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Corrigé du sujet ESSEC Maths ECS 2017
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Partie 0 : Étude d’un premier exemple dans
1/ On prend ici et . Soit comme , on a
Ainsi car Et
Donc et avec Finalement n’est pas un point extremal de
On donne un exemple ci-dessous avec donc
2/ On considère maintenant et . La question précédente montre avec de mineures adaptations qu’aucun point de n’est extremal de .
Montrons que 0 est extremal de Supposons qu’il existe dans tel que Or une somme de réels positifs est nulle si et seulement si tous les termes sont nuls donc ici Ainsi 0 est extrémal de
Montrons que 1 est extremal de Supposons qu’il existe dans tel que Si alors car . C’est absurde donc et Ainsi 1 est extrémal de
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Partie 1 : Étude d’un second exemple dans .
3/ a/
On voit alors que est un paramétrage du segment d’extrémités et dans
3/ b/ Soient et . Par calcul simple, on voit que
Comme on a , ainsi .
3/ c/ Soit est inversible si et seulement si si et seulement si si et seulement si Si c’est le cas alors
Voyons pour quelles valeurs de , on a
Si alors donc , on divise par et Donc
Si alors donc et
Si alors inversible d’inverse
Si alors inversible d’inverse
Bilan : est inversible avec si et seulement si ou .
4/ Points extrémaux de .
a/ On peut remarquer que, pour tout on a
Par conséquent, pour tout on a, en exploitant la question 2,
De même on peut remarquer que, pour tout on a
Par conséquent, pour tout on a, en exploitant la question 2,
Bilan : et sont des points extrémaux de .
4/ b/ Soit . On a Avec la question (3b), .
Comme on a donc n’est pas extrémal.
4/ c/ Soit , alors et .
On a donc
Bilan : n’est pas extrémal.
5/ Réduction simultanée des matrices de .
a/ Soit la matrice est non inversible si et seulement si si et seulement si
Les valeurs propres de sont et On voit facilement que et . Il y a deux valeurs propres dans , un espace de dimension 2, donc est diagonalisable et les deux SEP sont des droites.
Bilan : SEP( et SEP(.
b/ Il est clair que et donc et sont vecteurs propres de associés à 1.
Ainsi, pour tout de ,
Donc possède deux vecteurs propres formant une famille sur un espace de dimension 2 donc est diagonalisable avec la base de vecteurs propres suivante : . Les valeurs propres associées sont et . Il y a égalité entre et 1 si et seulement si
Dans tous les cas, selon le cours, est telle que, pour tout de , avec
c/ Soit dans . On note l’endomorphisme de représenté par la matrice dans la base canonique de .
On sait que est un projecteur de si et seulement si si et seulement si
On voit que donc
Comme est libre on a
Pour on a de noyau et d’image
Pour on a de noyau Vect( et d’image Vect(
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Partie 2 : Points extrémaux et diamètre d’une partie bornée d’un espace euclidien.
6/ est non vide donc on peut choisir un dans et le nombre est dans l’ensemble donc il est une partie non vide de .
Pour tout dans , par inégalité triangulaire donc l’ensemble est majoré par
7/ On considère donc tels que .
a/ par inégalité triangulaire.
Par définition du diamètre, on peut dire que
et . On somme ces inégalités et on divise par 2 pour obtenir
De sorte que, par double inégalité,
Si alors ne contient qu’un seul élément et il est extrémal dans
Si alors on peut diviser par ainsi
Par définition et , on sait que 1 est extrémal dans donc
Bilan : .
b/
Comme on peut les retirer simultanément et donc
c/ Les variables et jouent des rôles symétriques donc .
d/ Comme , on a donc et
donc
donc et
Bilan : et sont orthogonaux.
e/ et sont orthogonaux donc et sont orthogonaux. On peut appliquer le théorème de Pythagore et
car et sont dans
D’autre part donc donc et . On en déduit
Bilan : est extrémal dans
Remarque : de façon intuitive, s’il existe orthogonal à , alors on pourra trouver un vecteur dans tel que
ce qui est contradictoire avec la notion de diamètre. En ce sens est un point sur le « bord » de ce qui permet à d’être maximal.
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Partie 3 : Étude de l’ensemble des matrices bistochastiques et de ses points extrémaux.
8/ Premières propriétés de .
a/ Soit dans . Soit et, pour tout
De plus et .
Bilan : et .
On note , le vecteur colonne dont toutes les composantes valent 1.
b/ Soit . Soit le produit est un vecteur colonne dont le terme est car on multiplie la ligne de par une colonne de 1. Donc vaut 1.
Bilan : .
c/ Réciproquement, soit une matrice de dont tous les coefficients sont positifs, et vérifiant :
et . Alors pour tout on a et
Bilan : .
d/ Soit dans . Soit
donc
De même
Bilan : .
