{"id":79632,"date":"2020-12-01T13:34:44","date_gmt":"2020-12-01T12:34:44","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=79632"},"modified":"2022-07-22T15:03:30","modified_gmt":"2022-07-22T14:03:30","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-arithmetique-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-arithmetique-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s en arithm\u00e9tique terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Arithm\u00e9tique : Exercices et corrig\u00e9s en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Exercice sur l’utilisation de la division euclidienne<\/h2>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer la somme des multiples de \"13\" compris entre \"100\" et \"500\".<\/p>\n

Valeur ?<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Quel est le reste de la division euclidienne par \"4\" de la somme de deux carr\u00e9s de deux entiers relatifs cons\u00e9cutifs ?<\/p>\n

Valeur du reste ?<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre dans \"\mathbb{Z}\", \"x - 1\" divise \"x + 3\".<\/p>\n

Nombre de solutions ?<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre dans \"\mathbb{Z}\", \"x - 3\" divise \"x ^3 - 3\".<\/p>\n

Nombre de solutions ?<\/p>\n

Exercice sur l’utilisation de la relation de congruence<\/h2>\n

Question\u00a0 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre l’\u00e9quation \"3\, x \equiv 5 \;\; [7]\".<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

En utilisant une congruence modulo 8, r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"2 ^m - 3 ^n = 1\" o\u00f9 \"m\" et \"n\" sont des entiers naturels.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice sur la r\u00e9solution d’\u00e9quation dans \"\mathbb{Z}\"<\/h2>\n

Le but de l’exercice est de r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"7 ^n - 3 \times 2^m = 1\" lorsque \"m,\, n \in \mathbb{N}\" .<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre l’\u00e9quation lorsque \"m \leqslant 4\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On suppose que \"m \geqslant 5\" et que \"(m,\, n)\" est solution.<\/p>\n

a)<\/strong> \"7^n \equiv 1 \;[32]\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

b)<\/strong> \"n\" est un multiple de \"4\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

c)<\/strong> Conclure en raisonnant modulo 5.<\/p>\n

Exercice sur une suite arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique<\/h2>\n

On consid\u00e8re la suite d\u00e9finie par \"u_0 = 14\", et pour tout entier \"n\", \"u_{n + 1} = 5\, u_n - 6\".<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

Si \"k\in\mathbb{N}\", \"u_{2\, k} \equiv 2 \;\; [4]\" et \"u_{2\, k+1 } \equiv 0 \;\; [4]\"<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"2\, u_n = 5^{n + 2} + 3\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice sur les nombres parfaits en Terminale<\/h2>\n

\u00c9crire une fonction<\/p>\n

\"\qquad \qquad\" SommeDiviseurs
\nde param\u00e8tre \"n\" qui calcule la somme des diviseurs de \"n\" strictement inf\u00e9rieurs \u00e0 \"n\".<\/p>\n

Que donne SommeDiviseurs(2020) ?<\/p>\n

\"\sigma(2020) =\" ?<\/p>\n

Exercice pour coder et d\u00e9coder un message<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

D\u00e9montrer que si \"y \equiv 5\, x + 4\;\; [27]\", alors \"x \equiv 11 \, y + 17 \;\; [27]\"<\/p>\n

En d\u00e9duire que 2 caract\u00e8res distincts sont cod\u00e9s par 2 caract\u00e8res distincts.<\/p>\n

Question 2\u00a0 : <\/strong><\/p>\n

Donner une fonction Python<\/a> de param\u00e8tre un caract\u00e8re qui donne la lettre obtenue par la transformation propos\u00e9e.<\/p>\n

Quelle est la lettre renvoy\u00e9e par CodeLettre(‘S’) ?<\/p>\n

Question 3 : <\/strong><\/p>\n

Donner une fonction DecodeLettre de param\u00e8tre une lettre cod\u00e9e et donne la valeur de la lettre initiale.<\/p>\n

Quelle est la lettre renvoy\u00e9e par DecodeLettre(‘T’) ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur l’utilisation de la division euclidienne<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

