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Corrigé du sujet EM Lyon Maths ECS 2019
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Partie A. Étude d’un endomorphisme de polynômes
1/ Pour tout polynôme de , est une somme de polynômes donc c’est un polynôme, de plus donc donc en sommant on a : donc .
Soit ,
par linéarité de la dérivation.
Donc Donc est linéaire.
Bilan : est un endomorphisme de
2/ On calcule et pour tout ,
Donc
3/ a/ est triangulaire donc les valeurs de sa diagonale sont ses valeurs propres c’est-à-dire : Il s’agit d’entiers consécutifs donc il y en a or donc est diagonalisable et son spectre est
Bilan : est diagonalisable et son spectre est
3/ b/ est un endomorphisme de et 0 n’est pas dans le spectre de donc ce dernier est bijectif.
Bilan : est un automorphisme de
3/ c/ On a Pour tout de
Bilan : Pour tout de
3/ d/ Pour tout de on voit que n’est pas le polynôme nul donc est vecteur propre de associé à la valeur propre
Or le cardinal du spectre de est égal à la dimension de donc les sous-espaces propres de sont tous de dimension 1 donc à lui seul forme une base de sous-espaces propres
4/ a/ Pour tout polynôme de , on a
4/ b/ Pour tout polynôme de et pour tout réel
L’intégrale existe car on intègre une fonction continue sur un segment.
Or a pour primitive d’après ce qui précède donc
Il reste le cas pour cela on voit que
On a montré que les fonctions et coincident sur donc elles sont égales, en particulier est un polynôme de
Bilan : Pour tout polynôme de :
4/ c/ Soit est bien définie sur car les polynômes sont continues sur donc on peut intégrer sur le segment pour tout réel
De plus est bijective donc elle admet une fonction réciproque sur Avec la question précédente, on peut écrire
Cela prouve que et coincident sur donc elles sont égales, en particulier cela prouve que est un endomorphisme bijectif de .
Bilan : est un automorphisme de et donc
4/ d/ Pour tout on a , on peut diviser par et donc
Or est non nul et est bijective donc est non nul donc est vecteur propre de associé à
La fonction est strictement décroissante sur donc elle est injective donc est de cardinal comme donc possède valeurs propres sur donc elle est diagonalisable.
Bilan : est diagonalisable et son spectre est
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Partie B. Étude d’une fonction définie par une intégrale
5/ a/ On pose, pour tout de :
La fonction est continue sur donc par produit avec la fonction polynomiale la fonction est continue sur donc elle admet une primitive, notée sur et
est dérivable sur et sa dérivée est Celle-ci est continue sur donc est sur
Donc est dérivable sur et, pour tout de
Bilan : La fonction est de classe sur et, pour tout de
5/ b/ Soit Sur le segment est continue donc elle admet un minimum atteint en un point noté et un maximum atteint en un point noté .
Ainsi, pour tout on a , on multiplie par on a
On intègre sur selon avec les fonctions en jeu sont bien continues, ainsi :
5/ c/ On reprend ce qui précède et on calcule
Donc
Donc en divisant par
On a donc par encadrement , par continuité de en 0 on a
De façon analogue
Le théorème des gendarmes permet de conclure.
Bilan :
5/ d/ Soit Sur le segment est continue donc elle admet un minimum atteint en un point noté et un maximum atteint en un point noté .
Ainsi, pour tout on a , on multiplie par on a
On intègre sur selon avec les fonctions en jeu sont bien continues, ainsi :
On inverse les bornes des intégrales en multipliant par
On reprend ce qui précède et on calcule
Donc
Donc en divisant par
On a donc par encadrement , par continuité de en 0 on a
De façon analogue
Le théorème des gendarmes permet de conclure.
Bilan :
6/ On a :
Donc pour or
donc Donc est continue en 0.
