{"id":83375,"date":"2020-12-17T11:17:59","date_gmt":"2020-12-17T10:17:59","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=83375"},"modified":"2022-07-21T14:22:05","modified_gmt":"2022-07-21T13:22:05","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-loi-binomiale-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-loi-binomiale-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices sur la loi binomiale en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices sur la loi binomiale en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Exercice du Baccalaur\u00e9at Liban 2003 sur la Loi Binomiale<\/h2>\n

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit \"n\" un entier naturel sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2.
\nOn r\u00e9p\u00e8te \"n\" fois l’\u00e9preuve qui consiste \u00e0 tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la m\u00eame probabilit\u00e9 d’\u00eatre tir\u00e9es et que les tirages sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

On note \"p_n\,\" la probabilit\u00e9 de tirer exactement une boule blanche lors des \"n -1\" premiers tirages et une boule blanche lors du \"n\"-i\u00e8me tirage.<\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Calculer les probabilit\u00e9s<\/a> \"p_2\, , p_3 \,\"
\n(valeurs sous forme de fraction s\u00e9par\u00e9es par un point virgule).<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

On consid\u00e8re les \u00e9v\u00e8nements suivants<\/p>\n

\"B_n\" : \u00ab\u00a0On tire une boule blanche lors du \"n\"-i\u00e8me tirage\u00a0\u00bb,
\n\"U_n\" : \u00ab\u00a0On tire une boule blanche et une seule lors des \"n -1\" premiers tirages \u00a0\u00bb
\n
\na.\u00a0<\/b>Calculer la probabilit\u00e9 de l’\u00e9v\u00e8ne- ment \"B_n\,\".<\/p>\n

b. <\/b>Exprimer la probabilit\u00e9 de l’\u00e9v\u00e8ne- ment \"U_n\" en fonction de \"n\".<\/p>\n

c)\u00a0\u00a0<\/b>Pour \"n \geqslant 2\", \"p_n = \dfrac {n - 1} 4 \times \dfrac {2 ^{n}} {3 ^n}\"<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

On pose : \"S_n = p_2 +p_3 + \, \cdots \, +p_n\,\".
\na.\u00a0<\/b>D\u00e9montrer par r\u00e9currence<\/a> que pour tout entier naturel \"n\" sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2, on a : \"S_n = 1 - \left ( \dfrac n 2 + 1 \right ) \times \dfrac {2 ^{n}} {3 ^n}\"<\/p>\n

b.\u00a0<\/b>D\u00e9terminer la limite<\/a> de la suite \"(S_n)_n\,\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice du baccalaur\u00e9at 2000 sur la Loi Binomiale<\/strong><\/h2>\n

Les r\u00e9sultats seront donn\u00e9s \u00e0 \"10^{-4}\" pr\u00e8s.
\nUne entreprise confie \u00e0 une soci\u00e9t\u00e9 de sondage par t\u00e9l\u00e9phone une enqu\u00eate sur la qualit\u00e9 de ses produits. Chaque enqu\u00eateur a une liste de personnes \u00e0 contacter.<\/p>\n

Lors du premier appel t\u00e9l\u00e9phonique, la probabilit\u00e9 pour que le correspondant soit absent est \"0,4\".<\/p>\n

Si le correspondant est pr\u00e9sent, la probabilit\u00e9 pour qu’il accepte de r\u00e9pondre au questionnaire est \"0,2\".<\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

On note :
\n\"\ast\" \"A_1\" l’\u00e9v\u00e8nement \u00ab\u00a0la personne est absente lors du premier appel\u00a0\u00bb ;<\/p>\n

\"\ast\" \"R_1\" l’\u00e9v\u00e8nement \u00ab\u00a0la personne accepte de r\u00e9pondre au questionnaire lors du premier appel \u00ab\u00a0.<\/p>\n

Quelle est la probabilit\u00e9 de \"R_1\" ?<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui t\u00e9l\u00e9phone une seconde fois, \u00e0 une heure diff\u00e9rente, et, alors, la probabilit\u00e9 pour qu’elle soit absente est \"0,3\". Et, sachant qu’elle est pr\u00e9sente lors du second appel, la probabilit\u00e9 pour qu’elle accepte de r\u00e9pondre au questionnaire est encore \"0,2\".<\/p>\n

Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.<\/p>\n

On note :
\n\"A_2\" l’\u00e9v\u00e8nement \u00ab\u00a0la personne est absente lors du second appel\u00a0\u00bb ;
\n\"R_2\" l’\u00e9v\u00e8nement \u00ab\u00a0la personne accepte de r\u00e9pondre au questionnaire lors du second appel \u00a0\u00bb ;<\/p>\n

\"R\" l’\u00e9v\u00e8nement \u00a0\u00bb la personne accepte de r\u00e9pondre au questionnaire \u00ab\u00a0.<\/p>\n

Calculer la probabilit\u00e9 de \"R\".<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

Sachant qu’une personne a accept\u00e9 de r\u00e9pondre au questionnaire, quelle est la probabilit\u00e9 pour que la r\u00e9ponse ait eu lieu lors du premier appel ?<\/p>\n

Question 4<\/b><\/p>\n

On suppose que les sondages aupr\u00e8s des personnes d’une m\u00eame liste sont ind\u00e9pendants. Un enqu\u00eateur a une liste de 20 personnes \u00e0 contacter.<\/p>\n

Quelle est la probabilit\u00e9 pour qu’au plus 4 des \"20\" personnes de la liste acceptent de r\u00e9pondre au questionnaire ? (valeur \u00e0 \"10 ^{-4}\" pr\u00e8s)<\/p>\n

Exercice sur la loi binomiale : contr\u00f4le de production<\/h2>\n

Une entreprise fabrique chaque jour \"10\, 000\" composants \u00e9lectroniques. Chaque composant pr\u00e9sente un d\u00e9faut avec la probabilit\u00e9 \"0,002\".<\/p>\n

Si le composant est rep\u00e9r\u00e9 comme \u00e9tant d\u00e9fectueux, il est d\u00e9truit par l’entreprise\u00a0et chaque composant d\u00e9truit fait perdre \"1\" \u20ac \u00e0 l’entreprise.<\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

Les composants sont contr\u00f4l\u00e9s un \u00e0 un et chaque contr\u00f4le co\u00fbte \"0,1\" \u20ac.<\/p>\n

Quel est le co\u00fbt moyen journalier pour l’entreprise (contr\u00f4les et destruction des composants d\u00e9fectueux) ?<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

Les composants sont regroup\u00e9s par lots de \"10\" et on effectue un unique contr\u00f4le automatique de chaque lot, qui co\u00fbte lui aussi \"0,1\" euro.<\/p>\n

\u00c0 l’issue de ce contr\u00f4le, le lot est accept\u00e9 si tous les composants sont sains et globalement d\u00e9truit si l’un au moins des 10 composants pr\u00e9sente un d\u00e9faut.<\/p>\n

Quel est le co\u00fbt moyen journalier pour l’entreprise de ce nouveau dispositif (contr\u00f4les et destruction des compo- sants d\u00e9fectueux) ?<\/p>\n

Correction de l’exercice baccalaur\u00e9at Liban sur la loi Binomiale<\/h2>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

\"p_2= \mathbb{P}(B_1\cap B_2) =\dfrac {2}{6} \times \dfrac 2 6 = \dfrac 1 {9}\".<\/p>\n

\"p_3 = \mathbb{P}(B_1\cap N_2 \cap B_3 )\" \"\qquad \qquad \qquad + \, \mathbb{P}(N_1\cap B_2 \cap B_3 )\"<\/p>\n

\"p_3 = 2 \times \dfrac 1 3 \times \dfrac 2 3\times \dfrac 2 3 = \dfrac {4} {27}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n
\na. <\/b>\"\mathbb{P}(B_n) = \dfrac 2 6 = \dfrac 1 3\".\u00a0
\n<\/b><\/p>\n

b. <\/b>\"U_n = (X_{n - 1} = 1)\" o\u00f9 \"X_{n - 1}\" est la variable al\u00e9atoire<\/a> \u00e9gale au nombre de boules blanches obtenues pendant les \"n - 1\" premiers tirages.<\/p>\n

\"X_{n - 1}\" suit une loi binomiale de param\u00e8- tres \"n - 1\" et \"\dfrac 1 3\" donc<\/p>\n

