{"id":85175,"date":"2020-12-23T19:45:18","date_gmt":"2020-12-23T18:45:18","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=85175"},"modified":"2026-10-22T12:17:51","modified_gmt":"2026-10-22T11:17:51","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-suites-arithmetiques-geometriques-premiere","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-suites-arithmetiques-geometriques-premiere\/","title":{"rendered":"Exercices sur les suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques en premi\u00e8re"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Premi\u00e8re<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en 1\u00e8re<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes du second degr\u00e8s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariations et courbes repr\u00e9sentatives de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul vectoriel et produit scalaire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tApplication du produit scalaire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s conditionnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie rep\u00e9r\u00e9e<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques : exercices corrig\u00e9s en 1\u00e8re<\/h1>\n

Par Seda Biber, le 22\/10\/2026<\/em><\/p>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Premi\u00e8re<\/a><\/p>\n

Pour montrer qu’une suite est arithm\u00e9tique<\/strong>, on calcule \"u_{n+1}-u_n\" : si le r\u00e9sultat est un nombre \"r\" qui ne d\u00e9pend pas de \"n\", la suite est arithm\u00e9tique de raison \"r\". Pour montrer qu’une suite est g\u00e9om\u00e9trique<\/strong>, on cherche \u00e0 \u00e9crire \"u_{n+1}=q\times u_n\" avec \"q\" ind\u00e9pendant de \"n\". Les 8 exercices corrig\u00e9s ci-dessous suivent l’ordre des capacit\u00e9s attendues du programme de sp\u00e9cialit\u00e9 maths de premi\u00e8re : reconna\u00eetre une suite, trouver sa raison et son terme g\u00e9n\u00e9ral, \u00e9tudier son sens de variation, calculer une somme de termes et mod\u00e9liser une situation. Avant de commencer, relisez au besoin le r\u00e9sum\u00e9 de cours sur les suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques<\/a>.<\/p>\n

Les formules \u00e0 conna\u00eetre avant de faire les exercices<\/h2>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Notion<\/strong><\/td>\nSuite arithm\u00e9tique de raison \"r\"<\/strong><\/td>\nSuite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q\"<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
Relation de r\u00e9currence<\/strong><\/td>\n\"u_{n+1}=u_n+r\"<\/td>\n\"u_{n+1}=q\times u_n\"<\/td>\n<\/tr>\n
Terme g\u00e9n\u00e9ral<\/strong><\/td>\n\"u_n=u_0+nr\" et \"u_n=u_p+(n-p)r\"<\/td>\n\"u_n=u_0\times q^n\" et \"u_n=u_p\times q^{n-p}\"<\/td>\n<\/tr>\n
Somme de r\u00e9f\u00e9rence<\/strong><\/td>\n\"1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\"<\/td>\n\"1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\" si \"q\neq 1\"<\/td>\n<\/tr>\n
Somme de termes cons\u00e9cutifs<\/strong><\/td>\nnombre de termes \"\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\"<\/td>\npremier terme \"\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\"<\/td>\n<\/tr>\n
Sens de variation<\/strong><\/td>\ncroissante si \"r>0\", d\u00e9croissante si \"r<0\", constante si \"r=0\"<\/td>\nsi \"u_0>0\" : croissante pour \"q>1\", d\u00e9croissante pour \"0< q<1\" ; si \"u_0<0\", c’est l’inverse ; non monotone si \"q<0\"<\/td>\n<\/tr>\n
Situation mod\u00e9lis\u00e9e<\/strong><\/td>\naccroissement constant (croissance lin\u00e9aire)<\/td>\ntaux d’\u00e9volution constant (croissance exponentielle)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Comment montrer qu’une suite est arithm\u00e9tique ? (exercice 1)<\/h2>\n

La m\u00e9thode tient en une ligne : on calcule \"u_{n+1}-u_n\" pour un entier \"n\" quelconque. Si la diff\u00e9rence est constante, la suite est arithm\u00e9tique. Pour montrer qu’une suite ne l’est pas, un contre-exemple suffit : deux \u00e9carts successifs diff\u00e9rents.<\/p>\n

