{"id":74189,"date":"2020-11-06T12:45:58","date_gmt":"2020-11-06T11:45:58","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=74189"},"modified":"2022-07-12T15:15:57","modified_gmt":"2022-07-12T14:15:57","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-prehilbertiens-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-prehilbertiens-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s pr\u00e9hilbertiens Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices et corrig\u00e9s sur l’espace pr\u00e9hilbertien en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Pour r\u00e9ussir les concours d’\u00e9coles d’ing\u00e9nieurs, il est primordial de travailler s\u00e9rieusement d\u00e8s les premiers mois de Maths Sup. Les maths ont un coefficient en MP, PC et PSI aux concours, si \u00e9lev\u00e9, que la moindre impasse peut co\u00fbter cher. Le simulateur d’admissibilit\u00e9 aux concours CPGE peut en t\u00e9moigner.<\/p>\n

Exercice sur un produit scalaire en Maths Sup<\/h2>\n

D\u00e9terminer l’ensemble des r\u00e9els<\/a> \"a\" tels que sur \"E = \mathbb{R}^3\", si<\/p>\n

\"x = (x_1\, ,\, x_2\, ,\, x_3 )\" et \"y = (y_1\, ,\, y_2\, , \, y_3 )\",<\/p>\n

\"(x \mid y) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + a\, x _ 3 \, y_3\" \"\quad - \, 3\, x_1\, y_3 - 3\, y_1\, x_3 + 2\, x_2\, y_3 + 2 \, x_3 \, y_2 \,\"<\/p>\n

d\u00e9finisse un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

Exercice l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz et int\u00e9gration<\/h2>\n

Soient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els.<\/p>\n

On note \"F\" l’ensemble des fonctions de classe \"C^1\" sur \"[0 ,\, 1]\" dans \"\mathbb{R}\" v\u00e9rifiant \"f(0) =a\" et \"f(1) = b\".<\/p>\n

D\u00e9terminer \"\displaystyle \min _{f \in F} \int_0^1 f'^2(t) \, \textrm{d} \, t\" et l’ensemble des fonctions<\/a> \"f\" r\u00e9alisant ce minimum.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice sur les raisonnements dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\"<\/h2>\n

Soit \"E = \mathbb{R} [\textrm{X}]\".<\/p>\n

Question : <\/strong><\/p>\n

Calculer la distance de \"\textrm{X}^3\" \u00e0 \"F\".<\/p>\n

Exercice sur un probl\u00e8me de distance<\/h2>\n

On note \"E\" l’espace vectoriel des applications continues sur \"[-1,\,1]\" et \u00e0 valeurs r\u00e9elles.<\/p>\n

Question :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"u\ :\ t\mapsto 1\", \"v\ :\ t\mapsto t\" et \"F=\textrm{Vect}(u,\, v)\". D\u00e9terminer une base orthonormale de \"F\".<\/p>\n

Exercice sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel<\/h2>\n

Soit \"E\" l’espace vectoriel<\/a> des fonctions de classe \"C ^1\" sur \"[0,\, 1]\".<\/p>\n

Si \"(f ,\, g) \in E^2\", on d\u00e9finit \"\varphi(f , \,g) = f(0) \, g(0) + \int_0 ^1 f'(t) \, g'(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

Question :<\/strong><\/p>\n

\"\varphi\" d\u00e9finit un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction d’exercice sur un produit scalaire<\/h2>\n

\"\bullet\" On fixe \"y \in E\".<\/p>\n

Soient \"(x,\, z) \in E^2\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\",<\/p>\n

on d\u00e9montre que :<\/p>\n

\"\quad (\lambda \, x + z \mid y)= \lambda\, ( x \mid y)+ ( z \mid y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il est \u00e9vident que \"(x \mid y) = (y \mid x)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"x \in E\", on cherche le signe de \"(x \mid x)\" en faisant appara\u00eetre des identit\u00e9s remarquables.<\/p>\n

\"(x \mid x) =\" \"\quad x_1^2 + x_2 ^2 + a \, x_3 ^2 - 6\, x_1\, x_3 + 4 \, x_2\, x_ 3\,\"<\/p>\n

On \u00e9crit que \"x _1 - 6\, x_1\, x_3\" est le d\u00e9but d’un carr\u00e9<\/p>\n