Sur or est sur et est sur donc par produit est donc continue sur
De plus pour
Bilan : est continue sur et de classe sur et sur et l’on a :
7/ a/ Soit une fonction paire, est définie sur et pour tout on a
Et, pour
On fait le changement de variable affine donc suivant et et
Ainsi
Donc
De plus Donc est paire sur
Soit une fonction impaire, est définie sur et pour tout on a
Et, pour
On fait le changement de variable affine donc suivant et et
Ainsi
car est impaire.
Donc
De plus car est impaire donc
Donc est impaire sur
Bilan : si est une fonction paire (respectivement impaire), alors est encore une fonction paire (respectivement impaire).
7/ b/ Soit une fonction positive sur
Pour
Pour tout on a on multiplie par et on intègre sur selon avec ainsi Comme on a bien
Pour
Pour tout on a on multiplie par et on intègre sur selon avec ainsi On inverse l’ordre des bornes de l’intégrale, ce qui change le signe et comme on a bien
Enfin
Bilan : si est une fonction positive, alors est encore une fonction positive.
8/ a/ On admet le résultat suivant :
Soit On suppose On pose donc En appliquant le résultat admis,
Or pour ,
=
=
=
Or donc
Bilan :
8/ b/ Soit
On suppose On pose donc En appliquant le résultat précédent,
Or pour ,
On refait le changement de variable
Or donc donc
Bilan :
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Partie C. Une application en probabilité
9/ Soit on sait que est une fonction de répartition de loi à densité donc elle est continue, croissante et positive sur donc, pour tout on a on multiplie par et
On intègre sur selon avec les fonctions en jeu sont bien continues ainsi
On multiplie par et on a bien .
Soit on sait déjà que est continue, croissante sur donc, pour tout on a on multiplie par et
On intègre sur selon avec ainsi
On multiplie par le signe – est utilisé pour inverser les bornes de l’intégrale et on a bien .
Bilan : et
10/ On sait que et sont continues sur donc par produit est continue sur donc elle admet une primitive que l’on note qui est donc sur . Ainsi pour tout on a
Les fonctions et sont sur donc l’est aussi et
Bilan : est de classe sur et sur et, pour tout de
11/ On considère la fonction définie sur par :
[] est bien définie sur , elle est aussi continue sur car est sur donc est continue sur .[] Montrons que est positive sur
Soit on a vu que donc
on multiplie par et
Soit on a vu que donc
on multiplie par et
Enfin donc est bien positive sur
[] Il reste à établir que converge et vaut 1.
Prenons , la fonction est continue sur le segment et Or la fonction (avec continue sur ) est continue sur donc en particulier en 0 donc
converge et vaut .
Comme est une fonction de répartition, on sait que , ainsi d’après ce qui précède,
donc converge et vaut .
Prenons , la fonction est continue sur le segment et Or selon la question, la fonction (avec continue sur ) est continue sur donc en particulier en 0 donc
converge et vaut .
Comme est une fonction de répartition, on sait que , ainsi d’après ce qui précède
donc converge et vaut .
Par la relation de Chasles des intégrales convergentes, converge et vaut
Donc est bien une densité de probabiité.
Dans le raisonnement qui précède il est vu que est sur que est continue sur . De plus est positive sur donc est croissante sur , de même est croissante sur donc, par continuité en 0, est croissante sur Il a été vu aussi que et .
Donc peut être considérée comme une fonction de répartition d’une variable aléatoire .
On remarque que et coincide sur donc est une densité de probabilité de
Bilan : est une densité de probabilité d’une variable aléatoire et est la fonction de répartition de
12/ a/ On définit la fonction sur par :
[] est bien définie et positive sur .[] Elle est aussi continue sur car elle y est constante.
Sur est le produit d’un polynôme et d’un exponentielle de polynôme donc est continue sur Donc est continue sur
[] Il reste à établir que converge et vaut 1. Remarquons que est nulle sur donc il suffit de montrer que converge et vaut 1. On remarque immédiatement que donc est continue à droite de 0. Comme est continue sur on peut l’intégrer sur tout segment de Soit
Donc converge et vaut 1.
