{"id":85226,"date":"2020-12-24T14:45:08","date_gmt":"2020-12-24T13:45:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=85226"},"modified":"2026-10-27T09:50:45","modified_gmt":"2026-10-27T08:50:45","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-derivation-premiere","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-derivation-premiere\/","title":{"rendered":"Exercices sur la d\u00e9rivation en premi\u00e8re"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Premi\u00e8re<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en 1\u00e8re<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes du second degr\u00e8s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariations et courbes repr\u00e9sentatives de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul vectoriel et produit scalaire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tApplication du produit scalaire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s conditionnelles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie rep\u00e9r\u00e9e<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur la d\u00e9rivation en premi\u00e8re<\/h1>\n

Par Seda Biber, mis \u00e0 jour le 27\/10\/2026<\/em><\/p>\n<\/div>\n

Pour r\u00e9ussir un exercice de d\u00e9rivation en premi\u00e8re, on applique presque toujours la m\u00eame suite d’\u00e9tapes : calculer la fonction d\u00e9riv\u00e9e avec les formules du cours, \u00e9tudier son signe, puis en tirer les variations, une \u00e9quation de tangente ou un extremum. Les sept exercices de cette page suivent le programme de sp\u00e9cialit\u00e9 math\u00e9matiques de premi\u00e8re en vigueur depuis la rentr\u00e9e 2026 : calcul de d\u00e9riv\u00e9es, taux de variation et approximation affine, tangente, variations, position de deux courbes, optimisation et d\u00e9rivabilit\u00e9 en 0.<\/p>\n

Chaque \u00e9nonc\u00e9 est suivi d’un corrig\u00e9 r\u00e9dig\u00e9 ligne par ligne. Tous les calculs se font sans calculatrice, ce qui correspond aussi \u00e0 l’entra\u00eenement pour l’\u00e9preuve anticip\u00e9e de math\u00e9matiques de fin de premi\u00e8re.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Premi\u00e8re<\/a><\/p>\n

Quels exercices de d\u00e9rivation contient cette page ?<\/h2>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Exercice<\/strong><\/td>\nNotion travaill\u00e9e<\/strong><\/td>\nFormule ou m\u00e9thode cl\u00e9<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/strong><\/td>\nCalcul de fonctions d\u00e9riv\u00e9es<\/td>\n\"(uv)'=u'v+uv'\" et \"\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\"<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/strong><\/td>\nTaux de variation, nombre d\u00e9riv\u00e9, approximation affine<\/td>\n\"f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\"<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/strong><\/td>\n\u00c9quation de tangente<\/td>\n\"y=f(a)+f'(a)(x-a)\"<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/strong><\/td>\nVariations et in\u00e9galit\u00e9<\/td>\n\"f'>0\" sur \"I\" donc \"f\" strictement croissante sur \"I\"<\/td>\n<\/tr>\n
5<\/strong><\/td>\nFonction quotient, extremums, position de deux courbes<\/td>\nSigne de \"f(x)-g(x)\"<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/strong><\/td>\nProbl\u00e8me d’optimisation<\/td>\nMaximum l\u00e0 o\u00f9 \"f'\" s’annule en changeant de signe<\/td>\n<\/tr>\n
7<\/strong><\/td>\nD\u00e9rivabilit\u00e9 en 0 (racine carr\u00e9e, valeur absolue)<\/td>\nLe taux de variation n’a pas de limite finie<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Ces formules sont d\u00e9montr\u00e9es et illustr\u00e9es dans le cours sur la d\u00e9rivation en premi\u00e8re<\/a>. Gardez sous la main le tableau des d\u00e9riv\u00e9es usuelles :<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Fonction \"f(x)\"<\/strong><\/td>\nD\u00e9riv\u00e9e \"f'(x)\"<\/strong><\/td>\nD\u00e9rivable sur<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"k\" (constante)<\/strong><\/td>\n\"0\"<\/td>\n\"\mathbb{R}\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"x^n\", \"n\" entier naturel non nul<\/strong><\/td>\n\"nx^{n-1}\"<\/td>\n\"\mathbb{R}\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"x^n\", \"n\" entier n\u00e9gatif<\/strong><\/td>\n\"nx^{n-1}\"<\/td>\n\"]-\infty;0[\" et \"]0;+\infty[\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"\dfrac{1}{x}\"<\/strong><\/td>\n\"-\dfrac{1}{x^2}\"<\/td>\n\"]-\infty;0[\" et \"]0;+\infty[\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"\sqrt{x}\"<\/strong><\/td>\n\"\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\"<\/td>\n\"]0;+\infty[\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"\dfrac{1}{v}\"<\/strong><\/td>\n\"-\dfrac{v'}{v^2}\"<\/td>\nl\u00e0 o\u00f9 \"v\" ne s’annule pas<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension
cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 1 : comment calculer une fonction d\u00e9riv\u00e9e ?<\/h2>\n

