{"id":76511,"date":"2020-11-18T21:10:54","date_gmt":"2020-11-18T20:10:54","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=76511"},"modified":"2023-09-15T18:53:26","modified_gmt":"2023-09-15T17:53:26","slug":"cours-en-ligne-probabilites-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-probabilites-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les probabilit\u00e9s en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
\n
\n
\n

Probabilit\u00e9s, cours de Maths en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

\n

Pour avoir de bonnes notes et une bonne moyenne en Maths Sup, il est essentiel de ma\u00eetriser l’ensemble des cours de maths au programme de Maths Sup. Pour ce faire, les \u00e9tudiants en difficult\u00e9s ou m\u00eame les majors de pr\u00e9pa peuvent faire le choix de suivre des cours de maths<\/a> pour maximiser leurs r\u00e9sultats.<\/p>\n

A. Manipuler la notion d’\u00e9v\u00e9nements en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" En SUP, on suppose que l’on effectue une exp\u00e9rience ayant un nombre fini de r\u00e9sultats et on note \"\Omega\" l’ensemble de ces \u00e9v\u00e9nements \u00e9l\u00e9mentaires. On dit que \"\Omega\" est l’univers des possibles.<\/p>\n

\"\bullet\" Toute partie \"A\" de \"\Omega\" est appel\u00e9 \u00e9v\u00e9nement. On dit que l’\u00e9v\u00e9nement \"A\" est r\u00e9alis\u00e9 lorsque le r\u00e9sultat de l’exp\u00e9rience appartient \u00e0 \"A\".<\/p>\n

\"\Omega\" est toujours r\u00e9alis\u00e9, on l’appelle \u00e9v\u00e9nement certain.<\/p>\n

\"\varnothing\" n’est jamais r\u00e9alis\u00e9, on l’appelle \u00e9v\u00e9nement impossible.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" et \"B\" sont deux \u00e9v\u00e9nements, on peut d\u00e9finir<\/p>\n

\"\ast\" \"\overline {A} = \{ x \in \Omega \, / \, x \notin A \}\", l’\u00e9v\u00e9nement \"\overline {A }\" est r\u00e9alis\u00e9 lorsque \"A\" n’est pas r\u00e9alis\u00e9.<\/p>\n

\"\ast\" \"A \cap B\" l’\u00e9v\u00e9nement r\u00e9alis\u00e9 lorsque \"A\" et \"B\" le sont.<\/p>\n

Les \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"B\" sont incompatibles lorsque \"A \cap B = \varnothing\".<\/p>\n

\"\ast\" \"A \cup B\" l’\u00e9v\u00e9nement r\u00e9alis\u00e9 lorsque l’un au moins des \u00e9v\u00e9nements \"A\", \"B\" est r\u00e9alis\u00e9.<\/p>\n

\"\ast\" L’\u00e9v\u00e9nement \"A\" implique l’\u00e9v\u00e9nement \"B\" lorsque \"A \subset B\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geqslant 2\", la famille \"\left ( A_k \right ) _ {1 \leqslant k \leqslant n }\" est un syst\u00e8me<\/a> complet d’\u00e9v\u00e9nements de \"\Omega\" lorsque<\/p>\n

… \"\forall\, k \in [\![1,\, n]\!]\", \"A_k\" est une partie non vide de \"\Omega\"<\/p>\n

… \"\forall\, (i , j) \in [\![1,\, n]\!]^2, \, A_i \cap A _j = \varnothing\"<\/p>\n

… \"\displaystyle \bigcup _ {k = 1} ^n A _ k = \Omega\".<\/p>\n

Pour mod\u00e9liser une exp\u00e9rience, il faut d\u00e9finir l’univers des possibles \"\Omega\" et lui associer une probabilit\u00e9 comme dans le paragraphe suivant<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

