{"id":85421,"date":"2021-02-17T14:23:21","date_gmt":"2021-02-17T13:23:21","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=85421"},"modified":"2025-03-25T10:28:50","modified_gmt":"2025-03-25T09:28:50","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-nombres-reels-ensembles-intervalles-seconde","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-nombres-reels-ensembles-intervalles-seconde\/","title":{"rendered":"Exercices sur les nombres r\u00e9els, ensembles et intervalles"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJ'aprends le cours par coeur\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille avec un prof de maths\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille entre chaque s\u00e9ance\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices sur les nombres r\u00e9els, ensembles et intervalles en seconde<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Seconde G\u00e9n\u00e9rale<\/a><\/p>\n

Pour tout comprendre sur le cours en ligne des nombres r\u00e9els<\/strong>, des ensembles et des intervalles, enta\u00eenez-vous avec les exercices suivants. Et retrouvez les autres exercices et corrig\u00e9s en maths sur l’arithm\u00e9tique, les fonctions affines et bien d’autres…<\/p>\n

Exercices 1 : Nombres r\u00e9els<\/h2>\n

1. Donner une d\u00e9finition formelle de l\u2019ensemble des nombres d\u00e9cimaux<\/strong> \"\mathbb{D}\".<\/p>\n

2. D\u00e9montrer que les nombres suivants sont dans \"\mathbb{D}\" \\ \"\mathbb{Z}\" :<\/p>\n

a) 12,52<\/p>\n\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Nombres rationnels<\/h2>\n

1. Donner une d\u00e9finition formelle de l’ensemble des nombres rationnels<\/strong> \"\mathbb{Q}\".<\/p>\n

2. D\u00e9montrer que les nombres suivants sont dans \"\mathbb{Q}\" \\ \"\mathbb{D}\" :<\/p>\n

a) \"\dfrac {5}{3}\"<\/p>\n

b) \"\dfrac {7}{11}\"<\/p>\n

Exercice 3 : Rationalit\u00e9 de racine de 2<\/h2>\n

On veut montrer par l’absurde que \"\sqrt{2}\" n’est pas un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{Q}\" :<\/p>\n

soit qu’il ne peut pas se mettre sous la forme \"\dfrac {p}{q}\" avec \"p\" \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et \"q\" \"\in\" \"\mathbb{Z}\"*.<\/p>\n

On suppose qu’il existe deux entiers non nuls premiers entre eux \"p\" et \"q\" tel que \"\sqrt{2}\" = \"\dfrac {p}{q}\"<\/p>\n

1. Montrer que \"2q²= p²\".<\/p>\n

2. En d\u00e9duire que p est un nombre pair : \"p = 2k\" pour un entier \"k\".<\/p>\n

Exercice 4 : Diagramme de Venn<\/h2>\n

Dans la repr\u00e9sentation en diagramme de Venn<\/strong> des ensembles de nombres suivants, placer deux nombres qui appartiennent \u00e0 l’ensemble au-dessus mais n’appartiennent pas \u00e0 la partie int\u00e9rieure.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Corrig\u00e9 exercices 1 : Nombres r\u00e9els<\/h2>\n

1 – L’ensemble des nombre d\u00e9cimaux<\/strong> \"\mathbb{D}\" est l’ensemble des nombres qu’on peut mettre sous la forme de \"\dfrac {p}{10^k}\" avec \"p\" \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et \"k\" \"\in\" \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

2 – On note qu’un nombre \"x\" \"\in\" \"\mathbb{D}\" \\ \"\mathbb{Z}\" si et seulement si \"x\" \"\in\" \"\mathbb{D}\" et \"x\" \"\notin\" \"\mathbb{Z}\"<\/p>\n

a) \"\bullet\" 12,52 \"\in\" \"\mathbb{D}\".<\/p>\n

Par un raisonnement direct.<\/p>\n

12,52 = 1252 x \"10^{-2}\"<\/p>\n

12,52 = \"\dfrac {1252}{10²}\"<\/p>\n

Donc, sous la forme \"\dfrac {p}{10^k}\",<\/p>\n

12,52 = \"\dfrac {1252}{10²}\"<\/p>\n

avec \"p\" = 1252 \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et \"k\" = 2 \"\in\" \"\mathbb{N}\"<\/p>\n