\"\mathbb{P}(U_n) = \mathbb{P}(X_{n - 1} = 1)\" \"\mathbb{P}(U_n) = \displaystyle \binom {n - 1}\times 1 \dfrac 1 3 \times \left ( \dfrac 2 3 \right ) ^{n - 2}\"
\n\"\mathbb{P}(U_n) = \dfrac {(n - 1) \, 2 ^{n - 2} } {3 ^{n - 1} }\;\;\".<\/p>\n

c. <\/b>\"p_n = \mathbb{P}(U_n \cap B_n ) = \mathbb{P}(U_n) \, \mathbb{P}(U_n \, \mid \, B_n)\"<\/p>\n

\"p_n = \dfrac {(n - 1) \, 2 ^{n - 2} } {3 ^{n - 1} }\times \dfrac 1 3 = \dfrac {(n - 1) \, 2 ^{n - 2} } {3 ^{n} }\"<\/p>\n

On peut donc \u00e9crire : \"p_n = \dfrac {n - 1} 4 \times \dfrac {2 ^{n}} {3 ^n}\"<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

a. <\/b>On note si \"n \in \mathbb{N}\" et \"n \geqslant 2\",<\/p>\n

\"\quad \mathcal{P}(n) :\" \"S_n = 1 - \left ( \dfrac n 2 + 1 \right ) \times \dfrac {2 ^{n}} {3 ^n}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Initialisation<\/u>.<\/p>\n

Si \"n = 2\", \"S_2 = p _ 2 = \dfrac 1 9\"
\net \"1 - \left ( \dfrac n 2 + 1 \right ) \times \dfrac {2 ^{n}} {3 ^n} = 1 - (1 + 1) \times \dfrac {2 ^2} {3 ^2}\" \"\;\; = 1 - \dfrac 8 9 = \dfrac 1 9 = p_2 = S_2\"<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(2)\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0H\u00e9r\u00e9dit\u00e9\u00a0 <\/u><\/p>\n

On suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

\"S_{n + 1} = S_n + p_{n + 1}\"<\/p>\n

\"= 1 - \left ( \dfrac n 2 + 1 \right ) \times \dfrac {2 ^{n}} {3 ^n} + \dfrac {n} 4 \times \dfrac {2 ^{n+1 }} {3 ^{n + 1}}\"<\/p>\n

\"= 1 - \left ( \dfrac n 2 \times\dfrac 3 2 + 1 \times \dfrac 3 2 - \dfrac {n } 4 \right ) \dfrac {2 ^{n+1 }} {3 ^{n + 1} }\"<\/p>\n

\"S_{n + 1} = 1 - \left ( \dfrac n 2 + \dfrac {3} 2 \right ) \dfrac {2 ^{n+1}} {3 ^[n + 1}}\"<\/p>\n

\"S_{n + 1} = 1 - \left ( \dfrac {n + 1} 2 + 1 \right ) \dfrac {2 ^{n+1}} {3 ^{n + 1}}\"<\/p>\n

On a donc prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Conclusion<\/u>\u00a0\u00a0: la propri\u00e9t\u00e9 est vraie au rang \"n + 1\".<\/p>\n

b. <\/b>\"\bullet\" On d\u00e9termine la limite de la suite<\/a> \"(n \, x ^n)_n\" lorsque \"0 < x < 1\".<\/p>\n

On note \"v_n = \ln(n \, x ^n) = \ln(n) + n \ln(x)\"<\/p>\n

\"v_n = n \left ( \ln(x) + \dfrac {\ln(n)} n \right )\"<\/p>\n

avec \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac {\ln(n)} n = 0\" donc<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left ( \ln(x) + \dfrac {\ln(n)} n \right ) = \ln(x) < 0\"<\/p>\n

puis \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = - \infty\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \textrm{e} ^{v_n} = 0\"<\/p>\n

soit \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0\".<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_n = 1\".<\/p>\n

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Correction exercice baccalaur\u00e9at 2000 sur la Loi Binomiale<\/h2>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

\"\mathbb{P}(R_1) = \mathbb{P} \left (R_1 \cap \overline{A_1} \right )\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(R_1) =\mathbb{P} \left ( \overline{A_1} \right ) \times \mathbb{P} \left (R_1 \,\mid \, \overline{A_1} \right )\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(R_1) = 0,6 \times 0,2 = 0,12\".<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

