{"id":75563,"date":"2020-11-12T19:56:28","date_gmt":"2020-11-12T18:56:28","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=75563"},"modified":"2022-07-12T15:18:37","modified_gmt":"2022-07-12T14:18:37","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-espaces-euclidiens-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-espaces-euclidiens-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s euclidiens Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s sur les espaces euclidiens en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

\n

Les math\u00e9matiques repr\u00e9sentent \u00e9videmment le coefficient en MP, PC et PSI le plus \u00e9lev\u00e9. Bien que les autres mati\u00e8res enseign\u00e9es soient \u00e9galement importantes pour entrer dans les meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs, les \u00e9tudiants de Maths Sup doivent s’assurer d\u00e8s leur 1\u00e8re ann\u00e9e de pr\u00e9pa de n’avoir aucune difficult\u00e9 en math\u00e9matiques.<\/p>\n

Exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire en Maths Sup<\/h2>\n

Soit \"E\" un espace vectoriel<\/a> euclidien muni d’une base orthonormale \"(e_1 \,,\, e_2 \,,\, \cdots \,,\, e_n)\".<\/p>\n

On donne \"(f_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\" une famille de \"n\" vecteurs de \"E\".<\/p>\n

On note \"g_i = e_i + f_i\" pour tout \"i\in [\![1,\, n]\!]\".<\/p>\n

Si \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \Vert f _ i \Vert < 1\", la famille \"(g_1 \,,\, g_2 \,,\, \cdots \,,\, g_n)\" est une base de \"E\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice sur un produit scalaire canonique sur \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\"<\/h2>\n

Question 1 : Une in\u00e9galit\u00e9 entre traces <\/strong><\/p>\n

\"\forall \, A \in \mathcal{M} _ n (\mathbb{R})\", \"\textrm{Tr}(A)^2 \leq n\, \textrm {Tr}(A ^{\textrm{T}} \, A)\"<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0Un orthogonal<\/strong><\/p>\n

Quel est l’orthogonal de \"\quad F = \{ A \in \mathcal{M} _ n (\mathbb{R}) \, / \, \textrm{Tr} (A) = 0\}\" ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0Distance de \"A\" \u00e0 \"F\"<\/strong><\/p>\n

Calculer le carr\u00e9 de la distance de \"A\" \u00e0 \"F\".<\/p>\n

Exercice sur un produit scalaire sur \"\mathbb{R} _ n [\textrm{X}]\"<\/h2>\n

On se place sur \"E = \mathbb{R} _ n [\textrm{X}]\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"G\" est l’ensemble des polyn\u00f4mes<\/a> \"P \in E\" tels que \"\displaystyle \sum _{k = 0} ^n P(k) = 0\", d\u00e9terminer \"G ^{\perp}\" .<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer une base orthonormale de \"F = \mathbb{R} _ 1 [\textrm{X}]\".<\/p>\n

Exercice sur l’\u00e9criture d’une matrice de projection orthogonale<\/h2>\n

On se place dans \"E = \mathbb{R}^4\" muni du produit scalaire canonique.<\/p>\n

On consid\u00e8re le sous espace \"F\" d\u00e9fini par \"\left \{ \begin{matrix} x+y+z+t&=&0\\x+2\, y+3\,z+4\, t&=&0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Question :\u00a0<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer une base de \"F^{\perp}\", puis une base orthonormale.<\/p>\n

Exercice sur les projections orthogonales en Maths Sup<\/h2>\n

Soient \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de dimension finie.<\/p>\n

On suppose que \"p_F \circ p_G = p_H\,\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Caract\u00e9riser \"H\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On suppose toujours \"p_F \circ p_G = p_H\,\".<\/p>\n

\"p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\"<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice sur les coefficients d’une matrice orthogonale en Maths Sup<\/h2>\n