.<\/p>\n

B. Manipuler la notion de probabilit\u00e9 en MPSI, PCSI et PTSI<\/h2>\n

1. Utiliser la d\u00e9finition et les propri\u00e9t\u00e9s<\/h3>\n

\"\bullet\" M1 : Conna\u00eetre la d\u00e9finition :<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"\Omega\" est un ensemble<\/a> fini.<\/p>\n

On appelle probabilit\u00e9 sur l’univers \"\Omega\" toute application de \"\mathcal{P}(\Omega)\" dans \"[0 ,\, 1]\" telle que<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"\mathbb{P}(\Omega) = 1\"<\/p>\n

\"\quad \ast\" Si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"\Omega\" disjointes, \"\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\".<\/p>\n

On dit que \"(\Omega,\, \mathbb{P})\" est un espace probabilis\u00e9 fini..<\/p>\n

\"\bullet\" M2 : Et les cons\u00e9quences :<\/strong><\/p>\n

Soit \"(\Omega, \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9 fini.<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P}(\varnothing) = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A\subset \Omega\", \"\mathbb{P}( \overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\" .<\/p>\n

\"\ast\" si \"A\" et \"B\" v\u00e9rifient \"A \subset B \subset \Omega\", \"\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"\Omega\",<\/p>\n

\"\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\"<\/p>\n

\"\ast\" Soient \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geqslant 2\" et une famille \"(A_k)_{ 1 \leqslant k \leqslant n } \in \left ( \mathcal{P}(\Omega)\right ) ^{n}\" telle que si \"i \neq j, \, A_i \cap A_j = \varnothing\",<\/p>\n

\"\qquad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 1} ^{n} A_i \right ) = \sum _{i = 1} ^{n} \mathbb{P} (A_i)\".<\/p>\n

\"\ast\" Soient \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geqslant 2\" et une famille \"(A_k)_{ 1 \leqslant k \leqslant n } \in \left ( \mathcal{P}(\Omega)\right ) ^{n}\",<\/p>\n

\"\qquad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 1} ^{n} A_i \right ) \leqslant \sum _{i = 1} ^{n} \mathbb{P} (A_i)\".<\/p>\n

2. Caract\u00e9riser une probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"(\Omega, \, \mathbb{P})\" est un espace probabilis\u00e9 fini, l’application<\/p>\n

\"\qquad f : \Omega \mapsto \mathbb{R}^+\", \"\omega \mapsto \mathbb{P}( \{\omega\})\"<\/p>\n

v\u00e9rifie \"\displaystyle \sum _ {\omega \in \Omega} f(\omega) = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement, si \"f : \Omega \mapsto \mathbb{R}^+\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _ {\omega \in \Omega} f(\omega) = 1\", il existe une et une seule probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" telle que \"\qquad \forall\, \omega \in \Omega , \, \mathbb{P}( \{\omega\}) = f(\omega)\".<\/p>\n

Alors \"\forall\, A \subset \Omega ,\, f(A) = \displaystyle \sum _ {\omega \in A} f(\omega)\".<\/p>\n

3. \u00c9quiprobabilit\u00e9 en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"\Omega\" un univers fini de cardinal \"n\geq 1\". On dit que l’on est sous l’hypoth\u00e8se d’\u00e9qui-probabilit\u00e9 lorsque<\/p>\n

\"\quad \forall\, \omega \in \Omega,\, \mathbb{P} (\{\omega\}) = \displaystyle \frac 1 {\# \, \Omega} = \frac 1 n\".<\/p>\n

Alors \"\forall\, A \subset \Omega, \, \mathbb{P}(A ) = \displaystyle \frac {\# \, A} {\# \, \Omega}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" On est sous l’hypoth\u00e8se d’\u00e9quiprobabilit\u00e9 lorsque l’on tire au hasard en particulier dans les cas suivants :<\/p>\n

Si l’on a une urne \"U\" de \"n\" boules distinctes,<\/p>\n

\"\ast\" tirages successifs avec remise de \"p\" boules dans \"U\" :<\/p>\n

\"\Omega\" est l’ensemble des applications de \"[\![1, p]\!]\" dans \"U\" et \"\# \, \Omega = n ^p\".<\/p>\n

