{"id":85310,"date":"2021-01-18T17:54:08","date_gmt":"2021-01-18T16:54:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=85310"},"modified":"2022-07-12T15:28:32","modified_gmt":"2022-07-12T14:28:32","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-determinants-maths-sup","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-determinants-maths-sup\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s calcul des d\u00e9terminants"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres r\u00e9els<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et fractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9terminants<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSommes et produits<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tTrigonom\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEnsembles et applications<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions (intro)<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions usuelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSyst\u00e8mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPolyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFractions rationnelles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique et polyn\u00f4mes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAnalyse asymptotique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9veloppements limit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrements<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grations<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices corrig\u00e9s sur le calcul des d\u00e9terminants MPSI, PCSI et PTSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Maths Sup<\/a><\/p>\n

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Exercices sur le calcul des d\u00e9terminants en maths sup<\/h2>\n

1. Calculer le d\u00e9terminants d’ordre inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 4<\/h2>\n

Exercice 1 :
\nSous forme factoris\u00e9e, calculer le d\u00e9terminant<\/strong> :
\n\"\begin{vmatrix} a&x&b&x\\x&a&x&b\\b&x&a&x\\x&b&x&a\end{vmatrix}\"<\/p>\n

Exercice 2 :
\nSous forme factoris\u00e9e, calculer le d\u00e9terminant<\/strong> :
\n\"\begin{vmatrix} a^2 &ab&ab&b^2\\ab&a^2 &b^2 &ab\\ab&b^2&a^2 &ab\\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}\"<\/p>\n

2. Calculer le d\u00e9terminant de Vandermonde<\/h2>\n

Exercice : Calculer le d\u00e9terminant de Vandermonde<\/strong> \"V(1 ,\, 2 ,\, \cdots \, , \, n)\" \u00e0 l’aide de factorielles.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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3. Calculer le d\u00e9terminants d’ordre \"n\"<\/h2>\n

Exercice :
\nSoient \"n \geq 2\" et \"a_1 \, , \, a_2 \, , \, \cdots \, , \, a_n\" \"n\" r\u00e9els deux \u00e0 deux distincts.
\nOn pose \"P = \displaystyle \prod_{k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k)\"
\net si \"k \in [\![1 , n]\!]\", \"P = (\textrm{X} - a_k)\, P_k\,\".<\/p>\n

Calculer si \"x \in \mathbb{R}\",
\n\"f(x) =\" \"\begin{vmatrix} 1 &1 & \cdots & 1 &1 \\ a_1&a_2&\cdots &a_{n - 1}& a_n \\ a_1^2&a_2^2&\cdots &a_{n - 1}^2& a_n^2\\ \vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_1^{n- 2} &a_2^{n- 2}&\cdots &a_{n-1}^{n- 2}& a_n^{n- 2} \\ P_1(x)&P_2(x)& \cdots &P_{n- 1}(x) &P_n(x) \end{vmatrix}\"<\/p>\n

4. Calculer le d\u00e9terminants d’endomorphismes<\/h2>\n

Calculer \"\det(f)\" o\u00f9 \"f : \mathcal{M} _ {n} (\mathbb{K}) \to \mathcal{M} _ {n} (\mathbb{K}), \, X \mapsto X ^{\textrm{T}}\".<\/p>\n

5. Calculer le d\u00e9terminant avec op\u00e9rations<\/h2>\n

Exercice 1 :
\nSoit \"A = (a_{i,\, j} ) _ {1 \leqslant i,\, j \leqslant n }\in \mathcal{M} _ n (\mathbb{R})\" telle que \"\forall\, (i, j) \in [\![1,\, n]\!] ^2, \, a_{i,\, j} \in \{ - 1 , 1\}\" \"\det(A) \in \mathbb{Z}\" et est divisible par \"2 ^{n - 1}\" .<\/p>\n

Exercice 2 :
\nSoient \"A\" et \"M\" de \"\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})\" telles que \"\textrm{rg}(M) = 1\". D\u00e9montrer que \"\det(A + M)(A - M) \leq \det(A^2)\".
\nOn commencera par le cas o\u00f9 \"M = J_1\".<\/p>\n

6. Calculer le d\u00e9terminants sur la comatrice<\/h2>\n

Exercice :
\nSoit \"n \geq 2\" et \"A \in \mathcal{M} _ n (\mathbb{K})\".
\n\"\det(\textrm{Com}(A)) = (\det A)^{n - 1}\" .<\/p>\n

Corrig\u00e9s des exercices sur le calcul des d\u00e9terminants :<\/h2>\n

1. Corrig\u00e9 de l’exercice : Calculer le d\u00e9terminants d’ordre inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 4<\/strong><\/h3>\n