On cherche d’abord \"k \in \mathbb{N}\" tel que<\/p>\n

\"\qquad \quad 100 \leqslant 13\, k \leqslant 500\".<\/p>\n

or \"100 = 7 \times 13 + 9\"<\/p>\n

et \"500 = 38 \times 13 +6\"<\/p>\n

donc \"7 \times 13 + 9 \leqslant 13\, k \leqslant 38 \times 13 + 6\"<\/p>\n

ssi \"8 \times 13 \leqslant 13 \, k \leqslant 38 \times 13\"<\/p>\n

ssi \"8 \leqslant k \leqslant 38\".<\/p>\n

On calcule donc \"\displaystyle S = \sum _ {k = 8} ^{38} k \, 13 = 13 \times \sum _ {k = 8} ^{38} k\"<\/p>\n

On additionne \"38 - 7 = 31\" termes d’une suite arithm\u00e9tique<\/a> de premier terme \"8\" et de dernier terme \"38\" :<\/p>\n

\"\displaystyle S = 13 \times \dfrac {31} 2 \times (8+38) = 13 \times 31 \times 23\" \"\boxed{ S = 2\, 269}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0\u00a0<\/strong><\/p>\n

On raisonne par disjonction des cas.<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas des entiers cons\u00e9cutifs : \"2\, n\" et \"2\, n + 1\",<\/p>\n

\"S = (2\, n)^2 + (2\, n + 1)^2 = 8 \, n ^2 + 4\, n + 1\"<\/p>\n

\"S= 4 \,(2\, n^2 + n) + 1\".<\/p>\n

Le reste est \u00e9gal \u00e0 \"1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans le cas des entiers cons\u00e9cutifs : \"2\, n + 1\" et \"2\, n + 2\",<\/p>\n

\"S = (2\, n + 1 )^2 + (2\, n + 2 )^2\"<\/p>\n

\"S = 8 \, n ^2 + 4\, n + 8\, n + 1 + 4\"<\/p>\n

\"S = 4 \, (2\, n ^2 + 3\, n + 1) +1\".<\/p>\n

Le reste est \u00e9gal \u00e0 \"1\".<\/p>\n

Dans les deux cas, le reste est \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

Si \"x - 1\" divise \"x + 3\", alors \"x - 1\" divise \"(x + 3)-(x-1 ) =4\" donc \"\qquad x - 1\in \{- 4 , -2, - 1 , 1 , 2 , 4\}\".<\/p>\n

On \u00e9tudie la r\u00e9ciproque.<\/p>\n

Si \"x - 1\in \{- 4 , -2, - 1 , 1 , 2 , 4\}\",<\/p>\n

\"x - 1\" divise 4 donc \"x - 1\" divise \"\qquad \qquad (x - 1) + 4 = x + 3\".<\/p>\n

\"x - 1\in \{- 4 , -2, - 1 , 1 , 2 , 4\}\"<\/p>\n

ssi \"x\in \{- 3 , -1, 0, 2 , 3 , 5\}\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est \"\qquad \quad \boxed{\mathcal{S} = \{-3, - 1, 0 , 2 , 3 , 5\}}\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"x ^3 - 3 = x^2(x - 3) + 3\, x ^2 - 3\"<\/p>\n

\"x^3 - 3 = x^2(x - 3) + 3(x ^2 - 9) + 27 - 3\"<\/p>\n

\"x^3 - 3 = (x ^2 + 3\, x + 3) (x - 3) + 24\".<\/p>\n

Comme \"x - 3\" divise \"x^3 -3\" et \"(x ^2 + 3\, x + 3) (x - 3)\", alors \"x - 3\" divise 24 donc \"x -3\" est \u00e9l\u00e9ment de<\/p>\n

\"\;\;\; \{ \pm 24, \pm12, \pm 8, \pm 6 , \pm 4, \pm3, \pm 2 , \pm 1 \}\".<\/p>\n

On \u00e9tudie la r\u00e9ciproque.<\/p>\n

Si \"x - 3\" est \u00e9l\u00e9ment de \"\qquad \{ \pm 24, \pm12, \pm 8, \pm 6 , \pm 4, \pm3, \pm 2 , \pm 1 \}\",<\/p>\n

\"x-3\" divise 24, donc \"x - 3\" divise \"24 = (x^3 - 3 ) - (x ^2 + 3\, x + 3) (x - 3)\"<\/p>\n

et \"x - 3\" divise \"x^3 - 3\"<\/p>\n

Puis il reste \u00e0 traduire \"x - 3\" est \u00e9l\u00e9ment de \"\qquad \{ \pm 24, \pm12, \pm 8, \pm 6 , \pm 4, \pm3, \pm 2 , \pm 1 \}\",<\/p>\n

ce qui donne l’ensemble \"\mathcal{S}\" des solutions<\/p>\n

\"\mathcal{S} = \{-21,-9,-5,-3,-1,0,1,2,4,5,6,\" \"\qquad \qquad \qquad 7,9,11,15,27 \}\".<\/p>\n