\u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 1<\/h3>\n

Pour chaque suite, dites si elle est arithm\u00e9tique. Si oui, donnez sa raison et son premier terme \"u_0\".<\/p>\n

    \n
  1. Pour tout entier naturel \"n\", \"u_n=4n-3\".<\/li>\n
  2. \"u_0=10\", \"u_3=4\" et, pour tout \"n\geq 1\", \"2u_n=u_{n+1}+u_{n-1}\".<\/li>\n
  3. Pour tout entier naturel \"n\", \"w_n=n^2+1\".<\/li>\n<\/ol>\n

    Corrig\u00e9 de l’exercice 1<\/h3>\n

    1.<\/strong> Pour tout entier naturel \"n\" :<\/p>\n

    \"u_{n+1}-u_n=4(n+1)-3-(4n-3)=4n+4-3-4n+3=4\"<\/p>\n

    La diff\u00e9rence vaut toujours 4. La suite \"(u_n)\" est arithm\u00e9tique de raison \"r=4\" et de premier terme \"u_0=4\times 0-3=-3\".<\/p>\n

    2.<\/strong> Pour tout \"n\geq 1\", on \u00e9crit \"2u_n=u_n+u_n\", donc la relation devient \"u_n-u_{n-1}=u_{n+1}-u_n\". L’\u00e9cart entre deux termes cons\u00e9cutifs ne change jamais : il est \u00e9gal au premier \u00e9cart \"u_1-u_0\". La suite est donc arithm\u00e9tique. Pour trouver sa raison \"r\", on utilise les deux termes connus :<\/p>\n

    \"u_3=u_0+3r\", soit \"4=10+3r\", donc \"r=-2\"<\/p>\n

    La suite est arithm\u00e9tique de raison \"-2\" et de premier terme \"u_0=10\", et pour tout \"n\", \"u_n=10-2n\".<\/p>\n

    3.<\/strong> On calcule les premiers termes : \"w_0=1\", \"w_1=2\", \"w_2=5\". On a \"w_1-w_0=1\" et \"w_2-w_1=3\". Les deux \u00e9carts sont diff\u00e9rents, donc \"(w_n)\" n’est pas arithm\u00e9tique.<\/p>\n

    Comment d\u00e9montrer qu’une suite est g\u00e9om\u00e9trique ? (exercice 2)<\/h2>\n

    On cherche \u00e0 exprimer \"u_{n+1}\" sous la forme \"q\times u_n\", avec \"q\" un r\u00e9el qui ne d\u00e9pend pas de \"n\". Quand tous les termes sont non nuls, on peut aussi calculer le quotient \"\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\" et v\u00e9rifier qu’il est constant.<\/p>\n

    \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 2<\/h3>\n
      \n
    1. Pour tout entier naturel \"n\", \"v_n=3\times 2^{n+1}\". Montrez que \"(v_n)\" est g\u00e9om\u00e9trique.<\/li>\n
    2. On d\u00e9finit \"u_0=2\" et, pour tout \"n\", \"u_{n+1}=3u_n-8\". On pose \"t_n=u_n-4\". Montrez que \"(t_n)\" est g\u00e9om\u00e9trique, puis exprimez \"u_n\" en fonction de \"n\".<\/li>\n
    3. Pour tout entier naturel \"n\", \"w_n=n\times 2^n\". La suite \"(w_n)\" est-elle g\u00e9om\u00e9trique ?<\/li>\n<\/ol>\n

      Corrig\u00e9 de l’exercice 2<\/h3>\n

      1.<\/strong> Pour tout \"n\" :<\/p>\n

      \"v_{n+1}=3\times 2^{n+2}=3\times 2^{n+1}\times 2=2v_n\"<\/p>\n

      La suite \"(v_n)\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q=2\" et de premier terme \"v_0=3\times 2^1=6\".<\/p>\n

      2.<\/strong> Pour tout \"n\" :<\/p>\n

      \"t_{n+1}=u_{n+1}-4=3u_n-8-4=3u_n-12=3(u_n-4)=3t_n\"<\/p>\n

      La suite \"(t_n)\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison 3 et de premier terme \"t_0=u_0-4=-2\". Donc \"t_n=-2\times 3^n\", puis \"u_n=t_n+4=4-2\times 3^n\". V\u00e9rification : \"u_1=3\times 2-8=-2\" et la formule donne \"4-2\times 3=-2\".<\/p>\n

