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Corrigé du sujet EDHEC Maths ECS 2019
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Exercice 1 : Polynome annulateur et généralisation
1/ a/ On a .
est un polynôme de degré 2 annulateur de
.
1/ b/ Par propriété, soit
.
Les valeurs propres possibles de sont
et
.
1/ c/ Les valeurs propres de sont égales à celles de
.Pour
réel, on note
. Avec le théorème du rang,
. On peut donc conjecturer que
et 2 sont effectivement valeurs propres de
et que
et
.
1/ d/ et l’espace propre associé à la valeur propre 1 est
. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et forment une famille libre.
et
est une base de
.
et
.
2 est valeur propre de et
est une base de
.
2/ a/ Par la question 1., les valeurs propres de sont 1 et 2, et la somme des dimensions des espaces propres de
vaut 3, soit
.
est donc diagonalisable et
. La concaténation de bases de chacun des espaces propres est une base de
.
Pour respecter les conditions imposées, changeons la base trouvée pour .
et la famille en jeu est encore libre. Prenons donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com (u_1,v_1)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e4ded4f98fdc005f8530c6cdf60f94b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ker (f-\operatorname{Id)}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80e733aa38a8c139cf2b9cf453dc7160_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com v_2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-176fc5995b3d96ad6ba41ce76b5486bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ker (f-2\operatorname{id})](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20509d43e46cf827a927e454ca3beaa0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (u_1,v_1,v_2)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25f47f0c60e81a17eb918f6c6bdfb6d6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}^3](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2bf7f43f18e7cd8c0e05ae4745dc288_l3.png)
ssi
.
2/ b/ On trouve en résolvant ce système :
![Rendered by QuickLaTeX.com x=(a,b,c)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a0ae2f0a4e5c8a16acd55f6bfae5c92_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a,\; a-b+2c,\; -a+b-c](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ca2d5c9cb19d77f0bb82b36c4ddd28e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (u_1,v_1,v_2)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25f47f0c60e81a17eb918f6c6bdfb6d6_l3.png)
3/ a/ Posons . On cherche à calculer
.
Comme est une matrice diagonale, de coefficients diagonaux
, on a pour tout
,
, et par règles de calcul matriciel, pour
réels :
Il s’ensuit que
![Rendered by QuickLaTeX.com P(D)=\begin{pmatrix}P(d_{1,1})&0&\dots& 0\\0&P(d_{2,2})&\ddots & \vdots\\\vdots & \ddots &\ddots & 0\\0&\dots & 0&P(d_{n,n})\end{pmatrix}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18d0e31d3ee4de3583042b00e0edfd95_l3.png)
La matrice diagonale est une matrice qui comporte sur sa diagonale les valeurs propres de
: pour tout
,
, donc tous les coefficients diagonaux de
sont des racines de
.
Finalement, .
3/ b/ Le polynôme présenté en question précédente est donc annulateur de
et :
![Rendered by QuickLaTeX.com (X-\lambda _1)(X-\lambda_2)\dots (X-\lambda_p)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2533fe7027a75d36f91f086b8f95d9b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
4/a/ Pour fixé dans
, les racines de
sont
(on les a facilement car
est sous forme factorisée). Pour
,
,
. Par produit de termes valant 1,
.
