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Corrigé du sujet HEC Maths 1 ECS 2016
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Partie I. Partitions de l’identité
1/ a/ est une matrice triangulaire, donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, donc
a une colonne nulle et deux colonnes non proportionnelles, donc
Donc, par le théorème du rang,
Et de même
admet deux valeurs propres et
donc donc
b/ Après calculs, on trouve : et
donc
donc
c/ Supposons qu’il existe un polynôme de degré
et annulateur de
On note avec
donc
donc
donc
Contradiction puisque
Donc
d/ est un polynôme annulateur de
, donc de
Donc donc
En prenant et
donc et
on a bien ,
et
Donc
2/ a/ est diagonalisable, donc
Pour la suite de la question, on pose
Soit Alors
Soit alors
Donc
Donc, par linéarité de
Donc donc
b/ Soit
Donc car
est un polynôme annulateur de
Donc donc
Donc
c/ Soit
est donné sous forme factorisée, donc les racines de
sont les réels
Et on a clairement
Donc .
Soit
donc
Soit
, donc
Soit
Ou bien . Alors
est vecteur propre de
associé à la valeur propre
donc
est vecteur propre de
associé à la valeur propre
donc
Ou bien et alors la formule précédente est clairement vraie.
D’où
Soit
On pose
Donc donc
et
d/ donc
L’inclusion inverse étant claire, on a
Or donc
donc
Comme la somme
est directe aussi
et
Notons alors, pour et
On a donc donc
Or une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est nulle, donc
Et comme on a toujours on en déduit que
Soit On a toujours
Donc
où
On note
On a et
donc
De plus,
Et
Donc,
donc
3/ a/ On a donc
donc
L’inclusion inverse
étant claire, on a
On note, pour
une base de
On note la concaténation des
Soit
donc
tel que
Or pour tout est combinaison des éléments de
(puisque
est une base de
),
donc est combinaison linéaire des éléments de
(puisque
Donc est combinaison linéaire des éléments de
On en déduit que est une famille génératrice de
donc
Donc
b/ On a Donc par le cours,
c/ On suppose que les endomorphismes
sont des projecteurs.
Soit On note,
est un projecteur, donc
où
(Éventuellement, on peut avoir ou
).
Deux matrices semblables ayant même trace, on a
forment une partition de l’identité de
donc
donc
D’où : par linéarité de la trace. Donc
On a donc bien
On suppose que
Donc d’après la question 3.b/,
Soit Soit
On a et
d’où :
Or donc par unicité de la décomposition, on a
Donc pour tout tel que
donc
On a donc bien
On suppose que pour tout
tel que
Soit
donc
Donc donc
est un projecteur.
Donc on a bien
Et on a montré que
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Partie II. Représentation matricielle d’un projecteur orthogonal
4/ a/ D’après le cours, est un projecteur orthogonal ssi
est un projecteur et un endomorphisme symétrique.
est un projecteur ssi
ssi
est une base orthonormée et
D’où : est un endomorphisme symétrique ssi
Donc
b/ Supposons qu’il existe
réel et
projecteur orthogonal tel que
.
On note
par linéarité de la trace.
Donc car
est un projecteur.
De même
Donc
De plus car
est un projecteur orthogonal, donc
Supposons que
et
Ou bien On pose
donc
Or est symétrique, donc
Donc Or
et une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun de ses termes est nul, donc
Donc et en prenant
et
on a bien
avec
projecteur orthogonal.
Ou bien Alors
donc
ou
et on est ramené au cas précédent.
Ou bien et
.