\u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 1<\/h3>\n

Calculer la fonction d\u00e9riv\u00e9e de chacune des fonctions suivantes, sur l’intervalle indiqu\u00e9.<\/p>\n

    \n
  1. \"f(x)=3x^4-5x^2+2x-7\" sur \"\mathbb{R}\"<\/li>\n
  2. \"g(x)=\dfrac{2}{x^3}\" sur \"]0;+\infty[\"<\/li>\n
  3. \"h(x)=(2x+1)\sqrt{x}\" sur \"]0;+\infty[\"<\/li>\n
  4. \"k(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\" sur \"]-2;+\infty[\"<\/li>\n
  5. \"m(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\" sur \"\mathbb{R}\"<\/li>\n<\/ol>\n

    Corrig\u00e9 de l’exercice 1<\/h3>\n

    1.<\/strong> \"f\" est une somme de fonctions de r\u00e9f\u00e9rence. On d\u00e9rive terme \u00e0 terme :<\/p>\n

    \"f'(x)=3\times 4x^3-5\times 2x+2=12x^3-10x+2\"<\/p>\n

    2.<\/strong> On \u00e9crit \"g(x)=2x^{-3}\". Avec la formule \"(x^n)'=nx^{n-1}\" pour \"n=-3\" :<\/p>\n

    \"g'(x)=2\times(-3)x^{-4}=-\dfrac{6}{x^4}\"<\/p>\n

    3.<\/strong> \"h=uv\" avec \"u(x)=2x+1\", \"u'(x)=2\", \"v(x)=\sqrt{x}\" et \"v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\". Donc :<\/p>\n

    \"h'(x)=2\sqrt{x}+\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{4x+2x+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+1}{2\sqrt{x}}\"<\/p>\n

    4.<\/strong> \"k=\dfrac{u}{v}\" avec \"u(x)=3x-1\", \"u'(x)=3\", \"v(x)=x+2\" et \"v'(x)=1\". \"v\" ne s’annule pas sur \"]-2;+\infty[\", donc :<\/p>\n

    \"k'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)\times 1}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}\"<\/p>\n

    5.<\/strong> \"m=\dfrac{1}{v}\" avec \"v(x)=x^2+1\", qui ne s’annule jamais, et \"v'(x)=2x\". Donc :<\/p>\n

    \"m'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\"<\/p>\n

    💡 Astuce :<\/strong> avant d’appliquer la formule du quotient, regardez si le num\u00e9rateur est une constante. Pour \"\dfrac{1}{v}\" ou \"\dfrac{k}{v}\", la formule de l’inverse \"-\dfrac{v'}{v^2}\" est plus rapide et limite les erreurs de signe.<\/div>\n

    Exercice 2 : comment passer du taux de variation au nombre d\u00e9riv\u00e9 ?<\/h2>\n

    \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 2<\/h3>\n

    On consid\u00e8re la fonction carr\u00e9 \"f(x)=x^2\" et la fonction racine carr\u00e9e \"r(x)=\sqrt{x}\".<\/p>\n

      \n
    1. Pour \"h\neq 0\", calculer le taux de variation de \"f\" entre \"1\" et \"1+h\".<\/li>\n
    2. Donner la pente de la s\u00e9cante passant par les points de la courbe d’abscisses \"1\" et \"1+h\" pour \"h=0{,}1\", puis \"h=0{,}01\" et \"h=0{,}001\". Que peut-on conjecturer ?<\/li>\n
    3. Donner une valeur approch\u00e9e de \"1{,}02^2\" \u00e0 l’aide de l’approximation affine de \"f\" en \"1\".<\/li>\n
    4. Calculer \"r'(4)\", puis donner une valeur approch\u00e9e de \"\sqrt{4{,}1}\".<\/li>\n<\/ol>\n

      Corrig\u00e9 de l’exercice 2<\/h3>\n

      1.<\/strong> Le taux de variation de \"f\" entre \"1\" et \"1+h\" vaut :<\/p>\n

      \"\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{h(2+h)}{h}=2+h\"<\/p>\n

      2.<\/strong> La pente de la s\u00e9cante est ce taux de variation : \"2{,}1\" pour \"h=0{,}1\", puis \"2{,}01\" et \"2{,}001\". Quand \"h\" se rapproche de \"0\", ces pentes se rapprochent de \"2\". On conjecture que \"f'(1)=2\", ce que confirme la formule \"f'(x)=2x\".<\/p>\n

      3.<\/strong> L’approximation affine s’\u00e9crit \"f(1+h)\approx f(1)+f'(1)h\". Avec \"h=0{,}02\" :<\/p>\n

