{"id":74172,"date":"2020-11-06T12:45:56","date_gmt":"2020-11-06T11:45:56","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=74172"},"modified":"2023-09-15T18:50:06","modified_gmt":"2023-09-15T17:50:06","slug":"cours-en-ligne-prehilbertiens-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-prehilbertiens-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les pr\u00e9hilbertiens en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Cours sur l’espace pr\u00e9hilbertiens de Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Le chapitre sur l’espace pr\u00e9hilbertien est un des chapitres les plus importants dans le programme de MPSI en Maths. Profitez de ce cours en ligne et nos cours de maths particulier<\/a> pour revoir les notions de cours fondamentales ainsi que les m\u00e9thodes et propri\u00e9t\u00e9s \u00e0 conna\u00eetre par c\u0153ur. Vous pourrez ainsi augmenter vos r\u00e9sultats et votre moyenne.<\/p>\n

A. D\u00e9montrer que l’on a d\u00e9fini un produit scalaire en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" M1 :<\/strong> Si \"E\" est un \"\mathbb{R}\"-espace vectoriel,<\/p>\n

\"\ast\" v\u00e9rifier que \"\qquad E^2 \to \mathbb{R}, \, (x , \,y) \mapsto \varphi (x , \,y)\"<\/p>\n

est une forme bilin\u00e9aire sym\u00e9trique en d\u00e9montrant les deux propri\u00e9t\u00e9s :<\/p>\n

… \"\forall \, y \in E, \; x \mapsto \varphi(x , \,y)\" est lin\u00e9aire
\n… et \"\forall\, (x , \,y) \in E^2, \; \varphi(x , \,y) = \varphi(y ,\, x)\".<\/p>\n

\"\ast\" puis montrer que \"\varphi\" est positive non d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e en prouvant que :
\n… \"\forall \, x \in E, \; \varphi(x , \,x) \geqslant 0\"
\n… \"\varphi(x , \,x) = 0 \Rightarrow x = 0\"<\/p>\n

ce qui est plus simple en g\u00e9n\u00e9ral que de prouver que : \"\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\},\; \varphi(x ,\, x) > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2 :<\/strong> Conna\u00eetre les produits<\/a> scalaires au programme.<\/p>\n

\"\ast\" Sur \"\mathbb{R}^n\", le produit scalaire canonique d\u00e9fini pour \"x = (x_1\, , \, \cdots \, , \, x_n)\"<\/p>\n

et \"y = (y_1\, , \, \cdots \, , \, y_n)\"<\/p>\n

par<\/p>\n

\"\qquad \qquad \displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Sur \"\mathcal{M} _{n , 1} (\mathbb{R})\", le produit scalaire canonique :<\/p>\n

si \"X = (x_i) _{1 \leqslant i \leqslant n}\" et \"Y = (y_i) _{1 \leqslant i \leqslant n}\"<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle (X\, | \, Y) = X^{\textrm{T}}\, Y = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Sur l’espace vectoriel \"E\" des fonctions continues<\/a> sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",<\/p>\n

\"\quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\ast\" le r\u00e9sultat classique \u00e0 savoir d\u00e9montrer : Soit \"E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".<\/p>\n

\"\quad \quad E \times E \to \mathbb{R},\; (A , B) \mapsto \textrm{Tr}(A^{\textrm{T}} \, B)\" d\u00e9finit un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\varphi\" est un produit scalaire sur l’espace vectoriel<\/a> r\u00e9el \"E\", on dit que \"(E \,,\, \varphi)\" est un espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.<\/p>\n

Si de plus \"E\" est de dimension finie, on dit que \"(E\, ,\, \varphi)\" est un espace euclidien<\/a>.<\/p>\n

\"\bullet\" Savoir utiliser la bilin\u00e9arit\u00e9 du produit scalaire :<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"\left (E , \, ( \cdot \mid \cdot) \right )\" est un pr\u00e9hilbertien,<\/p>\n