Alors on pose ,
et
l’endomorphisme de
de matrice
dans la base
On a bien et
car
réel et
D’autre part
et
donc
est un projecteur orthogonal (par 4.a), et on a bien trouvé
et
projecteur orthogonal tels que
5/ a/
function t=tr() (on entre une matrice carrée)
b/ Signification de la ligne . On note
On affecte à la valeur
si
contient déjà
Donc tant que les coefficients et
sont égaux,
reçoit
et si à un moment on a
alors
reçoit
Dans ce dernier cas,
garde la valeur
jusqu’à la fin des deux boucles, car
et
est initialisé à
Pour
Pour
est
est
donc
garde la valeur
Pour
est
est
donc
garde la valeur
De même pour Et
aura la valeur
à la fin de la fonction, ce qui est bien cohérent avec le fait que
est symétrique.
est initialisé à
Pour
Pour
est
\textbf{et }
est
donc
prend la valeur
Pour est
, donc peu importe la valeur de
donc
garde la
valeur
De même pour Et
aura la valeur
à la fin de la fonction.
c/ Il reste à tester si c’est-à dire si
Dans l’instruction on n’effectue le
que si
est
c’est-à dire si
est symétrique. On a alors
et
symétriques, donc il suffit de tester si les termes des triangles supérieurs de
et
sont égaux pour savoir si
et
sont égaux.
La ligne manquante est :
est bien symétrique. Après calculs
et
donc
est bien symétrique. Après calculs
donc
6/ a/ Supposons Alors
donc
donc
Supposons Alors
donc
donc
On considère alors le produit scalaire canonique sur on a donc
Donc et
On a donc montré que
On a et
Notons
l’endomorphisme de
canoniquement associé à
et
l’application linéaire de
dans
canoniquement associée à
est donc l’ensemble de départ des deux applications linéaires
et
Alors, par le théorème du rang,
Donc
b/ On note, pour
Soit
(On a posé
).
Donc
c/
Or
(expression du produit scalaire dans la base orthonormée
)
(en transposant)
Donc
d/ Soit et
donc
donc
donc
donc
donc
Donc
e/ On suppose que est libre.
Donc et par la question a),
Or donc
est inversible.
De plus, d’après d/ et
donc et
donc
Donc
7/ a/ est une matrice symétrique réelle, donc est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres, et il existe une matrice
orthogonale et une matrice
diagonale telles que
On note
Donc
b/ On a :
car est une matrice orthogonale.
Donc
Or pour
Donc pour
donc
De même,
et pour
Donc
Donc,
Car une matrice diagonale est symétrique.
Donc
On prouve de même que
Et on a bien montré que est une inverse de Penrose-Moore de
c/
car
est symétrique.
Donc
Or est symétrique, donc
Et en utilisant à nouveau le fait que est symétrique, on a
On supose que
On note
les colonnes de
Alors, pour tout
Donc
car
est symétrique, donc
donc
Et en utilisant le produit scalaire canonique sur on a
donc
Donc donc
On pose
On a d’après car
et
sont des inverses de Penrose-Moore,
Donc
donc d’après
donc .
De plus, en reprenant le même type de calculs qu’au
car
est symétrique.
Et en prenant on trouve de même que ci-dessus,
Donc
Donc . Donc
Donc si est une inverse de Penrose-Moore de
, alors
est unique et
On a montré au a) que était une inverse de Penmore-Moore de
.
Donc
8/ a/ Résultat préliminaire : soit et
On a donc
Une matrice et sa transposée ayant même rang, on a
Donc et
Ici, donc
De plus, , donc
par définition de
au début du 15.
Donc donc
d’après 14.a), donc
De plus, d’après le résultat préliminaire,
Donc
Donc
b/ En utilisant les propriétés de on montre que
et que
donc que
est la matrice d’un projecteur orthogonal que l’on note
.
D’après 14.c/ pour On a
donc
donc
Or Donc
Donc
9/ a/ On sait que Or
et
n’est pas inversible, donc
donc
et
est une famille liée.
Comme
donc
b/ On a :
Les deux colonnes de sont proportionnelles, donc
n’est pas inversible, et
est valeur propre de
Un vecteur propre associée est, par exemple,
est symétrique réelle, donc diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres et il existe
orthogonale et
diagonale telles que
On pose, par exemple,
et
sont semblables, donc ont même trace, donc
donc
Un vecteur propre associé à est, par exemple,
La famille est donc une famille de vecteurs propres, clairement orthonormée. Elle est donc libre, de cardinal
et comme
c’est une base orthonormée de
Donc, en posant on a bien
Donc
c/ D’après la question 7/ b/, on a :
Donc
d/ On reprend les notations de la question 8, et on note la matrice de
dans la base
On a donc
Donc donc
… et on retrouve la formule du cours, car puisque
est liée et
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Partie III : densité et gaussienne centrée
10/ Soit
donc
Soit
une variable aléatoire qui suit la loi
On note
sa fonction de répartition et
sa densité usuelle.