\"\ast\" tirage de \"p \leqslant n\" boules en une seule fois dans \"U\" :<\/p>\n

\"\Omega\" est l’ensemble des parties de \"p\" \u00e9l\u00e9ments parmi les \"n\" boules.<\/p>\n

\"\#\, \Omega = \displaystyle \binom n p\".<\/p>\n

\"\ast\" tirages successifs de \"p \leqslant n\" boules sans remise dans \"U\" :<\/p>\n

\"\Omega\" est l’ensemble des \"p\"-listes sans r\u00e9p\u00e9tition des \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"U\".<\/p>\n

\"\# \, \Omega = \displaystyle \frac {n!} {(n - p)!}\".<\/p>\n

\"\ast\" Vider l’urne par tirages successifs :<\/p>\n

\"\Omega\" est l’ensemble des bijections de \"[\![1,\, n]\!]\" sur \"U\" et \"\# \, \Omega = n !\".<\/p>\n

4. Calculer la probabilit\u00e9 d’une r\u00e9union en Maths Sup<\/h3>\n

a. Cas d’\u00e9v\u00e9nements deux \u00e0 deux incompatibles<\/h4>\n

avant d’\u00e9crire \"\qquad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{ k = 1} ^n A_k \right ) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (A_k)\",
\nv\u00e9rifier que les \u00e9v\u00e9nements \"A_k\" sont deux \u00e0 deux incompatibles.<\/p>\n

b. Cas d’\u00e9v\u00e9nements non deux \u00e0 deux incompatibles<\/h4>\n

\"\bullet\" Pour 2 \u00e9v\u00e9nements :<\/p>\n

\"\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Savoir d\u00e9montrer pour 3 \u00e9v\u00e9nements<\/p>\n

\"\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C)\" \"\quad -\, \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C)\"<\/p>\n

\"\quad +\, \mathbb{P}(A \cap B \cap C)\".<\/p>\n

5. Calcul de la probabilit\u00e9 d’un \u00e9v\u00e9nement contenant l’expression \u00ab\u00a0au moins \u00ab\u00a0<\/h3>\n

Dans la suite<\/a> on suppose que \"A\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00a0\u00bb avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

a. Calcul de \"\mathbb{P}(A)\"}<\/h4>\n

\"\bullet\" M1<\/strong> Cas le plus simple : \u00a0\u00bb avoir au moins une fois un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

On cherche la probabilit\u00e9 de \"\overline {A }\" :
\n\u00a0\u00bb aucun \u00e9l\u00e9ment ne v\u00e9rifie la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\bullet\" M2<\/strong> (en g\u00e9n\u00e9ral c’est plus compliqu\u00e9) Si \"n\" est le nombre maximum d’\u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\", on peut introduire \"A_k\" : \u00ab\u00a0avoir exactement \"k\" \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\"\u00a0\u00bb et \u00e9crire que \"A = \displaystyle \bigcup_ {k = 1} ^n A_k\" , les \u00e9v\u00e9nements \"A_k\" \u00e9tant deux \u00e0 deux incompatibles, \"\qquad \qquad \mathbb{P}(A) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \mathbb{P}(A _k)\".<\/p>\n

b. Calcul de \"\mathbb{P}(A \cap B)\"<\/h4>\n

\"B = (A \cap B) \cup ( \overline{A} \cap B)\"
\npar incompatiblit\u00e9,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(B ) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(\overline {A} \cap B)\"<\/p>\n

et \"\mathbb{P} (A \cap B) = \mathbb{P} (B) - \mathbb{P} (\overline{A} \cap B)\".<\/p>\n

Vous devriez savoir calculer \"\mathbb{P}(B)\" et \"\mathbb{P}(\overline {A} \cap B)\".<\/p>\n

C. Probabilit\u00e9 conditionnelle en Maths Sup<\/h2>\n

1. D\u00e9finition et propri\u00e9t\u00e9 de probabilit\u00e9s en Maths Sup<\/h3>\n

Soit \"(\Omega,\, \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9 fini et \"A \subset \Omega\" tel que \"\mathbb{P}(A) > 0\".<\/p>\n