\"\ast\" Si \"(x , y , z , t) \in E^4\" et \"\qquad \quad (\alpha \, ,\, \beta \, ,\, \gamma \, ,\, \delta) \in \mathbb{R}^4\",
\n\"(\alpha \, x + \beta \, y \mid \gamma z + \delta t) = \alpha \, \gamma \, (x \mid z)\" \"+ \, \alpha \,\delta \, (x \mid t) + \beta \, \gamma \, (y \mid z) + \beta \,\delta\, (y \mid t)\"<\/p>\n

\"\ast\" Plus g\u00e9n\u00e9ralement, si \"(p \,,\, q) \in \mathbb{N}^2\" v\u00e9rifient \"p \geq 2, q \geq 2\",<\/p>\n

\"\forall \left ( (x_i)_{1\leqslant i \leqslant p }\, , \, (y_j)_{1\leqslant j \leqslant q } \right ) \in E ^{p + q}\"<\/p>\n

et \"\forall \left ( (\alpha_i)_{1\leqslant i \leqslant p }\,, \, (\beta_j)_{1\leqslant j \leqslant q } \right ) \in \mathbb{R } ^{p + q}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \sum _ {i = 1} ^p \alpha_i \, x_i \; \Bigg \vert \; \sum _ {j = 1} ^q \beta _j \, y_j \right )\"<\/p>\n

\"= \qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \sum _{ j = 1} ^q \alpha_i \, \beta _ j \, \left ( x_i \mid y_j \right )\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

B. D\u00e9finir et manipuler une norme euclidienne en Maths Sup<\/h2>\n

Si \"(x ,\, y) \mapsto (x \mid y)\" est un produit scalaire sur \"E\", on d\u00e9finit la norme euclidienne de \"x \in E\"<\/p>\n

par \"\qquad \quad \Vert x \Vert = \sqrt{ (x \mid x) }\".<\/p>\n

Alors \"E \to \mathbb{R}^+ , \, x \mapsto \Vert x \Vert\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"\ast\" \"\Vert x \Vert = 0\" ssi \"x = 0\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\lambda \in \mathbb{R}\" et \"x \in E\" ,\"\, \Vert \lambda \, x \Vert = \vert \lambda \Vert \; \Vert x \Vert\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"(x , y) \in E^2\", \"\Vert x + y \vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert\" (in\u00e9galit\u00e9 triangulaire).<\/p>\n

On dit que \"x \mapsto \Vert x \Vert\" est une norme euclidienne<\/strong> sur \"E\".<\/p>\n

On dit que \"x \in E\" est unitaire<\/strong> lorsque \"\Vert x \Vert = 1\".<\/p>\n

Cas particuliers :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" La norme euclidienne sur \"\mathbb{R}^n\" est d\u00e9finie si \"u = (u_1\, ,\, \cdots \, , \, u_n)\"par :<\/p>\n

\"\qquad \qquad \displaystyle \Vert u \Vert = \sqrt{\sum _{i = 1} ^n u_i^2} \,\".<\/p>\n

\"\ast\" La norme euclidienne de \"f \in \mathcal{C} ([a, \, b] , \, \mathbb{R})\", \"\Vert f \Vert = \sqrt{\int_a ^b f ^2(t) \, \textrm{d} \, t}\".<\/p>\n

Conna\u00eetre la formule de polarisation<\/strong><\/p>\n

Si \"(x , y) \in E ^2 ,\"<\/p>\n

\"\quad \, 2\, (x \mid y) = \Vert x + y \Vert ^2 - \Vert x \Vert ^2 - \Vert y \Vert ^2\".<\/p>\n

On peut aussi d\u00e9montrer que<\/p>\n

\"\quad 4\, (x \mid y) = \Vert x + y \Vert ^2 - \Vert x - y \Vert ^2\".<\/p>\n

P :<\/strong> On note \"(E , \, ( . \mid . ) \, )\" un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.<\/p>\n

