{"id":75860,"date":"2020-11-17T13:24:59","date_gmt":"2020-11-17T12:24:59","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=75860"},"modified":"2023-09-15T18:51:53","modified_gmt":"2023-09-15T17:51:53","slug":"cours-en-ligne-series-numeriques-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-series-numeriques-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur le s\u00e9ries num\u00e9riques en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Cours de Maths Sup sur les s\u00e9ries num\u00e9riques en MPSI, MP2I, PTSI, PCSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

\n

\u00catre \u00e0 jour dans ses cours de maths en Maths Sup est fondamental pour r\u00e9ussir les concours, surtout si l’on souhaite \u00eatre admis dans les meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs fran\u00e7aises. Des r\u00e9visions r\u00e9guli\u00e8res, une bonne m\u00e9thode de travail et des cours particuliers de maths<\/a> sont les cl\u00e9s de la r\u00e9ussite, les math\u00e9matiques \u00e9tant la mati\u00e8re avec le plus fort coefficient aux concours, aucune impasse ne sera excus\u00e9e.<\/p>\n

A. D\u00e9finitions des s\u00e9ries num\u00e9riques en Maths Sup<\/h2>\n

D1 :<\/strong> \u00c0 toute suite num\u00e9rique<\/a> \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\,\", on associe la suite \"(S_n)_{n \in \mathbb{N}}\" o\u00f9 pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"S_n =\displaystyle \sum_{k=0} ^{n}u_k\,\".<\/p>\n

\"S_n\" est la \"n\"-\u00e8me somme partielle de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\".<\/p>\n

\"\ast\" La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" est not\u00e9e<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n\geqslant0}u_n\" ou \"\sum u_n\,\".<\/p>\n

\"\ast\" La s\u00e9rie \"\displaystyle\sum_{n\geqslant0} u_n\" converge (ou est convergente) lorsque la suite \"(S_n)_{n \in \mathbb{N}}\" des sommes partielles converge.<\/p>\n

Dans ce cas, la limite de la suite<\/a> \"(S_n)_{n \in \mathbb{N}}\" est appel\u00e9e somme de la s\u00e9rie et not\u00e9e \"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Si la suite \"(S_n)_{n \in \mathbb{N}}\" diverge, on dit que la s\u00e9rie est divergente.<\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9finit le reste d’ordre \"n\" de la s\u00e9rie convergente de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" par \"R_n = \displaystyle\sum_{p=n+1}^{\infty}u_p\,\".<\/p>\n

La suite \"(R_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

Attention aux notations ! <\/strong><\/p>\n

a)<\/strong> \"u_n\" repr\u00e9sente un r\u00e9el ou un complexe<\/a>.<\/p>\n

b)<\/strong> \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\,,\" ou \"(u_n)_n\,\", \u00e0 la rigueur \"(u_n)\" repr\u00e9sente la suite r\u00e9elle ou complexe de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\,\".<\/p>\n

Il est indispensable de ne pas oublier les parenth\u00e8ses pour parler de la suite.<\/p>\n

c)<\/strong> \"\displaystyle\sum_{n\geqslant0}u_n\" ou \"\sum u_n\" est une abr\u00e9viation pour \u00ab\u00a0la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\"\u00ab\u00a0<\/p>\n

Cette notation ne peut intervenir dans une \u00e9galit\u00e9 ou une in\u00e9galit\u00e9.<\/p>\n

d)<\/strong> \"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n\" est la somme<\/a> de la s\u00e9rie convergente de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\,\".<\/p>\n

C’est un scalaire qui peut intervenir dans une \u00e9galit\u00e9 ou une in\u00e9galit\u00e9.<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

B. Propri\u00e9t\u00e9s des s\u00e9ries num\u00e9riques en Maths Sup<\/h2>\n

P1 :<\/strong> Si la s\u00e9rie \"\sum u_n\" converge, la suite \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" converge vers 0.<\/p>\n

