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Corrigé du sujet EM Lyon Maths ECS 2017
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Problème I. Matrice, Polynome, Intégrale
Partie I : Étude d’un exemple
1/ La matrice est triangulaire avec un 0 sur la diagonale donc elle n’est pas inversible. Elle a une colonne nulle et les deux autres ne sont pas proportionnelles donc son rang est 2.
2/ La matrice est triangulaire donc ses valeurs propres sont les coefficients sur sa diagonale donc le spectre de la matrice est . Comme elle est dans avec 3 valeurs propres, elle est diagonalisable dans et ses sous-espaces propres sont de dimension 1.
3/ Il est immédiat que donc qui est non nul est un vecteur propre de associé à 0, il formera la première colonne de
Pour trouver un vecteur propre de associé à 2, on résout d’inconnues dans On obtient le système
Donc qui est non nul est un vecteur propre de associé à 2, il formera la deuxième colonne de
Pour trouver un vecteur propre de associé à 6, on résout d’inconnues dans On obtient le système :
Donc qui est non nul est un vecteur propre de associé à 6, il formera la troisième colonne de
On pose
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Partie II : Étude d’un endomorphisme d’un espace de polynômes
4/ Pour tout polynôme de donc est bien un polynôme comme dérivée d’un polynôme. De plus donc donc car est de degré 2.
Donc donc
Montrons que est linéaire. Soit On utilise la linéarité de la dérivation ainsi
Donc
5/ On a Pour
La matrice de dans la base est donc triangulaire avec des termes diagonaux de la forme où Il y a deux termes non nuls sur chaque colonne sauf sur la première qui est nulle.
6/ n’est pas bijectif car son noyau contient 1. On sait que
Ainsi la famille engendre , elle contient polynômes non nuls et étagés en degrés donc elle est libre et forme une base de qui est donc de rang
Le théorème du rang appliqué à sur de dimension finie indique alors que est de dimension 1 donc tout polynôme non nul de forme une base de . Or le polynôme est dans ce noyau donc est une base de
Bilan :
7/ La matrice est triangulaire donc son spectre est formé des termes diagonaux c’est-à-dire Comme la fonction est strictement croissante sur , elle est injective sur donc l’ensemble contient autant de termes que l’ensemble c’est-à-dire
Comme est de dimension , l’endomorphisme
Partie III : Équivalent de lorsque tend vers
8/ Soit et .
existe et est à valeur réelle car c’est l’intégrale d’une fonction continue sur un segment.
La commutativité du produit dans assure que
la linéarité de l’intégration assure que
On a car c’est l’intégrale d’une fonction positive avec des bornes dans l’ordre croissant.
Si est le polynôme nul, alors
Réciproquement si alors comme est une fonction continue, positive et que on sait que est nulle sur par stricte positivité de l’intégrale.
Donc a une infinité de racines donc c’est le polynôme nul, de même pour
Finalement est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur donc c’est un produit scalaire sur .
9/ Soit
On fait une intégration par parties avec :
, , ,
Les fonctions sont polynomiales donc sur Ainsi
10/ Vu les rôles symétriques de et dans cette dernière expression, il est clair que est un endomorphisme symétrique de pour le produit scalaire
En effet :
Donc
car symétrique sur un -espace vectoriel.
11/ a/ Soit car est positif sur ainsi que , c’est donc l’intégrale d’une fonction positive avec des bornes dans l’ordre croissant.
11/ b/ Soit de . On a
car la fonction est continue positive sur
Cela équivaut à dire que le polynôme a une infinité de racines c’est-à-dire qu’il est nul c’est-à-dire que est le polynôme nul car n’est pas le polynôme nul.
Finalement :
Partie IV : Retour sur l’exemple de la partie I
12/ donc on obtient la matrice
13/ Avec la question 3 de la partie I, on sait que
est vecteur propre de associé à 0
est vecteur propre de associé à 2
est vecteur propre de associé à 6
Ces vecteurs propres sont deux à deux orthogonaux car est symétrique pour et car les valeurs propres sont deux à deux distinctes.
Ils forment une base de il reste à les normer en les divisant par leurs normes respectives. On montre facilement que, pour tout
est de norme 1 car
Par ailleurs :
Donc
Et
Donc
Donc on pose
14/ La matrice de dans est .
On pose tel que
ainsi donc
On utilise le fait que est une base orthonormale de formées de vecteurs propres de on pose et alors
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Problème 2 : Limite d’une intégrale et suites de variables aléatoires
Partie I : Premières propriétés de la fonction
1/ On pose, pour tout sur Comme est polynomiale strictement positive sur on peut composer par et est (et aussi ) sur On peut multiplier par et composer par exponentielle, la fonction est positive et (et aussi ) sur
On a car
Comme , on a , donc converge donc par comparaison converge.
Par continuité sur un segment, existe donc par somme converge.
