{"id":76800,"date":"2020-11-18T21:11:02","date_gmt":"2020-11-18T20:11:02","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=76800"},"modified":"2022-07-12T15:23:18","modified_gmt":"2022-07-12T14:23:18","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-probabilites-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-probabilites-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices probabilit\u00e9s Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Probabilit\u00e9s en Maths Sup, exercices et corrig\u00e9s<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Les probabilit\u00e9s<\/strong> sont connues des \u00e9tudiants en Maths Sup puisque c’est un chapitre qui revient r\u00e9guli\u00e8rement depuis les programmes du lyc\u00e9e. Cela n’emp\u00eache pas les \u00e9tudiants de rencontrer des difficult\u00e9s. En effet, d’ann\u00e9e en ann\u00e9e, ce chapitre se complexifie, des cours particuliers de maths peuvent alors \u00eatre la solution pour garder le bon rythme.<\/p>\n

Exercice sur des probl\u00e8mes de d\u00e9nombrement en Maths Sup<\/h2>\n

Soit \"n\" un entier naturel non nul. On organise un tournoi de football entre \"2\, n\" \u00e9quipes : \"n\" de premi\u00e8re division, \"n\" de deuxi\u00e8me division.<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

On note \"a_n\" la probabilit\u00e9<\/strong> que chaque match fasse s’opposer une \u00e9quipe de premi\u00e8re division avec une de seconde. Calculer \"a_n\" , en donner un \u00e9quivalent.<\/p>\n

On utilisera la formule de Stirling :<\/p>\n

\"\qquad \quad n! \underset {n \to + \infty} {\sim} n ^n \, \textrm{e} ^{ - n} \, \sqrt{2\, \pi \, n}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On note \"b_n\" la probabilit\u00e9<\/strong> qu’aucun match ne fasse s’opposer une \u00e9quipe de premi\u00e8re division avec une de seconde.<\/p>\n

Calculer \"b_n\\", en donner un \u00e9quivalent.<\/p>\n

Exercice sur les probabilit\u00e9s de tirages en Maths Sup<\/h2>\n

On effectue \"n \geqslant 4\" tirages avec remise dans une urne contenant \"n\" jetons num\u00e9rot\u00e9s de \"1\" \u00e0 \"n\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

Calculer la probabilit\u00e9<\/strong> d’avoir au moins l’un des trois chiffres 1, 2 ou 3.<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Calculer la probabilit\u00e9<\/strong> d’avoir au moins une fois le chiffre 1 et 2 fois le chiffre 2.<\/p>\n

Exercice sur les probabilit\u00e9s conditionnelles en Maths Sup<\/h2>\n

On dispose d’un sac contenant des d\u00e9s dont une proportion \"p\" est form\u00e9e de d\u00e9s pip\u00e9s.<\/p>\n

Pour chaque d\u00e9 pip\u00e9, la probabilit\u00e9<\/strong> d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut \"1/2\".<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

On tire un d\u00e9 au hasard. On lance ce d\u00e9 et on obtient le chiffre 6.<\/p>\n

Quelle est la probabilit\u00e9<\/strong> que ce d\u00e9 soit pip\u00e9 ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On tire un d\u00e9 au hasard du sac. On lance ce d\u00e9 \"n\" fois et on obtient \"n\" fois le chiffre \"6\".<\/p>\n

Quelle est la probabilit\u00e9<\/strong> \"p_n\" que ce d\u00e9 soit pip\u00e9 ?<\/p>\n

Comment interpr\u00e9ter la valeur de \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} p_n\" ?<\/p>\n

Exercice de probabilit\u00e9s avec deux urnes en Maths Sup<\/h2>\n

On dispose de deux urnes \"U_1\" et \"U_2\,\".<\/p>\n

L’urne \"U_1\" contient deux boules blanches et deux boules noires.<\/p>\n

L’urne \"U_2\" contient quatre boules blanches et trois boules noires.<\/p>\n

On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes.<\/p>\n

\"\ast\" Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’o\u00f9 elle provient.<\/p>\n

\"\ast\" Pour chaque tirage suivant, on tire dans l’urne \"U_1\" si l’on vient d’obtenir une boule blanche et dans \"U_2\" si l’on vient d’obtenir une boule noire. On remet la boule dans l’urne \u00e0 l’issue de chaque tirage.<\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", on note \"B_n\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00a0\u00bb la boule tir\u00e9e au \"n\"-i\u00e8me tirage est blanche\u00a0\u00bb et on pose \"p_n = P(B_n)\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^*\", exprimer \"\, p_{n + 1}\" en fonction<\/a> de \"p_n \,\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer la probabilit\u00e9<\/strong> d’avoir choisi l’urne \"U_1\" si l’on a obtenu une boule blanche aux rangs 1 et 3.<\/p>\n

