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Corrigé du sujet HEC-ESCP Maths 2 ECS 2018
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Partie I : Séries téléscopiques
1/ a/ La série est convergente car son terme général est positif et équivalent au terme général d’une série de Riemann convergente
En écrivant, pour tout :
On obtient une somme télescopique :
La somme de la série est donc égale à 1.
b/ Avec la décomposition de fractions trouvée, on reconnaît pour la loi certaine égale à 1.
2/ a/ La fonction est positive lorsque et continue sur privé d’un nombre fini de points
Calculons l’intégrale de sur :
=
=
=
=
=
=
On a donc :
La fonction est donc une densité de probabilité si et seulement si .
Pour :
.
b/ Puisque est nulle en dehors de , la fonction de répartition de est :
nulle sur ,
égale à 1 sur .
pour :
pour :
pour :
Conclusion :
La fonction est de classe sur car est continue sur .
c/ Si , alors, comme :
Si alors de même :
Si , alors :~ .
Conclusion :
ce qui prouve la convergence en loi de vers une variable aléatoire .
3/ a/ Pour tout :
(où est la fonction de répartition de (donc aussi celle de ))\\
ce qui prouve la convergence en probabilité de vers 0.
b/ Comme et , le théorème de Slutsky donne la convergence en loi de la suite de variables aléatoires vers .
c/ En remarquant que :
on obtient une densité de la variable aléatoire :
L’indépendance des variables et permet alors d’utiliser le produit de convolution pour obtenir une densité de en notant que, étant bornée, la fonction ci-dessous est bien définie et continue sauf en un nombre fini de points:
d/ Supposons que suive la loi uniforme sur . On peut choisir la densité :
qui est bornée
La question (c) donne une densité de ; or :
et sinon.\\
On est donc amené à déterminer l’intersection
qui est un intervalle borné (comme intersection de deux intervalles bornés), éventuellement vide, et dont on note la longueur (différence entre les deux bornes si l’intervalle est d’intérieur non vide ; nulle s’il est vide ou réduit à un point).
On aura alors :
Il s’agit de la densité de la question 2.
D’après (b), converge en loi vers la variable .
On a donc retrouvé le résultat de la question 2.(c).
4/ a/ Les deux variables aléatoires et vérifient une loi normale (chacune transformée affine d’une variable aléatoire suivant une loi normale).\\ Elles sont de plus indépendantes, donc par stabilité additive de la loi normale, suit une loi normale, de paramètres :
b/ Avec les notations de la question 3.:
La variable aléatoire possède une densité bornée, donc d’après 3.(b), la suite converge en loi vers .\\ La série converge donc en loi vers .
c/ Par indépendance des variables aléatoires () et par stabilité additive de la loi normale :
La fonction de répartition de est donnée par :
(avec le changement de variable ).\\
Par ailleurs:
Par continuité de (sur ):
ce qui prouve que la suite converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale .
Contrairement à la convergence d’une {suite} de variables aléatoires , la convergence d’une {série} de variables aléatoires ne dépend pas que des lois des variables () ; elle est liée à la loi de la somme partielle qui elle-même ne peut se déduire de la seule connaissance des lois des variables (), sauf en cas d’indépendance.\\
Or dans cet exemple les variables aléatoires () sont indépendantes, mais les variables () ne le sont pas.\\
Précisément, pour tout , les variables et ne sont pas indépendantes puisque :
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Partie II : Séries harmoniques « lacunaires »
5/ a/
b/ Comme (ce que l’on déduit de l’inégalité ):
c/ Si avec , alors et .
Réciproquement, supposons que est à la fois un carré et un cube:
En posant (), on a :~ .\\
De plus, (car ) donc est entier.\\
Avec la propriété admise dans l’énoncé, comme n’est pas irrationnel et est entier, est entier.
d/ En distinguant chacun des quatre cas { \og et \fg{}}, {\og et \fg{}}, { \og et \fg{}} et {{purple}\og et \fg{}}, on vérifie que :
et on obtient alors, avec la même explication qu’en (a) :
6/ a/ Pour tout :
On obtient donc l’encadrement demandé par croissance de l’intégrale.
b/
et donc :
En effet, est le plus grand entier impair inférieur ou égal à (il vaut si est pair ; si est impair) :
si () :~ ;
si :~ .
c/
{(que l’on retrouve par exemple en étudiant la fonction \og différence des deux membres \fg{})} donne :
d/ La série est convergente car son terme général (positif) est équivalent à et la série de Riemann converge.\\
L’encadrement établi en (a) donne donc la convergence de la série .\\
Avec l’égalité de la question (b):
e/ D’après la majoration de établie en question (a), il suffirait de prouver que :
On peut utiliser la technique suivante assez classique.\\
La fonction étant décroissante, on a :
donc en sommant ces inégalités pour et avec la relation de Chasles:
f/ On utilise le calcul fait en question (d):
Cette dernière somme étant positive, la question (c) donne immédiatement :
De même {le logarithme dans l’égalité ci-dessus} étant positif, la question (e) donne:
En utilisant l’inégalité , valable pour tout , on a:
et donc :
g/ On a :
Pour eps=0.2, le programme affectera à s successivement les valeurs de :
~~
function s=delta(eps)
n = 3
s = 1+1/3-log(3)/2
while 1/(n-2) > eps
n = n+2
s = s+1/n+log((n-2)/n)/2
end
endfunction
L’encadrement de la question (f) donne :
Il existe donc un entier ) tel que , ce qui assure la précision souhaitée.