\"\bullet\" 12,52 \"\notin\" \"\mathbb{Z}\". Par l’absurde<\/p>\n

On suppose que 12,52 \"\in\" \"\mathbb{Z}\". Donc, il existe un entier relatif \"p\" tel que \"\dfrac {1252}{100}\" = \"p\". C’est-\u00e0-dire que 1252 =100 \"\times p\".<\/p>\n

Ce qui montre que 1252 est divisible par 100.<\/p>\n

Ce qui est absurde car un entier est divisible par100 si et seulement si son \u00e9criture d\u00e9cimale se termine par 00.<\/p>\n

b) \"\bullet\" \"\dfrac {15}{4}\" \"\in\" \"\mathbb{D}\" Par un raisonnement direct.<\/p>\n

\"\dfrac {15}{4}\" = 3,75<\/p>\n

\"\dfrac {15}{4}\" = 375 x \"10^{-2}\"<\/p>\n

\"\dfrac {15}{4}\" = \"\dfrac {375}{10^2}\"<\/p>\n

Donc, sous la forme \"\dfrac {p}{10^k}\", \"\dfrac {15}{4}\" = \"\dfrac {375}{10²}\" avec \"p\" = 375 \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et \"k\" = 2 \"\in\" \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\dfrac {15}{4}\" \"\notin\" \"\mathbb{Z}\". Par l’absurde.<\/p>\n

On suppose que \"\dfrac {15}{4}\" \"\in\" \"\mathbb{Z}\".<\/p>\n

Donc, il existe un entier relatif \"p\" tel que \"\dfrac {375}{100}\" = \"p\".<\/p>\n

C’est-\u00e0-dire que 375 = 100 \"\times\" \"p\". ce qui montre que 375 est divisible par 100.<\/p>\n

Ce qui est absurde car un entier est divisible par 100 si et seulement si son \u00e9criture d\u00e9cimale se termine par 00.<\/p>\n

Corrig\u00e9 exercice 2 : Nombres rationnels<\/h2>\n

1 – L’ensemble des nombres rationnels<\/strong> \"\mathbb{Q}\" est l’ensemble des nombres qui peut se mettre sous la forme \"\dfrac {p}{q}\"<\/p>\n

avec p \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et q \"\in\" \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n

2. a) On note qu’un nombre \"x\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\" \\ \"\mathbb{D}\" si et seulement si \"x\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\" et \"x\" \"\notin\" \"\mathbb{D}\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\dfrac {5}{3}\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\". Par un raisonnement direct.<\/p>\n

Le nombre \"\dfrac {5}{3}\" est sous la forme \"\dfrac {p}{q}\" avec p = 5 \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et q = 3 \"\in\" \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n

Donc \"\dfrac {5}{3}\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\dfrac {5}{3}\" \"\notin\" \"\mathbb{D}\". Par l’absurde.<\/p>\n

On suppose que \"\dfrac {5}{3}\" \"\in\" \"\mathbb{D}\". Alors, il existe un entier \"p\" et un entier naturel \"k\" tel que \"\dfrac {5}{3}\" = \"\dfrac {p}{10^k}\". Ce qui donne l’\u00e9quivalence :<\/p>\n

\"\dfrac {5}{3}\" = \"\dfrac {p}{10^k}\" \"\iff\" 5 x \"10^k\" = 3\"p\"<\/p>\n

Un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme des nombres dans son \u00e9criture d\u00e9cimale est divisible par 3.<\/p>\n

Mais la somme des nombres dans l’\u00e9criture d\u00e9cimale de 5 x \"10^k\" est 5, ce qui n’est pas divisible par 3 alors l’\u00e9galit\u00e9 5 x \"10^k\" = 3\"p\" est impossible.<\/p>\n

D’o\u00f9 la contradiction.<\/p>\n

b) On note qu’un nombre \"x\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\" \\ \"\mathbb{D}\" si et seulement si \"x\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\" et \"x\" \"\notin\" \"\mathbb{D}\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\dfrac {7}{11}\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\". Par un raisonnement direct.<\/p>\n

Le nombre \"\dfrac {7}{11}\" est sous la forme \"\dfrac {p}{q}\" avec p = 7 \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et q = 11 \"\in\" \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n

Donc \"\dfrac {7}{11}\" \"\in\" \"\mathbb{Q}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\dfrac {7}{11}\" \"\notin\" \"\mathbb{D}\". Par l’absurde.<\/p>\n