Valeur (a\/b) ?<\/p>\n

Exercice de probabilit\u00e9s sur l’ajout de boules apr\u00e8s tirage<\/h2>\n

Soit une urne contenant initialement \"b\" boules blanches et \"r\" boules rouges.<\/p>\n

On note \"N = b + r\".<\/p>\n

\u00c0 la suite de chaque tirage, on remet dans l’urne la boule tir\u00e9e ainsi que \"a\" boules de la m\u00eame couleur (\"a \in \mathbb{N}^*\").<\/p>\n

La probabilit\u00e9<\/strong> d’obtenir une boule blanche au deuxi\u00e8me tirage si l’on a obtenu blanc au premier et troisi\u00e8me tirage est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

a)<\/strong> \"\displaystyle \frac {a } {N + a}\"<\/p>\n

b)<\/strong> \"\displaystyle \frac {a + b} {N + a}\"<\/p>\n

c)<\/strong> \"\displaystyle \frac {2 \,a + b} {N + 2\, a}\" .<\/p>\n

Exercice sur le tirages de parties de \"E\" en Maths Sup<\/h2>\n

Soient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"E\" un ensemble<\/a> de cardinal \"n\".<\/p>\n

On se donne une partie \"A\" de \"E\", de cardinal \"k\" o\u00f9 \"k \in [\![1 \,\, n]\!]\".<\/p>\n

On tire au hasard une partie \"B\" de \"E\".<\/p>\n

On suppose que toutes les parties de \"E\" ont la m\u00eame probabilit\u00e9<\/strong> d’\u00eatre tir\u00e9es.<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Calculer la probabilit\u00e9<\/strong> de tirer la partie \"A\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Calculer la probabilit\u00e9<\/strong> de l’\u00e9v\u00e9nement \"F\" : \u00ab\u00a0la partie tir\u00e9e contient \"A\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

On note \"G\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0la partie tir\u00e9e est incluse dans \"A\"\u00ab\u00a0. Les \u00e9v\u00e9nements \"F\" et \"G\" sont-ils ind\u00e9pendants ?<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur des probl\u00e8mes de d\u00e9nombrement<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" Relation de r\u00e9currence<\/a><\/p>\n

On calcule le nombre \"t_n\" de tournois que l’on peut organiser avec les \"2 \, n\" \u00e9quipes.<\/p>\n

On note \"(E_1\,,\, \cdots \, ,\, E_n)\" les \"n\" \u00e9quipes de premi\u00e8re division et \"(S_1\, ,\, \cdots \, ,\, S_n)\" celles de seconde division.<\/p>\n

\"\ast\" Pour \"n = 1\", \"t_1 = 1\" , les deux \u00e9quipes s’affrontent.<\/p>\n

\"\ast\" Si l’on consid\u00e8re les nouvelles \u00e9quipes \"E_{n + 1}\" et \"S_{n + 1} \,\", on \u00e9crit l’ensemble des maths possibles sous la forme \"\qquad \quad \mathcal{M}_{2 n + 2} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}\"<\/p>\n

o\u00f9 \"\mathcal{A}\" est l’ensemble des matchs o\u00f9 \"E_{n + 1}\" joue contre \"S_{n + 1}\"<\/p>\n

et \"\mathcal{B}\" l’ensemble des matchs o\u00f9 \"E_{n + 1}\" ne joue pas contre \"S_{n + 1}\,\".<\/p>\n

… Se donner un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{A}\" revient \u00e0 se donner un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{M}_n\" avec les \"n\" premi\u00e8res \u00e9quipes de 1 \u00e8re et de 2 \u00e8me division.<\/p>\n

Donc \"\# \, \mathcal{A} =\textrm{Card}(\mathcal{M}_ n ) = t_n\,\".<\/p>\n

… Se donner un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{B}\" revient \u00e0 se donner l’adversaire de \"E_{n + 1}\" parmi les \"2\, n\" premi\u00e8res \u00e9quipes : il y a \"2 \, n\" choix, et il reste \"2\, n\" \u00e9quipes \u00e0 r\u00e9partir en \"n\" matchs il y a alors \"t_n\" r\u00e9partitions de ces \"2 \, n\" \u00e9quipes.<\/p>\n