      3.<\/strong> On a \"w_1=2\", \"w_2=8\" et \"w_3=24\". Or \"\dfrac{w_2}{w_1}=4\" et \"\dfrac{w_3}{w_2}=3\". Les quotients ne sont pas \u00e9gaux, donc \"(w_n)\" n’est pas g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

      💡 Astuce :<\/strong> la question 2 est un grand classique. La suite \"(u_n)\" n’est ni arithm\u00e9tique ni g\u00e9om\u00e9trique, mais une suite auxiliaire, ici \"t_n=u_n-4\", l’est. L’\u00e9nonc\u00e9 vous donne toujours cette suite auxiliaire en premi\u00e8re. Les suites de la forme \"u_{n+1}=au_n+b\", dites arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9triques, sont \u00e9tudi\u00e9es de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale en terminale.<\/div>\n

      Comment trouver la raison et le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une suite ? (exercices 3 et 4)<\/h2>\n

      Avec deux termes connus, on utilise \"u_n=u_p+(n-p)r\" pour une suite arithm\u00e9tique et \"u_n=u_p\times q^{n-p}\" pour une suite g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

      \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 3<\/h3>\n
        \n
      1. \"(u_n)\" est une suite arithm\u00e9tique telle que \"u_4=11\" et \"u_9=26\". Calculez sa raison, \"u_0\", \"u_n\" en fonction de \"n\", puis \"u_{20}\".<\/li>\n
      2. \"(v_n)\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique \u00e0 termes positifs telle que \"v_2=12\" et \"v_5=96\". Calculez sa raison, \"v_0\", puis \"v_n\" en fonction de \"n\".<\/li>\n<\/ol>\n

        Corrig\u00e9 de l’exercice 3<\/h3>\n

        1.<\/strong> \"u_9=u_4+5r\", donc \"26=11+5r\" et \"r=3\". Ensuite \"u_0=u_4-4r=11-12=-1\". Pour tout \"n\", \"u_n=-1+3n\", et \"u_{20}=-1+60=59\".<\/p>\n

        2.<\/strong> \"v_5=v_2\times q^3\", donc \"q^3=\dfrac{96}{12}=8\". Les termes sont positifs, et le seul r\u00e9el dont le cube vaut 8 est \"q=2\". Ensuite \"v_0=\dfrac{v_2}{q^2}=\dfrac{12}{4}=3\", donc pour tout \"n\", \"v_n=3\times 2^n\".<\/p>\n

        \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 4<\/h3>\n

        \"(u_n)\" est une suite arithm\u00e9tique de premier terme \"u_1=1\" telle que \"u_5=2u_{10}\".<\/p>\n

          \n
        1. Calculez sa raison \"r\" et exprimez \"u_n\" en fonction de \"n\".<\/li>\n
        2. Donnez le sens de variation de \"(u_n)\".<\/li>\n<\/ol>\n

          Corrig\u00e9 de l’exercice 4<\/h3>\n

          1.<\/strong> On exprime les deux termes \u00e0 partir de \"u_1\" : \"u_5=1+4r\" et \"u_{10}=1+9r\". L’\u00e9galit\u00e9 \"u_5=2u_{10}\" donne :<\/p>\n

          \"1+4r=2(1+9r)\", soit \"1+4r=2+18r\", donc \"-14r=1\" et \"r=-\dfrac{1}{14}\"<\/p>\n

          Pour tout \"n\geq 1\" :<\/p>\n

          \"u_n=u_1+(n-1)r=1-\dfrac{n-1}{14}=\dfrac{15-n}{14}\"<\/p>\n

          V\u00e9rification : \"u_5=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}\" et \"u_{10}=\dfrac{5}{14}\", on a bien \"u_5=2u_{10}\".<\/p>\n

          2.<\/strong> La raison \"r=-\dfrac{1}{14}\" est n\u00e9gative, donc \"(u_n)\" est strictement d\u00e9croissante.<\/p>\n

