{"id":78963,"date":"2020-11-27T10:57:18","date_gmt":"2020-11-27T09:57:18","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=78963"},"modified":"2025-05-23T13:33:00","modified_gmt":"2025-05-23T12:33:00","slug":"cours-en-ligne-second-degre-premiere","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-second-degre-premiere\/","title":{"rendered":"Cours sur le second degr\u00e9 en maths"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Premi\u00e8re<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en 1\u00e8re<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes du second degr\u00e8s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariations et courbes repr\u00e9sentatives de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul vectoriel et produit scalaire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tApplication du produit scalaire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s conditionnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie rep\u00e9r\u00e9e<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Cours sur le second degr\u00e9 en maths en premi\u00e8re<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Premi\u00e8re<\/a><\/p>\n

Ce cours en ligne en maths en premi\u00e8re<\/a> permet aux \u00e9l\u00e8ves de r\u00e9viser le chapitre du second degr\u00e9<\/strong> qui leur sera \u00e9galement utile en terminale et durant les \u00e9tudes sup\u00e9rieures. Les \u00e9l\u00e8ves de premi\u00e8re peuvent aussi r\u00e9viser d’autres chapitres d’alg\u00e8bre tels que les suites num\u00e9riques<\/a>, les suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques<\/a>, la d\u00e9rivation<\/a> ou encore le chapitre de probabilit\u00e9s et de statistiques. Il est possible de prendre des cours particuliers de maths<\/a> pour consolider vos notions sur le second degr\u00e9 en premi\u00e8re.<\/p>\n

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I. \u00c9quation du second degr\u00e9 : cours de maths 1\u00e8re<\/h2>\n

Dans ce paragraphe, on suppose que \"a , b\" et \"c\" sont r\u00e9els et \"a \neq 0\".<\/p>\n

On note \"Q : x \mapsto a\,x^2 + b\, x + c\".<\/p>\n

1.1. Second degr\u00e9 : forme canonique de \"P(x)\"<\/h3>\n

On note \"\Delta = b ^2 - 4\, a\,c\".<\/p>\n

\"\displaystyle Q(x) = a \left ( \left (x + \frac {b} {2 \, a} \right ) ^2 - \frac{\Delta} {4 \, a^2} \right )\"<\/p>\n

Pour retrouver la forme canonique, on \u00e9crit \"Q(x) = a \left ( \displaystyle x ^2 + \frac b a \, x + \frac c a \right )\"<\/p>\n

et on \u00e9crit que \"\displaystyle x ^2 + \frac b a \, x\" est le d\u00e9but du<\/p>\n

d\u00e9veloppement de \"\left (\displaystyle x + \frac b {2\, a} \right ) ^2\"<\/p>\n

\"u(x) = \displaystyle x ^2 + \frac b a \, x + \frac c a\"<\/p>\n

\"u(x) = \displaystyle \left ( x + \frac b {2\, a} \right ) ^2 - \left ( \frac b {2\, a}\right ) ^2 + \frac c a\"<\/p>\n

\"u(x) = \displaystyle \left ( x + \frac b {2\, a} \right ) ^2 - \frac {b^2} {4\, a^2} + \frac c a\"<\/p>\n

\"u(x) =\displaystyle \left ( x + \frac b {2\, a} \right ) ^2 + \frac {4\, a\, c - b ^2} {4\, a^2}\"<\/p>\n

\"u(x) = \displaystyle \left ( x + \frac b {2\, a} \right ) ^2 - \frac {\Delta} {4\, a^2}\".<\/p>\n

1.2. Second degr\u00e9 : racines et factorisation<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta < 0\", l’\u00e9quation \"Q(x) = 0\" n’a pas de racine dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta = 0\", l’\u00e9quation \"Q(x) = 0\" a une racine double \"\displaystyle x _ 0 = \frac {- b} {2\, a}\"<\/p>\n

et \"Q(x) = a \, (x - x_0)^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta > 0\", l’\u00e9quation \"Q(x) = 0\" a deux racines r\u00e9elles distinctes<\/p>\n