Si la suite \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" ne converge pas vers 0, on dit que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

P2 :<\/strong> Si les s\u00e9ries de termes g\u00e9n\u00e9raux \"u_n\" et \"v_n\" convergent, il en est de m\u00eame de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n + v_n\" et de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\lambda \, u_n\" (o\u00f9 \"\lambda\" est un scalaire) et<\/p>\n

\"\quad \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(u_n + v_n)=\sum_{n=0}^{\infty}u_n + \sum_{n=0}^{\infty}v_n\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\lambda\, u_n = \lambda\sum_{n=0}^{\infty}u_n\,\".<\/p>\n

P3 :<\/strong> Soit \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" une suite complexe, \"\sum u_n\" converge si, et seulement si, \"\sum \textrm {Re} \,(u_n)\" et \"\sum \textrm {Im} \,(u_n )\" convergent.<\/p>\n

Dans ce cas,<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n=\sum_{n=0}^{\infty} \textrm {Re}\,(u_n) + \textrm i \sum_{n=0}^{\infty} \textrm {Im }\, (u_n)\"<\/p>\n

et \"\displaystyle\overline{\sum_{n=0}^{\infty}u_n }=\sum_{n=0}^{\infty}\overline{u_n}\,\".<\/p>\n

P4 :<\/strong> Comparaison suite-s\u00e9rie.<\/strong>
\nLa suite \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" est convergente ssi la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n = a_{n + 1}- a_n\" est convergente.<\/p>\n

Dans ce cas, \"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n = \lim_{n\rightarrow+\infty}a_n - a_0\".<\/p>\n

P5 :<\/strong> Soit \"\sum u_n\" une s\u00e9rie r\u00e9elle ou complexe.<\/p>\n

Si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"|u_n|\" est convergente, on dit que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" est absolument convergente.<\/p>\n

Si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" est absolument convergente, elle est convergente et de plus :<\/p>\n

\"\qquad \qquad \left|\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n\right|\leqslant \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left| u_n\right|\".<\/p>\n

C.\u00a0\u00c9tude de la convergence des s\u00e9ries de r\u00e9els positifs ou nuls<\/h2>\n

P6 :<\/strong> On suppose que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"u_n \geqslant 0.\"<\/p>\n

a)<\/strong> La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" est convergente si, et seulement si, il existe<\/p>\n

\"M \in \mathbb{R}^+\" , \"\forall \, n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k \leqslant M\".<\/p>\n

Dans ce cas, \"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n = \sup_{n\in\mathbb{N}}S_n\" o\u00f9 \"S_n =\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k\, .\"<\/p>\n

b)<\/strong> Si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" positif ou nul diverge,<\/p>\n

\"\qquad \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}u_k =+\infty\".<\/p>\n

P7 :<\/strong> On suppose que \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"(v_n)_{n \in \mathbb{N}}\" sont deux suites r\u00e9elles telles qu’il existe \"N \in \mathbb{N}\" que si \"n \geqslant N\", \"0 \leqslant u_n \leqslant v_n\,\".<\/p>\n

Si \"\sum v_n\" converge, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

Dans ce cas, \"\displaystyle\sum_{k=N}^{+\infty}u_k \leqslant \sum_{k=N}^{+\infty}v_k \, .\"<\/p>\n

P8 :<\/strong> Soient \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"(v_n)_{n \in \mathbb{N}}\" deux suites de r\u00e9els<\/a> strictement positifs<\/span> \u00e0 partir d’un certain rang telles que \"u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\,\".<\/p>\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge si, et seulement si, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" converge.<\/p>\n

P9 :<\/strong> Comparaison s\u00e9rie-int\u00e9grale<\/a><\/p>\n

Soit \"a \in \mathbb{N}\" et \"f\" une fonction continue<\/a>, d\u00e9croissante sur \"[a, \, +\infty[\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

On note si \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geqslant a\", \"u_n = f(n).\"<\/p>\n

