{"id":76196,"date":"2020-11-17T13:25:03","date_gmt":"2020-11-17T12:25:03","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=76196"},"modified":"2023-09-14T08:06:12","modified_gmt":"2023-09-14T07:06:12","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-series-numeriques-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-series-numeriques-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les s\u00e9ries num\u00e9riques"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur les s\u00e9ries num\u00e9riques de Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

\n

S’entra\u00eener sur des exercices constitue un moyen efficace pour v\u00e9rifier son niveau de connaissances. Avoir acquis l’ensemble des notions du programme de maths en MPSI, PCSI, PTSI est plus qu’essentiel pour les \u00e9tudiants s’ils souhaitent r\u00e9ussir en Maths Sp\u00e9 et par cons\u00e9quent, obtenir les meilleurs r\u00e9sultats qu’ils soient aux concours post-pr\u00e9pa.<\/p>\n

Exercice sur les \u00e9tudes de convergence de s\u00e9ries en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

Nature de \"\sum u_n\" si \"u_n = \displaystyle \frac {\ln(n)} n\"<\/p>\n

S\u00e9rie convergente ou divergente ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Nature de \"\sum u_n\" si \"u_n = \textrm{e} ^{ - n ^2}\"<\/p>\n

S\u00e9rie convergente ou divergente ?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Nature de \"\sum u_n\" si \"\qquad \quad u_n = \displaystyle \left ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right )^ {- \sqrt{n}}\"<\/p>\n

S\u00e9rie convergente ou divergente ?<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Ensemble<\/a> des r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que si<\/p>\n

\"\displaystyle u_n=\ln \left(1+\frac 1 n\right)-a\sqrt{1+\frac 2 n}\"\"\qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, b\, \, \cos \left(\frac 1 n\right)\", \"{\sum}u_n\" soit convergente.<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\qquad u_n = \displaystyle \int _n ^ {n + 1 } \frac {1} {\sqrt{x ^4 + x^2 + 1} } \textrm{d} \, x\" est convergente ou divergente ?<\/p>\n

Question 6 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soient \"a\" et \"b\" deux r\u00e9els<\/a> strictement positifs et \"\displaystyle u_n = \frac {a^n} {n + b^n}\".<\/p>\n

Nature de \"\sum u_n\,\".<\/p>\n

Exercices sur les calculs de sommes de s\u00e9ries en Maths Sup<\/h2>\n

Exercice 1 sur les calculs de sommes de s\u00e9ries :<\/strong><\/h3>\n

La somme<\/a> \"\displaystyle \sum _ {n = 2} ^{+\infty} \ln \left (\frac {n ^2 + 3 \, n + 2} {n ^2 + 3 \, n} \right )\" est d\u00e9finie et \u00e9gale \u00e0 \"\ln(a)\"<\/p>\n

avec \"a =\" ?<\/p>\n

Exercice 2 sur les calculs de sommes de s\u00e9ries en Maths Sup :<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

\"g\" : \"\displaystyle x\, \mapsto \frac {\sin (\pi \, x)} {1-x}\", \"1 \mapsto \pi\" est continue sur \"[0 ,\, 1\"].<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

Montrer que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\int_0 ^1 x^n \, \sin(\pi \, x)\, \textrm{d} \, x\" converge et exprimer sa somme \u00e0 l’aide d’une int\u00e9grale.<\/p>\n

Exercice sur la constante d’Euler et applications en Maths Sup<\/h2>\n

Il existe un r\u00e9el \"\gamma\" (appel\u00e9 constante d’Euler) tel que \"\quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k \underset {n \to + \infty} { = } \ln(n) + \gamma + \textrm{o} (1)\".<\/p>\n

Exercice de suite d\u00e9croissante de r\u00e9els positifs & s\u00e9rie convergente<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Si la suite \"(u_n)_n\" est une suite d\u00e9croissante de r\u00e9els positifs ou nuls tels que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge, \"\displaystyle \sum _{p=n+1}^{2n}u_k\;\geq n\, u_{p}\" avec avec \"p = 2n\"<\/p>\n

Sous les hypoth\u00e8ses de la question 1, la suite<\/a> \"(n\,u_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Il existe une s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" \u00e0 termes positifs ou nuls et convergente telle que la suite \"(n \, u_n)_n\" ne converge pas vers 0.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice sur la relation simple entre \"u_{n+1}\" et \"u_n\,\" en Maths Sup<\/h2>\n