Exercice 1 : La somme<\/a> des termes de chaque ligne est constante.<\/p>\n

\"\Delta = \begin{vmatrix} a&x&b&x\\x&a&x&b\\b&x&a&x\\x&b&x&a\end{vmatrix}\"<\/p>\n

En utilisant l’op\u00e9ration \"\quad C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4\"
\npuis en factorisant \"a + b + 2\, x\" :
\n\"\Delta = (a + b + 2\, x) \, \begin{vmatrix} 1&x&b&x\\1&a&x&b\\1&x&a&x\\1&b&x&a\end{vmatrix}\"<\/p>\n

par \"L_i \leftarrow L_i - L_ 1\" si \"i \geq 2\"
\n\"\Delta =\" \"\; (a + b + 2\, x) \, \begin{vmatrix} 1&x&b&x\\0&a-x&x- b &b- x \\0&0&a- b &0\\0&b-x &x- b &a - x\end{vmatrix}\"
\nOn d\u00e9veloppe suivant la premi\u00e8re colonne :
\n\"\Delta = (a + b + 2\, x) \, \begin{vmatrix} a-x&x- b &b- x \\0&a- b &0\\b-x &x- b &a - x\end{vmatrix}\"
\npuis suivant la deuxi\u00e8me ligne :
\n\"\Delta = (a + b + 2\, x) \, (a- b) \, \begin{vmatrix} a-x &b- x \\b-x &a - x\end{vmatrix}\"
\n\"= (a + b + 2\, x) \, (a- b) \, \left ( ( a-x)^2 - ( b- x)^2 \right )\"
\n\"= (a + b + 2\, x) \, (a- b) \,(a- b) \, (a + b - 2\, x)\"
\n\"\Delta = (a - b)^2\, (a + b + 2\, x)\, (a + b - 2\, x)\".<\/p>\n

Exercice 2 :<\/p>\n

\"D = \begin{vmatrix} a^2 &ab&ab&b^2\\ab&a^2 &b^2 &ab\\ab&b^2&a^2 &ab\\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}\"<\/p>\n

par \"L_1 \leftarrow L_1 - L_4\, ,\, L_2 \leftarrow L_2 - L_3\" et \"L_3 \leftarrow L_3 - L_4\,\", \"D\" est \u00e9gal \u00e0<\/p>\n

\"\begin{vmatrix} a^2 - b^2 &0&0&b^2-a^2\\0&a^2-b^2 &b^2-a^2 &0\\ab- b^2&b^2-ab&a^2- ab &ab- a^2\\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}\"<\/p>\n

On factorise \"a^2 - b^2\" dans\"L_1\" et \"L_2\,\", et \"a - b\" dans \"L_3\,\",
\n\"D = (a^2 - b^2)^2(a - b) \begin{vmatrix} 1 &0&0&-1\\0&1 &-1 &0\\b&- b&a &-a \\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}\"<\/p>\n

par \"C_4 \leftarrow C_4 + C_1\" et \"C_3 \leftarrow C_3 + C_2\,\",
\n\"D\" est \u00e9gal \u00e0
\n\"(a^2 - b^2)^2(a - b) \times\"\"\qquad \qquad \qquad \begin{vmatrix} 1 &0&0&0\\0&1 &0 &0\\b& b&a- b &b-a \\b^2&ab&2 ab&a^2 + b ^2\end{vmatrix}\"<\/p>\n

par les d\u00e9terminants par blocs<\/strong> :
\n\"D = (a^2 - b^2)^2\, (a - b) \times\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{vmatrix}a- b &b-a \\2 \, a\, b&a^2 + b^2 \end{vmatrix}\"
\non factorise \"a - b\" dans la ligne 1 :
\n\"D = (a^2 - b^2)^2\, (a - b)^2 \times\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{vmatrix}1 &-1\\2 \,a\, b&a^2 + b ^2 \end{vmatrix}\"
\n\"D = (a^2 - b^2)^2\, (a - b)^2 \, (a + b)^2\"
\nsoit \"D = (a - b)^4 \, (a + b)^4\".<\/p>\n

2. Corrig\u00e9 de l’exercice : Calculer le d\u00e9terminant de Vandermonde<\/h3>\n

\"V = V(1 ,\, 2 ,\, \cdots \, , \, n) = \displaystyle \prod _ {1 \leq i < j \leq n } (j - i)\"<\/p>\n