4/ b/
![Rendered by QuickLaTeX.com \bullet](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b6e225d778ccd32cb2bd9cc4eaead9a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com L_k](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e17109192afd63b17181474aa6717b8d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p-1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7758c8dad8f016ae4950f6927bbaff12_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (L_1,L_2,\dots, L_p)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac6e050102b5a9cfc63dfff2481eca62_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}_{p-1}[X]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8427a13a74e2bc4fc681ad42a55f1776_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \bullet](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b6e225d778ccd32cb2bd9cc4eaead9a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_1,a_2,\dots , a_p](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d1dfb86a8f065ba65683b9db8b1f5dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_1L_1+a_2L_2+\dots + a_pL_p=0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9874bca797f21460b0223f9dc66bc10_l3.png)
On a
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall x\in\mathbb{R}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92d885d40c46735a9b851ccae53fb2ef_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_1L_1(x)+a_2L_2(x)+\dots + a_pL_p(x)=0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57ea93be995492f817216e4902aa438d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\lambda_i](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-181e28764756dd2efe415a459ced2660_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_i=0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c8b08d19b7e14b67166632f98ecb05a_l3.png)
Les réels sont tous nuls et la famille
![Rendered by QuickLaTeX.com (L_1,L_2,\dots, L_p)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac6e050102b5a9cfc63dfff2481eca62_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \bullet](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b6e225d778ccd32cb2bd9cc4eaead9a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \card(L_1,L_2,\dots, L_p)=p=\dim \mathbb{R}_{p-1}[X]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-629b509f9116d3212c454e6b93c1fea0_l3.png)
Par ces trois points,
![Rendered by QuickLaTeX.com (L_1,L_2,\dots, L_p)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac6e050102b5a9cfc63dfff2481eca62_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}_{p-1}[X]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8427a13a74e2bc4fc681ad42a55f1776_l3.png)
4/ c/ Soit
![Rendered by QuickLaTeX.com P\in\mathbb{R}_{p-1}[X]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4956d354685392a1a1e6965c45ba070c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_1,a_2,\dots , a_p](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d1dfb86a8f065ba65683b9db8b1f5dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P=a_1L_1+a_2L_2+\dots + a_pL_p](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b22f9835b890014e6404ed5ead0c6de_l3.png)
On a
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall x\in\mathbb{R}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92d885d40c46735a9b851ccae53fb2ef_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(x)=a_1L_1(x)+a_2L_2(x)+\dots + a_pL_p(x)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66a31b8c3b0a8a6a9e388f12ddd7030d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\lambda_i](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-181e28764756dd2efe415a459ced2660_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(\lambda_i)=a_i](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1ebb253b7f310956fe8747137c32c64_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\quad P=\sum\limits_{i=1}^pP(\lambda_i)L_i](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-865c9eadd6f891719147dc5acb98ac9c_l3.png)
4/ d/ On applique la question précédente au polynôme constant égal à 1, qui appartient à
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}_{p-1}[X]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8427a13a74e2bc4fc681ad42a55f1776_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sum\limits_{i=1}^pL_i=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-069be9e8fec68e9d72cb1e9171821d1e_l3.png)
5/ a/ Soit .
Donc pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in E](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da31da39bef4b78f0ebc3c49e6db3682_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com L_k(f)(x)\in\ker (f-\lambda_k\operatorname{id})](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbb952bec0ce3ff994205d8faecbb43a_l3.png)
5/ b/ Par 4.d. en l’endomorphisme ,
.
Soit . On applique l’endomorphisme précédent en
:
Par la question précédente, pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com i](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-695d9d59bd04859c6c99e7feb11daab6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com L_i(f)(x)\in\ker (f-\lambda_i\id)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-782ddfeb499edada09d9adcf93909f17_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-764e1c770271f92700e1a4fbce46c668_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \bigoplus\limits_{i=1}^p \ker (f-\lambda_i\id)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4bf94dbb4f40473537c52df9009ab4a7_l3.png)
6/ Ici , il y a deux polynômes :
et
. Soit
. Par 5.,
Comme
![Rendered by QuickLaTeX.com x=au_1+(a-b+2c)v_1+(-a+b-c)v_2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e049d28ffd8bcb937140e77f77e148e_l3.png)
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Exercice 2 : Convergence suite de variables aléatoires
1/ a/ Pour tout réel ,
.
1/ b/ .
Soit .
est dérivable sur
et
pour ,
. Donc
est constante sur
, égale à
.
,
1/ c/ est de classe
sur
. Elle admet donc un développement limité à l’ordre 1 en 0 :
D’où :
![Rendered by QuickLaTeX.com \boxed {\arctan x\underset{0}{\sim}x}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c7855571472ad0de7c6b88a444b1a5a_l3.png)
2/ a/ est continue et positive sur
.
Soit .
quand
. Donc l’intégrale
converge et vaut
. Par parité de l’intégrande,
converge et vaut 1.
est une densité de probabilité.
2/ b/ Soit réel.
Pour
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F(x)=F_X(x)=\dfrac {1}{\pi}\arctan x+\dfrac 12](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bfda2bd2ffac506891b7a72bd01065f_l3.png)
3/ a/ La fonction
est positive sur
.
La fonction
est constante sur
donc y est continue.
La fonction est continue sur
et à valeurs dans
, où exp est continue. Donc
est continue sur
. Par produit avec
continue sur
,
est continue sur cet intervalle.
est donc continue sur
sauf éventuellement en 0.
L’intégrale
converge et vaut 0.
Soit .