On suppose que \"a\" et \"b\" sont deux r\u00e9els strictement positifs.<\/p>\n

On d\u00e9finit une suite \"(u_n)_n\" par \"u_0 > 0\" et pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \frac {u_{n + 1}} {u_n} = \frac {n + a} {n + b}\" .<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

La suite est bien d\u00e9finie et \u00e0 valeurs strictement positives.<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

a)<\/strong> D\u00e9terminer le r\u00e9el \"\alpha\" tel que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n = \ln(n^\alpha \, u_n)\" soit convergente.<\/p>\n

\"\alpha =\" ?<\/p>\n

b)<\/strong> En d\u00e9duire un \u00e9quivalent de \"u_n\,\".<\/p>\n

Donner une CNS pour que \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur les \u00e9tudes de convergence de s\u00e9ries<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

S\u00e9rie divergente.<\/p>\n

Pour \"n \geqslant 3, \, \ln(n) > 1\" donc \"\displaystyle u_n > \frac 1 n\".<\/p>\n

Par minoration par une s\u00e9rie de Riemann divergente, \"\sum u_n\" diverge.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

S\u00e9rie convergente.<\/p>\n

Si \"n \geqslant 1, n ^2 \geqslant n \Rightarrow 0 \leqslant u_n \leqslant \textrm{e} ^{ - n}\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \textrm{e} ^{ - n} = \left ( \textrm{e} ^{ - 1} \right ) ^n\" est une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique convergente car \"0 < \textrm{e} ^{ - 1} < 1\".<\/p>\n

Par majoration par une s\u00e9rie convergente, la s\u00e9rie \u00e0 termes positifs \"u_n\" converge. Il n’est pas toujours utile d’utiliser l’astuce du \"n^2 \, u_n\,\".<\/p>\n

C’est en particulier maladroit en pr\u00e9sence d’une s\u00e9rie proportionnelle \u00e0 une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique ce qui est le cas pour \"\textrm{e} ^{ - a \, n - b}\" lorsque \"a > 0\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

S\u00e9rie divergente.<\/p>\n

On \u00e9tudie \"v_n = \ln(n\, u_n)\".<\/p>\n

\"v_n = \ln(n) - {\sqrt{n}} \, \ln \left ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right )\".<\/p>\n

Par utilisation de la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e,<\/p>\n

\"\displaystyle \sqrt{n +1} - \sqrt{n }= \frac {n + 1 - n } {\sqrt{n + 1} + \sqrt{n }}\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad \quad \displaystyle = \frac 1 {\sqrt{n} } \, \frac 1 {\sqrt{1 + 1/n } + 1 }\"<\/p>\n

Soit \"\displaystyle a_n = \frac 1 {\sqrt{1 + 1/n } + 1 }\", \"\qquad \qquad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac 1 2\".<\/p>\n

\"\displaystyle v_n = \ln(n) - {\sqrt{n}} \, \ln \frac {a_n} {\sqrt{n}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle v_n =\ln(n) - {\sqrt{n}} \, \ln (a_n) + \frac 1 2 {\sqrt{n}} \, \ln(n)\"<\/p>\n

\"\displaystyle v_n =\dfrac { \sqrt{n} \, \ln(n)} 2 \, \left ( \frac {2} {\sqrt{n}} -\dfrac {2\, \ln (a_n)} {\ln(n)} + 1 \right )\"<\/p>\n

\"\displaystyle \lim _ {n \to + \infty} \left ( \frac {2} {\sqrt{n}} -\dfrac {2\, \ln (a_n)} {\ln(n)} + 1 \right ) = 1\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \lim _ {n \to + \infty} v_n = + \infty \Rightarrow\lim_{n\to + \infty} n\, u_n = +\infty\"<\/p>\n

et pour \"n\" assez grand, \"n \, u_n \geqslant 1\" donc \"u_n \geqslant \dfrac 1 n\".<\/p>\n