Bilan : est une densité de probabilité.
12/ b/ Soit une variable aléatoire admettant pour densité.
est à densité donc admet une espérance si et seulement si converge absolument. Comme est nulle sur cela revient à montrer que converge absolument. Cela équivaut encore à converge absolument. La fonction sous cette intégrale est positive donc convergence absolue équivaut à convergence.
On pense à exploiter le moment d’ordre 2 d’une loi normale centrée réduite d’une variable qui vaut autrement dit
La fonction est paire sur donc
Cela suggère le changement de variable affine , il est , strictement croissant sur donc il ne change ni la nature, ni la valeur de
Les bornes sont inchangées et donc
Donc
Bilan : admet une espérance et
12/ c/ On note la fonction de répartition de et on pose
D’après ce qui précède, est nulle sur comme Soit
Ensuite donc
Donc pour on a donc donc
Puis
Enfin pour on a donc
Bilan :
D’après la question 11/, est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité que l’on note
Pour déterminer une densité de il suffit de dériver là où elle est et d’imposer des valeurs là où elle n’est a priori pas .
Ici est sur on propose
Montrer que admet une espérance revient à montrer que converge absolument. Comme
est nulle sur cela revient à montrer que converge absolument. La fonction sous cette intégrale est positive donc convergence absolue équivaut à convergence.
On remarque que, pour on a .
Avec le changement de variable on montre comme ci-dessus que converge en faisant apparaître une densité de loi normale centrée réduite. Il reste à montrer que
converge.
La fonction est continue, positive sur , avec on a car
Donc est faussement impropre en 0.
On a aussi donc comme on a donc .
Or l’intégrale de Riemann converge donc, par comparaison d’intégrale de fonctions psoitives, l’intégrale converge.
Par somme converge et a une espérance.
Partie D. Étude d’un espace vectoriel et d’un produit scalaire
13/ a/ Pour tout on a donc donc
De même donc donc
Donc domine et donc il domine
Bilan :
13/ b/ Soit et dans on a, pour tout
Or et convergent donc par domination de fonctions positives et continues
converge donc est absolument convergente.
Bilan : Pour toutes fonctions et de l’intégrale est absolument convergente.
14/
[] Par définition, est inclus dans[] La fonction nulle de est bien de carré intégrable sur donc elle est dans qui n’est donc pas vide.
[] Soit et dans et on a, pour tout . Or
est absolument convergente donc convergente, et
, convergent donc par somme d’intégrales convergentes convergent. Donc
Bilan : est un sous-espace vectoriel de
15/
[] L’application est bien définie de dans d’après la question 13.[] L’application est symétrique par commutativité du produit des réels en effet, pour tout et , on a
[] Soit et dans et on a
par linéarité des intégrales convergentes. Donc est linéaire à gauche et par symétrie, elle l’est à droite.
[] On a
car on intègre une fonction positive avec des bornes d’intégration dans l’ordre croissant.
[] Enfin en notant la fonction nulle sur on a bien sûr
Réciproquement si alors .
La fonction est continue sur donc elle y admet une primitive qu’on note on a alors
Or est positive sur donc est croissante sur donc, pour tout on a
donc est constante sur donc sa dérivée est nulle donc est nulle sur
Bilan : est un produit scalaire de
16/ a/ Il a été vu que La fonction carrée est continue sur , donc par composition
Il a été vu que La fonction carrée est continue sur , donc par composition
16/ b/ On fait une intégration par parties, on pose
Les fonctions et sont sur on fixe et
on a
Il reste à étudier la convergence lorsque On a
La question 6. assure que est continue en 0 donc l’est aussi et converge ou existe.
Bilan :
16/ c/ Soit La fonction polynomiale est positive sur car une intégrale d’une fonction positive avec des bornes dans l’ordre croissant est positive. Elle peut s’écrire
Si alors on a déjà vu que est nulle sur donc
Si , alors la fonction polynomiale est de degré 2 et elle est de signe constant sur donc elle ne peut pas avoir deux racines réelles distinctes sinon il y a changement de signe. Donc le discriminant est négatif ou nul donc
Donc en divisant par 4>0,
On compose par racine carrée qui est croissante sur les deux intégrales sont positives.