Donc<\/p>\n

\"t_{n + 1} = \# \,\mathcal{A} +\# \,\mathcal {B}\"<\/p>\n

\"t_{n + 1} = t_n + 2 \, n \, t_n = (2 \,n + 1) t_n\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Calcul de \"t_n\,\" :<\/p>\n

\"t_n = (2 \, n - 1) \, (2 \, n - 3) \, \cdots \, 5.\, 3 . \, t_ 1\"<\/p>\n

On multiplie et on divise par \"\qquad (2 \,n) (2 \, n - 2) \, \cdots \, 4 \cdot 2 = 2 ^{n} \, n !\",<\/p>\n

\"t_n = \displaystyle \frac {(2\, n)! } {2 ^n \, n ! }\".<\/p>\n

\"\bullet\" Le nombre de tournois donnant un match d’une \u00e9quipe de premi\u00e8re division contre une \u00e9quipe de deuxi\u00e8me division est le nombre de bijections de \"\{E_1\,,\, \cdots \, ,\, E_n\}\" sur \"\{S_1\, ,\, \cdots \,,\, S_n \}\" donc il y en a \"n!\,\".<\/p>\n

\"\qquad \quad \boxed{a_n = \displaystyle \frac {n!} {t_n} = \frac {2 ^n \, (n!) ^2} {(2\, n) ! }}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise la formule de Stirling :<\/p>\n

\"\qquad \quad n! \underset {n \to + \infty} {\sim} n ^n \, \textrm{e} ^{ - n} \, \sqrt{2\, \pi \, n}\"<\/p>\n

donc<\/p>\n

\"a_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {2 ^n \, n ^{2\, n}\, \textrm{e} ^{ -2\, n} \, 2\, \pi \, n} {2 ^{2\, n} n ^{2\, n} \, \textrm{e} ^{- 2\, n} \sqrt{4\, \pi \, n} }\"<\/p>\n

\"\boxed{a_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {\sqrt{\pi\, n} } {2 ^n } }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Pour que cet \u00e9v\u00e9nement soit possible, il est n\u00e9cessaire que \"n = 2 \,p\", ce que l’on suppose dans la suite<\/a>.<\/p>\n

\"\bullet\" Le nombre de matchs possibles est \u00e9gal \u00e0 \"t_n = t_{2p} = \displaystyle \frac {(4 \, p)!} {2 ^{2\, p} \, (2\, p)!}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Le nombre de matchs possibles entre \u00e9quipes de premi\u00e8re division est \u00e9gal \u00e0 \"t _p = \displaystyle \frac {(2\, p)!} {2 ^p\, p!} \,\", il est \u00e9gal au nombre de matchs de deuxi\u00e8me division, donc<\/p>\n

\"b_n = b_{2p} = \displaystyle \frac {(t _ p ) ^2} {t _{2 p}}\"<\/p>\n

\"b_n = \displaystyle \left ( \frac {(2 \, p)!} {2 ^{ p} \; p!} \right ) ^2 \times \frac {2 ^{2\, p} \,(2\, p)!} {(4 \, p)!}\"<\/p>\n

\"b_n = \displaystyle \frac { \left ( (2 \, p)! \right ) ^3} { (p!) ^2 \, (4 \, p)! }\".<\/p>\n

\"\bullet\" Avec la formule de Stirling,<\/p>\n

\"b_n \underset {p \to + \infty} {\sim}\" \"\; \displaystyle \frac {\left (2 ^{2 \, p} \, p ^{2\, p} \,\textrm{e} ^{- 2\, p} \sqrt{4\,\pi\, p} \right ) ^3} { (p ^{ p} \, \textrm{e} ^{ - \, p} \sqrt{2\, \pi \, p} ) ^2 \cdot 4 ^{4 p}\, p ^{4 \,p} \, \textrm{e} ^{ - 4 \, p} \sqrt{8 \,\pi \, p} }\"<\/p>\n

\"\underset {p \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {2 ^{6 \, p} \, p ^{6\, p} \,\textrm{e} ^{- 6\, p} \, 8 \, \pi\, p \, \sqrt{\pi\, p}} { p ^{6\, p} \, \textrm{e} ^{ - 6\, p} (2\, \pi \, p ) \cdot 4 ^{4 \,p}\, 2\, \sqrt{2 \, \pi \, p} }\"<\/p>\n