On suppose que \"\dfrac {5}{3}\" \"\in\" \"\mathbb{D}\". Alors, il existe un entier \"p\" et un entier naturel \"k\" tel que \"\dfrac {7}{11}\" = \"\dfrac {p}{10^k}\". Ce qui donne l’\u00e9quivalence :<\/p>\n

\"\dfrac {7}{11}\" = \"\dfrac {p}{10^k}\" \"\iff\" 7 x \"10^k\" = 11\"p\"<\/p>\n

Un entier est divisible par 11 si et seulement si la diff\u00e9rences entre les nombres de rangs impairs<\/strong> etles nombres de rangs pairs dans son \u00e9criture d\u00e9cimale est divisible par 11.<\/p>\n

Comme la diff\u00e9rence entre les nombres de rangs impairs<\/strong> et les nombres de rangs pairs<\/strong> de l’\u00e9criture d\u00e9cimale de 7 x \"10^k\" est (7+ 0 + 0 + … +0) = 7,<\/p>\n

ce qui n’est pas divisible par 11,<\/p>\n

alors l’\u00e9galit\u00e9 7 x \"10^k\" = 11\"p\" est impossible.<\/p>\n

D’o\u00f9 la contradiction.<\/p>\n

Corrig\u00e9 exercice 3 : Rationalit\u00e9 de racine de 2<\/h2>\n

1- On suppose qu’il existe deux entiers non nuls premiers entre eux \"p\" et \"q\" tels que \"\sqrt{2}\" = \"\dfrac {p}{q}\" avec \"p\" \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et<\/p>\n

\"p\" \"\in\" \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n

Par hypoth\u00e8se, on a : \"\sqrt{2}\" = \"\dfrac {p}{q}\"<\/p>\n

\"\sqrt{2}\" = \"\dfrac {p}{q}\" \"\iff\" \"q\"\"\sqrt{2}\" = \"p\"<\/p>\n

\"\sqrt{2}\" = \"\dfrac {p}{q}\" \"\iff\" 2\"q²\" = \"p²~\" (on passe au carr\u00e9)<\/p>\n

Ce qui donne 2\"q²\" = \"p²\", c’est-\u00e0-dire que \"p²\" est un nombre pair.<\/p>\n

Comme un entier est pair si et seulement si son carr\u00e9 est pair, alors \"p\" est un nombre pair.<\/p>\n

Donc il existe k tel que \"p = 2k\".<\/p>\n

2 – D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente :<\/p>\n

2\"q²\" = \"p²\" et \"p = 2k\" pour un entier \"k\".<\/p>\n

Donc<\/p>\n

2\"q²\" = \"p²\" \"\iff\" 2\"q²\" = \"(2k)²\"<\/p>\n

2\"q²\" = \"p²\" \"\iff\" 2\"q²\" = \"4k²\"<\/p>\n

2\"q²\" = \"p²\" \"\iff\" \"q²\" = \"2k²\"<\/p>\n

Avec le m\u00eame raisonnement que pr\u00e9c\u00e9demment, \"q²\" est un nombre pair. Donc \"q\" est un nombre pair.<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, 2 est un diviseur commun de \"p\" et de \"q\".<\/p>\n

Ce qui contredit l’hypoth\u00e8se selon laquelle \"p\" et \"q\" sont premiers entre eux.<\/p>\n

En conclusion, \"\sqrt{2}\" \"\notin\" \"\mathbb{Q}\" car \"\sqrt{2}\" ne peut pas se mettre sous la forme \"\dfrac {p}{q}\" avec \"p\" \"\in\" \"\mathbb{Z}\" et \"p\" \"\in\" \"\mathbb{N}^*\".<\/p>\n\t\t

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Corrig\u00e9 exercice 4 : Diagramme de Venn<\/h2>\n

Dans \"\mathbb{N}\" : 1 et 2020 par exemple<\/p>\n

Dans \"\mathbb{Z}\" : -200 et -2 par exemple<\/p>\n

Dans \"\mathbb{D}\" : -19,75 et 1,5 par exemple<\/p>\n

Dans \"\mathbb{Q}\" : –\"\dfrac {73}{7}\" et \"\dfrac {143}{3}\" par exemple<\/p>\n

Dans \"\mathbb{R}\" : –\"\sqrt{2}\" et \"\sqrt{3}\" par exemple<\/p>\n

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