Correction d’exercice sur l’utilisation de la relation de congruence<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"x \equiv r \;\; [7]\", \"3\, x \equiv 3\, r \;\; [7]\".<\/p>\n

On \u00e9tudie le cas o\u00f9 \"r \in [[0 , 6]]\"<\/p>\n

\"\ast\" \"3\times 0 \equiv 0\;\; [7]\"<\/p>\n

\"\ast\" \"3\times 1 \equiv 3\;\; [7]\"<\/p>\n

\"\ast\" \"3\times 2 \equiv 6\;\; [7]\"<\/p>\n

\"\ast\" \"3\times 3 \equiv 2\;\; [7]\"<\/p>\n

\"\ast\" \"3\times 4 \equiv 5\;\; [7]\"<\/p>\n

\"\ast\" \"3\times 5 \equiv 2\;\; [7]\"<\/p>\n

donc si \"r \in [[0 , 6]]\", \"3\, r \equiv 5\;\; [7]\" ssi \"r = 4\"<\/p>\n

alors si \"x \equiv r \;\; [7]\", \"3\, x \equiv 5 \;\; [7]\" ssi \"r = 4\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des entiers \"\boxed{7 \, n + 4\textrm{ avec }n \in \mathbb{Z}}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"3 ^1 \equiv 3 \;\; [8]\", \"3 ^2 \equiv 1 \;\; [8]\"<\/p>\n

donc \"3 ^{2\, k} = (3 ^2) ^k \equiv 1 \;\; [8]\"<\/p>\n

et \"3 ^{2\, k +1 } = (3 ^2) ^k \times 3 \equiv 1 \times 3 \;\; [8]\"<\/p>\n

\"\bullet\" On suppose qu’il existe une solution avec \"m \geqslant 3\", alors \"\qquad \quad 2 ^m = 2 ^3 \times 2 ^{m - 3} \equiv 0\;\; [8]\"
\ndonc<\/p>\n

\"2 ^m - 3 ^n = 1\" et \"2 ^m - 3 ^n \equiv - 3 ^n \;\; [8]\"<\/p>\n

impliquent que \"- 3 ^n \equiv 1\;\; [8]\"<\/p>\n

soit \"3 ^n \equiv - 1\;\; [8]\" ou \"3 ^n \equiv 7 \;\; [8]\"<\/p>\n

ce qui contredit le fait que \"3 ^n\" est congru \u00e0 3 ou 1 modulo 8.<\/p>\n

Il est impossible que \"m \geqslant 3\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"m = 0\",
\n\"2 ^m - 3 ^n = 1\" ssi \"1 - 3 ^n = 1\" ssi \"3 ^n = 0\", ce qui est impossible<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"m = 1\",
\n\"2 ^m - 3 ^n = 1\" ssi \"2 - 3 ^n = 1\" ssi \"3 ^n = 1\", ssi \"n = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"m = 2\",
\n\"2 ^m - 3 ^n = 1\" ssi \"4 - 3 ^n = 1\" ssi \"3 ^n = 3\" ssi \"n = 1\".<\/p>\n

Les couples solutions sont \"(1 , 0)\" et \"(2 , 1)\"<\/p>\n

Correction d’exercice sur la r\u00e9solution d’\u00e9quation dans \"\mathbb{Z}\"<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"S_{n,m} = 7 ^n - 3 \times 2^m - 1\" et on raisonne par disjonction des cas.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"m = 0\",<\/p>\n

\"S_{n,0} = 7^n - 3 - 1 = 7^n - 4 \neq 0\" car \u00e9gal \u00e0 \"-4\" ou au moins \u00e9gal \u00e0 \"3\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"m = 1\",
\n\"S_{n,1} = 7^n - 6 - 1 = 7^n - 7= 0\" ssi \"n = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"m = 2\",
\n\"S_{n,2} = 7^n - 12 - 1 = 7^n - 13 \neq 0\" car \u00e9gal \u00e0 \"-12\" ou \"-6\" ou au moins \u00e9gal \u00e0 \"36\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"m = 3\",
\n\"S_{n,3} = 7^n - 24 - 1 = 7^n - 25 \neq 0\" car \u00e9gal \u00e0 \"-25\" ou \"-18\" ou au moins \u00e9gal \u00e0 \"44\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"m = 4\",
\n\"S_{n,4} = 7^n - 48 - 1 = 7^n - 49 = 0\" ssi \"n = 2\".<\/p>\n