Soit \"A\in O_{n} (\mathbb{R})\", \"A = (a_{i,\, j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\".<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

a) \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n \vert a_{i,\, j} \vert \leq n\, \sqrt{n}\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Le cas d’\u00e9galit\u00e9 ?<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire<\/h2>\n

Vrai,<\/p>\n

Soient \"(\lambda_1 \,,\, \lambda_2 \,,\, \cdots \,,\, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n\" tel que \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \lambda _ i \, g_ i = 0\".<\/p>\n

On note \"M = \displaystyle \max _{1 \leq i \leq n} \vert \lambda _ i\vert\".<\/p>\n

On introduit \"j\in [[1,\, n]]\" tel que \"M = \vert \lambda_j\vert\"<\/p>\n

\"0 = \displaystyle \left ( \sum _ {i = 1} ^n \lambda _ i \, g_ i \mid e_j \right )\"<\/p>\n

\"(g_i \mid e_j) = (e_i \mid e_j) + (f_i \mid e_j)\"<\/p>\n

\"(g_i \mid e_j) = \delta _{i , j} + (f_i \mid e_j)\"<\/p>\n

donc \"0 = \lambda _ i + \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^p \lambda_i \, (f_i \mid e_j)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _ {i = 1 } ^p \lambda_i \, (f_i \mid e_j) = - \lambda _ j\"<\/p>\n

\"M =\displaystyle \left \vert \sum _ {i = 1 } ^p \lambda_i \, (f_i \mid e_j) \right \vert\"<\/p>\n

\"M \leq \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^p \vert \lambda_i \vert \, \vert (f_i \mid e_j)\vert\".<\/p>\n

Par l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz,<\/p>\n

\"\qquad \quad \vert (f_i \mid e_j)\vert \leq \Vert f_i \Vert \, \Vert e_j\Vert\"<\/p>\n

donc \"\vert (f_i \mid e_j)\vert \leq \Vert f_i \Vert\" et \"\vert \lambda _i \vert \leq M\",<\/p>\n

alors \"M \leq \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p M \, \Vert f_i \Vert\".<\/p>\n

Soit \"\displaystyle M \left ( 1 - \sum _ {i = 1} ^p \Vert f_i \Vert \right ) \leq 0\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle 1 - \sum _ {i = 1} ^p \Vert f_i \Vert > 0\", on en d\u00e9duit que \"M = 0\".<\/p>\n

Donc \"\forall\, i \in [[1,\, n]],\, \lambda _ i = 0\".<\/p>\n

\"(g_1 \,,\, g_2 \,,\, \cdots \,,\, g_n)\" est une famille libre de \"n\" vecteurs dans un ev de dimension \"n\", c’est une base de \"E\".<\/p>\n

Corrections sur un produit scalaire canonique sur \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\"<\/h2>\n

Question 1 : Une in\u00e9galit\u00e9 entre traces<\/strong><\/p>\n

Vrai,<\/p>\n

Par utilisation de l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz, avec les matrices<\/a> \"A\" et \"\textrm{I}_n \,\",<\/p>\n

\"(\textrm{I}_n \, | \, A) ^2 \leq (\textrm{I}_n \, | \,\textrm{I}_n ) \, (A \, | \, A)\" ce qui s’\u00e9crit<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \textrm{Tr}(A)^2 \leq n\, \textrm {Tr}(A ^{\textrm{T}} \, A)\" .<\/p>\n

Il y a \u00e9galit\u00e9 ssi la famille \"(\textrm{I}_n\, , \, A)\" est li\u00e9e ssi \"A\" est combinaison lin\u00e9aire de \"\textrm{I}_n\,\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0Un orthogonal<\/strong><\/p>\n

Tr est une forme lin\u00e9aire non nulle sur \"\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})\". \"F = \textrm{Ker Tr }\" est un hyperplan de \"\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})\".<\/p>\n