          Comment \u00e9tudier le sens de variation d’une suite arithm\u00e9tique ou g\u00e9om\u00e9trique ? (exercice 5)<\/h2>\n

          Pour une suite arithm\u00e9tique, le signe de \"r\" suffit. Pour une suite g\u00e9om\u00e9trique, on \u00e9tudie le signe de \"u_{n+1}-u_n=u_0\,q^n(q-1)\" : il d\u00e9pend \u00e0 la fois du signe de \"u_0\" et de la position de \"q\" par rapport \u00e0 1.<\/p>\n

          \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 5<\/h3>\n

          Donnez le sens de variation de chaque suite.<\/p>\n

            \n
          1. Pour tout \"n\", \"a_n=7-0{,}5n\".<\/li>\n
          2. \"(v_n)\" est la suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"q=-\dfrac{1}{2}\" et de premier terme \"v_1=-1\". Exprimez aussi \"v_n\" en fonction de \"n\".<\/li>\n
          3. Pour tout \"n\", \"w_n=-3\times 1{,}2^n\".<\/li>\n<\/ol>\n

            Corrig\u00e9 de l’exercice 5<\/h3>\n

            1.<\/strong> \"(a_n)\" est arithm\u00e9tique de raison \"-0{,}5<0\" : elle est strictement d\u00e9croissante.<\/p>\n

            2.<\/strong> La raison est n\u00e9gative, donc les termes changent de signe \u00e0 chaque rang : \"v_1=-1\", \"v_2=\dfrac{1}{2}\", \"v_3=-\dfrac{1}{4}\", \"v_4=\dfrac{1}{8}\". La suite n’est ni croissante ni d\u00e9croissante. Pour tout \"n\geq 1\" :<\/p>\n

            \"v_n=v_1\times q^{n-1}=-1\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-1\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}=2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\"<\/p>\n

            3.<\/strong> \"(w_n)\" est g\u00e9om\u00e9trique de premier terme \"w_0=-3<0\" et de raison \"1{,}2>1\". Pour tout \"n\", \"w_{n+1}-w_n=-3\times 1{,}2^n\times 0{,}2<0\". La suite est strictement d\u00e9croissante, m\u00eame si la raison est sup\u00e9rieure \u00e0 1 : c’est le signe n\u00e9gatif de \"w_0\" qui inverse le sens.<\/p>\n

            Le lien entre les suites g\u00e9om\u00e9triques et la croissance exponentielle est d\u00e9taill\u00e9 dans le cours sur la fonction exponentielle en premi\u00e8re<\/a>.<\/p>\n

            Comment calculer la somme des termes d’une suite ? (exercices 6 et 7)<\/h2>\n

            La premi\u00e8re \u00e9tape, souvent oubli\u00e9e, consiste \u00e0 compter les termes : de \"u_0\" \u00e0 \"u_n\", il y en a \"n+1\", et de \"u_1\" \u00e0 \"u_n\", il y en a \"n\".<\/p>\n

            \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 6 (suites arithm\u00e9tiques)<\/h3>\n
              \n
            1. Calculez \"S_1=1+2+3+\dots+100\".<\/li>\n
            2. Calculez la somme des nombres impairs de 1 \u00e0 99.<\/li>\n
            3. Avec \"u_n=3n-1\", calculez \"S_3=u_0+u_1+\dots+u_{20}\".<\/li>\n
            4. Dans une salle de spectacle, la premi\u00e8re rang\u00e9e compte 20 places et chaque rang\u00e9e compte 2 places de plus que la pr\u00e9c\u00e9dente. La salle a 25 rang\u00e9es. Combien de places compte-t-elle ?<\/li>\n<\/ol>\n

              Corrig\u00e9 de l’exercice 6<\/h3>\n

              1.<\/strong> \"S_1=\dfrac{100\times 101}{2}=5\,050\".<\/p>\n

              2.<\/strong> Les nombres impairs forment une suite arithm\u00e9tique de raison 2. De 1 \u00e0 99, il y a 50 termes. La somme vaut \"50\times\dfrac{1+99}{2}=2\,500\".<\/p>\n