Il y a deux couples solutions si l’on impose \"m \leqslant 4\" : \"\boxed{(1,\,1) \textrm{ et }(4, \,2)}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

a)<\/strong> Vrai<\/p>\n

\"2 ^5 = 32 \equiv 0 \;[32]\",<\/p>\n

Si \"m \geqslant 5\", \"2 ^{m} = 2 ^{m - 5} \times 2 ^5 \equiv 0\;[32]\"<\/p>\n

et comme \"7 ^n - 3\times 2^m = 1\" alors \"\boxed{7^n \equiv 1 \;[32]}\".<\/p>\n

b)<\/strong> Vrai<\/p>\n

\"7^0 \equiv 1 \; [32]\", \"7 ^1 \equiv 7 \;[32]\", \"7 ^2 \equiv 17 \;[32]\", \"7 ^3 \equiv 17 \times 7 \equiv 23 \;[32]\"<\/p>\n

car \"17 \times 7 = 119 = 3 \times 32 + 23\".<\/p>\n

puis \"7 ^4 \equiv 7 \times 23 \equiv 1\;[32]\"<\/p>\n

car \"7\times 23 = 161 = 5 \times 32 +1\".<\/p>\n

Soit \"k \in \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"7 ^{4 \, k} \equiv (7 ^4)^n \equiv 1^n \equiv 1 \; [32]\"<\/p>\n

\"7 ^{4 \, k+1 } \equiv 7 \; [32]\"<\/p>\n

\"7 ^{4 \, k+2 } \equiv 7^2 \equiv 17 \; [32]\"<\/p>\n

\"7 ^{4 \, k+3 } \equiv 17\times 7 \equiv 23 \; [32]\"<\/p>\n

Donc \"7 ^n \equiv 1 \; [32]\" ssi il existe \"k \in \mathbb{N}\" tel que \"n = 4\, k\".<\/p>\n

c)<\/strong> Si \"(m, n)\" est solution avec \"m \geqslant 5\", \"n = 4\,k\" avec \"k \in \mathbb{N}\".<\/p>\n

\"7 ^2 = 49 \equiv 4 \;[5]\" , \"7 ^4 \equiv 16 \equiv 1 \; [5]\"<\/p>\n

donc \"7 ^{4 k} = (7 ^4) ^k \equiv 1 \;[5]\"<\/p>\n

donc \"7 ^n - 3\times 2 ^m = 1\" implique que \"1 - 3 \times 2 ^m \equiv 1 \;[5]\"<\/p>\n

soit \"3 \times 2 ^m \equiv 0 \;[5]\", donc \"5\" divise \"3 \, \times 2 ^m\" ce qui est impossible .<\/p>\n

Il n’y a pas de solution avec \"m \geqslant 5\".<\/p>\n

Le probl\u00e8me propos\u00e9 admet donc deux solutions \"(1,1)\" et \"(4, 2)\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur une suite arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

Si \"k\in\mathbb{N}\", on note
\n\"\mathcal{P}(k)\" : \"u_{2\, k} \equiv 2 \;\; [4]\" et \"u_{2\, k+1 } \equiv 0 \;\; [4]\"<\/p>\n

\"\ast\" Initialisation.<\/em>
\n\"u_0 = 14 = 4\times 3 + 2\" et \"u_1 = 16 \times 4\", donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9.\u00a0 <\/em><\/p>\n

On suppose que \"\mathcal{P}(k)\" est vraie pour un entier \"k\" donn\u00e9.<\/p>\n

On rappelle que \"u_{n + 2} \equiv u_n \;\; [4]\",<\/p>\n

alors \"u_{2\, k + 2} \equiv u_{2\,k} \;\; [4]\"<\/p>\n

donc \"u_{2\, k + 2} \equiv 2 \;\; [4]\"<\/p>\n

et \"u_{2\, k + 3} \equiv u_{2\,k+1} \;\; [4]\"<\/p>\n

donc \"u_{2\, k + 3} \equiv 0 \;\; [4]\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(k + 1)\".<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion.<\/em><\/p>\n