Soient \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geq 2\", \"(x_i)_{\leqslant i \leqslant n} \in E^n\" et \"(\alpha_ i)_{\leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R} ^n\",<\/p>\n

\"\displaystyle \left \Vert \sum _ {i = 1} ^n \alpha _ i \, x_ i \right \Vert ^2\"<\/p>\n

\"=\qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \alpha _ i^2 \,\Vert x_ i \Vert ^2+\sum _ {i \neq j} \alpha_i \, \alpha _ j\, (x _i \mid x_j)\".<\/p>\n

C. Manipuler l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" Le r\u00e9sultat g\u00e9n\u00e9ral<\/strong><\/p>\n

Si \"(E , ( .\, |\, . ))\" est un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el, on peut utiliser l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz :<\/p>\n

\"\quad \forall \, (x , \,y) \in E^2, \; \vert (x \mid y)\vert \leq \Vert x \Vert \; \Vert y \Vert .\"<\/p>\n

Il y a \u00e9galit\u00e9 si, et seulement si, la famille \"(x ,\, y)\" est li\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" L’\u00e9criture dans \"\mathbb {R}^n\"<\/strong><\/p>\n

Si \"(u_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\" et \"(v_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\" sont deux familles de \"n\" r\u00e9els<\/a>,<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \left \vert \sum_{i = 1} ^n u _ i \, v _ i \right \vert \leq \sqrt {\sum _ {i = 1} ^n u_ i^2 } \; \sqrt{\sum _ {i = 1} ^n v_i^2 }\"<\/p>\n

ce qui est \u00e9quivalent \u00e0<\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \sum_{i = 1} ^n u _ i \, v _ i \right ) ^2 \leq \left ( \sum _ {i = 1} ^n u_ i^2 \right ) \, \left ( \sum _ {i = 1} ^n v_i^2 \right )\"<\/p>\n

\"\bullet\" L’\u00e9criture dans \"E = \mathcal{C}([a , b ], \mathbb{R})\" <\/strong><\/p>\n

si \"f\" et \"g\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"E\",<\/p>\n

\"\displaystyle \left \vert \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\"<\/p>\n

\"\displaystyle \quad \leq \sqrt { \int_a ^b f^2 (t) \, \textrm{d} \, t} \; \sqrt { \int_a ^b g^2 (t) \, \textrm{d} \, t}\"<\/p>\n

ou encore<\/p>\n

\"\displaystyle \left ( \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t \right )^2\"<\/p>\n

\"\leq \displaystyle \quad \int_a ^b f^2 (t) \, \textrm{d} \, t \times \int_a ^b g^2 (t) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

D. Manipuler la notion d’orthogonalit\u00e9 en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" M1<\/strong> :<\/strong> Deux vecteurs \"x\" et \"y\" de \"E\" sont orthogonaux ssi \"(x \mid y) = 0\" ssi \"\Vert x + y \Vert ^2 = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2\" (th\u00e9or\u00e8me de Pythagore).<\/p>\n

On \u00e9crit \"x \perp y\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2 :<\/strong> Si \"X\" est une partie non vide de \"E\", l’ensemble<\/a> des vecteurs orthogonaux \u00e0 tous les vecteurs de \"X\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" qui est not\u00e9 \"X ^{\perp}\" et appel\u00e9 orthogonal de \"X\".<\/p>\n

\"X ^{\perp} = \{ y \in E \, / \, \forall\, x \in X ,\, (x \mid y) = 0 \}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M3 :<\/strong> Pour d\u00e9montrer qu’un vecteur \"x\" de \"E\" pr\u00e9hilbertien r\u00e9el est nul, on peut<\/p>\n

\"\ast\" d\u00e9montrer que \"\Vert x \Vert = 0\"<\/p>\n

\"\ast\" d\u00e9montrer que \"\forall \, y \in E,\; (x \,|\, y) = 0\", c’est-\u00e0-dire que \"x \in E^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M4 :<\/strong> Si \"F\" est un sous-espace vectoriel du pr\u00e9hilbertien r\u00e9el \"E\",<\/p>\n