\"F ^ {\perp }\" est une droite.<\/p>\n

Pour tout \"A \in F\", \"(\textrm{I}_n \, | \, A) = \textrm{Tr} (A) = 0\" , donc \"\textrm{I}_n \in F ^{\perp}\", ce qui prouve que \"\textrm{Vect}(\textrm{I}_n)\" est l’orthogonal de l’hyperplan \"F\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0Distance de \"A\" \u00e0 \"F\"<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9termine la projection orthogonale \"p\" sur \"F^{\perp}\" engendr\u00e9 par \"\textrm{I}_n\,\",<\/p>\n

\"\displaystyle p(A) = \frac { (\textrm{I}_n \, | \, A) } {\Vert \textrm{I}_n\Vert ^2} \, \textrm{I}_n\" soit \"\displaystyle p(A) = \frac { \textrm{Tr}( A) } {n} \, \textrm{I}_n\"<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore,<\/p>\n

\"d^2(A ,\, F) = \Vert A \Vert ^2 - \Vert p(A)\Vert ^2\"<\/p>\n

\"\displaystyle d^2(A ,\, F) = \textrm{Tr}( A^{\textrm{T} } \, A) - \frac { \textrm{Tr}^2 ( A) } n\".<\/p>\n

On rappelle que pour d\u00e9terminer la projection orthogonale \"q\" sur un hyperplan \"H\", on introduit \"a\" tel que \"H^{\perp} = \textrm{Vect}(a)\".<\/p>\n

La projection orthogonale \"p\" sur la droite engendr\u00e9e par \"a\" est d\u00e9finie par \"p: x \mapsto \displaystyle \frac {(a \, |\, x)} {\Vert a \Vert ^2 } \, a\". Alors \"q = \textrm{Id}_E - p\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur le produit scalaire sur \"\mathbb{R} _ n [\textrm{X}]\"<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On remarque que \"P \in G\" ssi \"(1 \mid P) = 0\"<\/p>\n

Donc \"G\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" et c’est l’orthogonal de \"\textrm{Vect}(1)\".<\/p>\n

C’est un hyperplan (de dimension \"n\" car \"\dim E = n + 1\" ).<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On utilise le proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la base \"(1\, , \, \textrm{X})\" de \"F\".<\/p>\n

\"\ast\" On a d\u00e9j\u00e0 vu que \"\Vert 1 \Vert = \sqrt{n + 1}\".<\/p>\n

On pose \"R_0 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n + 1}}\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"U = \textrm{X} - (\textrm{X} \mid R_0) \, R_0\"<\/p>\n

\"U = \displaystyle \textrm{X} - \frac { (\textrm{X} \mid 1)} {n + 1}\"<\/p>\n

On avait calcul\u00e9 : \"(\textrm{X} \mid 1) = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2\"<\/p>\n

\"U = \displaystyle \textrm{X} - \frac n {2}\".<\/p>\n

\"\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \sum _{k =0} ^n \left ( k - \frac n 2 \right ) ^2\"<\/p>\n

\"\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n k ^2 - n\, \sum _{k = 0} ^n k + \frac {n^2(n + 1)} 4\"<\/p>\n

\"\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \frac{n(n + 1)(2 n + 1) } 6 - \frac{n^2 (n + 1)} 2\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle + \frac {n^2(n + 1)} 4\"<\/p>\n

\"\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \frac{n(n + 1)(n + 2) } {12}\"<\/p>\n

\"\ast\" Puis \"R_1 = \displaystyle \frac 1{ \Vert U \Vert } \, U\"<\/p>\n

\"R_1 = \displaystyle \frac {\sqrt{3}} {\sqrt{n(n + 1)(n + 2)} } (2\, \textrm{X} - n )\" .<\/p>\n