\"b_n \underset {p \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {\sqrt{2} } { 2^{2\, p} } \;\" .<\/p>\n

\"\boxed{b_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {\sqrt{2} } { 2^{n} } \; }\" .<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les probabilit\u00e9s de tirages en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"A_i\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0en \"n\" tirages, on a obtenu au moins une fois le chiffre \"i\"\u00ab\u00a0<\/p>\n

On demande la probabilit\u00e9<\/strong> de \"\qquad \qquad B = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \,\".<\/p>\n

\"\overline{B} = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}\"<\/p>\n

c’est l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0on a tir\u00e9 \"n\" fois l’un des \"n - 3\" num\u00e9ros de \"4\" \u00e0 \"n\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

Donc \"\mathbb{P} \left (\overline{B}\right )= \displaystyle \left ( \frac {n - 3} n \right ) ^n\".<\/p>\n

\"\mathbb{P}(B) = 1 - \mathbb{P} \left (\overline{B} \right ) =\boxed{\displaystyle 1 - \left ( 1 - \frac 3 n \right ) ^n}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note encore \"A_1\" \u00ab\u00a0avoir au moins une fois le chiffre 1\u00a0\u00bb et \"D\" \u00ab\u00a0avoir 2 fois le chiffre 2 \u00ab\u00a0.<\/p>\n

On \u00e9crit \"D = D \cap (A_1 \cup \overline{A_1} )\"<\/p>\n

\"D = (D \cap A_1) \cup (D \cap \overline{A_1})\"<\/p>\n

ce sont des \u00e9v\u00e9nements incompatibles,<\/p>\n

\"\mathbb{P} (D) = \mathbb{P} (D \cap A_1) + \mathbb{P} (D \cap \overline{A_1})\"<\/p>\n

donc \"\mathbb{P}( D \cap A_1) = \mathbb{P} (D)- \mathbb{P} (D \cap \overline{A_1})\"<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9terminer \"\mathbb{P} (D)\", on r\u00e9alise \"n\" exp\u00e9riences de probabilit\u00e9<\/strong> de succ\u00e8s \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac 1 {n}\" (obtenir un 2 en tirant entre 1 et \"n\") et on veut avoir 2 succ\u00e8s sur \"n\" :<\/p>\n

\"\mathbb{P} (D) = \displaystyle \binom n 2\, \frac 1 {n ^2} \, \left ( 1 - \frac 1 n \right ) ^{n - 2}\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(D) = \displaystyle \frac {n \, (n - 1) \, (n - 1)^{n - 2}} {2 \, n ^n}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}(D) = \frac { (n - 1)^{n - 1} } {2\, n ^{n - 1}}\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour d\u00e9terminer \"\mathbb{P} (D \cap \overline{A_1} )\", on r\u00e9alise \"n\" exp\u00e9riences de probabilit\u00e9<\/strong> de succ\u00e8s \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac 1 {n - 1}\" (obtenir un 2 en tirant entre 2 et \"n\") et on veut avoir 2 succ\u00e8s sur \"n\" :<\/p>\n

\"\mathbb{P} (D \cap \overline{A_1} ) =\" \"\qquad \quad \displaystyle \binom n 2\, \frac 1 {(n - 1) ^2} \, \left ( 1 - \frac 1 {n - 1} \right ) ^{n - 2}\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(D \cap \overline{A_1} ) = \displaystyle \frac {n \, (n - 1) \, (n - 2)^{n - 2}} {2 \, (n - 1) ^n}\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (D \cap \overline{A_1} ) = \displaystyle \frac {n\, (n - 2)^{n - 2} } {2\, (n - 1) ^{n - 1}}\".<\/p>\n

Donc \"\mathbb{P} (D \cap A_1) = \displaystyle \frac { (n - 1)^{n - 1} } {2\, n ^{n - 1}} - \frac {n \,(n - 2)^{n - 2} } {2\, (n - 1) ^{n - 1}}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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Correction de l’exercice sur les probabilit\u00e9s conditionnelles<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"T\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0le d\u00e9 tir\u00e9 est pip\u00e9\u00a0\u00bb et \"S\" \u00ab\u00a0on obtient un six\u00a0\u00bb.<\/p>\n