Bilan :
2/ Soit on a , pour tout donc On compose par exponentielle qui est croissante sur ainsi .
On intègre de 0 à avec des bornes dans l’ordre croissant, cela donne
Bilan :
3/ a/ Soit A>0,
Bilan :
3/ b/ Soit Soit On pose :
Les fonctions sont sur
On a car
De sorte que, par passage à la limite,
Bilan :
On développe et donc donc
3/ c/
function H=emlyon17(n)
H=pi/2
for k=2:n ( H vaut H(k-1) )
H=(2*(k-1)-1)*H/(2*(k-1)) // H vaut (2*(k-1)-1)*H(k-1)/(2*(k-1))=H(k)
end ( en sortie H vaut H(n) car la dernière valeur de k est n )
endfunction
3/ d/ On pose :
Au rang 1, Donc est vraie.
Supposons pour un on a
Donc est vraie.
Bilan :
Partie II : Étude de lorsque tend vers
4/ a/ La fonction sinus hyperbolique est une combinaison linéaire d’exponentielles de polynômes donc elle est dérivable sur et
Donc est continue, strictement croissante sur donc elle est une bijection de vers
Il est facile de voir que
Bilan :
Par réciprocité comme , on a et comme on a
4/ b/ Soit Le changement de variables est de classe sur
On l’applique sur avec
Ainsi
On peut faire tendre vers dans l’égalité
Bilan :
5/ a/ Soit car
Comme est positif, on a donc .
Bilan :
5/ b/ La fonction inverse est décroissante sur donc, pour tout
Soit on a donc la fonction est croissante sur donc
On multiplie par et on intègre selon sur avec des bornes dans l’ordre croissant.
Or
Par conséquent
Bilan :
6/ On a (par valeurs positives) donc Donc par minoration
Avec et on a aussi
Dons par théorème des gendarmes
Bilan :
Partie III : Étude de lorsque tend vers
7/ a/ On pose comme la fonction est sur .
Soit on peut appliquer l’égalité des accroissements finis sur . Et il existe tel que or donc et donc avec positif on a
Pour
7/ b/ On rappelle que pour une densité de loi est
Ici on pose On obtient .
Comme l’intégrale sur de vaut 1, converge et vaut
Par parité de converge et vaut
7/ c/ Soit avec la question 7.a. avec . On intègre de 0 à 1 avec selon ces fonctions continues,
7/ d/ Soit on a donc on compose par la fonction croissante sur puis on intègre selon sur avec des bornes dans l’ordre croissant. On peut le faire car on a reconnu une intégrale de Riemann convergente avec Ainsi
Bilan :
7/ e/ Il est clair que et donc par encadrement et .
Puis par somme de limites et relation de Chasles pour les intégrales convergentes,
8/ On note, pour tout
a/ Soit ,
On utilise on peut le faire car
Ainsi
On en déduit que
b/ On a Or la série de Riemann converge avec Donc par comparaison des séries à terme général positif, la série converge donc converge.
Bilan :
c/ Une série converge si et seulement si ses sommes partielles convergent or, pour tout
Notons la somme de , on a alors donc la suite converge. On note sa limite, donc la suite converge, on note sa limite, elle est strictement positive. Or en composant par exponentielle. Donc
car non nul.
Bilan :
9/ On a donc Pour tout , on a et est décroissante donc
On multiplie par et
Donc
Comme on a
Ainsi par encadrement car .
En effet
Partie IV : Étude d’une suite de variables aléatoires
10/ est définie sur elle y est positive, elle est continue sur et sur Comme est nulle sur on a :
.
Donc converge et vaut 1.
Bilan :
11/ On considère une variable aléatoire à densité, de densité
a/ Soit car nulle sur .
Soit
b/ a pour densité donc a une espérance si et seulement si l’intégrale converge.
Or et la fonction est positive sur
Comme l’intégrale diverge, n’a pas d’espérance.
12/ On considère une suite de variables aléatoires réelles à densité, à valeurs strictement positives, mutuellement indépendantes, dont chacune a pour densité
On définit, pour tout les variables aléatoires\quad et
a/ Soit de comme les sont à valeurs strictement positives, on a
donc
Soit est réalisé si et seulement si, pour tout est réalisé. Donc
Par indépendance mutuelle des on obtient
Bilan :
b/ On pose La fonction inverse est dérivable sur et est dérivable sur Donc par composition est dérivable sur .
Par somme, est dérivable sur et, pour tout
Donc la fonction est constante sur l’intervalle
Or
Finalement :
c/ Pour tout de
donc
d/ Pour tout de on sait que donc
et donc on pourra composer par
Par conséquent
On sait que car donc avec on a
car et
On en déduit que donc, sachant que est indépendant de on a
On peut composer cette limite par exponentielle qui est continue en
Donc
On en déduit que
On reconnait la fonction de répartition d’une loi exponentielle de paramètre
Bilan : la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable suivant une loi exponentielle de paramètre