{"id":86775,"date":"2021-01-08T15:57:06","date_gmt":"2021-01-08T14:57:06","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=86775"},"modified":"2022-07-22T15:10:01","modified_gmt":"2022-07-22T14:10:01","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-matrices-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-matrices-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les matrices terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Exercices sur les matrices en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Exercice avec des matrices carr\u00e9es d’ordre 2 en Terminale<\/h2>\n

D\u00e9terminer les r\u00e9els \"x\" et \"y\" tels que \"\begin{pmatrix} 1&-2\\-2&4\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x&y\\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 5&-6\\10&12\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Exercice autour d’une matrice \"A\" d’ordre 2<\/h2>\n

On note \"L = \begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix}\" et \"C = \begin{pmatrix} 3\\- 1 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer lorsqu’elles sont d\u00e9finies les matrices \"L \, A\", \"C \, A\", \"A \, C\", \"A \, L\" et donner les r\u00e9ponses en fonction de \"C\" ou \"L\".<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

La matrice \"A - 5 \, I_2\"\u00a0 est inversible ou non inversible ?<\/p>\n

Question 3 : <\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer l’ensemble des r\u00e9els \"x , y\" tels que \"A \,X = O\" lorsque \"X = \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}\"
\n(\"O\" est la matrice colonne \u00e0 deux lignes nulles).<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"A\" est une matrice inversible ou non inversible ?<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercices de matrices d’ordre 3 en Terminale<\/h2>\n

Exercice 1 sur les matrices d’ordre 3 :<\/h3>\n

Soit \"A = \begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

Calculer \"A ^n\" si \"n \in \mathbb{N }^*\".<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

La formule obtenue dans la question 1 est valable pour \"n = - 1\"<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice 2 sur les matrices d’ordre 3 en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

Avec une calculatrice, calculer l’inverse de \"A = \begin{pmatrix} 1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre matriciellement le syst\u00e8me \"\qquad \quad \left \{ \begin{matrix} x - y + z = 3\\x + y - z = - 1\\ - x + y + z = 5\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Exercice sur les calculs matriciels en terminale maths expertes<\/h2>\n

On consid\u00e8re les matrices<\/p>\n

\"A = \begin{pmatrix} 2&1\\-1& 0\\1&2 \end{pmatrix}\", \"B = \begin{pmatrix}2&1&-3\\2&1&2 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"C = \begin{pmatrix} 5\\1\\4 \end{pmatrix}\", \"D =\begin{pmatrix} 2& - 1& 1\\0 &1& 0\\1 &3 &2\\0& 0 &1 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

Lorsque c’est possible, calculez les matrices \"A\, B\", \"B\, A\", \"A \,B\, A\", \"B \, C\", \"D\, A\", \"A\, B\, C\", \"B\, C\, D\".<\/p>\n

Exercice sur les matrices avec de la trigonom\u00e9trie en terminale<\/h2>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\" et \"t \in \mathbb{R}\", \"\left ( R(t) \right ) ^n = R(n \, t)\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Exercice pour d\u00e9terminer une suite en maths expertes<\/h2>\n

On consid\u00e8re la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par : \"u_0 = 1, u_1 = 6\" et, pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+2} = 6\, u_{n+1} -8\, u_n\".<\/p>\n

On consid\u00e8re de plus les matrices \"B = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\", \"C = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}\" .<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

Montrer par r\u00e9currence<\/a> que, pour tout entier naturel \"n \geqslant 1\", on a : \"\qquad \quad A^n = 2^n\, B +4^n\, C\".<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

Pour tout entier naturel \"n\", on a : \"Un = A^n\, U_0\,\".<\/p>\n

Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Correction de l’exercice sur des matrices carr\u00e9es d’ordre 2<\/h2>\n

\"\begin{pmatrix} 1&-2\\-2&4\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x&y\\3&4\end{pmatrix}\" \"\qquad \qquad = \begin{pmatrix} x - 6&y-8\\-2\, x + 12& - 2\, y + 16 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad = \begin{pmatrix} - 5&-6\\10&12\end{pmatrix}\"<\/p>\n