L’\u00e9nonc\u00e9 donne \"\mathbb{P}(T) = p\" , \"\mathbb{P} (S \mid T) = 1/2\" et \"\mathbb{P} (S \mid \overline {T} ) = 1/6\".<\/p>\n

On demande \"\mathbb{P}(T \mid S) = \displaystyle \frac {\mathbb{P} (T \cap S)} {\mathbb{P} (S)}\".
\n\"\mathbb{P} (T \cap S) = \mathbb{P}(S \mid T) \; \mathbb{P}(T ) = \displaystyle \frac 1 2 \, p\".<\/p>\n

Par utilisation du syst\u00e8me<\/a> complet d’\u00e9v\u00e9nements \"\left ( T \, , \, \overline {T} \right )\" de probabilit\u00e9s<\/strong> non nulles et la formule des probabilit\u00e9s<\/strong> totales :<\/p>\n

\"\mathbb{P} (S) = \mathbb{P}(S \mid T) \, \mathbb{P}(T ) + \mathbb{P}(S \mid \overline{T} )\, \mathbb{P}( \overline{T} )\"<\/p>\n

Il reste \u00e0 effectuer les calculs :<\/p>\n

\"\mathbb{P} (S) = \displaystyle \frac 1 2 \, p + \frac 1 6 (1 - p) = \frac {1 + 2\, p} 6\"<\/p>\n

et \"\mathbb{P}(T \mid S) = \displaystyle \frac { p/2} {(1 + 2 \, p) / 6} = \boxed{\frac {3\, p } {1 + 2\, p} }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On note cette fois-ci \"S_n\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on a obtenu \"n\" fois le chiffre 6″.<\/p>\n

On fera attention que l’on garde le m\u00eame d\u00e9 pendant les \"n\" jets, on ne demande pas \"\left ( \mathbb{P}(T \mid S) \right ) ^n\".<\/p>\n

Mais on demande \"\qquad \qquad \mathbb{P}(T \mid S_n) = \displaystyle \frac {\mathbb{P} (T \cap S_n)} {\mathbb{P} (S_n)}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P} (T \cap S_n) = \mathbb{P}(S_n \mid T) \; \mathbb{P}(T )\" \"\mathbb{P}(T \cap S_n) = \displaystyle \left ( \frac 1 2 \right ) ^n \, p\".<\/p>\n

\"\ast\" Par la formule des probabilit\u00e9s<\/strong> totales<\/p>\n

\"\mathbb{P} (S_n) = \mathbb{P}(S_n \mid T) \, \mathbb{P}(T ) + \mathbb{P}(S_n \mid \overline{T} )\, \mathbb{P}( \overline{T} )\"<\/p>\n

\"\ast\" Il reste \u00e0 effectuer les calculs :<\/p>\n

\"\mathbb{P} (S_n) = \displaystyle \left ( \frac 1 2 \right ) ^n \, p +\left ( \frac 1 6 \right ) ^n (1 - p)\" \"\mathbb{P}(S_n) = \displaystyle \frac {3^n \, p + 1 - p} {6 ^n}\"<\/p>\n

et \"p_n = \mathbb{P}(T \mid S_n) = \displaystyle \frac { 3 ^n p} {3^n \, p + 1 - p}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} p_n = 1\".<\/p>\n

Il est fortement probable d’avoir choisi un d\u00e9 truqu\u00e9 si pour \"n\" grand, on obtient \"n\" fois un 6.<\/p>\n

Correction d’exercice de probabilit\u00e9s avec deux urnes en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Avec le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements \"\left ( B_n \, ,\, \overline {B_n} \right )\" et la formule des probabilit\u00e9s totales<\/strong>,<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_{n + 1} ) = \mathbb{P} (B_{n + 1} \mid B_n) \, \mathbb{P} (B_n)\" \"\qquad \qquad \qquad +\, \mathbb{P} (B_{n + 1} \mid \overline {B_n})\, \mathbb{P} (\overline {B_n})\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_{n + 1} \mid B_n) = \mathbb{P} (B_{ 1} \mid U_1)= \displaystyle \frac 1 2\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_{n + 1} \mid \overline {B_n}) = \mathbb{P} (B_{ 1} \mid U_2) = \displaystyle \frac 4 7\".<\/p>\n

\"p_{n + 1} = \displaystyle \frac 1 2 \cdot p_n + \frac 4 7 \cdot (1 - p_n)\"<\/p>\n