      \"1{,}02^2\approx 1+2\times 0{,}02=1{,}04\"<\/p>\n

      La valeur exacte est \"1{,}0404\" : l’\u00e9cart vaut \"h^2=0{,}0004\".<\/p>\n

      4.<\/strong> \"r'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\", donc \"r'(4)=\dfrac{1}{2\times 2}=\dfrac{1}{4}\". Avec \"a=4\" et \"h=0{,}1\" :<\/p>\n

      \"\sqrt{4{,}1}\approx \sqrt{4}+\dfrac{1}{4}\times 0{,}1=2+0{,}025=2{,}025\"<\/p>\n

      La valeur exacte, arrondie au dix-milli\u00e8me, est \"2{,}0248\" : l’approximation est correcte au milli\u00e8me pr\u00e8s.<\/p>\n

      Exercice 3 : comment trouver l’\u00e9quation d’une tangente ?<\/h2>\n

      \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 3<\/h3>\n

      Soit \"f\" la fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par \"f(x)=-3x^4+2x-1\". On note \"\mathscr{C}_f\" sa courbe repr\u00e9sentative dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9.<\/p>\n

        \n
      1. V\u00e9rifier que le point \"A(-1;-6)\" appartient \u00e0 \"\mathscr{C}_f\", puis d\u00e9terminer l’\u00e9quation de la tangente \u00e0 \"\mathscr{C}_f\" en \"A\".<\/li>\n
      2. Les tangentes \u00e0 \"\mathscr{C}_f\" aux points d’abscisses \"-1\" et \"1\" sont-elles parall\u00e8les ?<\/li>\n
      3. Existe-t-il un point de \"\mathscr{C}_f\" o\u00f9 la tangente est parall\u00e8le \u00e0 la droite d’\u00e9quation \"y=2x+5\" ? Si oui, donner l’\u00e9quation de cette tangente.<\/li>\n<\/ol>\n

        Corrig\u00e9 de l’exercice 3<\/h3>\n

        1.<\/strong> \"f(-1)=-3\times 1+2\times(-1)-1=-6\", donc \"A\" appartient bien \u00e0 \"\mathscr{C}_f\". Pour tout r\u00e9el \"x\", \"f'(x)=-12x^3+2\", donc \"f'(-1)=-12\times(-1)+2=14\". La tangente en \"A\" a pour \u00e9quation \"y=f(-1)+f'(-1)(x+1)\", soit :<\/p>\n

        \"y=-6+14(x+1)=14x+8\"<\/p>\n

        2.<\/strong> Deux droites sont parall\u00e8les si et seulement si elles ont le m\u00eame coefficient directeur. Or \"f'(1)=-12+2=-10\" et \"f'(-1)=14\". Comme \"-10\neq 14\", les deux tangentes ne sont pas parall\u00e8les.<\/p>\n

        3.<\/strong> On cherche \"x\" tel que \"f'(x)=2\", soit \"-12x^3+2=2\", donc \"x^3=0\" et \"x=0\". Le point cherch\u00e9 est \"B(0;f(0))=B(0;-1)\" et la tangente en \"B\" a pour \u00e9quation \"y=-1+2(x-0)\", soit \"y=2x-1\".<\/p>\n

        💡 Astuce :<\/strong> \u00ab tangente parall\u00e8le \u00e0 une droite de coefficient directeur \"m\" \u00bb se traduit toujours par l’\u00e9quation \"f'(x)=m\". Une tangente horizontale correspond au cas \"m=0\".<\/div>\n

        Exercice 4 : comment \u00e9tudier les variations et prouver une in\u00e9galit\u00e9 ?<\/h2>\n

        \u00c9nonc\u00e9 de l’exercice 4<\/h3>\n

        On consid\u00e8re la fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par \"f(x)=x^3+x-10\".<\/p>\n

          \n
        1. Montrer que \"f\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}\".<\/li>\n
        2. Calculer \"f(2)\". En d\u00e9duire le signe de \"f(x)\" selon les valeurs de \"x\".<\/li>\n
        3. Montrer que, pour tout \"x\in[2;+\infty[\", \"x^3\geq 10-x\".<\/li>\n<\/ol>\n

          Corrig\u00e9 de l’exercice 4<\/h3>\n

          1.<\/strong> \"f\" est une fonction polyn\u00f4me, donc d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\", et \"f'(x)=3x^2+1\". Un carr\u00e9 est positif ou nul, donc \"3x^2+1\geq 1>0\" pour tout r\u00e9el \"x\". La d\u00e9riv\u00e9e est strictement positive sur \"\mathbb{R}\" : \"f\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

          2.<\/strong> \"f(2)=8+2-10=0\". Comme \"f\" est strictement croissante :<\/p>\n