On obtient le syst\u00e8me \"\qquad\left \{ \begin{matrix} x - 6 &= &- 5 \\ - 2\, x + 12 &=& 10\\ y - 8&=&-6\\-2\, y + 16 &=&12\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} x &= &1 \\ - 2\, x &=& - 2\\ y &=&2\\-2\, y &=&-4\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\boxed{x = 1}\" et \"\boxed{y = 2}\".<\/p>\n

Correction de l’exercice autour d’une matrice \"A\" d’ordre 2<\/h2>\n

Question1 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"L\" est de type \"(2 , 1)\", \"C\" de type \"(2 , 1)\" et \"A\" carr\u00e9e d’ordre \"2\".
\nOn peut d\u00e9finir \"L\, A\" et \"A \, C\" mais on ne peut pas d\u00e9finir \"C \, A\" et \"A \, L\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"L\, A = \begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"L \, A = \begin{pmatrix} 1\times 3 + 2 \times 1 &-1 \times 6 - 2 \times 2 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"L \, A = \begin{pmatrix} 5&-10\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\boxed{ L \, A = 5 \, L}\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"A \, C = \begin{pmatrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3\\- 1 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"A \, C = \begin{pmatrix} 3 \times 3 + 6 \times 1 \\- 1 \times 3 - 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15\\- 5 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\boxed{A \, C =5 \, C }\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On note \"I\" la matrice identit\u00e9 d’ordre 2.
\nLa matrice \"O\" qui intervient dans la suite<\/a> est la matrice colonne nulle \u00e0 deux lignes.<\/p>\n

On a vu que \"A \, C = 5 \, C\", donc \"A \, C - 5 \, C = O\" soit \"A \, C - 5 \, I \, C = O\"
\nou encore \"(A - 5 \, I) \, C = O\"<\/p>\n

Si la matrice \"B = A - 5\, I\" \u00e9tait inversible, en multipliant \u00e0 gauche la relation \"B \, C = O\", par la matrice \"B ^{ - 1}\", on aurait \"B ^{ - 1} \,( B \, C )= B ^{- 1} \times O\" soit \"\left ( B ^{ - 1} \, B \right ) \, C = O\" soit \"I \, C = O\" donc \"C = O\", ce qui est impossible.<\/p>\n

La matrice \"A - 5 \, I\" n’est pas inversible.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" \"A \, X = O\" ssi \"\begin{pmatrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

ssi \"\begin{pmatrix} 3\, x - 6\, y \\- x + 2\, y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} 3\, x - 6 \, y = 0\\ - x + 2 \, y = 0\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Les deux \u00e9quations \u00e9tant identiques \u00e0 un facteur multiplicatif pr\u00e8s ssi \"\boxed{x = 2 \, y}\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant \"X_0 = \begin {pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\", \"A \, X_0 = O\".<\/p>\n

Si \"A\" \u00e9tait inversible, en multipliant \u00e0 gauche par \"A ^{ - 1}\" : \"A^{ - 1} \, A \, X_ 0= O\" donc \"X _ 0 = O\" ce qui est absurde.<\/p>\n

\"A\" n’est pas inversible.<\/p>\n

Correction des exercices sur les matrices d’ordre 3<\/h2>\n

Correction de l’exercice 1 sur les matrices d’ordre 3 :<\/h3>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

On calcule les premi\u00e8res valeurs de \"A ^n\" ce qui conduit \u00e0 poser une conjecture que l’on d\u00e9montre par r\u00e9currence.<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^ *\", \"\mathcal{P}(n)\" : \"A^n = \begin{pmatrix} 1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"\ast\" Initialisation<\/em><\/strong> \"\mathcal{P}(1)\" est \u00e9vidente.<\/p>\n

\"\ast\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/em><\/strong>
\nOn suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie<\/p>\n

