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Fonctions affines en seconde : exercices

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Seconde Générale

Ces exercices de fonctions affines seconde permettent aux élèves de s’assurer d’avoir bien compris le cours en ligne de maths de seconde et d’être capable de le mettre en application.

D’autres exercices présents sur notre site permettent aux élèves de s’entraîner sur d’autres chapitres : exercices d’arithmétique, exercices sur les variations de fonction, etc..

Exercice fonction affine n°1

Dans chacun des cas suivant, déterminer l’expression de la fonction affine $f$ :

1. L’image par $f$ de $5$ est $-1$ et $-2$ a pour antécédent $3$ .

2. La droite représentative de $f$ passe par les points $A(-3;2)$ et $B(-5;1)$ .

3. La droite représentative de $f$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{3}{2}$ et $f(6)=-1$ .

4. $f(6)-f(3)=6$ et $f(10)=1$ .

5. La fonction $f$ a pour tableau de variation :

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Exercice fonction affine n°2

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ de la forme $f(x)=mx+p$ avec $m,p\in \mathbb{R}$ . On suppose que tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b \ f(a) > f(b)$ (*).

1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Donner une fonction affine qui satisfait (*). Démontrer que votre fonction satisfait (*).

Exercice fonction affine n°3

On considère une fonction affine $f$ de la forme $f(x)=mx+p$ avec $m,p\in \mathbb{R}$ .

On donne le script en Python suivant:

Qu’affiche cette fonction pour $m=-2$ ? m=2?

Correction de l’exercice 1 sur la fonction affine

1. $f(5)=-1$ et $f(3)=-2$

$\Longleftrightarrow \big[m\times 5 + p = -1 \big]$ et $\big[ m\times 3 + p = -2 \big]$ .

Cette équivalence permet d’obtenir le système d’équations à deux inconnues ( $m$ et $p$ ) suivant:

$\left\{ \begin{array}{ll} 5m + p =-1 \\ 3m + p =-2 \end{array} \right.$

Par soustraction, on obtient $(5m + p) - (3m + p)=1$ . Ce qui donne $m=\dfrac{1}{2}$ .

Par substitution, en remplaçant la valeur de $m$ dans la première équation, on obtient $5\left(\dfrac{1}{2}\right) + p=-1$ .

Ce qui donne $p = -1-5\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{7}{2}$ .

Par conséquent, pour tout réel $x$ , $f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{7}{2}$ .

2. La droite représentative de $f$ passe par les points $A(-3;2)$ et $B(-5;1)$ , alors $f(-3)=2$ et $f(-5)=1$ . Ce qui donne le système d’équations linéaires :

$\left\{ \begin{array}{ll} -3m + p =2 \\ -5m + p =1 \end{array} \right.$

Par soustraction, on obtient $(-3m + p) - (-5m + p) = 1$ .

Donc, $m=\dfrac{1}{2}$ .

Par substitution, en remplaçant la valeur de $m$ dans la première équation, on a $-3\left(\dfrac{1}{2}\right) + p =2$ .

Ce qui donne $p = 2+3\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{2}$ .

Par conséquent, pour tout réel $x$ , $f(x)=\dfrac{1}{2}x+ \dfrac{7}{2}$ .

3. Sous la forme $f(x)=mx+p$ , le réel $m$ correspond au coefficient directeur de la droite représentative de $f$ alors que $p$ correspond à l’ordonnée à l’origine de cette droite.

Ainsi $m=-\dfrac{3}{2}$ .

Comme $f(6)=-1$ alors $-\dfrac{3}{2}\times 6+p =-1$ .

Ce qui donne $p=8$ .

Par conséquent, pour tout réel $x$ , $f(x)=-\dfrac{3}{2}x+8$ .

4. On a $f(6)=6m+p$ et $f(3)=3m+p$ , alors $f(6)-f(3)=6$ donne l’équation $3m=6$ .

Donc, $m=2$ .

Comme $f(10)=1$ alors $2\times 10 +p =1$ . Ce qui donne $p=-19$ .

Par conséquent, pour tout réel $x$ , $f(x)=2x-19$ .

5. Par lecture du tableau de variation de $f$ , on a :

$\big[f(-4)=-2\big]$ et $\big[f(2)=-6 \big]$ qui sont équivalentes à $\big[m\times (-4) + p = -2 \big]$ et $\big[m\times 2 + p = -6 \big]$ .

Cette équivalence permet d’obtenir le système d’équations à deux inconnues:

$\left\{ \begin{array}{ll} -4 m + p & =-2 \\ \ \ 2 m + p & =-6 \end{array} \right.$

Par soustraction, on obtient $(-4m+p) - (2m+p) =4$ .

Donc, $m=-\dfrac{2}{3}$ .

Par substitution, en remplaçant la valeur de $m$ dans la première équation, on a

$-4\left(-\dfrac{2}{3}\right) + p =-2$ . Ce qui donne $p = -2-4\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{14}{3}$ .

Par conséquent, pour tout réel $x$ , $f(x)=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{14}{3}$ .

Correction de l’exercice 2 sur la fonction affine

1. Par hypothèse de l’énoncé, pour tous réels $a$ et $b$ , $a < b$ implique $f(a) > f(b)$ . C’est-à-dire que la fonction $f$ inverse l’ordre sur $\mathbb{R}$ . Donc, elle est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

2. On peut prendre la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-4x+1$ . On veut montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ . Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ .