{"id":75540,"date":"2020-11-12T19:56:32","date_gmt":"2020-11-12T18:56:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=75540"},"modified":"2023-09-15T18:51:00","modified_gmt":"2023-09-15T17:51:00","slug":"cours-en-ligne-espaces-euclidiens-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espaces-euclidiens-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les espaces euclidiens en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Les espaces euclidiens en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Ce cours en ligne de Maths Sup sur les espaces euclidiens<\/strong> vient compl\u00e9ter le cours sur les espaces vectoriels<\/a> et le cours sur les espaces pr\u00e9hilbertiens<\/a>. Des cours qui sont essentiels en Maths Sup, mais \u00e9galement, fondamentaux pour aborder sereinement les maths au programme de Maths Sp\u00e9 que vous pouvez aborder avec un prof de maths \u00e0 domicile<\/a>.<\/p>\n

A. Espace vectoriel euclidien \"E\" en Maths Sup<\/h2>\n

1. Base orthonormale d’un espace euclidien \"E\"<\/h3>\n

\"\bullet\" M1 :<\/strong> Si \"E\" est un espace euclidien de dimension \"n > 0\", \"E\" admet une base orthonormale.<\/p>\n

\"\bullet\" M2 :<\/strong> Toute famille orthonormale d’un espace euclidien \"E\" peut \u00eatre compl\u00e9t\u00e9e en une base orthonormale de \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\" M3 :<\/strong> Si \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\,\" est une base orthonormale de \"E\",<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, x \in E,\; \displaystyle x = \sum_ {i = 1} ^n (x \, | \, e_i) \, e_i \,\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, (x , \,y) \in E^2\",<\/p>\n

si \"\displaystyle x = \sum_{i = 1} ^n x_i \, e_i\,\" et \"\displaystyle y = \sum_{i = 1} ^n y_i \, e_i\,\", \"\qquad \qquad \displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si l’on note \"X\" et \"Y\" les matrices<\/a> colonnes de \"x\" et \"y\" dans la base \"\mathcal{B}\", \"(x \, | \, y ) = X^{\textrm{T} } \; Y\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \, x_k \, e_k\,\", \"\displaystyle \Vert x \Vert = \sqrt {\sum _ {k = 1} ^n x_k ^2} \,\".<\/p>\n

\"\bullet\" M4 :<\/strong> Th\u00e9or\u00e8me de la base orthonormale incompl\u00e8te.
\nSi \"E\" est un espace euclidien de dimension \"n\" et si \"(e_1\,\, \cdots \, ,\, e_p)\" est une famille orthonormale de \"E\", il existe une base orthonormale de \"E\" de la forme \"(e_1\,,\, \cdots \, ,\, e_p\, ,\, e_{p + 1} \,,\, \,\cdots \, ,\, e_n)\".<\/p>\n

2. Suppl\u00e9mentaire orthogonal en Maths Sup<\/h3>\n

\"E\" est un espace euclidien.<\/p>\n

\"\bullet\" M1 :<\/strong> Si \"F\" est un sous-espace de \"E\",<\/p>\n

\"\ast\" \"E = F \oplus F ^{\perp}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\dim F ^{\perp} = \dim E - \dim F\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2 :<\/strong> Si \"F\" est un sous espace vectoriel de \"E\", \"\left ( F ^{\perp} \right ) ^{\perp} = F\".<\/p>\n

\"\bullet\" M3 :<\/strong> On suppose que \"E = F \oplus G\".<\/p>\n

Si \"\forall\, f \in F\", \"\forall \, g \in G\", \"(f \mid g) = 0\",<\/p>\n

\"\ast\" \"G = F ^{\perp}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"F = G ^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M4 :<\/strong> Si \"E\" est un espace euclidien de dimension \"n\", de base orthonormale<\/p>\n

\"\mathcal{B} = (e_1\, ,\, \cdots \, , e_n)\", si \"p \in [\![1,\, n - 1]\!]\"<\/p>\n

et \"F = \textrm{Vect} (e_1\, ,\, \cdots \, , e_p)\"<\/p>\n

\"\qquad F^{\perp} = \textrm{Vect} (e_{p+1}\, ,\, \cdots \, , e_n)\".<\/p>\n

\"\bullet\" M5 :<\/strong> Si \"F\" est un s.e.v. de \"E\", la projection orthogonale \"p_F\" sur \"F\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"\ast\" pour tout \"x \in E\", \"x - p_F(x) \perp p_F(x)\"<\/p>\n

\"\ast\" \"p_F(x)\" est le seul vecteur de \"F\" qui rend minimum \"\Vert x - f\Vert\" lorsque \"f \in F\"<\/p>\n

\"\ast\" la distance de \"x \in E\" \u00e0 \"F\" est \u00e9gale \u00e0 \"\textrm{d} (x , \, F) = \Vert x - p_F(x) \Vert\"<\/p>\n

et \"\textrm{d}^2(x , \, F) = \Vert x \Vert ^2 - \Vert p_F(x)\Vert ^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" M6 :<\/strong> Si \"F\" est un s.e.v. de \"E\" de base orthonormale directe \"(u_1\, ,\, \cdots \, , \, u_k)\"<\/p>\n

\"\quad \forall\, x \in E, \, p_F(x) = \displaystyle \sum _{i = 1} ^k (x \mid u_i) \, u _ i\,\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

B. Hyperplans et hyperplans affines en Maths Sup<\/h2>\n

1. Hyperplans en Maths Sup<\/h3>\n

Soit \"H\" un hyperplan de \"\mathbb{R}^n\" d’\u00e9quation<\/a> \"\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n a_k \, x_k = 0\" dans la base canonique.<\/p>\n

\"\bullet\" M1 :<\/strong> \"H^{\perp}\" est la droite dirig\u00e9e par \"a = (a_1\, ,\, \cdots \, , \, a_n)\".<\/p>\n

Le vecteur \"a\" est appel\u00e9 vecteur normal \u00e0 l’hyperplan.<\/p>\n

\"H = \left ( \textrm{Vect}(a) \right ) ^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2 :<\/strong> La projection orthogonale sur \"\textrm{Vect}(a)\" est \"E \to E,\, x \mapsto \displaystyle \frac {(a \mid x) } {\Vert a \Vert ^2} \, a\".<\/p>\n

\"\bullet\"M3 :<\/strong> La projection orthogonale sur \"H\" est \"p_H : E \to E,\, x \mapsto \displaystyle x - \frac {(a \mid x) } {\Vert a \Vert ^2} \, a\".<\/p>\n

\"\bullet\" M4 :<\/strong> La distance de \"x\" \u00e0 \"H\" est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac {\vert (a \mid x) \vert} {\Vert a \Vert }\" .<\/p>\n

\"\bullet\" M5 :<\/strong> Le carr\u00e9 de la distance de \"x\" \u00e0 \"\textrm{Vect}(a)\" est \u00e9gal \u00e0 \"\displaystyle \Vert x \Vert ^2 - \frac {(a \mid x) ^2 } {\Vert a \Vert ^2}\".<\/p>\n

2. Hyperplans affines en Maths Sup<\/h3>\n

On suppose l’espace rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonormal \"\mathcal{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\" D :<\/strong> un hyperplan affine passant par \"A\" de direction \"H\" est le sous espace affine passant par \"A\" et de direction l’hyperplan \"H\" de \"E\" soit l’ensemble<\/a><\/p>\n

\"\qquad \qquad \{M \, / \, \overrightarrow {AM} \in H\}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M :<\/strong> \"\mathcal{H}\" est un hyperplan affine de \"\mathbb{R}^n\" ssi il existe \"d\in \mathbb{R}\" et \"(a_1\, ,\, \cdots \, ,\, a_n) \neq 0\" tels que \"\mathcal{H}\" soit l’ensemble des points \"M\" de coordonn\u00e9es \"(x_1\, ,\, \cdots \, , \, x_n)\" v\u00e9rifiant<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n a_i \, x _ i = d\".<\/p>\n

La direction de \"\mathcal{H}\" est l’hyperplan d’\u00e9quation \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n a_i \, x_i = 0\".<\/p>\n

On dit que le vecteur de coordonn\u00e9es \"(a_1\, ,\, \cdots \, ,\, a_n)\" est un vecteur normal \u00e0 l’hyperplan \"\mathcal{H}\".<\/p>\n

\"\bullet\" P :<\/strong> La distance de \"M\" \u00e0 l’hyperplan affine passant par \"A\" et de vecteur normal \"\overrightarrow {n}\" est \u00e9gale \u00e0 \"\left \vert (\overrightarrow {AM} \mid \overrightarrow{n}) \right \vert\".<\/p>\n

C. Caract\u00e9risation des isom\u00e9tries et des matrices orthogonales<\/h2>\n

1. Isom\u00e9tries en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"E\" est un espace vectoriel euclidien de dimension \"n\" et si \"u \in \mathcal{L} (E)\", il y a \u00e9quivalence entre :<\/p>\n

1.<\/strong> \"u\" est une isom\u00e9trie (ou un automorphisme orthogonal),<\/p>\n

2<\/strong>. \"\forall \, (x ,\, y) \in E^2,\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \; (u(x)\, | \, u(y)) = (x \, |\, y)\",<\/p>\n

3.<\/strong> \"\forall \, x \in E,\; \Vert u(x)\Vert =\Vert x\Vert\",<\/p>\n

4.<\/strong> pour toute base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E,\" \"u(\mathcal{B})\" est une base orthonormale de \"E\",<\/p>\n

5.<\/strong> il existe une base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E\" telle que \"u(\mathcal{B})\" soit une base orthonormale de \"E\",<\/p>\n

6.<\/strong> la matrice de \"u\" dans une base orthonormale est une matrice orthogonale.<\/p>\n

\"\ast\" On note \"O(E)\" l’ensemble des isom\u00e9tries de \"E\", \"O(E)\" est un sous-groupe de \"(\textrm{GL}_n(\mathbb{R}), \, \circ)\" appel\u00e9 groupe orthogonal de \"E\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u\" est une isom\u00e9trie, \"\det(u) = \pm 1\".<\/p>\n

\"\ast\" On note \"SO(E)\" l’ensemble des rotations de \"E\" (isom\u00e9tries de \"E\" de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 1), \"SO(E)\" est un sous-groupe de \"O(E)\" appel\u00e9 groupe sp\u00e9cial orthogonal de \"E\".<\/p>\n

2. Matrices orthogonales en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"M \in \mathcal{M}_n (\mathbb {R})\".<\/p>\n

On note \"(C_1\, ,\, C_2 \,, \, \cdots \, , \, C_n)\" le syst\u00e8me<\/a> de ses vecteurs colonnes.<\/p>\n

Il y a \u00e9quivalence entre :<\/p>\n

1.<\/strong> \"M\" est une matrice orthogonale,<\/p>\n

2.<\/strong> \"M^{\textrm{T}}\, M = \textrm{I}_n\,\",<\/p>\n

3.<\/strong> \"M\, M^{\textrm{T}} = \textrm{I}_n \,\",<\/p>\n

4.<\/strong> \"M^{- 1} = M^{\textrm{T}}\",<\/p>\n

5.<\/strong> \"(C_1\, ,\, C_2 \,, \, \cdots \, , \, C_n)\" est une base orthonormale de l’espace vectoriel euclidien \"\mathbb{R} ^n\" pour la structure euclidienne canonique,<\/p>\n

6.<\/strong> \"\forall\, (i , \, j) \in [\![1 , \, n]\!]^2 , \; (C_i \, | \, C_j ) = \delta_{i , \, j} \;\",<\/p>\n

7.<\/strong> \"M\" est la matrice d’une isom\u00e9trie de \"E\", espace euclidien de dimension \"n\", dans une base orthonormale.<\/p>\n

\"\ast\" On note \"O_n(\mathbb{R})\" l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre \"n\".<\/p>\n

\"O_n(\mathbb{R})\" est un sous-groupe de \"(\textrm{GL}_n(\mathbb{R}) ,\, .)\" appel\u00e9 groupe orthogonal d’ordre \"n\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"M \in O_n(\mathbb{R})\", \"\det M = \pm 1\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\{ U \in O_n(\mathbb{R}) \, / \, \textrm{det}(U) = 1\}\" est un sous-groupe de \"O_n(\mathbb{R})\" not\u00e9 \"SO_n(\mathbb{R})\" et appel\u00e9 groupe sp\u00e9cial orthogonal d’ordre \"n\".<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

D. Sym\u00e9tries orthogonales en Maths Sup<\/h2>\n

\"E\" est un espace euclidien.<\/p>\n

4.1. Caract\u00e9risation des sym\u00e9tries orthogonales en Maths Sup<\/h3>\n

Si \"s\" est une sym\u00e9trie de \"E\", on dit que \"s\" est une sym\u00e9trie orthogonale lorsque \"s\" v\u00e9rifie les conditions \u00e9quivalentes :<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, a \in \textrm{Ker}(s - \textrm{Id} _E)\", \"\forall\, b \in \textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _E)\", \"(a \mid b) = 0\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{Ker}(s -\textrm{Id} _E) = \left ( \textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _E) \right ) ^{\perp}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _E) = \left ( \textrm{Ker}(s - \textrm{Id} _E) \right ) ^{\perp}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"s\" est une sym\u00e9trie de \"E\", \"s\" est une sym\u00e9trie orthogonale ssi \"s\" est une isom\u00e9trie.<\/p>\n

2. R\u00e9flexion de sym\u00e9tries orthogonales en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Une sym\u00e9trie orthogonale est une r\u00e9flexion lorsque \"\textrm{Ker} (s - \textrm{Id}_E)\" est un hyperplan \"H\" de \"E\".<\/p>\n

On dit que \"s\" est une r\u00e9flexion par rapport \u00e0 l’hyperplan \"H\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"s\" est une r\u00e9flexion par rapport \u00e0 \"H\" et si \"u\" est un vecteur normal unitaire \u00e0 \"H\", \"\forall\, x \in E, \, s(x) = x - \displaystyle 2\, {(u \mid x)} \, u\".<\/p>\n

E. Produit mixte en Maths Sup<\/h2>\n

On suppose que \"E\" est un espace euclidien.<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose dans la suite<\/a> que l’espace euclidien est orient\u00e9, on a donc choisi une base \"\mathcal{B}\" dite directe.<\/p>\n

Toutes les bases \"\mathcal{C}\" telles que \"\det _ {\mathcal{B}} \mathcal{C} > 0\" sont aussi directes, celles telles que \"\det _ {\mathcal{B}} \mathcal{C} < 0\" sont dites indirectes.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\mathcal{B}\" et \"\mathcal{C}\" sont deux bases orthonormales directes, la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{C}\" est une matrice orthogonale de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Dans la suite, \"E\" est un espace euclidien orient\u00e9<\/span> de dimension \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" Le d\u00e9terminant de \"n\" vecteurs de \"E\" dans une base orthonormale directe ne d\u00e9pend pas de la base orthonormale directe choisie pour le calculer.<\/p>\n

On l’appelle produit<\/a> mixte de ces \"n\" vecteurs et on le note \"[x_1\, ,\, \cdots \, , \, x_n]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Le produit mixte est une forme \"n\"-lin\u00e9aire altern\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 2\", \"\vert \, [u \, , \, v] \, \vert\" s’interpr\u00e8te comme l’aire du parall\u00e9logramme construit sur les vecteurs \"u\" et \"v\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 3\", \"\vert \, [u \, , \, v,\, w ] \, \vert\" s’interpr\u00e8te comme le volume du parall\u00e9l\u00e9pip\u00e8de construit sur les vecteurs \"u\", \"v\" et \"w\".<\/p>\n

F. Matrices orthogonales d’ordre 2<\/h2>\n

P1 :<\/strong> Toute matrice de \"O_2(\mathbb{R})\" s’\u00e9crit<\/p>\n

\"\ast\" \"R(t) = \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\" si son d\u00e9terminant est \u00e9gal \u00e0 \"1\".<\/p>\n

\"\ast\" \"S(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix}\" si son d\u00e9terminant est \u00e9gal \u00e0 \"-1\".<\/p>\n

P2 :<\/strong> \"\ast\" \"(SO_2(\mathbb{R})\, ,\, .)\" est un groupe commutatif.<\/p>\n

Pour tout \"(t , \, t') \in \mathbb{R}^2\",<\/p>\n

\"\ast\" \"R(t) R(t') = R(t + t') = R(t') R(t)\"\u00a0 et \"R(t) ^{-1} = R(-t)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"S(t) S(t') = R(t - t')\".<\/p>\n

P3 :<\/strong> Soit \"E\" un plan euclidien orient\u00e9 et \"r \in SO(E)\", il existe un unique r\u00e9el<\/a> \"t\" de \"]- \pi,\, \pi]\" tel que la matrice de \"r\" dans toute base orthonormale directe de \"E\" s’\u00e9crive \"R(t)\".<\/p>\n

On dit que \"r\" est une rotation d’angle de mesure \"t\".<\/p>\n

P4 :<\/strong> Si \"r\" est une rotation du plan euclidien orient\u00e9 \"E\", on d\u00e9termine une mesure de l’angle \"t\" de la rotation \"r\" en introduisant un vecteur unitaire \"u\" et en r\u00e9solvant<\/p>\n

\"\quad \cos t = (u \, | \, v)\"<\/p>\n

et \"\sin t = [u \, , \, v]\"\u00a0 (\"[u \, ,\, v]\" est le produit mixte de \"u\" et \"v\" d\u00e9fini dans le \u00a74).<\/p>\n

P5 :<\/strong> Si \"s\" est une isom\u00e9trie du plan euclidien \"E\" de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 \"- 1\", il existe un r\u00e9el \"t\" tel que la matrice de \"s\" dans une base orthonormale soit \"S(t)\". \"s\" est alors la r\u00e9flexion par rapport \u00e0 la droite \"\textrm{Vect}(a)\" o\u00f9 \"a\" est un vecteur directeur de la droite \"\textrm{Ker} (s - \textrm{Id}_E).\"<\/p>\n

Si certaines difficult\u00e9s refont surface dans ce cours, il est important d’y rem\u00e9dier en s’exer\u00e7ant r\u00e9guli\u00e8rement sur plusieurs exercices, notamment sur les exercices de cours en ligne en Maths Sup. D’autres chapitres peuvent \u00e9galement \u00eatre retravaill\u00e9s pour se perfectionner :<\/p>\n