Par minoration par une s\u00e9rie de Riemann divergente, la s\u00e9rie \u00e0 termes positifs \"u_n\" diverge.<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On \u00e9crit le d\u00e9veloppement limit\u00e9<\/a> de \"u_n\" \u00e0 l’ordre 2 en \"\dfrac{1}{n}\" en utilisant les DL usuels.<\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty } { = } \frac 1 n-\frac 1{2\, n^2}-a-\frac a n+\frac a{2\, n^2}\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad\quad \quad \displaystyle +\, b-\frac b{2\, n^2}+\textrm{o}\left(\frac 1{n^2}\right)\"<\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty }{ = } b-a+\frac{1-a} n\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac{a-1-b}{2\, n^2}+\textrm{o}\left(\frac 1{n^2}\right)\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"b \, {\neq}\, a\" , \"\sum u_n\" diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"b = a\" et \"a\, {\neq}\, 1\" , \"\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty }\sim \frac{1-a} n\", par comparaison par \u00e9quivalence \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann de signe constant et divergente, \"{\sum u_n}\" diverge.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a = b = 1\", \"\displaystyle u_n\underset{n\to +\infty }\sim \frac{-\;1}{2\;n^2}\", par comparaison par \u00e9quivalence \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann de signe constant et convergente, \"{\sum u_n}\" converge.<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

Elle est convergente.<\/p>\n

Par in\u00e9galit\u00e9<\/p>\n

Si \"x > 0, \, \displaystyle 0\leqslant \frac {1} {\sqrt{x ^4 + x^2 + 1} }\leqslant \frac {1} {\sqrt{x ^4 } }\"<\/p>\n

Par int\u00e9gration<\/a>, \"0 \leqslant u_n \leqslant v_n\" o\u00f9 \"\qquad \qquad v_n =\displaystyle \int _n ^ {n + 1 } \frac {1} {x^2 } \textrm{d} \, x\".
\n\"v_n = \displaystyle \left [ \frac { - 1} x \right ] _n ^{n + 1} = \frac 1{n} - \frac 1{n + 1}\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 n = 0\",<\/p>\n

par comparaison suite -s\u00e9rie, \"\sum v_n\" converge.<\/p>\n

Donc par domination, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

Question 6 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"0 < b \leqslant 1\", \"n + b^n \underset {n \to\infty} \sim n\" car<\/p>\n

\"\displaystyle n + b^n = n \left ( 1 + \frac {b^n} {n} \right)\" o\u00f9 \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {b^n} {n} = 0\",<\/p>\n

donc \"\displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} n.\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a< 1\", \"\displaystyle 0 \leq \frac{a^n} n \leqslant a^n\".<\/p>\n

Par domination par une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique convergente, \"\displaystyle \sum \frac{a^n} n\" converge et par \u00e9quivalence de s\u00e9ries de r\u00e9els positifs, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a\geqslant 1\", alors \"\displaystyle \frac{a^n} n \geqslant \frac 1 n\", donc par minoration par une s\u00e9rie de Riemann divergente,<\/p>\n

\"\displaystyle \sum \frac{a^n} n\" diverge et par \u00e9quivalence de s\u00e9ries de r\u00e9els positifs, \"\sum u_n\" diverge.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"b > 1\", \"n + b^n \underset {n \to\infty} \sim b^n\" car \"\displaystyle n + b^n = b^n \left ( 1 + \frac {n} {b^n} \right)\" o\u00f9<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {n} {b^n} = 0\" (croissance compar\u00e9e), donc \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} {b^n}\,\".<\/p>\n

Par \u00e9quivalence \u00e0 une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique positive, \"\sum u_n\" converge ssi \"0 < a < b\".<\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9 , \"\sum u_n\" converge ssi<\/p>\n

\"\qquad\; \;\" (\"0 < a < 1\" et \"b \leqslant 1\")<\/p>\n

\"\quad\" ou (\"0 < a < b\" et \"b > 1\" ).<\/p>\n

Correction des exercices sur les calculs de sommes de s\u00e9ries<\/h2>\n

Correction de l’exercice 1 sur les calculs de sommes de s\u00e9ries en Maths Sup<\/h3>\n

avec \"a = 3\"<\/p>\n

\"\bullet\" Convergence<\/p>\n

On utilise \"\ln(y) \underset {y \to 1} {\sim} y - 1\",<\/p>\n

\"u_n = \displaystyle \ln \left (\frac {n ^2 + 3 \, n + 2} {n ^2 + 3\, n} \right )\"<\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \frac {n ^2 + 3 \, n + 2} {n ^2 + 3\, n} - 1\"<\/p>\n

\"\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \frac {2} {n ^2 + 3 \,n} \underset {n \to + \infty} {\sim} \frac {2} {n ^2} \,\".<\/p>\n

