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Corrigé du sujet ESSEC Maths ECS 2016
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Partie I :
1/ Soit . Pour tout , et on a
La série de terme général est une série de Riemann convergente. Donc la série de tg est convergente. Par théorème de comparaison pour les séries à terme positif, la série de tg converge. La série de terme général est alors absolument convergente donc convergente.
2/ a/ Pour tout , . De plus, pour tout , .
On en déduit .
Or, . D’où .
2/ b/ Soit et ,
2/ c/ Soit et . D’après l’égalité de la question 2.b,
On fait le changement d’indice dans la première somme et dans la seconde. On obtient
D’où,
Ainsi,
.
On fait tendre vers car tout converge dans cette égalité. Il vient
Par suite
3/ a/ Soit . Pour tout , et d’après la question 2.b qui reste encore valable pour (de façon immédiate) et pour car .
De même qu’à la question 1, la série de terme général (pour ) est absolument convergente donc convergente. On en déduit l’existence de et on a
3/ b/ Soit .
car comme déjà vérifié précédemment, .
3/ c/ Soit et . Pour tout ,
et
D’où,
Pour tout , on a donc
Or, pour tout , comme et ,
et
Dès lors, et
.
La série de tg est le multiple du terme général d’une série de Riemann convergente.
Par théorème de convergence pour séries à termes positifs, on en déduit que la série de tg converge. On peut alors faire tendre vers dans l’inégalité précédente car toutes les quantités convergent. On obtient
On a donc bien
3/ d/ Soit . D’après la question précédente, pour tout ,
. Par théorème d’encadrement, d’où . La fonction est donc continue en . Cette propriété est vraie pour tout de .
D’après la question 3.b, pour tout ,
Les fonctions , et sont continues sur ainsi que la fonction . Par somme, on en déduit que la fonction est continue sur .
Or, la fonction est périodique de période 1. Par suite,
4/ a/ D’après la question 3.b, pour tout , . Donc pour tout , .
D’après la question 3.d, donc . De plus, et . Par théorème d’opérations,
De plus, pour tout , car est impaire (d’après la question I.2.a). Or, d’après le calcul précédent, . D’où
On en déduit puis
Pour tout , . On en déduit par théorème d’opération et par continuité de sur
Or, et . D’où
Pour tout , on a
Or si , donc . D’où . On a donc
4/ b/ Pour tout , . Or, . Donc d’après les résultats de la question précédente, d’où
On a également d’après ce qui précède, pour , . Ainsi,
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Partie II :
5/ Soit . Pour tout , et . Par composition, la fonction est encore continue sur et à valeurs réelles. Donc .
Soit et . Pour tout ,
On a donc et
6/ a/ Soit . Pour tout ,
On a donc .
Par linéarité de l’endomorphisme , la famille étant une base de , on en déduit
6/ b/ On reprend les calculs de la question précédente :
La matrice de dans est donc triangulaire supérieure et
6/ c/ La matrice de dans la base est triangulaire supérieure. On en déduit directement les valeurs propres de qui sont les éléments diagonaux. Les valeurs propres de sont donc les
est un endomorphisme de qui est de dimension . De plus, a valeurs propres distinctes deux à deux. On en déduit que
7/ a/ D’après la question 6, on a donc . Par conséquent,
7/ b/ Comme est dans , pour tout ,
En appliquant cette égalité à , on obtient
d’où
Or étant le minimum de sur , on a d’où
Or . On en déduit
7/ c/ Montrons par récurrence que pour tout , .
L’égalité est immédiate par définition pour .
Soit . Supposons . On applique alors le résultat de la question 7.b à qui vérifie bien l’égalité demandée. On obtient ainsi
d’où
Par conséquent,
7/ d/ La fonction est continue sur et . En passant à la limite dans l’égalité démontrée à la question 7.c, on obtient
7/ e/ On applique ici l’égalité à . On obtient
d’où
Or étant le maximum de sur , on a d’où
Or . On en déduit
Par une récurrence du même type que celle réalisée à la question 7.c, on montre alors que pour tout , . Par continuité de en passant à la limite dans cette égalité, on obtient
7/ f/ On a démontrée aux questions 7.d et 7.e que . Or et . On en déduit
8/ a/ On note l’ensemble de définition de la fonction . On a pour ,
La fonction est donc définie sur . Elle y est continue comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout , et
La fonction est donc impaire.
Pour tout , et
La fonction est donc périodique de période .
8/ b/ donc . Comme , alors .
D’où, puis
De plus, pour tout , . On a . De plus, au voisinage de ,
et . D’où,
Ainsi,
8/ c/ car .
On a également, .
8/ d/ Soit . Si , alors avec d’où et c’est absurde. De même si , alors il existe tel que et , ce qui est absurde. Dès lors, et . Et, pour tout
Ainsi,
D’où,
à l’aide des formules de duplication.
9/ a/ Soit . Soit . On calcule
en regroupant les termes d’indices pair et impair dans les sommes. Alors,
En faisant tendre vers dans cette expression, il vient
De plus,
Et,
Avec la formule de la question 3.b., on trouve alors
9/ b/ La fonction est continue sur et périodique.