\"(R_0\,,\, R_1)\" est une base orthonormale de \"F\".<\/p>\n

Correction sur l’\u00e9criture d’une matrice de projection orthogonale<\/h2>\n

\"\bullet\" Recherche d’une base de \"F^{\perp}\"<\/p>\n

Soit \"v = (x,\,y,\, z,\, t)\".<\/p>\n

\"v \in F^{\perp}\" ssi \"(v \mid a) = (v \mid b) = 0\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} x - 2\, y + z = 0 \\2\, x - 3\, y + t = 0 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} z= - x + 2\, y \\t = - 2\, x + 3\, y \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"F^{\perp} = \{(x, y,2y-x, 3y-2x)\,/\, (x,y) \in \mathbb{R}^2\}\".<\/p>\n

Alors \"F^{\perp} = \textrm{Vect}(c,\, d)\" avec \"c = (1,0,-1,-2)\" et \"d = (0 , 1 , 2, 3)\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise le proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormaisation de Gram-Schmidt<\/p>\n

\"\ast\" \"\Vert c \Vert ^2 = 6\", on note donc \"v_1 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{6}} \, c\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"w = d - (d\mid v_1) \, v_1\"<\/p>\n

\"\displaystyle w = d - \frac 1 6 (d\mid c) \, c\"<\/p>\n

\"\displaystyle w = d + \frac 4 3 \, c = \frac 1 3 \, (4,\, 3,\, 2,\, 1)\"<\/p>\n

\"\Vert (4,\, 3,\, 2,\, 1)\Vert ^2 = 30\"<\/p>\n

donc \"v_2 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{30 }} (4,\, 3,\, 2,\, 1)\".<\/p>\n

Conclusion :<\/strong> Une base orthonormale de \"F ^{\perp}\" est \"(v_1\, ,\, v_2)\" avec<\/p>\n

\"\qquad v_1 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{6}} \, (1,\,0,\,-1,\,-2)\"<\/p>\n

\"\qquad v_2 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{30 }} \, (4,\, 3,\, 2,\, 1)\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Correction d’exercice sur les projections orthogonales<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \in F \cap G\", \"p_G(x) = x\" et \"p_F(x) = x\" donc \"p_F \circ p_G(x) = x\" alors \"x \in H\", ce qui prouve que \"F \cap G \subset H\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"x \in H\", \"\Vert x \Vert = \Vert p_H(x) \Vert = \Vert p_F(p_G(x)) \Vert\" \"\Vert x \Vert \leq \Vert p_G(x)\Vert \leq \Vert x \Vert\, .\" en utilisant Q1.b) pour \"p_F\" puis \"p_G\,\",<\/p>\n

Par double in\u00e9galit\u00e9, \"\Vert p_G(x) \Vert = \Vert x \Vert\", par Q1a), \"x \in G\" ; alors \"x = p_F(p_G(x)) = p_F(x)\" donc \"x \in F\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"x \in F \cap G\", donc \"H \subset F \cap G\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\ast\" Par double inclusion, \"H = F \cap G\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai,<\/p>\n

Soit \"(x , y) \, \in E^2\".<\/p>\n

Comme \"p_H\" est une projection orthogonale, \"(p_H(x) \, | \, y) = (x \, | \, p_H(y))\" soit \"(p_F(p_G(x)) \, | \, y) = (x \,,| \, p_F (p_G(y))\, )\"<\/p>\n

\"(p_G(x) \, | \, p_F(y)) = (x \,| \, p_F(p_G(y)) )\"<\/p>\n

puis \"(x \, | \,p_G( p_F(y))) = (x \,| \,p_F(p_G(y)))\"<\/p>\n

soit \"(x \, | \,p_G\circ p_F(y) - \,p_F\circ p_G(y)) = 0\"<\/p>\n

donc \"p_G\circ p_F(y) - p_F\circ p_G(y) \in E ^{\perp }\".<\/p>\n

Sachant que \"E ^{\perp }=\{0\}\", pour tout \"y \in E\", \"p_G\circ p_F(y) - p_F\circ p_G(y) = 0\",<\/p>\n

soit \"p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\,\".<\/p>\n

Correction d’exercice sur les coefficients d’une matrice orthogonale<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai,<\/p>\n