On note
On a donc, pour
Pour
Or est de classe
sur
De plus et
sont de classe
sur
à valeurs dans
donc
est de classe
sur
étant nulle sur
on a aussi
est de classe
sur
Enfin ,
et
car
est continue en
et
tend vers
quand
tend vers
donc
est continue en
est donc continue sur
et de classe
sur
sauf en
donc
On obtient une densité de en dérivant
sur
et en donnant une valeur arbitraire positive à
Donc une densité est donnée par :
D’où :
Donc
étant une densité, on a
donc
Donc, on a
Donc et on trouve :
On note, pour
Comme
on sait que
par le point précédent
Les variables sont indépendantes (par le lemme des coalitions car les
le sont), et toutes de loi
Donc, par stabilité de la loi
suit la loi
donc
donc
11/ a/ On pose
donc pour
est un vecteur gaussien, donc par définition, pour
est une variable gaussienne centrée.
Soit alors dans
est un vecteur gaussien, donc par définition,
est une variable gaussienne centrée.
Donc
b/ Pour tout
admet un moment d’ordre
donc d’après le cours,
12/ a/ Soit
Si alors
et
est une gaussienne centrée.
On suppose pour la suite du raisonnement.
Soit
ou bien
Alors
(stabilité par transformation affine de la loi normale).
ou bien
Alors
est la variable constante nulle.
On note
car
Les variables sont indépendantes et toutes de loi normale, donc, par stabilité de la loi normale,
Or car on rajoute des variables constantes nulles et
car on rajoute des termes nuls,
donc
Donc est une gaussienne centrée.
Donc pour tout est une gaussienne centrée,
donc
Soit avec
car
et
sont indépendantes.
Donc car
Soit Alors
Donc
b/ On note
donc par définition du produit matriciel, on a
est orthogonale, donc
Soit
est un vecteur gaussien d’après la question précédente.
Donc est un vecteur gaussien d’après la question 11/ a/.
En prenant avec
en
position, on a
est une gaussienne centrée.
Or
car les variables
sont mutuellement indépendantes.
Donc car on reconnaît un terme diagonal de
Donc
Soit
par linéarité de l’espérance
d’après
On reconnaît le terme général de
Donc car
est une matrice orthogonale.
Donc
Donc pour tout
par indépendance des
car
et
ont même loi
.
Donc
13/ a/ et
donc d’après la question
sont des matrices de projecteurs notés respectivement
De plus, sont symétriques réelles et
est une base orthonormée, donc d’après la question 4.a),
Soit avec
Soit
car
et
Donc car
est un endomorphisme symétrique (sa matrice représentative dans la base
orthonormée est symétrique réelle)
Or d’après la question 3.c/ puisque
donc
Donc
b/ D’après la question 3, on a
On note, pour une base orthonormée de
et
la concaténation des
est donc une base orthonormée de
On note la matrice de passage de
à
est la matrice de passage d’une base orthonormée à une base orthonormée, c’est donc une matrice orthogonale.
On note pour
Pour
est le projecteur orthogonal sur
Donc les vecteurs de
ont pour image eux-mêmes car ils sont dans
, et les vecteurs de
sont dans
d’après la question précédente, donc dans
Donc pour
Donc
c/ On suppose que
est un vecteur gaussien et toutes les variables aléatoires ont une variance égale à
, donc avec la même démarche qu’à la question 12.a), on montre que
suivent toutes la loi
On pose
est une matrice orthogonale, et
sont mutuellement indépendantes et toutes de loi
donc d’après la question 12.b/,
sont mutuellement indépendantes et toutes de loi
De plus, et les variables aléatoires
sont mutuellement indépendantes et toutes de loi
donc, d’après la question 10, avec
et
Donc
d/ Avec les mêmes notations qu’au c/, on a
Or les variables sont mutuellement indépendantes, donc par le lemme des coalitions,