L’application \"\quad \mathcal{P}(\Omega) \to [0,\,1], B \mapsto \displaystyle \frac {\mathbb{P}(A \cap B) } {\mathbb{P}(A)}\"
\nd\u00e9finit une probabilit\u00e9 sur \"\Omega\" appel\u00e9e probabilit\u00e9 conditionnelle relative \u00e0 \"A\".<\/p>\n

On note \"\quad \mathbb{P}_A (B) = \mathbb{P} (B \mid A) = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(A \cap B) } {\mathbb{P}(A)}\".<\/p>\n

2. Formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es en Maths Sup<\/h3>\n

\"(\Omega,\,\mathbb{P})\" est un espace probabilis\u00e9 fini.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"\Omega\" telles que \"\mathbb {P}(A) > 0\", \"\qquad \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \mid A) \, \mathbb{P}(A)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \geqslant 2\" et si \"(A_1 \, , \, \cdots \, , \, A_n)\" sont des parties de<\/p>\n

\"\Omega\" telles que \"\qquad \qquad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {k = 1} ^{n - 1} A_k \right ) > 0\",<\/p>\n

toutes les probabilit\u00e9s conditionnelles suivantes sont d\u00e9finies et<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {k = 1} ^n A _k \right ) =\" \"\; \displaystyle \mathbb{P} \left ( A _n \, \Bigg \vert \, \bigcap _ {k = 1} ^{n - 1} A _k \right ) \times \mathbb{P} \left ( A _{n - 1} \, \Bigg \vert \, \bigcap _ {k = 1} ^{n - 2} A _k \right )\" \"\qquad \qquad \times \cdots \times \mathbb{P}(A_2 \mid A_1) \, \mathbb{P}(A _ 1)\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

3. Probabilit\u00e9s totales en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Formule des probabilit\u00e9s totales<\/p>\n

Soit \"(\Omega,\, \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9 fini.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"(A_i) _ {1 \leqslant i \leqslant n}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements de probabilit\u00e9, pour tout \"B \in \mathcal {A}\", \"\displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (B \cap A_k)\".<\/p>\n

Si de plus \"\forall\, k \in [\![1,\, n] \!], \mathbb{P}(A_k) > 0\", \"\qquad \displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (B \, | \, A_k) \, \mathbb{P} (A_k)\".<\/p>\n

4. Formule de Bayes en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Forme 1<\/strong>
\nSoient \"A\" et \"B\" deux \u00e9v\u00e9nements de \"(\Omega , \, \mathbb{P})\" de probabilit\u00e9 non nulle :<\/p>\n

\"\qquad \mathbb{P}(B \mid A) = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(A \mid B) \, \mathbb{P}(B)} {\mathbb{P}(A)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Forme 2<\/strong>
\nSoient \"(\Omega , \, \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9 fini et \"n \geqslant 2\".<\/p>\n

On suppose que \"B \subset \Omega\" et \"(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements de probabilit\u00e9 non nulle.<\/p>\n

Si \"\mathbb{P}(B) > 0\", pour tout \"k \in [\![1,\, n]\!]\",<\/p>\n

\"\quad \mathbb{P} (A_k \mid B) = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(B \mid A_k) \, \mathbb{P} (A_k) } {\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \mathbb{P}(B \mid A_i) \, \mathbb{P}(A_i)}\"<\/p>\n

En cas particulier<\/em>
\nSi \"A, B\" sont deux \u00e9v\u00e9nements tels que \"\mathbb{P}(B) > 0\" et \"\mathbb{P}(A) \in \; ]0,\, 1[\",<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}(A \mid B) =\" \"\qquad \displaystyle \frac {\mathbb{P}(B \mid A) \, \mathbb{P}(A)} {\mathbb{P}(B \mid A) \, \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B \mid \overline{A}) \, \mathbb{P}(\overline {A})}\".<\/p>\n

