{"id":77863,"date":"2020-11-25T20:11:30","date_gmt":"2020-11-25T19:11:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=77863"},"modified":"2023-09-15T18:57:16","modified_gmt":"2023-09-15T17:57:16","slug":"cours-en-ligne-variables-aleatoires-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-variables-aleatoires-maths-sup\/","title":{"rendered":"Cours sur les variables al\u00e9atoires en Maths Sup"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Cours sur les variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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A. Variable al\u00e9atoire en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/h2>\n

1. Notations des variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" \"(\Omega, \mathbb{P})\" est un espace probabilis\u00e9<\/a> fini, une variable al\u00e9atoire<\/strong> r\u00e9elle \"X\" est une application de \"\Omega\" dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

L’ensemble<\/a> \"X(\Omega)\" est un ensemble fini.<\/p>\n

\"\bullet\" Dans la suite<\/a>, on note<\/p>\n

\"\ast\" \"(X = a) = \{\omega \in \Omega\, / \, X(\omega) = a\}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A\" est une partie de \"\mathbb{R}\", \"(X \in A ) = \{ \omega \in\Omega \, / \, X(\omega) \in A \}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"(X \leqslant a) = \{\omega \in \Omega\, / \, X(\omega) \leqslant a\}\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a < b\", \"(a \leqslant X \leqslant b ) = \{\omega \in \Omega\, / \,a \leqslant X(\omega) \leqslant b\}\"<\/p>\n

Ce sont des parties finies de \"\Omega\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire<\/strong> sur \"(\Omega, \mathbb{P})\", si \"f : \Omega \to \mathbb{R}\", on peut d\u00e9finir la variable al\u00e9atoire<\/strong> not\u00e9e \"f(X)\" : \"\qquad f(X) : \Omega \to \mathbb{R}, \omega \mapsto f( X(\omega))\".<\/p>\n

2. D\u00e9finir la loi d’une variable al\u00e9atoire en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Donner la loi de la variable al\u00e9atoire<\/strong> \"X\",<\/p>\n

\"\ast\" c’est donner l’ensemble \"\qquad X(\Omega) = \{x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n\}\"<\/p>\n

\"\ast\" et d\u00e9finir \"\forall\, i \in [\![1,\, n]\!] , \, \mathbb{P} (X = x_i)\".<\/p>\n

On doit v\u00e9rifier \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \mathbb{P} (X = x_i) = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" On peut alors d\u00e9finir la loi \"\mathbb{P}_X\" de \"X\"<\/p>\n

\"\qquad \quad \mathbb{P} _X : X(\Omega) \to [0 , \,1] ,\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad A \mapsto \displaystyle \sum _ {\{i / x_i \in A\}} P(X = x_i)\".<\/p>\n

Alors \"(X(\Omega) ,\; \mathbb{P}_X)\" est un ensemble probabilis\u00e9 fini.<\/p>\n

3. D\u00e9finir l’esp\u00e9rance d’une variable al\u00e9atoire en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire<\/strong> sur \"(\Omega , \mathbb{P})\" et si \"X(\Omega) = \{ x_1\,, \, \cdots \, ,\, x_n \}\".
\nl’esp\u00e9rance de \"X\" est le r\u00e9el \"\qquad \textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n x _ i \, \mathbb{P}(X = x_i)\" .<\/p>\n

\"\bullet\" \"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {\omega \in \Omega} X(\omega) \, \mathbb{P}(\{\omega\})\" .<\/p>\n

Cette formule peut \u00eatre utile pour les d\u00e9monstrations des propri\u00e9t\u00e9s de l’esp\u00e9rance, elle est inutile dans le cas des calculs pratiques.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"Y = f(X)\", on peut calculer \"\textrm{E}(Y)\" sans utiliser la loi de \"Y\" gr\u00e2ce au th\u00e9or\u00e8me de transfert.<\/p>\n