On utilise le produit<\/a> scalaire canonique sur \"\mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})\" : \"< M \, , \, B > \, = \textrm{Tr} (M ^{\textrm{T}} \, B )\" .<\/p>\n

On d\u00e9finit la matrice \"B = (b_{i , \,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\" par \"b_{i,\,j} = 1\" si \"a_{i,\,j}\geq 0\" et \"b_{i,\,j} = - 1\" si \"a_{i,j}< 0\", alors \"a_{i,\, j} \, b_{i,\, j} = \vert a_{i,\, j} \vert\".<\/p>\n

\"A ^{\textrm{T}} \, B = (c_{i,\, j})\" avec \"c_{j,\,j} = \displaystyle \sum _{i = 1} ^n a'_{j,\,i} \, b_{i , \, j}\" o\u00f9 \"a'_{j,\, i} = a_{i , \,j}\,\", donc\u00a0 \"c_{j,\,j} = \displaystyle \sum _{i = 1} ^n a_{i,j} \, b_{i , \,j} = \sum _{i = 1} ^n \vert a_{i,j} \vert\".<\/p>\n

\"< A \, , \, B>\, = \displaystyle \sum _ {j = 1} ^n c_{j,\, j} = \displaystyle \sum _ {j = 1} ^n \sum _{i = 1}^n \vert a_{i,\, j} \vert\"<\/p>\n

Par interversion des signes somme :<\/p>\n

\"< A \, , \, B>\, = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _{j = 1} ^n \vert a_{i,\, j} \vert\".<\/p>\n

Puis par l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz :<\/p>\n

\"\quad \quad < A \, , \, B> \, \leq \Vert A \Vert \, \Vert B \Vert\"<\/p>\n

\"\Vert A \Vert ^2 = \textrm{Tr}( A ^{\textrm{T}}\, A ) = \textrm{Tr(I}_n) = n\".<\/p>\n

\"\Vert B \Vert ^2 = \displaystyle \sum _{i = 1}^n \sum _{j = 1} ^n b_{i,\, j} ^2 = n^2\".<\/p>\n

donc \"< A \, , \, B> \, \leq \sqrt{n} \; n\", ce que l’on voulait d\u00e9montrer.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

S’il y a \u00e9galit\u00e9, l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz \"< A \, , \, B>\, \leq \Vert A \Vert \, \Vert B \Vert\" est une \u00e9galit\u00e9 ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 \"(A , B)\" est une famille li\u00e9e<\/p>\n

ssi \"\exists \, \lambda \in \mathbb{R}, \, A = \lambda \, B\"<\/p>\n

ssi \"\exists \, \lambda \in \mathbb{R}, \forall \, i,\, j\, , \, a_{i,\,j} = \lambda \, b_{i,\,j}\,\".<\/p>\n

On obtient une condition \u00e9quivalente en multipliant chaque \u00e9galit\u00e9 par le r\u00e9el<\/a> non nul \"b_{i,j}\" et en utilisant \"\quad \quad a_{i,\,j} \, b_{i,\,j} = \vert a_{i,\,j}\vert\" et \"b_{i,\,j}^2 = 1\".<\/p>\n

Il y a \u00e9galit\u00e9 ssi \"\exists \, \lambda \in \mathbb{R},\forall \, i,\, j \, ,\, \vert a_{i,\,j}\vert = \lambda\"<\/p>\n

\"1 = \displaystyle \sum _ {i=1}^n a_{i,\,j}^2 = n\, \lambda ^2\" et \"\lambda \geq 0\" donnent \"\displaystyle \lambda = \frac {1} {\sqrt{n}}\".<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 qu’il y a \u00e9galit\u00e9 ssi \"A\" est une matrice orthogonale telle que \"\displaystyle \forall \,( i,\, j)\in [[1,\, n]]^2\, , \, \vert a_{i ,j} \vert = \frac 1 {\sqrt{n}}\".<\/p>\n

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