Bilan :
16/ d/ Soit on multiplie ce qui précède par
On reprend la question 16/b/, qui donne
Donc
Si alors comme est positive, on pourra conclure.
Si alors on pourra diviser ce qui précède par cette quantité et on pourra conclure aussi.
Bilan :
16/ e/ On compose ce qui précède par la fonction croissante sur et on a
Or donc
et est positive donc avec on a donc
La fonction est continue sur donc la fonction
est de classe sur avec une dérivée positive donc est croissante sur . On a montré qu’elle est majorée sur par (indépendant de ) donc a une limite finie en Donc converge.
En faisant tendre vers dans la relation du 16/d/, on a
Bilan : La fonction appartient à et
16/ f/ Soit en utilisant la relation de la question 16.b, on a
or les deux intégrales convergent donc a une limite finie en
Notons cette limite, elle est positive car positive sur Si est non nulle alors
donc donc donc par comparaison des intégrales de fonctions positives
et sont de même nature.
Or diverge, cela contredit le fait que Donc est nulle.
Bilan : La limite de en est 0.
16/ g/ Avec la question 16.b,
Donc en faisant tendre vers on a
Bilan :
Partie E. Etude d’une suite
17/ function v=suite_v(n)
S=0
for k=1:n
S=S+k*suite_u(k)
end
v = 1/(n*(n+1))*S
endfunction
18/ a/ La suite est positive, décroissante donc elle converge.
18/ b/ D’après les graphiques, semble décroissante, convergente avec une limite moitié moindre que celle de .
18/ c/ Pour tout de , on a, pour tout donc
donc donc donc
D’autre part
Donc
Comme la suite est décroissante, pour tout donc en multipliant par puis en sommant on a
Or
=
=
=
Cela permet de conclure
18/ d/ Pour tout de :
D’autre part
18/ e/ Soit on a donc donc donc la suite est décroissante. Chaque est une somme de réels positifs donc la suite est minorée par 0 donc elle converge.
On pose et , la relation
vraie pour tout donne
On utilise ensuite la relation
On sait qu’un polynôme est équivalent à son terme dominant en donc
et
Donc par passage à la limite donc
donc .
Enfin .
19/ a/ Pour tout on pose
Au rang 1, on a Donc est vraie.
Supposons vraie à un rang
on a
On exploite la question 18/d/, pour obtenir
donc
Ainsi
Donc est vraie.
Bilan : Pour tout est vraie et
19/ b/ La série est à terme général positif donc ses sommes partielles forment une suite croissante. Celle-ci converge donc si et seulement elle est majorée.
Or, pour tout car
Comme est à terme positif, on a
Donc, pour tout , ce dernier terme est indépendant de donc il domine les sommes partielles de la série
Bilan : converge.
19/ c/ Pour tout .
Or les séries et convergent donc la suite converge.
Donc tend vers une limite finie lorsque l’entier tend vers .
La suite est à terme positif donc
Si alors donc Or la série diverge comme combinaison linéaire de série harmonique avec . Par comparaison des séries à terme général positif, diverge aussi, cela contredit ce qui précède. Donc
19/ d/ Au 19.a, il est vu que, pour tout Comme on peut conclure
20/ a/ On reprend ce qui précède, avec pour tout et
Donc les conditions sont réunies pour affirmer qu’avec on a, pour tout et c’est-à-dire
Bilan : Il existe une variable aléatoire à valeurs dans telle que :
20/ b/ On suppose dans cette question que admet une espérance, notée Cette espérance est strictement positive car est à support dans
Donc comme , on a
D’autre part donc par produit
Cela entraîne
La série diverge donc la série diverge car
Donc par comparaison des séries à terme général positif, la série diverge donc la variable aléatoire n’a pas d’espérance.