Lorsque \"X(\Omega) = \{ x_1\,, \, \cdots \, ,\, x_n \}\",<\/p>\n

\"\qquad \textrm{E}(Y) =\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n f(x_i) \, \mathbb{P}(X = x_i)\" .<\/p>\n

\"\bullet\" En particulier si \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle,<\/p>\n

\"\ast\" lorsque \"(a ,\, b) \in \mathbb{R}^2\", \"\qquad \quad \textrm{E} (a\, X + b) = a \, \textrm{E}(X) + b\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"f\" et \"g\" sont d\u00e9finies sur \"X(\Omega)\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",<\/p>\n

\"\textrm{E} (f(X) + g(X) ) = \textrm{E}(f(X)) + \textrm{E} (g(X))\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"X(\Omega) \subset \mathbb{R}^+\", \"\textrm{E}(X) \geqslant 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"X(\Omega) = \{ x_1\,, \, \cdots \, ,\, x_n \}\", le moment d’ordre \"2\" de \"X\" est \u00e9gal \u00e0 \"\qquad \textrm{E} (X ^2) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \, x_i^2\; \mathbb{P}(X = x_i)\".<\/p>\n

4. D\u00e9finir la variance de \"X\" en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle<\/strong>, la variance de \"X\" est \u00e9gale \u00e0 \"\qquad \textrm{V}(X) = \textrm{E} ( (X - \textrm{E}(X)) ^ 2 )\".<\/p>\n

C’est un r\u00e9el positif ou nul<\/a> et l’\u00e9cart type de \"X\" est \u00e9gal \u00e0 \"\sigma_X = \sqrt{\textrm{V}(X)}\" , il mesure la dispersion de \"X\" autour de \"\textrm{E}(X)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Il vaut mieux calculer la variance de \"X\" \u00e0 l’aide du th\u00e9or\u00e8me de Koenig-Huyghens<\/p>\n

\"\qquad \textrm{V}(X) = \textrm{E}(X ^2) - (\textrm{E}(X))^2\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle<\/strong>, lorsque \"(a ,\, b) \in \mathbb{R}^2\", \"\qquad \textrm{V} (a\, X + b) = a^2 \, \textrm{V}(X)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\textrm{V}(X) > 0\", la variable al\u00e9atoire<\/strong> \"\displaystyle Y = \frac {X - \textrm{E}(X)} {\sqrt{\textrm{V}(X)}}\", appel\u00e9e variable al\u00e9atoire<\/strong> centr\u00e9e r\u00e9duite associ\u00e9e \u00e0 \"X\", v\u00e9rifie \"\textrm{E}(Y) = 0\" et \"\textrm{V}(Y) = 1\".<\/p>\n

5. Variables al\u00e9atoires de m\u00eame loi en Maths Sup<\/h3>\n

Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/strong> d\u00e9finies sur \"(\Omega, \, \mathbb{P})\" ont m\u00eame loi lorsque<\/p>\n

\"\;\; X(\Omega) = Y(\Omega)\"<\/p>\n

et \"\forall \, x \in X(\Omega)\", \"\mathbb{P}(X = x) = \mathbb{P}(Y = x)\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

B. Couples de variables al\u00e9atoires r\u00e9elles en Maths Sup<\/h2>\n

1. Loi conjointe de variables al\u00e9atoire en Maths Sup<\/h3>\n

Soit \"(\Omega , \, \mathbb{P})\" un univers probabilis\u00e9 fini.<\/p>\n

\"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/strong> sur \"\Omega\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9finir la loi conjointe des variables \"X\" et \"Y\", c’est donner<\/p>\n

\"\ast\" \"X(\Omega) = \{x_1\, ,\, x_2 \, , \cdots \, ,\, x_n\}\"<\/p>\n

et \"Y(\Omega) = \{y_1\, ,\, y_2 \, ,\cdots \, , \, y_q\}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, (i,\, j) \in [\![1,\, n]\!] \times [\![1,\, q]\!]\",<\/p>\n

la valeur de \"\mathbb{P}(X = x_i \cap Y = y_j)\" qui est aussi not\u00e9e \"\mathbb{P}(X = x_i \, ,\, Y = y_j)\".<\/p>\n