9/ a/ Si est l’identité de , alors donc car et co\ »\i ncident sur une base de et .
b/ Si est une permutation de , alors, pour tout donc dans la colonne de il y termes nuls et un terme égal à 1 qui est sur la ligne . Donc
Soit comme est une permutation de il existe un seul tel que donc la ligne de contient termes nuls et un terme égal à 1 qui est sur la colonne Donc
On remarque aussi que tous les coefficients de sont positifs car ils valent 1 ou 0.
Bilan : .
Ce qui précède permet de dire que, pour tout si et seulement si si et seulement si
Donc si et seulement si si et seulement si si et seulement si
Or si et seulement si si et seulement si
On voit que et ont des 1 sur les mêmes positions et des 0 sur les mêmes positions donc elles sont égales.
Bilan : .
c/ Soit , soit
Donc et coïncident sur une base de donc sont égaux.
Par conséquent de même
Par traduction matricielle dans la base canonique on a inversible et
d/ On vient de montrer que, pour tout , est inversible et Donc est orthogonale.
e/ On a vu que les matrices présentant sur chaque ligne et sur chaque colonne un 1 et fois 0.
Réciproquement soit une matrice d’ordre présentant sur chaque ligne et sur chaque colonne un 1 et fois 0.
Soit on note la ligne où se trouve l’unique 1 dans la colonne de On a bien s\^ur . On peut définir alors la fonction telle que, pour tout .
Si il y a un 1 sur la ligne et sur les colonnes et , par définition de cela implique donc est injective.
Comme il y a un 1 sur chaque ligne de on peut dire que est surjective.
Donc est une permutation de et
Bilan : les matrices sont exactement les matrices présentant sur chaque ligne et sur chaque colonne un 1 et fois 0.
10/ Soit . montrons que, pour tout on a
Par hypothèse les coefficients de sont positifs donc en effet la somme contient le terme est les autres sont positifs.
Soit dans telles que alors pour tout donc . On sait que vaut 0 ou 1 et que les deux sont extrémaux dans donc
Par conséquent
Bilan : est un point extrémal de .
11/ Etude d’un projecteur : on note et .
a/ Soit fixé dans . L’application est une bijection de dans lui même car l’application est bijective donc l’application existe et elle vérifie
On utilise la linéarité de pour écrire
or est une bijection de dans lui même donc d’où .
Bilan :
b/ Pour montrer que on calcule
car il y a termes dans l’indexation
Bilan : est un projecteur de .
c/ Comme est un projecteur, on sait que, pour tout , on a
Ainsi soit alors, pour tout on a
Réciproquement si, pour tout on a alors
Bilan : .
d/ Soit , il est facile de voir que, pour tout
en utilisant le fait que est une bijection et donc . Cela implique
Réciproquement soit tel que, pour tout Soit et distincts dans On considère la permutation qui échange et et laisse fixes les autres valeurs.
C’est-à-dire et, pour
On a :
Donc comme est sous-famille d’une base elle est libre et et cela pour tout donc
On en déduit que
Bilan :
e/ On a :
car
On en déduit que la matrice de dans une base orthonormée, est symetrique donc est un projecteur orthogonal.
On sait que les matrices ne contiennent que des 0 et des 1. On pose Soit est le nombre de permutations de qui, à associent Il y en a c’est-à-dire le nombre de façons de permuter les entiers de distincts de On en déduit que tous les ceofficients de valent . Donc en divisant par , on voit que a tous ses coefficients égaux à
f/ Les colonnes et lignes de contiennent chacune fois le terme qui est positif donc les sommes des termes valent 1 sur chaque ligne et colonne.
Bilan : .
12/ a/ Si et sont deux matrices de ,
b/ L’application est un produit scalaire sur , c’est un résultat classique du cours.
Si sont dans , on note ce produit scalaire, et la norme associée.
c/ Soit . On a . Or dans la matrice il y a coefficients valant 1, les autres sont nuls donc
d/ Dans cette question seulement, on suppose que . Soit et . Par définition
Or et donc donc et pour on a
Bilan : .
e/ Soit . Soit . On sait que les coefficients de sont positifs et que la somme des termes de chaque ligne vaut 1 donc tous les coefficients sont dans donc, pour tout on a
donc On en déduit que
Bilan : .
f/ On en déduit que
Or car les coefficients de et sont positifs.
Donc . On compose par la fonction racine carrée qui est croissante sur et
sachant qu’une norme est positive.
g/ Soit , on définit de la façon suivante. Pour tout si on pose , et si on pose Il est clair que a images distinctes et que est injectif donc est dans On remarque que, pour tout
On en déduit que . En effet,
pour tout si et seulement si car valent 1 ou 0.
Or si et seulement si et ce qui est impossible.