\"x_1 = \displaystyle \frac {- b - \sqrt{\Delta}} {2\, a}\" et \"x_2 = \displaystyle \frac {- b + \sqrt{\Delta}} {2\, a}\"<\/p>\n

et \"Q(x) = a\,(x - x_1) (x - x_2)\".<\/p>\n

👍 Une remarque utile : si \"a \, c < 0\", l’\u00e9quation admet toujours deux racines r\u00e9elles, qui sont de plus de signe contraire.<\/p>\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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1.3. Second degr\u00e9 : signe de \"Q(x)\"<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta < 0\", pour tout r\u00e9el \"x\", \"Q(x)\" est non nul et du signe de \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta = 0\", pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"Q(x) \geqslant 0\" si \"a > 0\" et \"Q(x) \leqslant a\" si \"a < 0\".<\/p>\n

On peut aussi \u00e9crire que \"a \, Q(x) \geqslant 0\" et ne s’annule qu’en \"x_0\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta > 0\",<\/p>\n

\"\ast \; Q(x)\" est du signe de \"-a\" entre les racines<\/p>\n

\"\ast \; Q(x)\" est du signe de \"a\" \u00e0 l’ext\u00e9rieur des racines.<\/p>\n

👍 Cons\u00e9quence pour placer un nombre \"r\" entre les racines \"x_1\" et \"x_2\,\", on calcule \"a \, Q(r)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a\, Q(r) < 0\", \"r\" est entre les racines<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a \, Q(r) > 0\", \"r\" est \u00e0 l’ext\u00e9rieur des racines.<\/p>\n

La somme \"S\" des racines est \u00e9gale \u00e0 \"S = \displaystyle \frac {-b} {a}\".<\/p>\n

On d\u00e9termine le signe de \"\displaystyle \frac S 2 - r\"<\/p>\n

… Si \"\displaystyle \frac S 2 - r > 0\" , \"r\" est sup\u00e9rieur \u00e0 la plus grande des racines de \"Q\".<\/p>\n

… Si \"\displaystyle \frac S 2 - r < 0\" , \"r\" est inf\u00e9rieur \u00e0 la plus petite des racines de \"Q\".<\/p>\n

1.4. Second degr\u00e9 : somme et produit des racines.<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta > 0\" et si \"x_1\" et \"x_2\" sont les deux racines de \"Q(x) = 0\",<\/p>\n

\"S = x_1 + x_2 = \displaystyle \frac {-b} {a}\"<\/p>\n

\"P = x_1 \times x_2 = \displaystyle \frac {c} {a}\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Utilisation 1 : Si l’on trouve une solution \u00e9vidente \"r\" de l’\u00e9quation \"Q(x) = 0\" , l’autre racine \"r'\" peut \u00eatre obtenue en utilisant<\/p>\n

\"\qquad r + r' = \displaystyle \frac {-b} {a}\" ou \"r \, r' = \displaystyle \frac {c} {a}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si 1 est racine \u00e9vidente de \"Q(x) = 0\" l’autre racine est \"\displaystyle \frac {c} {a}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"-1\" est racine \u00e9vidente de \"Q(x) = 0\", l’autre racine est \"\displaystyle - \frac {c} {a}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Utilisation 2 : si l’on cherche deux r\u00e9els \"x\" et \"y\" v\u00e9rifiant \"x + y = S\" et \"x \, y = P\", ce sont les racines (si elles existent) de \"t ^2 - S \, t + P = 0\".<\/p>\n

(il est donc n\u00e9cessaire et suffisant que \"S^2 - 4\, P \geqslant 0\" pour que \"x\" et \"y\" existent.)<\/p>\n

\"\bullet\" Utilisation 3 : Si l’\u00e9quation \"Q(x) = 0\" admet deux racines distinctes \"x_1\" et \"x_2\,\",<\/p>\n

\"\ast\" si \"\displaystyle \frac c a < 0\", \"x_1 \, x_2 < 0\" , les deux racines sont de signe contraire.<\/p>\n

\"\ast\" si \"\displaystyle \frac c a > 0\", \"x_1 \, x_2 > 0\" , les deux racines sont de m\u00eame signe.<\/p>\n

… Elles sont strictement positives lorsque \"S = \displaystyle -\frac b a > 0\"<\/p>\n

… Elles sont strictement n\u00e9gatives lorsque \"S = \displaystyle -\frac b a < 0\"<\/p>\n

1.5. Second degr\u00e9 : interpr\u00e9tation graphique.<\/h3>\n

On note \"\Gamma\" la parabole repr\u00e9sentative de la fonction \"Q\".<\/p>\n

\"\ast\" Dans tous les cas, le point \"\qquad S_0 \displaystyle \left ( \frac {- b} {2\, a}\,,\, Q \left ( \frac {- b} {2\, a}\right ) \right )\"
\nest le sommet de la parabole.<\/p>\n