\"\bullet\" V\u00e9rifier que l’on a donn\u00e9 la loi du couple \"(X , \, Y)\", c’est v\u00e9rifier que l’on a donn\u00e9 les ensembles \"X(\Omega)\" et \"Y(\Omega)\" et v\u00e9rifier que<\/p>\n

\"\forall\, x \in X(\Omega)\" et \"\forall\, y \in Y( \Omega)\",<\/p>\n

\"\qquad \quad \mathbb{P}(X = x \cap Y = y) \geq 0\"<\/p>\n

et \"\displaystyle \sum _ {x \in X(\Omega) } \; \sum _ {y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X = x \cap Y = y) = 1\".<\/p>\n

2. Lois marginales de variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Ayant la loi conjointe des variables al\u00e9atoires<\/strong> \"X\" et \"Y\", on peut d\u00e9terminer les lois des variables \"X\" et \"Y\" appel\u00e9es lois marginales.<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, x \in X(\Omega)\",<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X = x) = \displaystyle \sum _ {y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X = x \cap Y = y)\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, y \in Y(\Omega)\",<\/p>\n

\"\mathbb{P}(Y = y) = \displaystyle \sum _ {x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X = x \cap Y = y)\"<\/p>\n

3. Loi conditionnelle de variable al\u00e9atoire en Maths Sup<\/h3>\n

Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires<\/strong> et \"y \in Y(\Omega)\" tel que \"\mathbb{P}(Y = y) \neq 0\",<\/p>\n

alors \"X(\Omega) \to [0 ,\, 1]\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad x \mapsto \displaystyle \mathbb{P} (X = x \mid Y = y)\"<\/p>\n

d\u00e9finit la loi d’une variable al\u00e9atoire<\/strong> appel\u00e9e loi conditionnelle de \"X\" sachant \"(Y = y)\".<\/p>\n

4. Ind\u00e9pendance de deux variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" Deux variables al\u00e9atoires<\/strong> \"X\" et \"Y\" d\u00e9finies sur \"(\Omega, \mathbb{P})\" sont ind\u00e9pendantes lorsque<\/p>\n

\"\forall\, x \in X(\Omega) , \forall\, y \in Y(\Omega)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X = x \cap Y = y)=\" \"\qquad \qquad \qquad \mathbb{P}(X = x)\, . \, \mathbb{P}( Y = y)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, pour tout \"(A ,\, B) \in \mathcal{P}(\mathbb{R})^2\" , \"\mathbb{P}((X ,\, Y) \in A \times B ) =\" \"\qquad \qquad \qquad \mathbb{P}(X \in A) \, \mathbb{P}(Y \in B)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, les variables \"f(X)\" et \"g(Y)\" sont aussi ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, pour tout \"x \in X(\Omega)\" tel que \"\mathbb{P}(X = x) \neq 0\", la loi conditionnelle de \"Y\" sachant \"(X = x)\" est la loi de \"Y\".<\/p>\n

5. Ind\u00e9pendance de \"n\" variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h3>\n

\"n\geqslant 3\" variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/strong> \"(X_1\,,\, X_2\, ,\, \cdots \, ,\, X_n)\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes<\/em><\/p>\n

ssi \"\forall\,i\in [\![1 ,\, n]\!], \forall\, x_i \in X_i(\Omega) , \,\"<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}\left ( \bigcap _{i = 1} ^n (X _ i = x_i) \right) = \prod_{i = 1} ^n \mathbb {P}(X _ i = x_i)\"<\/p>\n

ssi \"\forall\,i\in [\![1 ,\, n]\!], \forall\, A_i \subset \mathbb{R}\,\",<\/p>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}\left ( \bigcap _{i = 1} ^n (X _ i \in A_i ) \right) = \prod_{i = 1} ^n \mathbb {P}(X _ i \in A_i)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(X_1\,,\, X_2\, ,\, \cdots \, ,\, X_n)\" sont \"n\" v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes, toute sous famille est form\u00e9e de variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes<\/strong>.<\/p>\n

