Programme de maths en prépa MPSI

Les cours de maths en MPSI sont complexes et surtout très denses. En effet, les élèves vont assister à 12 heures de maths par semaine, et vont devoir assimiler énormément de notions rapidement. Les maths ont la place centrale de ce cursus, car elles représentent quasiment la moitié des heures de cours, et sont présentes dans la majorité des autres matières.

Elles visent à développer l’esprit d’analyse, la capacité à formuler et vérifier des hypothèses, à modéliser un problème en langage mathématique, à établir des raisonnements complexes argumentés et à les présenter de façon structurée et plus rigoureuse.

Organisation du Programme de maths en prépa MPSI:

Le  programme de maths en prépa MPSI est double, il est en continuité avec ce qui a été vu au lycée mais amène également à une initiation de ce qui sera vu en école d’ingénieur.

Il se divise en deux semestres distincts. Le premier a pour objectif de consolider le raisonnement logique et les techniques de calcul des élèves. Les taupins doivent mettre en place des stratégies, apprendre à modéliser, argumenter, calculer et s’exprimer, aussi bien à l’écrit qu’à l’oral. Il y a un approfondissement des notions de terminale S, mais également une révision des bases afin d‘éviter de trop grandes lacunes. Le second semestre développe les notions vues au premier semestre, et les complexifient.

Il y a un lien entre toutes les parties du programme de Maths, mais également avec celles des autres matières. Le contenu des cours de maths en prépa MPSI n’est pas seulement théorique, les élèves assimilent également le contenu culturel et historique des mathématiques. Ils sont amenés à développer des algorithmes.

Le programme s’organise, dans la continuité de la terminale S, autour de trois grands axes :

  • Analyse : le programme est centré sur l’étude des fonctions (dérivation, limites, calcul de primitives) et des suites, complété par l’introduction de la notion de séries. La résolution d’équations différentielles à plusieurs variables est également un élément important en raison de son lien avec le programme de physique
  • Algèbre : les éléments d’arithmétique et de polynômes sont approfondis dans ce domaine ; l’algèbre linéaire et la nouveauté de la notion de matrice sont introduites par la résolution des systèmes linéaires (plusieurs équations à inconnues) ; la topologie (étude des espaces mathématiques) aborde les espaces euclidiens et vectoriels. La partie Algèbre est souvent difficile à appréhender par les élèves, car elle constitue une partie nouvelle pour les élèves en termes d’objets…
  • Probabilités : à partir des éléments de dénombrement, le programme traite principalement des probabilités sur un univers fini et des variables aléatoires et enseigne les lois usuelles régissant ces variables

Les contenus du programme de maths en MPSI:

Au premier semestre, 10 chapitres sont étudiés. Les connaissances vues dans les différents chapitres sont souvent présents dans plusieurs ; se complétant, complexifiant et justifiant de nouvelles notions.

Les élèves vont développer un vocabulaire plus spécifique et complet, de même pour les notations et les différents raisonnements (par récurrence, par l’absurde, par analyse-synthèse) , afin d’appréhender les nouvelles notions sereinement.  Les différents ensembles, sous ensembles, ainsi que leurs opérations sont approfondis, ainsi que les différentes applications et relations telles que l’injection, la surjection, la relation binaire, d’équivalence et d’ordre.

Sont étudiés plus profondément les coefficients binomiaux, les systèmes linéaires et interprétation géométrique. Les nombres complexes et la trigonométrie sont approfondis par rapport au lycée, au travers d’étude algébrique, d’interprétation géométrique et exponentielle complexe, de l’utilisation du cercle trigonométrique et des racines n-ième.

Les Nombres réels et suites numériques sont appréhendés selon différents aspects : Aspects qualitatif (monotonie, convergence, divergence) et quantitatifs (encadrement, vitesse de convergence, de divergence), et sont utilisés pour introduire de nouvelles notions, notamment les suites pour les séries numériques.

L’arithmétique est introduit, même si les terminales S ayant choisi la spécialité maths ont déjà eu un aperçu de ses éléments, les cours de maths développent et complexifient l’arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs. L’arithmétique s’étudie au travers des notions telles que la divisibilité des entiers et congruences, la division euclidienne (découverte au collège), le PGCD, l’algorithme d’Euclide, le PPCM (nouveauté), et les entiers premiers entre eux, entre autre.

Les cours de maths en MPSI deviennent très théoriques avec l’étude des anneaux et des corps de polynômes.  (degré, composition)

Le second semestre  est composé de 8 chapitres, où les taupins vont étudier les notions fondamentales de l’algèbre linéaire et des espaces préhilbertien. Il y a un véritable prolongement du chapitre d’analyse, et des justifications des notions vues au premier semestre, notamment concernant les espaces vectoriels et les applications linéaires. (avec les endomorphismes, isomorphismes)

Les élèves vont découvrir le calcul matriciel, ses généralités,  son interprétation et son lien avec les applications linéaires. Les espaces préhilbertiens  permettent de généraliser les produits scalaires et de résoudre des problèmes plus abstraits, et d’approfondir l’étude géométrique euclidienne.

Enfin, l’étude des probabilités est en parfaite continuité avec ce qui a été vus depuis le collège, toutefois, les notions sont approfondies et mêlées à celles de l’ensemble du programme.

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