\"\ast\" La droite \"\mathcal{D}\" d’\u00e9quation \"\displaystyle x = \frac {- b} {2\, a}\" est axe de sym\u00e9trie de \"\Gamma\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta < 0\", \"\Gamma\" ne coupe pas la droite \"Ox\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a > 0\", la parabole est situ\u00e9e au dessus de la droite \"Ox\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"a < 0\", la parabole est situ\u00e9e en dessous de la droite \"Ox\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta = 0\", \"\Gamma\" coupe la droite \"Ox\" en un seul point : le sommet \"S\". La droite \"Ox\" est tangente \u00e0 \"\Gamma\" en \"S\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a > 0\", la parabole est situ\u00e9e au dessus de la droite \"Ox\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a < 0\", la parabole est situ\u00e9e en dessous de la droite \"Ox\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Delta > 0\", \"\Gamma\" coupe la droite \"Ox\" en deux points sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la droite \"\mathcal{D}\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"a > 0\", le sommet \"S\" est situ\u00e9 sous la droite \"Ox.\"La parabole est \u00ab\u00a0tourn\u00e9e vers le haut \u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\ast\" si \"a < 0\", le sommet \"S\" est situ\u00e9 au dessus de la droite \"Ox.\" La parabole est \u00ab\u00a0tourn\u00e9e vers le bas\u00a0\u00bb.<\/p>\n

II. Des \u00e9quations polynomiales de degr\u00e9 au moins \u00e9gal \u00e0 3<\/h2>\n

2.1. Second degr\u00e9 : factorisation d’une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 3<\/h3>\n

Factorisation d’une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 3 dont on conna\u00eet une racine \u00e9vidente \"r\"<\/p>\n

On suppose que \"\quad P(x) = a \, x ^3 + b \, x^2 + c \,x + d\" (\"a \neq 0\") et que \"P(r) = 0\".<\/p>\n

Il existe trois r\u00e9els \"\alpha,\, \beta \,,\, \gamma\" tels que pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"\quad P(x) = (x - r) (\alpha \, x ^2 + \beta \, x + \gamma )\".<\/p>\n

On calcule \"\alpha,\, \beta \,,\, \gamma\" en d\u00e9veloppant le produit et en utilisant l’unicit\u00e9 de l’\u00e9criture d’une fonction polyn\u00f4me (\u00e0 ne pas confondre avec une fonction exponentielle<\/a>), ce qui donne le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n

\"\qquad \qquad \displaystyle \left \{ \begin{matrix} \alpha = a \\ \beta - r \, \alpha = b \\ \gamma - r \, \beta = c \\ - \gamma \, r = d \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

2.2. Deux factorisations<\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geqslant 2\", si \"x\" et \"a\" sont r\u00e9els,<\/p>\n

\"\bullet\" \"x^n - 1 =\" \"\quad (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots +x + 1)\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"x^n - a^n\" est \u00e9gal au produit de \"(x - a)\" par \"(x^{n - 1} + a\, x^{n - 2} + \cdots + a^{n - 2} x + a^{n - 1})\".<\/p>\n

La premi\u00e8re relation est \u00e9vidente pour \"x = 1\", car elle s’\u00e9crit \"0 = 0\".<\/p>\n

Pour \"x \neq 1\", on rappelle que \"\quad 1 + x + \cdots \, + x^{n - 1} = \displaystyle \frac {1 - x^ n} {1 - x}\"<\/p>\n

on multiplie cette relation par \"1 - x\".<\/p>\n

Pour la deuxi\u00e8me relation, on effectue le produit :<\/p>\n

\"(x - a) (x^{n - 1} + \cdots + a^{n - 2} x + a^{n - 1})\"<\/p>\n

On obtient :<\/p>\n

\"x^{n} + a\, x^{n - 1} + \cdots +a^{n - 2} x^2 + a^{n - 1}\, x\"<\/p>\n

\"-a\, x^{n - 1} - a^2 \, x^{n - 2} - \cdots- a^{n - 1} x - a^{n}\"<\/p>\n

et on simplifie …<\/p>\n\t\t

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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La suite du chapitre sur le second degr\u00e9<\/strong> en premi\u00e8re est disponible sur l’application mobile PrepApp. Les \u00e9l\u00e8ves qui souhaitent approfondir ce cours peuvent aussi le faire en prenant des cours particuliers de math\u00e9matiques.<\/p>\n

Voici nos autres cours de maths en premi\u00e8re :<\/p>\n