En particulier, elles sont deux \u00e0 deux ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"(X_1\,,\, X_2\, ,\, \cdots \, ,\, X_n)\" sont \"n\" v.a.r. ind\u00e9pendantes de loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p\", \"X = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n X_i\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p\".<\/p>\n

6. Compl\u00e9ments des propri\u00e9t\u00e9s de l’esp\u00e9rance en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" L’esp\u00e9rance est une forme lin\u00e9aire sur l’espace vectoriel<\/a> des variables al\u00e9atoires<\/strong> d\u00e9finies sur \"(\Omega, \, \mathbb{P})\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire<\/strong> \u00e0 valeurs positive sou nulles, \"\textrm{E}(X) \geqslant 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires<\/strong> telles que \"\forall\, \omega \in \Omega, \, X(\omega) \leqslant Y(\omega)\", \"\textrm{E} (X) \leqslant \textrm{E}(Y)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires<\/strong> dont on conna\u00eet la loi conjointe, \"\textrm{E}(X \, Y)\" est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _{x \in X(\Omega)} \sum _ {y \in Y(\Omega)} \, x\, y \, \mathbb{P}(X = x\, , \, Y = y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont des v.a.r. sur \"(\Omega , \, \mathbb{P})\" ind\u00e9pendantes, \"\textrm{E}(X \, Y) = \textrm{E}(X) \, \textrm{E}(Y)\".<\/p>\n

C. Les lois usuelles de variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" Variable al\u00e9atoire constante : <\/strong><\/p>\n

\"\ast\" \"X(\Omega) = \{a\}\", \"\mathbb{P}(X = a) = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{E}(X) = a\" et \"\textrm{V}(X) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Variable al\u00e9atoire de Bernoulli de param\u00e8tre \"p \in [0 , \,1]\" :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" \"X(\Omega) = \{0 ,\, 1 \}\",<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X = 1) = p\" et \"\mathbb{P}(X = 0) = 1 - p\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{E}(X) = p\" et \"\textrm{V}(X) = p\,(1 - p)\".<\/p>\n

On note \"X \hookrightarrow \mathcal{B}( p)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Variable al\u00e9atoire uniforme sur \"[\![1 , \,n]\!]\" :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" \"X(\Omega) = [\![1 , \,n]\!]\" ,<\/p>\n

\"\forall\, k \in [\![1 , \,n]\!], \, \mathbb{P}(X = k) = \displaystyle \frac 1 n\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{E}(X) = \displaystyle \frac {n + 1} 2\" et \"\textrm{V}(X) = \displaystyle \frac {n ^2 - 1} {12}\" (deux r\u00e9sultats \u00e0 retrouver)<\/p>\n

On note \"X \hookrightarrow \mathbb{U} ([\![1 , \,n]\!] )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Variable al\u00e9atoire de loi binomiale de param\u00e8tres \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"p \in [0 , \,1]\" :<\/strong><\/p>\n

\"\ast\" \"X(\Omega) = [\![0 , \,n]\!]\" ,<\/p>\n

\"\forall\, k \in [\![0 , \,n]\!],\" \"\quad \quad \, \mathbb{P}(X = k) = \displaystyle \binom n k \, p^k (1 - p) ^{n - k}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{E}(X) = n\, p\" et \"\textrm{V}(X) = n \, p\, (1 - p)\".<\/p>\n

On note \"X \hookrightarrow \mathcal{B}( n, \, p)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

D. Calculs pratiques de l’esp\u00e9rance ou de la variance en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" En reconnaissant la loi de \"X\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X = a \, Y + b\", \"\textrm{E}(X) = a \, \textrm{E}(Y) + b\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant la d\u00e9finition et en utilisant les sommes<\/a> classiques.<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant le th\u00e9or\u00e8me de transfert qui rend inutile le calcul de la loi de \"X\" lorsque l’on peut \u00e9crire \"X = f(Y)\".<\/p>\n

