e9veloppement limit\u00e9<\/a> de \"u(t) = \sin^2(t) - t ^2 \cos(t)\" \u00e0 l’ordre 4 en \"0\".<\/p>\n

\"\displaystyle u(t) \underset {t \to 0} {= } t ^2 -\frac {t ^4} 3 - t ^2 + \frac {t ^4} 2 + o(t ^4)\"<\/p>\n

et \"\sin^2(t) - t ^2 \cos(t) \underset {t \to 0} { \sim } \displaystyle \frac {t ^4} 6\"<\/p>\n

donc \"f'(t) \underset {t \to 0} { \sim } \displaystyle \frac {1} 6\" .<\/p>\n

\"f\" est continue sur \"[0 , \pi/2]\", de classe \"C^1\" sur \"]0 , \, \pi/2]\" et \"f'\" admet \"1/6\" pour limite en \"0\", donc par le th\u00e9or\u00e8me de la limite de la d\u00e9riv\u00e9e<\/a>, \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"[0 , \, \pi/2]\" et \"f'(0) = 1/6\".<\/p>\n

Attention \u00e0 commencer par r\u00e9duire au m\u00eame d\u00e9nominateur pour lever l’ind\u00e9termination \"\infty - \infty\".<\/p>\n

Pour lever une ind\u00e9termination en 0 de la forme \"0 / 0\" par utilisation de d\u00e9veloppements limit\u00e9s, c’est l’ordre \"d\" de l’\u00e9quivalent du d\u00e9nominateur qui impose d’\u00e9crire le DL du num\u00e9rateur \u00e0 l’ordre \"d\".<\/p>\n

On a utilis\u00e9 la forme plus \u00e9labor\u00e9e du th\u00e9or\u00e8me de la limite de la d\u00e9riv\u00e9e.
\nSi \"f\" est une fonction r\u00e9elle continue sur \"[a, b]\", de classe \"C^1\" sur \"]a , \, b]\" et telle que \"f'\" admet une limite finie \"L\" en \"a\", alors \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"[a , \, b]\" et \"f'(a) = L\".<\/p>\n

Ces quelques exercices sont un bon entrainement pour constater une vraie progression en maths et r\u00e9ussir en Maths Sup. R\u00e9viser et s’entra\u00eener r\u00e9guli\u00e8rement sur divers exercices de maths est la cl\u00e9 de la r\u00e9ussite. Voici quelques autres chapitres au programme \u00e0 travailler :<\/p>\n