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Partie III : Séries de Riemann alternées
7/ a/
on a, pour tout :
Prouvons la convergence (pour ) de chacun des deux termes ci-dessus :
Avec la majoration de supposée dans l’énoncé, on a:
donc par le théorème d’encadrement :
La question est donc de prouver la convergence de la série :
On va en montrer la convergence absolue (qui implique la convergence).\\
Avec l’hypothèse de l’énoncé sur :
Déterminons un équivalent de ce majorant :
La série géométrique est convergente car (), donc par critères de comparaisons des séries à terme général positif, on obtient la convergence annoncée.
Conclusion : la série est convergente {(mais peut-être pas absolument!)}.
b/ En prenant , on a:
et en prenant et un réel vérifiant (par exemple ):
On choisit bien sûr (), et la question précédente nous donne la convergence de la série pour tout .
8/ a/ Déterminons d’abord la loi de :
Comme est somme de nombres valant chacun 1 ou :
{(Mais il ne s’agit pas d’une égalité ; en effet ne prend parmi les valeurs de cet intervalle que celles de même parité que .)}
Pour tout , la variable aléatoire suit la loi .\\
Les variables aléatoires () étant indépendantes, la stabilité additive de la loi binomiale donne :
c’est-à-dire :
Appliquons le théorème de transfert :
b/ Soit . Travaillons avec les sommes partielles des séries exponentielles intervenant ici ; pour :
Or:~ ; en effet, il y a égalité pour , et pour :
On a donc l’inégalité :
Par passage à la limite quand :
c/ Appliquons l’inégalité de Markov à la variable aléatoire positive :
d/ L’inégalité prouvée en question précédente est vraie pour tout mais le membre de gauche ne dépend pas de . Or le membre de droite est minimal pour (il suffit de faire le tableau de variations de ). Donc :
Par ailleurs :
et on vérifie que les deux probabilités et sont égales en utilisant la loi de déterminée en (a) :
On conclut :
9/ a/ La stabilité d’une tribu par unions et intersections dénombrables justifie l’appartenance de à .
b/ Supposons . D’après 8.(d):
avec et .
Par croissances comparées :
Par comparaison avec la série de Riemann convergente , la série à terme général positif est convergente et, avec l’inégalité ci-dessus, il en est donc de même de la série à terme général positif .
c/ La suite d’événements est décroissante :
Le théorème de la limite monotone donne donc :
De plus :
et on conclut avec le théorème d’encadrement que est de probabilité nulle.
10/ a/ Soit .\\
On remarque que :
Soit . Écrivons la négation de l’assertion précédente :
En posant, pour tout :
les hypothèses de la question 7. sont vérifiées.\\
On en déduit avec 7.(a)ii. la convergence de la série .\\ Autrement dit :~ .
b/ Soit (par exemple ).\\
D’après la question 9., donc .\\
Donc avec l’inclusion prouvée en question 10.(a) et par croissance de :~ .
c/ Si , par définition de , on a c’est-à-dire:
Or par définition de :
ce qui est exactement la négation de l’assertion précédente.\\
Par conséquent :
et on en déduit :
Comme pour la question 9.(c), le théorème de la limite monotone donne :
En écrivant, pour tout :
le théorème d’encadrement donne :
ce qui signifie que la suite de variable aléatoire converge en probabilité vers .
11/ a/ Pour tout , la variable est d’espérance et de variance .\\
Par linéarité de l’espérance et propriété de la variance (utilisant l’indépendance des variables ()):
b/ Soit . Comme :
On peut alors utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev :
ce qui donne :
Avec les deux limites trouvées en (a) :
On conclut avec le théorème d’encadrement que :
c/ On peut proposer le programme suivant :
function y=simul (n,p)
y=zeros (p,1)
for i=1 : p
for k=1 : n
y (i,1) = y(i,1)+ (grand (i,1,’bin’,1,0.5) + ((-1)^k-1)/2) /k
end
end
endfunction
12/ Pour tout , :
Les variables aléatoires () suivent la loi de Bernoulli de paramètre {(astuce utilisée en question 8.(a))}, c’est-à-dire la même loi que , et sont indépendantes (car les le sont).\\
Les lois des variables et sont donc les mêmes.
La convergence en loi de vers et le théorème de Slutsky donnent donc :
Cette somme vaut ; en effet : pour tout réel , la série converge de somme .\\
On a donc :