Bilan :
h/ La question 12(f) assure que diamètre de est dominé par Or il existe et dans tel que On sait que sont dans de sorte que
Donc cela implique que le majorant est un maximum et que le diamètre de est
La partie II assure alors que est un point extrémal de On peut faire ce raisonnement pour tout
Bilan : les matrices de permutation sont des points extrémaux de .
13/ a/
;
la matrice nulle de est dans qui n’est donc pas vide ;
soit alors, pour tout et .
Donc
Bilan : est un sous-espace vectoriel de .
b/ Soit qui à toute matrice de associe la matrice . L’action de consiste à supprimer la dernière ligne et la dernière colonne d’une matrice d’ordre , on obtient une matrice d’ordre
Soit
Donc
Montrons que est injective. Soit comme alors, pour tout la ligne de contient termes nul donc le terme est nul aussi car la somme vaut 0.
Il en va de même pour les premières colonnes, il reste le terme en position qui vaut 0 car tous les autres valent 0, finalement est la matrice nulle d’ordre
Montrons que est surjective. Soit Pour tout on pose de sorte que
Pour tout on pose de sorte que
Il reste à déterminer et à vérifier que
Pour cela on pose
On vérifie que
Ainsi la matrice est bien dans et elle est antécédent de par
est donc surjective.
Bilan : est un isomorphisme de dans donc la dimension de est celle de donc .
14/ On désire montrer que les matrices de permutation sont les seuls points extrémaux de .
On raisonne par récurrence sur . On note la proposition :
: Si est un point extrémal de , alors est une matrice de permutation.
a/ La question 4 montre que dans seuls et sont extrémaux et ce sont les seules matrices de permutation de
On considère un entier naturel tel que soit réalisé et on se donne une matrice \\telle que
est un point extrémal de .
On suppose d’abord que la matrice a au moins coefficients non nuls : il existe couples deux à deux distincts tels que est non nul.
On pose alors où les matrices sont les matrices élémentaires de la base canonique de , c’est-à-dire que est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception du coefficient d’indices qui vaut 1.
b/ On sait que et sont des sous-espaces de donc
En effet est de dimension car il a une famille génératrice à vecteurs qui est libre car sous-famille d’une base.
Or donc donc .
Bilan : .
c/ On prend non nul dans et pour tout réel , on note . On peut remarquer que, pour tout car est dans et est dans
De même .
Il reste à trouver tel que
On pose Comme l’ensemble
est non vide, fini et inclus dans , il a un minimum que l’on note
On sait que est dans et qu’il est non nul donc il existe des scalaires non tous nul tels que
On note , ce existe car l’ensemble est fini et car il y a au moins un terme strictement positif.
On pose Soit un réel prenons
Si alors
Sinon soit , comme , on a on multiplie par ainsi
Or donc de sorte que donc
et
Or est le minimum de donc .
Finalement pour tout .
d/ En considérant et comme on a et ,
de plus
avec
Donc n’est pas extrémal dans
On aboutit à une contradiction : on a donc prouvé que la matrice a au plus coefficicents non nuls.
e/ La somme des coefficients de chaque colonne de vaut 1 donc il y a au moins un terme non nul dans chaque colonne de Cela représente termes. Il en reste au plus non nul, comme il y a colonnes, il y a au moins une colonne sans deuxième terme non nul.
Bilan : il existe une colonne de n’ayant qu’un seul terme non nul, et que ce terme vaut 1.
On note l’indice d’une telle colonne et l’indice tel que .
f/ On sait que la somme des coefficients de la ligne vaut 1 or donc s’il y a un autre terme non nul, il est forcément strictement positif et . C’est absurde.
Bilan : la ligne d’indice de a tous ses coefficients nuls sauf .
g/ On considère alors la matrice obtenue à partir de en lui enlevant la colonne d’indice et la ligne d’indice .
On a d’ordre
Soit on a
Soit on a
Soit on a
Soit on a
Les coefficients de clairement positifs donc .
Montrons que est un point extrémal de . On se donne dans tels que
On ajoute à une colonne à la position et une ligne à la position en décalant les colonnes d’indices ou plus et les lignes d’indice ou plus. Cette colonne et cette ligne ne contiennent que des 0 sauf en position où le coefficient vaut 1. On note cette matrice d’ordre
On fait la même chose sur , on note la nouvelle matrice. On vérifie facilement que et sont dans Il suffit de reprendre la méthode du début de cette question. Par somme on remarque que Or, par hypothèse, est extrémal dans donc Donc
Bilan : est un point extrémal de
h/ On a supposé que est réalisé, comme est un point extrémal de , on peut dire que est une matrice de permutation de .
Donc ne contient que des 0 et des 1 et en ajoutant la colonne et la ligne pour reconstruire on voit que ne contient que des 0 et des 1 et comme est dans , on peut affirmer que est une matrice de permutation de . Donc est réalisé. Cela termine la preuve par récurrence.