C’est souvent la d\u00e9marche \u00e0 utiliser lorsque l’on demande directement l’esp\u00e9rance de \"X\" sans calculer sa loi, lorsque cette loi n’est pas classique.<\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9crivant \"X\" comme somme de variables al\u00e9atoires<\/strong> plus simples (en g\u00e9n\u00e9ral des variables al\u00e9atoires de Bernoulli<\/strong>).<\/p>\n

\"\bullet\" On peut aussi envisager de d\u00e9duire de<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X = x)\" une relation permettant d’\u00eatre r\u00e9utilis\u00e9e pour le calcul de \"\textrm{E}(X)\".<\/p>\n

2. Pour la variance des variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h3>\n

\"\bullet\" En reconnaissant la loi de \"X\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X = a \, Y + b\", \"\textrm{V}(X) = a^2 \, \textrm{V}(Y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant la formule de Koenig-Huyghens, \"\textrm{V}(X) = \textrm{E}(X^2) - \left ( \textrm{E}(X) \right ) ^2\"<\/p>\n

\"\bullet\" Il sera peut-\u00eatre plus simple de passer par le calcul , pour \"a \in \mathbb{R}\", de<\/p>\n

\"\textrm{E}(X ( X - a))\" (en g\u00e9n\u00e9ral \"a = 1\") et d’utiliser la formule :<\/p>\n

\"\textrm{V}(X) =\" \"\quad \textrm{E}(X ( X - a)) + a \,\textrm{E}(X) - (\textrm{E}(X))^2\"<\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9crivant \"X = Y + Z\" o\u00f9 l’on conna\u00eet la loi des variables \"Y\" et \"Z\" et en particulier si \"Y\" et \"Z\" sont ind\u00e9pendantes,<\/p>\n

\"\qquad \textrm{V}(X) =\textrm{V}(Y) + \textrm{V}(Z)\".<\/p>\n

\"\bullet\" En \u00e9crivant \"X\" comme somme de variables al\u00e9atoires<\/strong> \"X_i\" plus simples (en g\u00e9n\u00e9ral des variables al\u00e9atoires de Bernoulli<\/strong>).<\/p>\n

\"\ast\" si elles sont 2 \u00e0 2 ind\u00e9pendantes, la variance de \"X\" est la somme des variances des \"X_i\,\".<\/p>\n

E. In\u00e9galit\u00e9s de Bienayme-Tchebichev en Maths Sup<\/h2>\n

\"\bullet\" L’\u00e9nonc\u00e9\u00a0 <\/em><\/p>\n

\"\ast\" Hypoth\u00e8ses : \"X\" est une variable al\u00e9atoire<\/strong> sur l’univers fini \"(\Omega, \, \mathbb{P})\" et \"\varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion : \"\qquad \textrm{P}( \vert X - \textrm{E}(X)\vert \geqslant \varepsilon) \leqslant \displaystyle \frac {\textrm{V}(X)} {\varepsilon ^2 }\" .<\/p>\n

F. Des m\u00e9thodes pour d\u00e9terminer les lois de quelques variables<\/h2>\n

1. Cas de variables al\u00e9atoires \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\"<\/h3>\n

On suppose que \"X\" est une variable al\u00e9atoire<\/strong> \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

1.a. On a su calculer \"\mathbb{P}(X \leqslant k)\" pour \"k \in \mathbb{N}\" .<\/h4>\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P}(X = 0 ) = \mathbb{P}(X \leqslant 0)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"k \in \mathbb{N}^*\", \u00e9crire<\/p>\n

\"(X \leqslant k) = (X = k) \cup (X \leqslant k - 1)\"<\/p>\n

Les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant disjoints,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X \leqslant k) = \mathbb{P}(X = k) + \mathbb{P}(X \leqslant k - 1)\"<\/p>\n

soit<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X = k) = \mathbb{P}(X \leqslant k) - \mathbb{P}(X \leqslant k - 1)\"<\/p>\n