              3.<\/strong> De \"u_0\" \u00e0 \"u_{20}\", il y a 21 termes, avec \"u_0=-1\" et \"u_{20}=59\". Donc \"S_3=21\times\dfrac{-1+59}{2}=21\times 29=609\".<\/p>\n

              4.<\/strong> Le nombre de places de la rang\u00e9e \"n\" est \"p_n=20+2(n-1)\", donc la 25e rang\u00e9e a \"p_{25}=68\" places. Le total vaut \"25\times\dfrac{20+68}{2}=1\,100\" places.<\/p>\n

              \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 7 (suites g\u00e9om\u00e9triques)<\/h3>\n
                \n
              1. Calculez \"T_1=1+2+2^2+\dots+2^{10}\".<\/li>\n
              2. Avec \"v_n=3\times 2^n\", calculez \"T_2=v_0+v_1+\dots+v_9\".<\/li>\n
              3. Calculez \"T_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^9\".<\/li>\n<\/ol>\n

                Corrig\u00e9 de l’exercice 7<\/h3>\n

                1.<\/strong> On applique la formule avec \"q=2\" et \"n=10\" :<\/p>\n

                \"T_1=\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=2\,047\"<\/p>\n

                2.<\/strong> On factorise par 3 : \"T_2=3\times(1+2+\dots+2^9)=3\times(2^{10}-1)=3\times 1\,023=3\,069\".<\/p>\n

                3.<\/strong> Avec \"q=\dfrac{1}{2}\" et 10 termes :<\/p>\n

                \"T_3=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\dfrac{1}{1\,024}\right)=\dfrac{1\,023}{512}\"<\/p>\n

                La somme vaut environ 1,998 : elle s’approche de 2 sans l’atteindre. C’est une premi\u00e8re approche intuitive de la notion de limite, pr\u00e9vue au programme de premi\u00e8re.<\/p>\n

                💡 Astuce :<\/strong> pour une somme g\u00e9om\u00e9trique, retenez la formule \u00ab premier terme \"\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\" \u00bb. Elle vous \u00e9vite de vous tromper d’exposant entre \"q^n\" et \"q^{n+1}\".<\/div>\n

                Exercice type bac : comparer une \u00e9volution lin\u00e9aire et une \u00e9volution exponentielle (exercice 8)<\/h2>\n

                Ce type de probl\u00e8me m\u00eale suites et pourcentages d’\u00e9volution<\/a>. Le programme demande de mod\u00e9liser une croissance lin\u00e9aire par une suite arithm\u00e9tique et une croissance exponentielle par une suite g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

                \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 8<\/h3>\n

                Un salari\u00e9 h\u00e9site entre deux contrats qui d\u00e9marrent tous les deux \u00e0 1 800 \u20ac par mois. Avec le contrat A, son salaire augmente de 40 \u20ac chaque ann\u00e9e. Avec le contrat B, il augmente de 2 % chaque ann\u00e9e. On note \"a_n\" et \"b_n\" le salaire mensuel au bout de \"n\" ann\u00e9es.<\/p>\n

                  \n
                1. Exprimez \"a_n\" et \"b_n\" en fonction de \"n\".<\/li>\n
                2. Calculez \"a_{10}\" et \"b_{10}\" (arrondi au centime). Quel contrat est le plus avantageux au bout de 10 ans ?<\/li>\n
                3. \u00c9crivez une fonction Python qui renvoie la premi\u00e8re ann\u00e9e o\u00f9 le contrat B d\u00e9passe le contrat A, puis donnez cette ann\u00e9e.<\/li>\n<\/ol>\n

                  Corrig\u00e9 de l’exercice 8<\/h3>\n

                  1.<\/strong> Ajouter 40 \u20ac chaque ann\u00e9e donne une suite arithm\u00e9tique : \"a_n=1\,800+40n\". Augmenter de 2 % revient \u00e0 multiplier par \"1{,}02\" : \"b_n=1\,800\times 1{,}02^n\", suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"1{,}02\".<\/p>\n

                  2.<\/strong> \"a_{10}=1\,800+400=2\,200\" \u20ac et \"b_{10}=1\,800\times 1{,}02^{10}\approx 2\,194{,}19\" \u20ac. Au bout de 10 ans, le contrat A reste l\u00e9g\u00e8rement plus avantageux.<\/p>\n