\"\displaystyle \int_a ^{n + 1} f(t)\textrm{d} \, t \leqslant \sum _{k = a} ^n f(k)\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad \qquad \qquad \leqslant f(a) + \int_a ^n f(t) \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

Ce qui permet de d\u00e9montrer le r\u00e9sultat au programme de deuxi\u00e8me ann\u00e9e :<\/p>\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge si, et seulement si, la suite<\/p>\n

\"\qquad \displaystyle\left(\int_{a}^{n} f (t ) \textrm { d}t \right)_{n\geqslant a}\" converge.<\/p>\n

 <\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

D. S\u00e9ries absolument convergentes en Maths Sup<\/h2>\n

P10 :<\/strong> Soit \"(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}\" une suite de r\u00e9els positifs ou nuls et \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" une suite complexe telles que \"u_n \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty}{ =} \textrm{O}(\alpha_n)\"<\/p>\n

c’est-\u00e0-dire il existe \"M \geqslant 0\" et \"N \in \mathbb{N}\" tels que si \"n \geqslant N\", \"|u_n| \leqslant M \alpha_n\,\".<\/p>\n

Si \"\sum \alpha_n\" converge, \"\sum u_n\" converge absolument.<\/p>\n

P11 :<\/strong> a)<\/strong> Soit une suite \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" r\u00e9elle ou complexe, telle qu’il existe \"\alpha > 1\" telle que<\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{ =}\textrm{O} \left( \frac{1}{n^\alpha} \right)\",<\/p>\n

alors \"\sum u_n\" converge absolument.<\/p>\n

b)<\/strong> Soit une suite \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" r\u00e9elle \u00e0 termes positifs pour \"n \geqslant N\" telle qu’il existe<\/p>\n

\"\alpha \leqslant 1\" tel que \"\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\underset{n\rightarrow +\infty}{ =}\textrm{O}(u_n),\" alors \"\sum u_n\" diverge.<\/p>\n

E. D\u00e9veloppement d\u00e9cimal d’un r\u00e9el positif en Maths Sup<\/h2>\n

D\u00e9veloppement d\u00e9cimal d’un r\u00e9el positif <\/strong><\/h3>\n

Si \"x \in \mathbb{R}^{+}\", il existe une unique suite \"(a_n)_{n \leqslant 0}\" telle que<\/p>\n

\"\ast\" \"a_0 \in \mathbb{N}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, n\in \mathbb{N}^*,\, a_n \in [\![0,\, 9]\!]\",<\/p>\n

\"\ast\" La suite n’est pas stationnaire \u00e9gale \u00e0 9<\/p>\n

\"\ast\" et \"x = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty } \frac {a_n} {10 ^n}\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/strong> d’un d\u00e9veloppement d\u00e9cimal d’un r\u00e9el positif<\/h3>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"a_n\" est la \"n\"-i\u00e8me d\u00e9cimale de \"x\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\qquad \quad a_n = \lfloor 10^n \, x \rfloor - 10 \lfloor 10^{n - 1} \, x\rfloor\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle x_n = \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {10 ^k}\" est la valeur approch\u00e9e de \"x\" \u00e0 \"10 ^{- n}\" pr\u00e8s par d\u00e9faut<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {10 ^k} + \frac 1 {10^{n}}\" est la valeur approch\u00e9e de \"x\" \u00e0 \"10 ^{- n}\" pr\u00e8s par exc\u00e8s.<\/p>\n

R\u00e9viser ses cours et progresser en maths en MPSI, PTSI et PCSI avec uniquement les supports donn\u00e9s en cours n’est pas toujours suffisant pour les \u00e9tudiants. Gr\u00e2ce aux cours en ligne, ils b\u00e9n\u00e9ficient de nouvelles ressources leur permettant de progresser davantage. De multiples chapitres peuvent ainsi \u00eatre revus, comme les chapitres suivants :<\/p>\n