1.b. On a su calculer \"\mathbb{P}(X \geqslant k)\" pour \"k \in \mathbb{N}\".<\/h4>\n

Lorsque \"X(\Omega) \subset [[0,\, N]]\",<\/p>\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P}(X = N ) = \mathbb{P}(X \geqslant N)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"k \leqslant N - 1\", \u00e9crire<\/p>\n

\"(X \geqslant k) = (X = k) \cup (X \geqslant k + 1)\"<\/p>\n

Les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant disjoints,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X \geqslant k) = \mathbb{P}(X = k) + \mathbb{P}(X \geqslant k + 1)\"<\/p>\n

soit<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X = k) = \mathbb{P}(X \geqslant k) - \mathbb{P}(X \geqslant k + 1)\"<\/p>\n

2. Somme de deux variables al\u00e9atoires en Maths Sup<\/h3>\n

Pour trouver la loi de \"S = X + Y\" lorsque \"X\" et \"Y\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

\"\bullet\" D\u00e9terminer \"S(\Omega)\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c9crire si \"k \in S(\Omega)\",<\/p>\n

\"\quad (S = k) = \displaystyle \bigcup _ {i + j = k} (X = i\, ,\, Y = j)\"<\/p>\n

C’est une r\u00e9union d’\u00e9v\u00e9nements deux \u00e0 deux incompatibles,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(S = k) = \displaystyle \sum _{i + j = k} \mathbb{P} (X = i , Y = j)\".<\/p>\n

\"\mathbb{P}(S = k) = \displaystyle \sum _{i = 0} ^k \mathbb{P} (X = i , Y = k - i)\"<\/p>\n

3. Minimum et maximum de deux variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes<\/h3>\n

Si \"X_1\" et \"X_2\" sont deux variables r\u00e9elles<\/strong>, on note \"U = \min(X_1\, , \, X_2)\" et \"V = \max(X_1\, , \,X_2)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lois de \"U\" et \"V\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P} (U = u) = \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)\"
\n\"\qquad \qquad \qquad\" \"+\, \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 > u)\"
\n\"\qquad \qquad \qquad +\, \mathbb{P}(X_2 > u \cap X_1 = u)\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P}(V = v) = \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = v)\"
\n\"\qquad \qquad \qquad +\, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 < v)\"
\n\"\qquad \qquad \qquad + \, \mathbb{P}(X_1 < v \cap X_2 = v)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Loi du couple<\/p>\n

\"\ast\" \"\mathbb{P}(U = u \cap V = u)\"
\n\"\qquad \qquad \qquad =\mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u < v\", \"\mathbb{P}(U = u \cap V = v) =\"
\n\"\qquad \qquad = \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = v)\"
\n\"\qquad \qquad + \, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = u)\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u > v,\; \mathbb{P}(U = u \cap V = v) = 0\".<\/p>\n

Il est utile de se souvenir que<\/p>\n

\"\qquad \quad U + V = X_1 + X_2\"<\/p>\n

\"\qquad\" et \"V - U = \vert X_1 - X_2\vert\".<\/p>\n

4. Maximum et minimum de \"n \geq 3\" variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/h3>\n

Si \"X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n\" sont \"n\" variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/strong>, on note \"\; \; U = \displaystyle \min _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i\" et \"V = \displaystyle \max _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Loi de \"U\"<\/p>\n

On calcule<\/p>\n

\"\quad \mathbb {P} (U \geq u) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \geqslant u) \right )\"<\/p>\n

(On peut aussi utiliser \"\mathbb{P} (U > u)\").<\/p>\n

Si les variables sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\", on termine avec les remarques du 6.1.2.<\/p>\n

\"\bullet\" Loi de \"V\"<\/p>\n

On calcule<\/p>\n

\"\qquad \mathbb {P} (V \leqslant v) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \leqslant v) \right )\".<\/p>\n

Si les variables \"X_i\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\", on termine avec les remarques du 1.b.<\/p>\n

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