                  3.<\/strong> On utilise un algorithme de seuil :<\/p>\n

                  def seuil():\r\n    n = 1\r\n    while 1800 * 1.02**n <= 1800 + 40 * n:\r\n        n = n + 1\r\n    return n<\/pre>\n
                  La fonction renvoie 12. Au bout de 11 ans, \"a_{11}=2\,240\" \u20ac et \"b_{11}\approx 2\,238{,}07\" \u20ac ; au bout de 12 ans, \"a_{12}=2\,280\" \u20ac et \"b_{12}\approx 2\,282{,}84\" \u20ac. Le contrat B d\u00e9passe donc le contrat A \u00e0 partir de la 12e ann\u00e9e, puis l’\u00e9cart se creuse : au bout de 20 ans, \"b_{20}\approx 2\,674{,}71\" \u20ac contre \"a_{20}=2\,600\" \u20ac.<\/p>\n
                  Quelles sont les erreurs les plus fr\u00e9quentes sur les suites ?<\/h2>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                  Erreur<\/strong><\/td>\nExemple<\/strong><\/td>\nBonne d\u00e9marche<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
                  Conclure avec quelques termes<\/strong><\/td>\n\u00ab \"u_1-u_0=u_2-u_1\", donc la suite est arithm\u00e9tique \u00bb<\/td>\nCalculer \"u_{n+1}-u_n\" pour un \"n\" quelconque. Les premiers termes servent seulement \u00e0 prouver qu’une suite n’est pas<\/em> arithm\u00e9tique.<\/td>\n<\/tr>\n
                  Se tromper de rang de d\u00e9part<\/strong><\/td>\nUtiliser \"u_n=u_0+nr\" alors que l’\u00e9nonc\u00e9 donne \"u_1\"<\/td>\n\u00c9crire \"u_n=u_1+(n-1)r\", ou plus g\u00e9n\u00e9ralement \"u_n=u_p+(n-p)r\".<\/td>\n<\/tr>\n
                  Mal compter les termes d’une somme<\/strong><\/td>\nCompter 20 termes de \"u_0\" \u00e0 \"u_{20}\"<\/td>\nDe \"u_p\" \u00e0 \"u_n\", il y a \"n-p+1\" termes, soit 21 ici.<\/td>\n<\/tr>\n
                  Oublier le signe du premier terme<\/strong><\/td>\n\u00ab \"q=1{,}2>1\", donc la suite est croissante \u00bb avec \"u_0=-3\"<\/td>\n\u00c9tudier le signe de \"u_0\,q^n(q-1)\".<\/td>\n<\/tr>\n
                  Confondre taux et raison<\/strong><\/td>\nPrendre \"q=0{,}02\" pour une hausse de 2 %<\/td>\nUne hausse de \"t\" % donne \"q=1+\dfrac{t}{100}\", une baisse de \"t\" % donne \"q=1-\dfrac{t}{100}\".<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
                  Pour vous entra\u00eener sur les autres fa\u00e7ons de d\u00e9finir une suite (formule explicite, r\u00e9currence, algorithme), faites les exercices corrig\u00e9s sur les suites num\u00e9riques<\/a>, en vous appuyant sur la fiche de cours sur les suites num\u00e9riques<\/a>. Les suites reviennent aussi dans les questions d’automatismes de l’\u00e9preuve anticip\u00e9e de maths de premi\u00e8re. Pour r\u00e9viser le reste du programme, passez ensuite aux exercices sur le second degr\u00e9<\/a> et aux exercices sur la d\u00e9rivation<\/a>. Si vous bloquez sur la r\u00e9daction, un professeur particulier de maths<\/a> en premi\u00e8re peut reprendre les m\u00e9thodes avec vous, et les stages intensifs de premi\u00e8re<\/a> pendant les vacances permettent de travailler les suites en petit groupe.<\/p>\n\t\t
                  \n\t\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t\t\t
                  <\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t
                  \n\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t
                  STAGE DE MATHS PENDANT LES VACANCES<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t
                  Gagner en s\u00e9r\u00e9nit\u00e9 et progresser en confiance<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tStage maths vacances<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
                  \n\t\t\t
                  \n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n
                  FAQ sur les exercices de suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques<\/h2>\n        