\"A ^{n + 1} = A ^n \, A\"<\/p>\n

\"A ^{n + 1} = \begin{pmatrix} 1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

donc \"A ^{n + 1} = \begin{pmatrix} 1&0&n + 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion<\/em><\/strong>
\nLa propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Vrai,<\/p>\n

On introduit \"B\" la matrice obtenue en rempla\u00e7ant \"n\" par \"- 1\" :<\/p>\n

\"\qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 1&0&- 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Un calcul simple donne \"A \, B = I_3 = B \, A\"<\/p>\n

Donc \"A\" est inversible et \"A ^{ - 1} = B\".<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 est donc encore vraie pour \"n = - 1\".<\/p>\n

Correction de l’exercice 2 sur les matrices d’ordre 3 en Terminale G\u00e9n\u00e9rale :<\/h3>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"A ^{- 1} = \dfrac 1 2 \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On \u00e9crit le syst\u00e8me sous la forme
\n\"A \, X = Y\" o\u00f9 \"X = \begin{pmatrix} x \\y \\z \end{pmatrix}\" et \"Y = \begin{pmatrix} 3\\ - 1\\ 5 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

Comme \"A\" est inversible d’ordre 3, on peut multiplier la matrice \"A \, X\" de type \"(3 , 1)\" \u00e0 gauche par la matrice \"A ^{ - 1}\" :<\/p>\n

On obtient \"A ^{ - 1} \, A \, X = A ^{ - 1} \, Y\" soit \"I_3\, X = A ^{ - 1}\, Y\" donc \"X = A ^{ - 1}\, Y\".<\/p>\n

Dans le cours, on a vu que la r\u00e9ciproque est vraie.<\/p>\n

\"X = \dfrac 1 2 \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} 3\\ - 1\\ 5 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"X = \begin{pmatrix} 2/2\\ 4/2\\ 8/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\4\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Les solutions sont \"x = 1\", \"y = 2\" et \"z = 4\".<\/p>\n

Correction de l’exercice sur les calculs matriciels en maths expertes<\/h2>\n

Il faut bien s\u00fbr avant tout calcul v\u00e9rifier que le produit est d\u00e9fini.
\nJe donne uniquement les r\u00e9sultats dans la suite :<\/p>\n

\"A\, B =\begin{pmatrix} 6&3&-4\\-2&-1&3\\6&3&1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"B\, A =\begin{pmatrix}0&-4\\5&6 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"A \,B\, A = \begin{pmatrix} 5&- 2\\0&4\\ 10&8 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"B\, C= \begin{pmatrix} -1\\19 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"D \, A = \begin{pmatrix}6&4\\ - 1&0\\1&5\\1&2 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"D\, C = \begin{pmatrix}13\\ 1\\ 16\\ 4 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"A\, B\, C= \begin{pmatrix} 17\\ 1\\ 37\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Le produit \"B \,C\" n’a pas de sens car \"B\" est de type \"(2,3)\" et \"C\" de type \"(4,3)\", donc \"B\, C \, D\" n’a pas de sens.<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

Correction de l’exercice sur les matrices avec de la trigonom\u00e9trie<\/h2>\n

Vrai,<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"\mathcal{P}(n)\" : \"\left ( R(t) \right ) ^n = R(n \, t)\"<\/p>\n

\"\ast\" Initialisation<\/em><\/strong>
\n\"\left ( R(t) \right ) ^0 = I_2\" et \"R(0 \times t) = R(0) = \begin{pmatrix} \cos 0 & - \sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{pmatrix} = I_2\"
\ndonc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/em><\/strong>
\nOn suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

\"\qquad \left ( R(t) \right ) ^{n + 1} = \left ( R(t) \right ) ^n \times R(t)\".<\/p>\n

Par \"\mathcal{P}(n)\", \"\left ( R(t) \right ) ^{n + 1} = R(n \, t) \times R(t)\"<\/p>\n