\"(x \mid x) =\" \"\;\; (x_1 - 3\, x_3) ^2 + x_2 ^2 + (a - 9) \, x_3 ^2\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \,4 \, x_2\, x_ 3\"<\/p>\n

On \u00e9crit que \"x _ 2^2 + 4 \, x_2\, x_ 3\" est le d\u00e9but d’un carr\u00e9 :<\/p>\n

\"(x \mid x) = (x_1 - 3\, x_3) ^2 + (x_2 + 2\, x_3)^2\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \;\; +\, (a - 9 - 4 ) \, x_3 ^2\"<\/p>\n

\"(x \mid x) = (x_1 - 3\, x_3) ^2 + (x_2 + 2\, x_3)^2\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad\;\; +\, (a - 13 ) \, x_3 ^2\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a - 13 \leq 0\", avec \"x = (0 , 0 , 1) \neq 0\"<\/p>\n

\"(x \mid x) = a - 13 \leqslant 0\"<\/p>\n

donc \"(x , y) \mapsto (x \mid y)\" n’est pas un produit scalaire.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a - 13 > 0\", comme somme<\/a> de r\u00e9els positifs ou nuls, \"(x \mid x) \geqslant 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose toujours \"a > 13\" et on garde les notations pr\u00e9c\u00e9dentes, si \"(x \mid x) = 0\", comme somme de carr\u00e9s de r\u00e9els, on obtient le syst\u00e8me<\/a><\/p>\n

\"\qquad \qquad \left \{ \begin{matrix} x_1 - 3\, x_3&=&0 \\ x_2 + 2\, x_3&=& 0 \\x_3 &=& 0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ce qui donne \"x_3 = x_2 = x_1 = 0\" soit \"x = 0\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que l’on a d\u00e9fini un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

On \u00e9crit \"(x \mid x)\" comme combinaison lin\u00e9aire de carr\u00e9s en utilisant les termes \"x_i \, x_j\" pour faire appara\u00eetre des d\u00e9buts de carr\u00e9s.<\/p>\n

\"\ast\" Si tous les coefficients de ces carr\u00e9s sont strictement positifs, on \u00e9tudie le caract\u00e8re d\u00e9fini en r\u00e9solvant un syst\u00e8me de trois \u00e9quations<\/a> \u00e0 trois inconnues.<\/p>\n

\"\ast\" Si l’un au moins des coefficients est n\u00e9gatif ou nul, on choisit un \"x\" particulier annulant les autres carr\u00e9s sans annuler le carr\u00e9 du coefficient strictement n\u00e9gatif consid\u00e9r\u00e9.<\/p>\n

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 <\/p>\n

Correction d’exercice sur l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz et int\u00e9gration<\/h2>\n

On utilise le produit scalaire usuel dans l’espace vectoriel \"E = \mathcal{C}([0,\, 1],\, \mathbb{R})\".<\/p>\n

L’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy Schwarz appliqu\u00e9e aux fonctions \"t \mapsto 1\" et \"t \mapsto f'(t)\" donne<\/p>\n

\"\left ( \int_0 ^1 f'(t) \, \textrm{d} \, t \right ) ^2 \leqslant \int_0 ^1 1^2 \textrm{d}\,t \, . \,\int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t\"<\/p>\n

ce qui donne \"(f(1) - f(0))^2 \leqslant 1 . \int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t\"<\/p>\n

soit \"(b - a)^2 \leqslant \int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t\".<\/p>\n

Lorsque \"g : t \mapsto (b - a)t + a\", \"g \in F\"<\/p>\n

et\u00a0 \"\int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t = (b - a)^2\".<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que l’ensemble<\/a> introduit admet un minimum \u00e9gal \u00e0 \"(b - a)^2\".<\/p>\n

Le cas o\u00f9 \"\int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}(t) = (b - a)^2\" est le cas d’\u00e9galit\u00e9 de l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz, donc le cas o\u00f9 les fonctions \"f'\" et \"t \mapsto 1\" sont colin\u00e9aires.<\/p>\n

Ce sont les fonctions \"f : t \mapsto \alpha \, t + \beta\" avec \"f(0) = a\" et \"f(1) = b\" ssi \"\beta = a\" et \"\alpha + \beta = b\" soit pour la fonction \"\qquad \qquad f _0 : t \mapsto (b - a)t + a\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les raisonnements dans \"\mathbb{R} [\textrm{X}]\"<\/h2>\n