\"\qquad \qquad F \cap F^{\perp} = \{0\}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M5 :<\/strong> Toute famille finie de vecteurs 2 \u00e0 2 orthogonaux et non nuls est libre.<\/p>\n

E. Construire une famille orthonormale en Maths Sup<\/h2>\n

Dans ce paragraphe, \"(E ,\, ( . \, | \, . ))\" est un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.<\/p>\n

\"\bullet\" M1 :<\/strong> Conna\u00eetre le r\u00e9sultat complet du principe d’orthonormalisation de Gram-Schmidt<\/strong><\/p>\n

Si \"(e_1 \, ,\, e_2 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)\" est une famille libre du pr\u00e9hilbertien de \"(E \, , ( .\; \mid \; .))\", il existe une unique famille orthonormale \"(\varepsilon_1\, , \,\cdots \, , \, \varepsilon_n)\" de \"E\" telle que<\/p>\n

pour tout \"k \in [\![1 , \, n]\!]\",<\/p>\n

\"\textrm{Vect} (e_1\, , \, \cdots \, , \, e_k) = \textrm{Vect}(\varepsilon_1\, ,\, \cdots \, , \, \varepsilon_k)\".<\/p>\n

et \"(e_k \, | \, \varepsilon_k) > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2 : Application pratique du proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt : <\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Introduire une famille libre \"(e_1 \, ,\, e_2 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)\" de \"E\".<\/p>\n

\"\ast\" Poser \"\varepsilon _1 = \displaystyle \frac {e_1} {\Vert e_1\Vert}\".<\/p>\n

Puis construire les vecteurs par r\u00e9currence<\/a><\/p>\n

\"\ast\" apr\u00e8s avoir construit \"(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _ k)\", introduire si \"k + 1 \leq n\"<\/p>\n

\"\quad u_{k + 1} = e_{k + 1} - \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k (e_{k + 1} \, | \, \varepsilon_i) \, \varepsilon_i\"<\/p>\n

puis calculer \"\varepsilon _{k + 1} = \displaystyle\frac {u_{k + 1}} {\Vert u_{k + 1} \Vert }\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong>\u00a0: <\/strong><\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 \"F\" est de dimension finie et o\u00f9 \"(e_i)_{1 \leq i \leq n}\" est une base de \"F\", on construit ainsi une base orthonormale \"(\varepsilon _k) _{1 \leq k \leq n}\" de \"F\".<\/p>\n

Tout sous-espace vectoriel de dimension finie strictement positive de \"E\" admet une base orthonormale.<\/p>\n

F. Utiliser l’orthogonal d’un sev de dimension finie en Maths Sup<\/h2>\n

Dans ce paragraphe, \"F\" est un sous-espace vectoriel (sev) de dimension finie du pr\u00e9hilbertien \"(E\, , \, ( . \, \mid \, . ))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\dim F > 0\", \"F\" admet une base orthonormale.<\/p>\n

\"\bullet\" \"E = F \oplus F ^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\" La projection de \"E\" sur \"F\" parall\u00e8le- ment \u00e0 \"F^{\perp}\" est appel\u00e9e projection orthogonale sur \"F\" et not\u00e9e \"p_F\,\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\dim F = n > 0\" et si \"(u_1\, ,\, \cdots \, , \, u_n)\" est une base orthonormale de \"F\", la projection orthogonale sur \"F\" est d\u00e9finie par<\/p>\n

\"\quad \displaystyle p_F : E \mapsto E , x \mapsto \sum _{i = 1} ^n (x \, | \, u_i) \, u_i\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"p_F\" est la projection orthogonale sur \"F\", pour tout \"x \in E\",<\/p>\n