\"\boxed{p_{n + 1} = \displaystyle \frac 4 7 - \frac 1 {14} \, p_n\, }\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Valeur \"(\dfrac{a}{b}) = \dfrac{7}{15}\"<\/p>\n

On demande \"\alpha = \mathbb{P}(U_1 \mid B_1 \cap B_3)\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad \alpha = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_3)} {\mathbb{P}(B_1 \cap B_3)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On va utiliser \"\Omega = B_2 \cup \overline{B_2}\" pour renseigner le calcul sur le r\u00e9sultat du deuxi\u00e8me tirage.<\/p>\n

\"U_1 \cap B_1 \cap B_3 =\" \"\qquad \qquad U_1 \cap B_1 \cap B_3 \cap (B_2 \cup \overline{B_2})\"<\/p>\n

\"U_1 \cap B_1 \cap B_3 =\" \"\qquad \qquad (U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)\" \"\qquad \qquad \cup \, (U_1 \cap B_1 \cap\overline{B_2} \cap B_3)\"<\/p>\n

On a une r\u00e9union de deux \u00e9v\u00e9nements incompatibles :<\/p>\n

\"\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_3) =\" \"\qquad \qquad \mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)\" \"\qquad \qquad +\, \mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap\overline{B_2}\cap B_3)\" \"\; \; (1)\"<\/p>\n

\"\bullet\" On utilise la formule des probabilit\u00e9s<\/strong> compos\u00e9es pour les deux calculs suivants :<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)=\" \"\quad \mathbb{P}(B_3\, \mid U_1 \cap B_1 \cap B_2) \, \mathbb{P}(B_2\, \mid U_1 \cap B_1)\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \times \, \mathbb{P}(B_1\, \mid U_1) \, \mathbb{P}(U_1)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)= \displaystyle \frac 1 2 \frac 1 2 \frac 1 2 \frac 1 2 = \frac 1 {16 }\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap \overline{B_2 }\cap B_3)=\" \"\mathbb{P}(B_3\, \mid U_1 \cap B_1 \cap \overline{B}_2) \, \mathbb{P}(\overline{B}_2\, \mid U_1 \cap B_1)\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \times \, \mathbb{P}(B_1\, \mid U_1)\, \mathbb{P}(U_1)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)= \displaystyle \frac 4 7 \frac 1 2 \frac 1 2 \frac 1 2 = \frac {1} {14}\"<\/p>\n

Par (1),<\/p>\n

\"\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_3) = \displaystyle \frac 1 {16 } + \frac {1} {14} = \displaystyle \frac{15} {112}\".<\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9crivant \"\qquad B_1 \cap B_3 = B_1 \cap (B_2 \cup \overline{B_2} ) \cap B_3 \,\",<\/p>\n

\"B_1 \cap B_3 =\" \"\qquad (B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)\"<\/p>\n

Ces deux \u00e9v\u00e9nements incompatibles donnent la formule (2)<\/p>\n

\"\mathbb{P}(B_1 \cap B_3) =\"<\/p>\n

\"\;\; \mathbb{P} (B_1 \cap B_2 \cap B_3) + \mathbb{P} (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Dans les deux calculs qui suivent, on utilise la formule des probabilit\u00e9s<\/strong> compos\u00e9es,<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P} (B_1 \cap B_2 \cap B_3)=\" \"\qquad \mathbb{P} (B_3 \mid B_1 \cap B_2 )\, \mathbb{P} (B_2 \mid B_1 ) \, \mathbb{P} (B_1)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_1 \cap B_2 \cap B_3)= \displaystyle \frac 1 2 \frac 1 2 \frac {15} {28} = \frac {15} {112}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P} (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)=\" \"\qquad \mathbb{P} (B_3 \mid B_1 \cap \overline{B_2} ) \, \mathbb{P} (\overline{B_2} \mid B_1 )\, \mathbb{P} (B_1)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)= \displaystyle \frac 4 7 \frac 1 2 \frac {15} {28} = \frac {15} {98}\".<\/p>\n

Par (2),<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_1 \cap B_3)= \displaystyle \frac {15} {112} + \frac {15} {98} = \frac {225}{784}\".<\/p>\n

On termine par \"\alpha = \displaystyle \frac {15/112} {225/784 } =\boxed{ \frac {7} {15}}\".<\/p>\n