\"\bullet\" On fixe \"1 \leq i \leq n - 1\" et on calcule \"P_ i = \displaystyle \prod _{j = i+1} ^n (j - i)\".
\nOn pose \"k = j - i\", \"P_ i = \displaystyle \prod _{k = 1} ^{n - i} k= (n - i)!\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"V= \displaystyle \prod_{i = 1} ^{n - 1} \, P_i = \prod_{i = 1} ^{n - 1} (n - i)!\"
\nEn posant \"k = n - i\", \"V \displaystyle = \prod_{k = 1} ^{n - 1} k!\,\".<\/p>\n

On peut aussi \u00e9crire que \"V = \displaystyle \prod_{k = 1} ^{n - 1} k ^{n - k }\".<\/p>\n<\/div>\n

3. Corrig\u00e9 de l’exercice : Calculer le d\u00e9terminants d’ordre \"n\"<\/h3>\n

\"f(x) =\" \"\begin{vmatrix} 1 &1 & \cdots & 1 &1 \\ a_1&a_2&\cdots &a_{n - 1}& a_n \\ a_1^2&a_2^2&\cdots &a_{n - 1}^2& a_n^2\\ \vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_1^{n- 2} &a_2^{n- 2}&\cdots &a_{n-1}^{n- 2}& a_n^{n- 2} \\ P_1(x)&P_2(x)& \cdots &P_{n- 1}(x) &P_n(x) \end{vmatrix}\"<\/p>\n

On d\u00e9veloppe le d\u00e9terminant suivant la derni\u00e8re ligne :
\n\"f(x) = (-1)^{n+1} P_1(x) V(a_2 \, , \, \cdots \, , \, a_n)\" \"\quad + \, (-1)^{n + 2} P_ 2(x) V(a_1 \, , \, a3 \, , \, \cdots \, , \, a_n)\" \"+ \, \cdots \,\" \"+ (- 1)^{k + n} P_k(x) \times\" \"\qquad V(a-1 \, , \, \cdots \, , \, a_{k - 1} \, , \, a_{k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n)\" \"+ \, \cdots\" \"+ (- 1)^n P_n(x) V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{n -1})\".
\nce que l’on peut r\u00e9sumer sous la forme
\n\"f(x)= \displaystyle \sum _{ k = 1 } ^n ( - 1)^{n + k} P_k(x) V _k\" o\u00f9 \"V_k = V\left (a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{k - 1} \, , \, a_ {k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n \right )\"<\/p>\n

Si \"i \neq k\", \"P_i(a_k) = 0\" car \"P_i\" est un polyn\u00f4me<\/a> unitaire dont les racines sont \"a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{i - 1} \, , \, a_ {i + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n\,\".<\/p>\n

\"P_k(a_k)\" \"\displaystyle = \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right ) \times \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_k - a_j \right )\"
\n\"= \displaystyle \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right )\times\" \"\displaystyle \qquad \qquad \qquad ( - 1) ^{n - k} \, \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_j - a_k \right )\"
\n\"P_k(a_k) =\"
\n\"\displaystyle (-1) ^{n - k} \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right ) \, \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_j - a_k \right )\"<\/p>\n

\"f(a_k) = (-1)^{n + k} \, P_k(a_k) \, V_k\" avec
\n\"V_k = \left (a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{k - 1} \, , \, a_ {k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n \right )\"
\n\"f(a_k) =( -1)^{ n+ k} . ( -1)^{ n - k} \times\" \"\qquad \displaystyle \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right )
\n\"\displaystyle \qquad \quad \prod_ {1 \leqslant i< j \leqslant n ,\, i\neq k, \, j\neq k} (a_j -a_i)\"
\n\"f(a_k) = \displaystyle \prod_{ 1 \leqslant i < j \leqslant n} \left ( a_j - a_i \right )\"
\n\"f(a_k) = V \left (a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n \right )\".<\/p>\n

\"f\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n - 1\", prenant en \"n\" valeurs distinctes la valeur \"\qquad \qquad V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)\",
\ndonc \"f\" est une fonction<\/a> constante et pour tout \"x \in \mathbb{R }\" , \"f(x) = V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)\".<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

4. Corrig\u00e9 de l’exercice : Calculer le d\u00e9terminant d’endomorphisme<\/h3>\n

On sait que \"\mathcal{M} _ {n} (\mathbb{K}) = \mathcal{A} _ {n} (\mathbb{K}) \oplus \mathcal{S} _ {n} (\mathbb{K})\".
\nOn note :
\n\"p = \dim \mathcal{S} _ {n} (\mathbb{K})\" et \"q = \dim \mathcal{A} _ {n} (\mathbb{K})\".
\nSoit \"(A_1 \, ,\, \cdots \, ,\, A_q\, ,\, S_1 \, ,\, \cdots \, ,\,S_p)\" une base adapt\u00e9e \u00e0 cette somme directe.<\/p>\n