Pour , . Or, d’après la question 8.b, et d’après la question 4.a. On en déduit que et on prolonge par continuité en en posant
Pour , . Or, d’après la question 8.b, et d’après la question 4.a. On en déduit que et on prolonge par continuité en en posant . On conclut
9/ c/ La fonction est donc continue sur . De plus, d’après les question 8.d et 9.a, donc . D’après la question 7.f, la fonction est alors constante sur . Comme elle vaut en , on a pour tout , . La deux fonctions étant périodiques de période 1, on conclut :
10/ a/ Pour tout ,
Ainsi,
10/ b/ Soit .
Or, d’où
Pour tout et pour tout , donc . On en déduit
10/ c/ La fonction étant paire, il suffit de calculer la limite pour . On utilise l’inégalité établie à la question 10.b.
Par théorème d’encadrement, on a ainsi . Or, pour ,
Et, . D’où, par théorème d’opérations, . On en déduit
10/ d/ Pour ,
Or, d’où . D’après la formule établie à la question 10.a, on en déduit
Par unicité de la limite
*
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Partie III : Développement eulérien de la fonction sinus
11/ Soit . . Alors . Par comparaison avec le tg positif d’une série convergente, on en déduit que la série est absolument convergente, donc convergente.
12/ a/ Soit . Par linéarité de l’intégrale,
Donc,
12/ b/ La fonction est continue sur d’après la partie I, d’après le théorème d’opérations. De plus, d’après la question I.4.a, la fonction est prolongeable par continuité en . On en déduit que pour , l’intégrale converge.
12/ c/ Soit .
Or, pour tout , donc pour tout , d’où . D’où,
Or, . On en déduit
12/ d/ Soit . D’après les questions précédentes, on en déduit pour tout ,
La série de terme général étant convergente, . De plus, . On en déduit d’après le théorème d’encadrement et l’unicité de la limite
12/ e/ Soit . D’après la question II.9, on a pour tout ,
Or, d’où . En passant à la limite dans l’expression précédente, on en déduit :
13/ a/ Soit . Pour tout et pour tout , donc , d’où . La suite convergeant, on en déduit par somme que la suite converge. On en déduit que la suite est convergente.
13/ b/ Soit . La fonction étant continue sur , en passant à la limite dans l’égalité précédente, il vient
D’où,
13/ c/ Soit . Il existe tel que pour tout , d’où . De la même manière qu’à la question 11/, on montre que la série converge. Dès lors la suite converge. En la multipliant par un nombre fini de termes, il vient que la suite converge.
13/ d/ Soit et .
13/ e/ Soit . D’après la question précédente, pour tout ,
. En passant à la limite dans l’expression précédente, on obtient
Pour tout ,
La fonction est alors -périodique sur .
13/ f/ Soit , alors . Donc d’après la question 13.b. De plus, d’après la question 13.f, . On a donc montré que pour tout , . La fonction est -périodique sur tout comme la fonction . On en déduit alors
Partie IV : Un autre développement du sinus
14/ Soit . Pour tout , donc existe. De plus, . Par comparaison avec le multiple d’une série de Riemann convergente, la série de tg est absolument convergente, donc convergente.
15/ Soit . Soit .
Les fonctions et sont de classe sur . Par intégration par parties, il vient
Les fonctions et sont de classe sur . Par intégration par parties, il vient
Dès lors,
En utilisant la formule indiquée dans l’énoncé, on pouvait procéder autrement.
16/ Soit et .
a/ . Pour avec , et , d’où
De plus,
On en déduit que
16/ b/ Si avec , pour tout , donc .
16/ c/ Par linéarité de l’intégrale,
17/ Les fonctions et étant de classe sur , en intégrant par parties, on obtient
La fonction étant de classe , elle est bornée sur par un réel de même que sa dérivée par et que la fonction qui est bornée par . On a donc
Or, . D’où, d’après le théorème d’encadrement,
18/ a/ La fonction est de classe sur comme quotient de deux fonctions de classe dont le dénominateur ne s’annule pas.
Au voisinage de , comme et , on a
On en déduit au voisinage de . Or, , on en déduit que est continue en et dérivable en avec .
Or, pour tout ,
On détermine un équivalent de cette expression en considérant des développements limités d’ordre 2 du numérateur et du dénominateur. On obtient au voisinage de ,
D’où, . La fonction est donc continue en et on en déduit que
18/ b/ Soit . D’après la question 16.a, on a directement
De plus, d’après la question 16.b, donc . De plus,
On a donc le résultat voulu aussi pour .
18/ c/ Soit et soit . Par linéarité de l’intégrale,
En utilisant la quantité , on a encore avec la question 18.b
19/ a/ Soit . Partons de l’expression établie à la question 18.c. Pour tout , . De plus, la fonction étant de classe sur , on en déduit d’après la question 17 que
De plus, d’après la question 15, pour tout ,
Or, . Dès lors en passant à la limite dans l’expression établie à la question 18.c, on obtient
19/ b/ Soit . On a donc . En divisant l’expression de la question précédente par , on obtient
D’où,