Comme on conna\u00eet une base orthonormale de \"F\",<\/p>\n

\"p_F( \textrm{X}^3) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^2 (\textrm{X}^3\mid Q_k) \, Q_k \,\".<\/p>\n

\"\ast\" \"(\textrm{X}^3\mid Q_0) = \displaystyle \sqrt{2} \,\int_0 ^1 t ^4 \, \textrm{d} \, t = \frac {\sqrt{2}} 5\"<\/p>\n

\"\ast\" \"(\textrm{X}^3\mid Q_1) = \int_0 ^1 t ^4\, (6 \, t - 4) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"(\textrm{X}^3\mid Q_1) = \displaystyle 1 - \frac 4 5 = \frac 1 5\".<\/p>\n

\"\ast\" \"(\textrm{X}^3\mid Q_2)\" \"\qquad = \sqrt{6} \int_0 ^1 t ^4 (10\, t ^2 - 12 \, t + 3 ) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad = \sqrt{6}\left ( \displaystyle \frac {10} 7 - 2 + \frac 3 5 \right ) = \displaystyle \frac {\sqrt{6} } {35}\".<\/p>\n

Comme \"(Q_0\, ,\, Q_1\, , \,Q_2)\" est une base orthonormale,<\/p>\n

\"\left \Vert p_F(\textrm{X}^3) \right \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^2 (\textrm{X}^3\mid Q_k)^2\"<\/p>\n

\"\left \Vert p_F(\textrm{X}^3) \right \Vert ^2 = \displaystyle \frac 2 {25} + \frac 1 {25} + \frac 6 {35^2}= \frac {153} {1225}\"<\/p>\n

et \"\left \Vert \textrm{X}^3 \right \Vert ^2 = \int_0 ^1 t ^7 \, \textrm{d} \, t = \displaystyle \frac 1 8\"<\/p>\n

\"\textrm{d} ^2( \textrm{X}^3,\, F) = \left \Vert \textrm{X}^3 \right \Vert ^2 - \left \Vert p_F(\textrm{X}^3) \right \Vert ^2\"<\/p>\n

\"\textrm{d} ^2( \textrm{X}^3,\, F) =\displaystyle \frac {1} {9800}\".<\/p>\n

\"\textrm{d}( \textrm{X}^3,\, F) =\displaystyle \frac {1} {70 \, \sqrt{2}}\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur un probl\u00e8me de distance<\/h2>\n

On pourrait utiliser les formules de Schmidt. Cependant, il est imm\u00e9diat que \"(u\, |\, v) = 0\" et il suffit de normer les vecteurs pour obtenir une base orthonormale.<\/p>\n

\"(u \, | \, u) = 2\" et \"(v \, | \, v) = \displaystyle \frac 2 3\".<\/p>\n

\"\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}u\, , \, \sqrt{\frac{3}{2}}\; v\right )\" est une b.o.n. de \"F\".<\/p>\n

Correction de l’exercice\u00a0sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel<\/h2>\n

Vrai,<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"g \in E\", par lin\u00e9arit\u00e9 de \"f \mapsto f(0) \, g(0)\", de \"f \mapsto f'\" et de l’int\u00e9grale<\/a> sur \"[0,\, 1]\", \"f \mapsto \varphi(f ,\, g)\" est lin\u00e9aire.<\/p>\n

\"\bullet\" Par commutativit\u00e9 de la multiplication dans \"\mathbb{R}\", \"\varphi\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f \in E\", \"\varphi (f,\, f) = f^2(0) + \int_0 ^1 {f'} ^2(t) \, \textrm{d} \, t \geqslant 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\varphi(f ,\, f) = 0\", comme somme nulle de deux r\u00e9els positifs ou nuls, \"f ^2(0) = 0\" et \"\int_0 ^1 {f'} ^2(t) \, \textrm{d} \, t = 0\".<\/p>\n

La fonction \"{f'} ^2\" est continue<\/a>, positive ou nulle et d’int\u00e9grale nulle sur \"[0,\, 1]\" , donc elle est nulle.<\/p>\n

La fonction \"f\" est constante \u00e9gale \u00e0 \"f(0) = 0\", donc \"f = 0\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\varphi\" est un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

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