Par r\u00e9currence<\/a>, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"k\".<\/p>\n

On gagne un peu de temps en incluant les deux \u00e9quivalences dans la m\u00eame hypoth\u00e8se de r\u00e9currence.<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai<\/p>\n

Si \"n\in\mathbb{N}\", on note
\n\"\qquad \quad \mathcal{P}(n)\" : \"2\, u_{n} = \times 5 ^{n + 2 } +3\"<\/p>\n

\"\ast\" Initialisation.<\/em>
\n\"2\, u_0 = 28 = 25 + 3 = 5^2 + 3\" donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9.\u00a0 <\/em><\/p>\n

On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour un entier \"n\" donn\u00e9.<\/p>\n

\"2\, u_{n + 1} = 10\, u_n - 12 = 5\, (2\, u_n) - 12\"<\/p>\n

\"2\, u_{n + 1} = 5 \times 5 ^{n + 2 } + 15 - 12\"<\/p>\n

\"2\, u_{n + 1} = 5 ^{n + 3 } + 3\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1)\".<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion.\u00a0 <\/em><\/p>\n

Par r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier \"n\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les nombres parfaits en Terminale<\/h2>\n

\"\sigma(2020) = 2264\"<\/p>\n

def SommeDiviseurs(n):
\n\"\qquad \vert\" S = 1
\n\"\qquad \vert\" for k in range(2 , n):
\n\"\qquad \qquad \vert\" if n % k \"== 0\":
\n\"\qquad \qquad \qquad \vert\" S = S + k
\n\"\qquad \vert\" return(S)<\/p>\n

SommeDiviseurs(2020)
\n\"\boxed{2\,264}\".<\/p>\n

Correction de l’exercice pour coder et d\u00e9coder un message<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" On suppose que \"y \equiv 5\, x + 4\;\; [27]\" alors \"11\, y\equiv 55\, x + 44\;\; [27]\"<\/p>\n

et \"11\, y + 17 \equiv 55 \, x + 71\;\; [27]\"<\/p>\n

or \"71 = 3 \times 27\", donc \"51 \equiv 0 \;\;[27]\"<\/p>\n

et \"55 = 2 \times 27 + 1\", donc \"55\equiv 1 \;\; [27]\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"x \equiv 11 \, y + 17 \;\; [27]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"y\" (resp \"y'\") est le num\u00e9ro du code de la lettre num\u00e9ro \"x\" (resp. \"x'\"), alors \"y = y'\" avec \"y \equiv 5\, x + 4\;\; [27]\" et \"y' \equiv 5\, x' + 4\;\; [27]\"<\/p>\n

donc \"x \equiv 11 \, y + 17 \;\; [27]\"<\/p>\n

\"\qquad\" et \"x' \equiv 11 \, y' + 17 \;\; [27]\"<\/p>\n

donc \"x \equiv x' \;\; [27]\" et comme \"0 \leqslant x, \,x' \leqslant 26\", alors \"x = x'\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0\u00a0<\/strong><\/p>\n

def CodeLettre (L) :
\n\"\qquad \vert\" x = numero(L)
\n\"\qquad \vert\" y = (5*x + 4) % 27
\n\"\qquad \vert\" return (alphabet[y] )<\/p>\n

On pourrait bien s\u00fbr \u00e9crire seulement
\ndef CodeLettre (L) :
\n\"\qquad \vert\" y = (5* numero(L) + 4) % 27
\n\"\qquad \vert\" return ( alphabet[y])<\/p>\n

CodeLettre(‘S’)
\nr\u00e9ponse ‘N’<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

def DecodeLettre(L):
\n\"\qquad \vert\" y = numero (L)
\n\"\qquad \vert\" x = (11*y + 10) % 27
\n\"\qquad \vert\" return (alphabet[x])<\/p>\n

On pourrait se limiter<\/a> aussi \u00e0
\ndef DecodeLettre(L):
\n\"\qquad \vert\" x = (11* numero(L) + 10) % 27
\n\"\qquad \vert\" return (alphabet[x])<\/p>\n

DecodeLettre(\u00ab\u00a0T\u00a0\u00bb)
\nr\u00e9ponse ‘D’.<\/p>\n

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