Correction d’exercice de proba sur l’ajout de boules apr\u00e8s tirage<\/h2>\n

c) \"\displaystyle \frac {2 \,a + b} {N + 2\, a}\" .<\/p>\n

On demande \"S = \displaystyle \mathbb{P} ( B_2 \, | \, B_1 \cap B_3)\"<\/p>\n

\"S = \displaystyle \frac {\mathbb{P} ( B_1 \cap B_2 \cap B_3) } {\mathbb{P} ( B_1 \cap B_3)}\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} ( B_1 \cap B_2 \cap B_3) = \displaystyle \frac {b(b + a) (b + 2\,a)} {N(N + a)(N + 2 \, a)}\"<\/p>\n

Puis en \u00e9crivant \"\Omega = B_2 \cup \overline {B_2}\,\",<\/p>\n

\"B_1 \cap B_3 = B_1 \cap ( B_2 \cup \overline {B_2} ) \cap B_3\"<\/p>\n

\"B_1 \cap B_3 =\" \"\quad \quad \quad (B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3)\"<\/p>\n

Ces deux \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant incompatibles,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(B_1 \cap B_3) =\" \"\quad \mathbb{P}(B_1 \cap B_2 \cap B_3) + \mathbb{P} (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3) =\" \"\; \mathbb{P}(B_3 \, | \, B_1 \cap \overline {B_2}) \times \mathbb{P}( \overline {B_2} \, | \, B_1) \times \mathbb{P}(B_1)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P} (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3) = \frac {b + a} {N + 2 \, a} \, \frac r {N + a} \, \frac b N\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit que :<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}(B_1 \cap B_3) = \frac {b(a + b)(b + 2\, a + r)} {N(N + a)(N + 2\, a)}\"<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}(B_1 \cap B_3) = \frac {b(a + b) } {N(N + a)}\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \mathbb{P} ( B_2 \, | \, B_1 \cap B_3) = \frac {2\, a+ b} {N + 2 \, a}\".<\/p>\n

Correction d’exercice sur le tirages de parties de \"E\" en Maths Sup<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

L’univers des possibles \"\Omega\" est \u00e9gal \u00e0 \"\mathcal{P}(E)\".<\/p>\n

La probabilit\u00e9<\/strong> est uniforme sur \"\Omega\".<\/p>\n

On note \"C\" l’\u00e9v\u00e9nement : ‘\u00a0\u00bbon a tir\u00e9 la partie \"A\" \u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\mathbb{P} (C) = \displaystyle \frac {1} {2 ^n}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

R\u00e9aliser \"F\" revient \u00e0 tirer une partie \"B\" telle que \"A \subset B\", cela revient \u00e0 choisir une partie de \"\mathcal{P}(E \setminus A)\" et \u00e0 lui joindre la partie \"A\".<\/p>\n

\"F = \{ A \cup X \, , \, X \in \mathcal{P}(E\setminus A) \}\".<\/p>\n

\"\# \, F = \# \, \mathcal{P}(E\setminus A ) = 2 ^{n - k}\,\".<\/p>\n

\"\mathbb{P} (F) = \displaystyle \frac {2 ^{n - k} } {2 ^n} = \frac 1 { 2 ^{k}}\,\" .<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"G = \mathcal{P}(A)\" donc \"\# \, G = \# \, \mathcal{P}(A) = 2 ^k\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (G) = \displaystyle \frac {2 ^k} {2 ^n} = 2 ^{k - n}\,\".<\/p>\n

\"F \cap G = C\" (\"C\" d\u00e9fini dans la question 1), donc \"\mathbb{P} (F \cap G) = 2^{ - n}\".<\/p>\n

\"\mathbb{P} (F) \, \mathbb{P} (G) = 2 ^{- k}\, \, 2 ^{k - n}\"<\/p>\n

donc \"\mathbb{P} (F) \, \mathbb{P} (G) = \mathbb{P} (F \cap G)\".<\/p>\n

\"F\" et \"G\" sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

En Maths Sup, il est fondamental d’adopter un rythme de travail r\u00e9gulier pour pouvoir poursuivre son ann\u00e9e de Maths Sp\u00e9 dans les meilleures conditions. Les maths doivent \u00eatre particuli\u00e8rement travaill\u00e9es vu leur coefficient tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9 aux concours post-pr\u00e9pa. S’aider des cours en ligne et de leurs exercices corrig\u00e9s sont de bons r\u00e9flexes \u00e0 adopter. Ainsi, les \u00e9tudiants de PTSI, PCSI et MPSI pourront s’entra\u00eener sur divers chapitres, comme :<\/p>\n