Par \u00e9quivalence d’une s\u00e9rie de signe constant \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann convergente, \"\sum u_n\" converge.<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de la somme<\/p>\n

\"u_n= \displaystyle \ln \left (\frac {(n + 1)(n + 2)} {n(n + 3)} \right )\"<\/p>\n

\"\displaystyle u_n = \ln \left (\frac {n + 2} {n + 3} \right ) - \ln \left (\frac {n} {n + 1} \right )\"<\/p>\n

\"u_n = \varphi(n + 2) - \varphi (n )\" avec \"\varphi(n) = \displaystyle \ln \left (\frac {n} {n + 1} \right )\" o\u00f9 \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \varphi(n) = 0\".<\/p>\n

Comme \"\displaystyle S_n = \sum _{k = 2} ^n u_k =\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \varphi(k + 2) - \sum _ {k = 1} ^n \varphi(k )\"<\/p>\n

\"\displaystyle S_n = \sum _ {p = 3} ^{n + 2} \varphi(p) - \sum _ {k = 1} ^n \varphi(k )\"<\/p>\n

par t\u00e9lescopage,<\/p>\n

\"\displaystyle S_n = \varphi(n + 2) + \varphi(n + 1) - \varphi (1) - \varphi(2)\"<\/p>\n

Puis comme \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \varphi(n) = 0\",<\/p>\n

\"\qquad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_n = - \varphi (1) - \varphi(2)\".<\/p>\n

La somme \"S\" de la s\u00e9rie est \u00e9gale \u00e0 \"\qquad \quad - \ln(1/2)- \ln(2/3) =\boxed{ \ln(3) }\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur les calculs de sommes de s\u00e9ries :<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

\"g\" : \"\displaystyle x\, \mapsto \frac {\sin (\pi\, x)} {1-x}\" est continue sur \"[0 , \, 1[\".<\/p>\n

On utilise \"\;\; \displaystyle \sin (\pi\, x)=\sin (\pi -\pi \, x)\underset{x\to 1}{\sim} \pi \, (1-x)\".<\/p>\n

donc \"g(x) \displaystyle \underset{x\to 1} {\sim} \frac {\pi \, (1-x)} {1 - x}\".<\/p>\n

\"g\" admet \"\pi\" pour limite en \"1\", donc \"g\" est continue en \"1\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"g\" est continue sur \"[0, \,1]\". On note \"M\" un majorant de \"\vert g\vert\" sur \"[0 , \, 1]\".<\/p>\n

Si \"x \, \in [0 , \,1[\", \"\displaystyle \sum _{k=0}^n x^k\sin (\pi \;x)=\sin (\pi\;x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\" \"\displaystyle \sum _{k=0}^n x^k \sin(\pi \; x) =g(x)(1-x^{n+1})\" .<\/p>\n

La relation reste vraie en \"1\", car elle s’\u00e9crit \"0 = 0\".<\/p>\n

\"\displaystyle S_n=\sum _{k=0}^nu_k=\int _{0}^{1}\;g(x)\left(1-x^{n+1}\right)\textrm {d}x\"<\/p>\n

\"\displaystyle S_n =\int_{0}^{1}\;g(x)\,\textrm {d} x-\int _{0}^{1}\;x^{n+1}\, g(x)\, \textrm {d}x\"<\/p>\n

Soit \"\displaystyle I_n = \left|\int _{0}^{1}x^{n+1}\, g(x)\textrm {d}x\right|\"<\/p>\n

avec \"\displaystyle I_n\;\legslant \;\int _{0}^{1}\ x^{n+1}\, M\, \textrm {d} x\;\le \;\frac M{n+2}\" , donc \"\boxed{\displaystyle \lim _{n\to +\infty}S_n=\int _{0}^{1}\;g(x)\, \textrm {d}x\,}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur la constante d’Euler et applications<\/h2>\n

On note \"\gamma\" la limite de la suite \"(a_n)_n \,\".<\/p>\n

Donc \"\displaystyle a_n \underset {n \to + \infty} { = } \gamma + \textrm{o} (1)\",<\/p>\n

soit \"\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k - \ln (n) \underset {n \to + \infty} { = } \gamma + \textrm{o} (1)\"<\/p>\n

ce qui s’\u00e9crit :<\/p>\n

\"\quad \displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k \underset {n \to + \infty} { = } \ln (n) + \gamma + \textrm{o} (1)\".<\/p>\n