5. Il faut distinguer les quantit\u00e9s \"\mathbb{P} (A \cap B)\" et \"\mathbb{P}(A \mid B)\"<\/h3>\n

a)<\/strong> Quand on calcule \"\mathbb{P} (A \cap B)\", on calcule la probabilit\u00e9 que \"A\" et \"B\" soient r\u00e9alis\u00e9s en m\u00eame temps.<\/p>\n

b)<\/strong> Quand on calcule \"\mathbb{P}(A \mid B)\", on calcule un quotient de probabilit\u00e9s :
\n\"A \mid B\" n’est pas un \u00e9v\u00e9nement.
\nOn sait que \"B\" est r\u00e9alis\u00e9 et on cherche la probabilit\u00e9 que \"A\" soit r\u00e9alis\u00e9 lorsque \"B\" l’est.<\/p>\n

\"\bullet\" Dans certains cas, il est \u00e9vident que l’on demande une probabilit\u00e9 conditionnelle, car on demande la probabilit\u00e9 d’un \u00e9v\u00e9nement sachant (ou lorsque) l’on a obtenu \"B\". On peut rep\u00e9rer cette situation en cherchant les mots \u00ab\u00a0sachant\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0si\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0lorsque\u00a0\u00bb dans l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" Dans d’autres cas, on donne la r\u00e9alisation de l’\u00e9v\u00e9nement \"B\", dans une phrase du type \u00ab\u00a0on a obtenu ? \u00a0\u00bb et on demande ensuite de calculer la probabilit\u00e9 de \"A\", donc de calculer \"\mathbb{P}(A \mid B)\".<\/p>\n

D. Quand appliquer la formule des probabilit\u00e9s totales en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" M1<\/strong> Lorsque l’on fait des tirages qui peuvent avoir lieu dans des urnes diff\u00e9rentes ou dans des conditions diff\u00e9rentes qui sont d\u00e9finies par les r\u00e9sultats d’une premi\u00e8re \u00e9preuve, il faut introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant aux diff\u00e9rents choix des urnes ou des diff\u00e9rents r\u00e9sultats de la premi\u00e8re \u00e9preuve.<\/p>\n

\"\bullet\" M2<\/strong> Lorsque les r\u00e9sultats de l’\u00e9preuve \"n\" d\u00e9pendent des r\u00e9sultats de l’\u00e9preuve \"n -1\", introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant \u00e0 toutes les \u00e9ventualit\u00e9s du rang \"n - 1\" et utiliser la formule des probabilit\u00e9s totales.<\/p>\n

\"\bullet\" M3<\/strong> Lorsque les r\u00e9sultats de l’\u00e9preuve \"n\" d\u00e9pendent des r\u00e9sultats de toutes les \u00e9preuves pr\u00e9c\u00e9dentes, introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant \u00e0 toutes les \u00e9ventualit\u00e9s des premi\u00e8res \u00e9preuves permettant soit de terminer l’ensemble des \u00e9preuves soit de \u00ab\u00a0remettre le compteur \u00e0 z\u00e9ro\u00a0\u00bb et utiliser la formule des probabilit\u00e9s totales.<\/p>\n

Si \"B\" est un des \u00e9v\u00e9nements du syst\u00e8me complet pr\u00e9c\u00e9dent correspondant \u00e0 \"k\" \u00e9preuves, on sera donc amen\u00e9 \u00e0 calculer des probabilit\u00e9s du type \"\mathbb{P} (A \, | \, B)\" : il reste \"n - k\" \u00e9preuves \u00e0 effectuer pour passer d’une situation r\u00e9sultant de la r\u00e9alisation de \"B\" \u00e0 une situation o\u00f9 l’on doit avoir \"A\".<\/p>\n

E. Ind\u00e9pendance en probabilit\u00e9s en Maths Sup<\/h2>\n

1.Ind\u00e9pendance de deux \u00e9v\u00e9nements en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" En utilisant la d\u00e9finition :<\/p>\n