\"\quad \Vert x \Vert ^2 = \Vert p_F(x) \Vert ^2 + \Vert x - p_F(x)\Vert ^2\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\qquad \forall\, x \in E, \, \Vert p_F(x) \Vert \leq \Vert x \Vert\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a \in E\", \"\{ \Vert f - a \Vert \, / \, f \in F\}\" admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment appel\u00e9 distance de \"a\" \u00e0 \"F\" et not\u00e9 \"\textrm{d} (a , F)\".<\/p>\n

Ce mininum est atteint en un seul point \"f = p_F(a)\".<\/p>\n

Donc \"\textrm{d} (a , F) = \Vert a - p_F(a) \Vert\"<\/p>\n

et \"\textrm{d} (a , F)^2 = \Vert a \Vert ^2 - \Vert p_F(a) \Vert ^2\".<\/p>\n

G. Reconna\u00eetre et r\u00e9soudre un probl\u00e8me de distance \u00e0 un sev<\/h2>\n

Dans ce paragraphe, \"(E, ( . \, | \, . ))\" est un espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.<\/p>\n

Soit \"a \in E\" donn\u00e9. Dans le cas o\u00f9 l’on demande de d\u00e9terminer la borne inf\u00e9rieure de l’ensemble \"\left \{f(a , x_1 \, , \, \cdots \, ,\, x_n) / (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n ) \in \mathbb{R}^n \right \}\;\"
\n\"f\" \u00e9tant \u00e0 valeurs positives ou nulles, il y a de fortes chances de se trouver devant un probl\u00e8me de distance \u00e0 un sous-espace vectoriel.<\/p>\n

Pour cela, il faut :<\/p>\n

\"\ast\" 1.<\/strong> pr\u00e9ciser l’espace vectoriel \"E\" consid\u00e9r\u00e9, lorsqu’il n’est pas donn\u00e9 par l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

\"\ast\" 2.<\/strong> trouver le produit scalaire utilis\u00e9.<\/p>\n

\"\ast\" 3.<\/strong> trouver le sous-espace vectoriel \"F\" de dimension \"n\", c’est-\u00e0-dire \u00e9crire<\/p>\n

\"F = \textrm{Vect} (u_1\, \, ,\, \cdots \, , \, u_n)\" et interpr\u00e9ter le probl\u00e8me sous l’une des deux formes :<\/p>\n

\"\displaystyle \inf_{(x_1 \, ,\, \cdots \, , \, x_n ) \in \mathbb{R}^n} \left \Vert a - \sum _{i = 1} ^n x_i \, u_i \right \Vert^2\"<\/p>\n

\"\displaystyle \quad \quad = \inf_{y \in F} \Vert a - y \Vert ^2 = d(a , F) ^2\"<\/p>\n

\"\displaystyle \inf_{(x_1 \, , \, \cdots \, ,\, \, x_n ) \in \mathbb{R}^n} \left \Vert a - \sum _{i = 1} ^n x_i \, u_i \right \Vert\"<\/p>\n

\"\displaystyle \quad \quad = \inf_{y \in F} \Vert a - y \Vert = d(a , F)\".<\/p>\n

\"\ast\" 4.<\/strong> d\u00e9finir le projet\u00e9 orthogonal \"p_F(a)\" de \"a\" sur \"F\" (cf \u00a7 6).<\/p>\n

\"\ast\" 5.<\/strong> calculer<\/p>\n

\"\qquad \quad d(a , F)^2 = \Vert a \Vert ^2 - \Vert p_F(a)\Vert ^2\"<\/p>\n

\"\qquad\" ou \"d(a , F)^2 = \Vert a - p_F(a)\Vert ^2\"
\n(th\u00e9or\u00e8me de Pythagore).<\/p>\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 compl\u00e9ter vos r\u00e9visions de cours en MPSI, PCSI et PTSI avec l’ensemble de nos autres cours en ligne de Maths pour les Maths Sup. Revoyez par exemple, les notions essentielles des chapitres qui suivent :<\/p>\n