De la relation pr\u00e9c\u00e9dente, on d\u00e9duit que \"\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k \underset {n \to + \infty} { = } \ln (n) + \textrm{o} (\ln(n))\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k \underset {n \to + \infty} { \sim } \ln (n)\".<\/p>\n

Correction de suite d\u00e9croissante de r\u00e9els positifs & s\u00e9rie convergente<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

\"\ast\" Alors \"0\, {\leq} \, 2 \, n \, u_{2 n } \, {\leq}\, 2( S_{2n} - S_n).\"<\/p>\n

Par encadrement par deux suites qui convergent vers 0, \"\displaystyle \lim _{n\to +\infty }2\, n\, \, u_{2n}=0\"<\/p>\n

\"\ast\" Puis si \"n\, {\geq}\, 1\", \"\quad 0\, {\leq} (2 \, n + 1) \, u_{2 n + 1}\, { \leq}\, (2 \,n + 2\, n) u_{2n} \,\", donc par encadrement, \"\quad \quad \quad \displaystyle \lim _{n\to +\infty }(2\, n+1)\,u_{2n+1}=0\,\".<\/p>\n

Par propri\u00e9t\u00e9 des suites extraites, \"\quad \quad \quad \quad \boxed{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n\, u_n=0\,}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

La suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n = n \, u_n\" ne converge pas vers 0, car la suite extraite \"\displaystyle (v_{p^2})_p\" est une suite constante \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

On a vu que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge.<\/p>\n

Correction de l’exercice sur la relation simple entre \"u_{n+1}\" et \"u_n\,\"<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note<\/p>\n

\"\qquad H_n : u_n\" est d\u00e9fini et \"u_n > 0\".<\/p>\n

\"H_0\" est v\u00e9rifi\u00e9e par hypoth\u00e8se sur \"u_0\,\".<\/p>\n

On suppose que \"H_n\" est v\u00e9rifi\u00e9e, \"u_{n + 1}\" est d\u00e9fini car \"n + b > 0\".<\/p>\n

\"\displaystyle u_{n + 1} = \frac {n + a} {n + b}\, . \, u_n\" et \"{u_n}\, > 0\", donc \"H_{n + 1}\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n

Par r\u00e9currence<\/a>, on a \u00e9tabli que \"u_n > 0\" pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

a)<\/strong> \"\alpha = b-a\"<\/p>\n

DL de \"v_n\" puis comparaison suite-s\u00e9rie .<\/p>\n

On \u00e9tudie la convergence de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"w_n = v_{n + 1} - v_n \,\".<\/p>\n

\"\displaystyle w_n = \ln \left ( \frac {(n + 1)^\alpha} {n^\alpha} \right ) + \ln \frac {n + a} {n + b}\"<\/p>\n

\"\displaystyle w_n = \alpha \ln \left ( 1 + \frac {1} {n} \right ) + \ln \left ( \frac {1 + a/n} {1 + b/n} \right )\"<\/p>\n

\"\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{=} \frac {\alpha} {n} + \left ( \frac{a} {n} - \frac {b} {n} \right ) +\textrm{O} \left ( \frac 1 {n^2} \right )\"<\/p>\n

\"\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{=} \frac {\alpha + a - b} n + \textrm{O} \left ( \frac 1 {n^2} \right )\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\alpha + a - b \neq 0\", \"\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac{\alpha + a- b } {n}\" par \u00e9quivalence \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann de signe constant divergente, \"\sum w_n\" diverge.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\alpha + a - b = 0\", \"\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{=} \textrm{O} \left ( \frac 1 {n^2} \right )\" , par domination par une s\u00e9rie de Riemann divergente, \"\sum w_n\" converge absolument.<\/p>\n

En conclusion, pour \"\alpha = b - a\" , \"\sum w_n\" converge absolument.<\/p>\n

Le raisonnement avec \u00ab\u00a0O\u00a0\u00bb \u00e9vite de calculer le d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre 2 et abr\u00e8ge les calculs.<\/p>\n

b)<\/strong> Par comparaison suite-s\u00e9rie, la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" converge vers une limite \"C\", donc par continuit\u00e9<\/a> de la fonction exponentielle<\/a>,<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to \infty} n ^\alpha \, u_n = L = \textrm{e} ^C > 0\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac{L } {n^{b - a}}\;\;\".<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\sum u_n\" converge ssi \"\boxed{ b - a > 1}\".<\/p>\n

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