On a \"\forall\, i \in [[1,\, q]],\, f(A_i) = - A_i\" et \"\forall\, i \in [[1 , \, p]], \, f(S_i) = S_i\,\", la matrice<\/a> de \"f\" est donc la matrice diagonale \"\qquad \qquad \qquad \begin {pmatrix} - \textrm{I} _ q&0\\0& \textrm{I} _ p \end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"\det(f) =(-1) ^q \, 1 ^p = (-1) ^q\" avec \"q = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2\".<\/p>\n

5. Corrig\u00e9 de l’exercice : Calculer le d\u00e9terminants avec op\u00e9ration<\/h3>\n

En utilisant la formule \"\det(A) =\displaystyle \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \,\varepsilon(\sigma) \prod _{i = 1} ^n a_{\sigma(i),\, i }\,\",
\n\"\det(A)\" est une somme d’\u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb {Z}\", donc \"\det(A) \in \mathbb{Z}\".
\nOn note \"(C_1 \, ,\, C_2 \, ,\, \cdots \, ,\,C _n )\" les vecteurs colonnes de \"A\" et \"b\" la base canonique<\/a> de \"\mathbb{R} ^n\", \"\det(A) = \det_b (C_1 \, ,\, C_2 \, ,\, \cdots \, ,\,C _n )\".<\/p>\n

On utilise les op\u00e9rations : \"\qquad \forall\, i \in [[1 , n - 1]], \, C_i \leftarrow C_i + C_n\,\",
\n\"\det(A) = \det_b (C'_1 \, , \, \cdots ,\, C'_ {n - 1} \, , \,C _n )\"
\no\u00f9 \"\forall\, i \in [[1,\, n - 1]], \, C'_i = C_i + C_n\"
\nles \u00e9l\u00e9ments de \"C'_i\" sont la somme de deux \u00e9l\u00e9ments de \"\{-1 , 1\}\", ils sont \u00e9gaux \u00e0 \"- 2 , 0\" ou \"2\".
\nOn peut donc mettre en facteur \"2\" dans les \"n - 1\" premi\u00e8res colonnes, \"C'_i = 2 \,C''_i\" et \"\det(A) = 2^{n-1} \det_b (C''_1 \,, \, \cdots ,\, C''_ {n - 1} \, ,\,C _n )\" \"\det(A) = 2 ^{n - 1}\, \det(A')\" o\u00f9 \"A' \in \mathcal{M} _ {n} (\mathbb{Z})\"
\ndonc \"\det(A') \in \mathbb{Z}\", ce qui prouve que \"2 ^{n - 1}\" divise \"\det(A)\".<\/p>\n

6. Corrig\u00e9 de l’exercice : Calculer le d\u00e9terminant sur la comatrice<\/h3>\n
\n

\"\bullet\" Si \"A \notin \textrm{GL}_n (\mathbb{K})\", \"A\, \textrm{Com}(A)^{\textrm{T} } = 0\" .
\n\"\ast\" Si \"A \neq 0\", \"\textrm{Com}(A)^{\textrm{T} }\" n’est pas inversible (sinon en multipliant par son inverse, on aurait \"A = 0\"), alors \"\textrm{Com}(A)\notin \textrm{GL}_n (\mathbb{K})\" donc \"\det( \textrm{Com}(A)) = 0\", donc
\n\"\det(\textrm{Com}(A)) =0 = (\det A)^{n - 1}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A = 0\", tous les cofacteurs sont nuls et \"\textrm{Com}(A) = 0\", donc \"\det(\textrm{Com}(A)) = 0\".
\nLa relation est v\u00e9rifi\u00e9e lorsque \"A\" n’est pas inversible.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A \in \textrm{GL}_n (\mathbb{K})\", \"A\, \textrm{Com}(A)^{\textrm{T} } = \det(A) \, \textrm{I}_n\"
\n\"\Rightarrow \displaystyle \textrm{Com}(A)^{\textrm{T} } = \frac 1 {\det(A)} \, A\"
\n\"\Rightarrow \displaystyle \textrm{Com}(A) =\alpha \, A ^{\textrm{T} }\"
\n\"\det(\textrm{Com}(A) ) = \alpha ^n \,\det(A ^{\textrm{T} }) = \alpha ^n \,\det(A)\"
\n\"\det(\textrm{Com}(A) ) = \displaystyle \frac {\det(A)} {(\det(A))^n }\" \"\det(\textrm{Com}(A)) = \displaystyle \frac 1 {(\det(A))^{n - 1} }\;\".<\/p>\n

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