On utilise \"\mathbb{P}(R_2) = \mathbb{P}(R_2 \cap \overline{A_2} \cap A_1)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}(R_2) =\" \"\;\ \mathbb{P}(A_1) \, \mathbb{P}(\overline{A_2}\,\mid A_1 )\, \mathbb{P}(R_2 \,\mid \, A_1 \cap \overline{A_2})\"
\n\"\mathbb{P}(R_2) = 0,4 \times 0,7 \times 0,2 = 0,056\".<\/p>\n

Puis comme \"R = R_1 \cup R_2\,\", les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant incompatibles,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(R) = \mathbb{P}(R_1) + \mathbb{P}( R_2) = 0,12+ 0,056\"
\n\"\boxed{\mathbb{P}(R) = 0,176}\".<\/p>\n

Question 3<\/b><\/p>\n

On demande maintenant \"\mathbb{P}_R(R_1) = \dfrac {\mathbb{P}(R _ 1 \cap R)} {\mathbb{P}(R)} = \dfrac {\mathbb{P}(R _ 1)} {\mathbb{P}(R)} = \dfrac {0, 12} {0,176}\"
\n\"\mathbb{P}_R(R_1) = \dfrac {12} {176} = \boxed{\dfrac 3 {4 4}}\".<\/p>\n

Question 4<\/b><\/p>\n

On r\u00e9p\u00e8te 20 \u00e9preuves de Bernoulli ind\u00e9pendantes et identiques de probabilit\u00e9 de succ\u00e8s \u00e9gale \u00e0 \"p = \mathbb{P}(R)\"<\/p>\n

On demande \"\mathbb{P}(Y \leqslant 4) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^4 \mathbb{P}(Y = k)\" \"\displaystyle \mathbb{P}(Y \leqslant 4) = \sum _ {k = 0} ^4\binom {20} 4 \, p ^k \, (1 - p) ^{20-k}\"
\n\"\boxed{\mathbb{P}(Y \leqslant 4) \approx 0,7316}\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur le contr\u00f4le de production<\/p>\n

Question 1<\/b><\/p>\n

\"X\" est le nombre de composants d\u00e9fectueux, \"X\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n = 10\, 000\" et \"p = 0.002\".
\nLe co\u00fbt des contr\u00f4les est \"0 ,1 \times n\", le co\u00fbt des destructions est \"X\".
\nLe co\u00fbt est \"Y = 0,1 \times n + X\" .
\nLe co\u00fbt moyen est \u00e9gal \u00e0<\/p>\n

\"\textrm{E}(Y) = 0,1 \times n + \textrm{E}(X)\"<\/p>\n

\"\textrm{E}(Y) = 0,1 \times n + n\times p = n \, (0.1+ 0.002)\"<\/p>\n

\"\textrm{E}(Y) = 10\, 000 \times 0.1002 = \boxed{1\,002 }\" \u20ac.<\/p>\n

Question 2<\/b><\/p>\n

Soit un lot de 10 donn\u00e9.<\/p>\n

La probabilit\u00e9 \"q\" pour qu’il ne soit pas d\u00e9truit est \u00e9gale \u00e0 \"q = 0.998 ^{10}\".
\nLa probabilit\u00e9 qu’il soit d\u00e9truit est \u00e9gale \u00e0 \"1 - q \approx 0.019821\".<\/p>\n

Le nombre \"Y\" de lots d\u00e9truits suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"1000\" et \"1 - q\"
\net le co\u00fbt est \u00e9gal \u00e0 \"\qquad \qquad Z = 1\,000 \times 0.1 + 10 \, Y\".<\/p>\n

Le co\u00fbt moyen est
\n\"\textrm{E}(Z) = 100+ \textrm{E}(10 \, Y) = 100+ 10\, \textrm{E}(Y)\"
\n\"\textrm{E}(Z) = 100 +10\, 000 \,(1 - q)\"
\nsoit \"298,21\" \u20ac.<\/p>\n

On a donc diminu\u00e9 sensiblement le co\u00fbt de la v\u00e9rification\/destruction.<\/p>\n

R\u00e9visez aussi les autres chapitres au programme de terminale en Maths pour r\u00e9ussir brillamment au bac :<\/p>\n