\"\left ( R(t) \right ) ^{n + 1} = R(n \, t + t) = R \left ( (n + 1) \, t \right )\".<\/p>\n

On a donc obtenu \"\mathcal{P}(n + 1)\".<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion <\/em><\/strong><\/p>\n

Par r\u00e9currence, \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour tout entier \"n\".<\/p>\n

Correction de l’exercice pour d\u00e9terminer une suite avec des matrices<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"n \in\mathbb{N}\", on note<\/p>\n

\"\qquad \mathcal{P}(n)\", \"A^n = 2^n\, B +4^n\, C\".<\/p>\n

\"\ast\" Initialisation.<\/em><\/strong>
\nSi \"n = 1\",<\/p>\n

\"2^n\, B +4^n\, C = 2\, B +4 \, C\" \"=2\, \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix} + 4\, \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"= \begin{pmatrix} 4&-1\\8&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4&2\\-16&8\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"= \begin{pmatrix} 0&1\\-8&6\end{pmatrix} = A\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9.<\/em><\/strong>
\nOn suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

On \u00e9crit \"A ^{n + 1} = A^n \times A\"<\/p>\n

\"= \left ( 2^n \, B + 4 ^n \, C \right ) \, \left ( 2 \, B + 4 \, C \right )\"<\/p>\n

\"A ^{n + 1} = 2 ^{n + 1} \, B ^2 + 2 ^n \times 4 \, B \, C\" \"\qquad \qquad +\, 4 ^n \times 2 \, C \, B+ 4 ^{n + 1} C ^2\".<\/p>\n

On fait quelques calculs interm\u00e9diaires :<\/p>\n

\"B ^{2} = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\" \"B ^2 = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix} = B\"<\/p>\n

\"C ^2 = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}\" \"C ^2 = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix} = C\"<\/p>\n

\"B \, C = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}\" \"B \, C = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix} = O_2\"<\/p>\n

\"C \, B = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\" \"C\, B = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix} = O_2\"<\/p>\n

donc \"A ^{n + 1} = 2 ^{n + 1} \, B + 4 ^{n + 1} C\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion :<\/em><\/strong> la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence sur \"n\".<\/p>\n

On remarque que la propri\u00e9t\u00e9 est aussi vraie au rang 0 car si \"n = 0\",
\n\"2^n\, B +4^n\, C = B + C = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"2 ^0 \, B + 4 ^0 \, C = I_2 = A ^0\",
\ndonc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Vrai,<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\", on note \"\mathcal{P}(n) :\" \"Un = A^n\, U_0\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Initialisation.<\/em><\/strong>
\nSi \"n = 0\", \"A ^0 = I_2\"<\/p>\n

\"A^0 \, U_0 = I_2 \, U_0 = U_0\,\", donc \"\mathcal{P}(0)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/strong>.<\/em>
\nOn suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie.<\/p>\n

\"U_{n + 1} = A \, U_n = A \, \left ( A^n\, U_0 \right ) = \left ( A \, A ^n \right ) \, U_0\"<\/p>\n

\"U_{n + 1} = A ^{n + 1} \, U_0\,\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\mathcal{P}(n + 1)\" est vraie.<\/p>\n

\"\ast\" Conclusion :<\/em><\/strong> la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence sur \"n\".<\/p>\n

Lire son cours de maths n’est pas suffisant pour \u00eatre certain d’avoir assimil\u00e9 le cours dans son int\u00e9gralit\u00e9. C’est pourquoi les entrainements sur des exercices de cours ou m\u00eame sur des annales de bac sont recommand\u00e9s. C’est en appliquant vos connaissances sur des cas concrets que vous pourrez vous rendre compte de vos acquis et de vos difficult\u00e9s. Apr\u00e8s avoir r\u00e9alis\u00e9 la s\u00e9rie d’exercices ci-dessus, v\u00e9rifiez vos acquis sur d’autres cours :<\/p>\n