                  \n            
                  \n\t\t\t\t
                  Comment savoir si une suite est arithm\u00e9tique ou g\u00e9om\u00e9trique ?<\/h3>                
                  \n\t\t\t\t\t                    
                  \n\t\t\t\t\t\tCalculez u(n+1) \u2212 u(n) : si le r\u00e9sultat est constant, la suite est arithm\u00e9tique. Sinon, cherchez \u00e0 \u00e9crire u(n+1) = q \u00d7 u(n) avec q constant : la suite est alors g\u00e9om\u00e9trique. Une suite peut n'\u00eatre ni l'un ni l'autre, comme w(n) = n\u00b2 + 1.                    <\/p>\n                <\/div>\n            <\/div>\n        <\/section>\n\t\t        
                  \n            
                  \n\t\t\t\t
                  Comment trouver la raison d'une suite arithm\u00e9tique avec deux termes ?<\/h3>                
                  \n\t\t\t\t\t                    
                  \n\t\t\t\t\t\tUtilisez u(n) = u(p) + (n \u2212 p) \u00d7 r. Par exemple, si u(4) = 11 et u(9) = 26, alors 26 = 11 + 5r, donc r = 3.                    <\/p>\n                <\/div>\n            <\/div>\n        <\/section>\n\t\t        
                  \n            
                  \n\t\t\t\t
                  Comment trouver la raison d'une suite g\u00e9om\u00e9trique avec deux termes ?<\/h3>                
                  \n\t\t\t\t\t                    
                  \n\t\t\t\t\t\tUtilisez u(n) = u(p) \u00d7 q puissance (n \u2212 p). Par exemple, si v(2) = 12 et v(5) = 96, alors q au cube vaut 96 \/ 12 = 8, donc q = 2.                    <\/p>\n                <\/div>\n            <\/div>\n        <\/section>\n\t\t        
                  \n            
                  \n\t\t\t\t
                  Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite g\u00e9om\u00e9trique ?<\/h3>                
                  \n\t\t\t\t\t                    
                  \n\t\t\t\t\t\tPour q diff\u00e9rent de 1, 1 + q + q\u00b2 + \u2026 + q puissance n = (1 \u2212 q puissance (n+1)) \/ (1 \u2212 q). Pour une somme de termes cons\u00e9cutifs, multipliez le premier terme par (1 \u2212 q puissance N) \/ (1 \u2212 q), o\u00f9 N est le nombre de termes.                    <\/p>\n                <\/div>\n            <\/div>\n        <\/section>\n\t\t        
                  \n            
                  \n\t\t\t\t
                  Les suites arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9triques sont-elles au programme de premi\u00e8re ?<\/h3>                
                  \n\t\t\t\t\t                    
                  \n\t\t\t\t\t\tLeur \u00e9tude g\u00e9n\u00e9rale rel\u00e8ve de la terminale. En premi\u00e8re, on les rencontre dans des exercices guid\u00e9s o\u00f9 l'\u00e9nonc\u00e9 donne une suite auxiliaire g\u00e9om\u00e9trique, comme dans l'exercice 2 de cette page.                    <\/p>\n                <\/div>\n            <\/div>\n        <\/section>\n\t\t        
                  \n            
                  \n\t\t\t\t
                  Les suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques sont-elles au programme de premi\u00e8re en 2026 ?<\/h3>                
                  \n\t\t\t\t\t                    
                  \n\t\t\t\t\t\tOui. Le programme de sp\u00e9cialit\u00e9 maths de premi\u00e8re publi\u00e9 au BO n\u00b0 14 du 2 avril 2026, en vigueur depuis la rentr\u00e9e 2026, pr\u00e9voit le calcul du terme g\u00e9n\u00e9ral, des sommes 1 + 2 + \u2026 + n et 1 + q + \u2026 + q puissance n, et l'\u00e9tude du sens de variation de ces suites.                    <\/p>\n                <\/div>\n            <\/div>\n        <\/section>\n\t\t\n