Si \"A\" et \"B\" sont deux \u00e9v\u00e9nements de \"(\Omega,\, \mathbb{P})\", \"A\" et \"B\" sont ind\u00e9pendants ssi<\/p>\n

\"\qquad \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B)\"<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant la propri\u00e9t\u00e9 :<\/p>\n

Si \"A\" et \"B\" sont deux \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants de \"(\Omega,\, \mathbb{P})\"<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"A\" et \"\overline {B}\" sont ind\u00e9pendants<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"B\" et \"\overline {A}\" sont ind\u00e9pendants<\/p>\n

\"\quad \ast\" \"\overline{A}\" et \"\overline {B}\" sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

\"\bullet\" Si l’on suppose \"\mathbb{P}(A) > 0\",<\/p>\n

\"A\" et \"B\" sont ind\u00e9pendants ssi<\/p>\n

\"\quad \quad \mathbb{P}(B \mid A) = \mathbb{P}(B)\"<\/p>\n

2. Ind\u00e9pendance mutuelle de \"n\" \u00e9v\u00e9nements en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Les \"n \geqslant 3\" \u00e9v\u00e9nements \"(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}\" forment une famille d’\u00e9v\u00e9nements mutuellement ind\u00e9pendants lorsque pour toute partie \"I\" de \"[\![1,\, n]\!]\" d’au moins 2 \u00e9l\u00e9ments,<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{k \in I} A_k \right ) = \prod _ {k \in I} \mathbb{P}(A_k)\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9crire les conditions donnant l’ind\u00e9pendance des \u00e9v\u00e9nements \"A, \, B, \, C\".<\/p>\n

\"\bullet\" P1 :<\/strong> Si \"n \geq 3\" et si les \u00e9v\u00e9nements \"(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendants,<\/p>\n

\"\ast\" toute sous-famille est une famille d’\u00e9v\u00e9nements mutuellement ind\u00e9pendants.<\/p>\n

\"\ast\" ils sont 2 \u00e0 2 ind\u00e9pendants, mais la r\u00e9ciproque est fausse.<\/p>\n

\"\bullet\" P2 :<\/strong> On suppose que les \"n \geq 3\" \u00e9v\u00e9nements \"(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendants, on note pour tout \"k \in [\![1,\, n]\!]\", \"B_k = A_k\" ou \"B_k = \overline {A_k}\,\", les \u00e9v\u00e9nements \"(B_k)_{1\leqslant k \leqslant n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendants.<\/p>\n

3. Mod\u00e8le binomial en probabilit\u00e9s en Maths Sup<\/h3>\n

Le r\u00e9sultat \u00e0 conna\u00eetre : on r\u00e9alise dans les m\u00eames conditions \"n \in \mathbb{N}^*\" \u00e9preuves al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes donnant lieu chacune \u00e0 la r\u00e9alisation d’un m\u00eame \u00e9v\u00e9nement \"A\" avec une probabilit\u00e9 \u00e9gale \u00e0 \"p\".<\/p>\n

La probabilit\u00e9 d’obtenir \"k\" r\u00e9alisations de \"A\" au cours de ces \"n\" \u00e9preuves est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \binom n k \, p^k \, (1 - p) ^{n - k}\" lorsque \"k \in [\![0 ,\, n]\!]\".<\/p>\n

Les meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs du classement recrutent les \u00e9tudiants qui ont un tr\u00e8s bon niveau dans l’ensemble des mati\u00e8res mais particuli\u00e8rement en maths. Il faut donc \u00eatre tr\u00e8s vigilant \u00e0 ne faire aucune impasse sur les chapitres au programme de Maths Sup. Pour aider les \u00e9tudiants dans leurs r\u00e9vision, les cours en ligne sont des ressources facilement accessibles et qui permettent une progression r\u00e9elle. Quelques id\u00e9es de chapitres de Maths que les \u00e9tudiants peuvent travailler en MPSI, PTSI et PCSI :<\/p>\n