Donc l’intégrale
![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_0^1g(x)\,\mathrm{d}x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb886594af25bbb39a34c5f2970bf055_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e^{-1}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-928f18a9f120940a582ccd5417a1a5e8_l3.png)
Soit
![Rendered by QuickLaTeX.com A\in [1,+\infty[](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc7cec12c917327c2308f203797f8493_l3.png)
Donc l’intégrale
![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_1^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8acbb4e0470872a9cf60a2a0101634be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1-e^{-1}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcbac62ef37e7494d052478b8a0738fa_l3.png)
Finalement, l’intégrale
![Rendered by QuickLaTeX.com \int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e944c31ff679e9c92c2245770e0a620_l3.png)
Par ces trois points,
![Rendered by QuickLaTeX.com g](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com g](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com T](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f9ed275b0bf1633b7ee83b78fcc28273_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com g](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}^-](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0cb5653b4f303ef60644299919d4c8f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}^{+*}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a213084dce4dd8ea4fc931d2ef456260_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com T](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f9ed275b0bf1633b7ee83b78fcc28273_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}^{+*}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a213084dce4dd8ea4fc931d2ef456260_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(T\geqslant 0)=\int\limits_0^{+\infty}g(t)\,\mathrm{d}t=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7afa8314c50beed9b2efc942222c3eca_l3.png)
3/ b/ donc pour
,
. Soit
.
![Rendered by QuickLaTeX.com G(x)=\begin{cases}0&\text{ si }x\leqslant 0\\e^{-1/x}&\text{ si }x>0\end{cases}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caf60cc147cdfa3acba19a9603777689_l3.png)
4/ a/ . Pour
réel,
est réalisé ssi toutes les variables aléatoires
,
, prennent une valeur inférieure ou égale à
:
Pour
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\mathbb{R}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94c926a0a60f0a9a1ae489a8d3ab2660_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F_{M_n}(x)=\left(\dfrac {1}{\pi}\arctan x+\dfrac 12 \right)^n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fde4840ba5aa97ac8788e0125be1444e_l3.png)
4/ b/ et pour
réel,
.
Pour ,
.
5/ a/ Soit .
, donc
puis
.
Comme , on a
par le théorème d’encadrement.
5/ b/ Soit . Par 1.b.
. Il s’ensuit :
5/ c/ Soit .
Donc
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=e^{-1/x}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f44370cb45e45f46a3790e8068bdbe0d_l3.png)
Pour
![Rendered by QuickLaTeX.com x>0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37665e9aef746e6afdd95539e8c09bd5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=e^{-1/x}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f44370cb45e45f46a3790e8068bdbe0d_l3.png)
5/ d/ En reprenant 3.b., l’ensemble des points de continuité de est
. Par 5.a. et 5.c., pour tout
,
.
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Exercice 3 : Les endomorphismes normaux
1/ a/ Par l’expression d’un vecteur dans la base orthonormée , on a :
et en particulier, pour
![Rendered by QuickLaTeX.com x=u^*(y)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d61d8ebc184951c7230a7b63d9c0ceed_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u^*(y)=\sum\limits_{i=1}^n \langle u^*(y),e_i\rangle e_i](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8330c01f50851653897c68c5ffdb911d_l3.png)
Or
![Rendered by QuickLaTeX.com \langle u^*(y),e_i\rangle=\langle e_i,u^*(y)\rangle =\langle u(e_i),y\rangle](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d5e1377c7d651f896ebd3f1425c0dfc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-764e1c770271f92700e1a4fbce46c668_l3.png)
1/ b/ Si existe,
est parfaitement déterminé par la donnée de
, et des données de l’énoncé (
et la base
).
Si existe,
est unique.
2/ a/ Soit .
est une application de
dans
(pour
,
est une combinaison linéaire des vecteurs de
).
Soient réel et
et
vecteurs de
. On a :
donc
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
L’application
![Rendered by QuickLaTeX.com u^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0723259dd29b3e0b9ef19b4e981f0fc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-764e1c770271f92700e1a4fbce46c668_l3.png)
2/ b/ Enfin, pour et
dans
, avec la notation
de la question précédente, on a :
Donc l’application
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
Par analyse-synthèse, nous avons montré l’existence et l’unicité de l’endomorphisme adjoint
![Rendered by QuickLaTeX.com u^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0723259dd29b3e0b9ef19b4e981f0fc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43fe27dc3e528266a619764d90fce60b_l3.png)
3/ Quand est un endomorphisme symétrique, on a :
, et par unicité de
, on a
.
De plus, dans ce cas.
Pour endomorphisme symétrique,
et
est normal.
4/ a/ Pour ,
Comme les normes sont positives, .
4/ b/ On a :
,
d’où
5/ Soit un sous-espace vectoriel de
stable par
. Soit
. Pour tout
, nous avons :
Comme et que
est stable par
,
appartient à
. Et
, donc
.
Ainsi et
.
Si est stable par
,
est stable par
.
6/ a/ Soit . On a
. En composant par
linéaire, on a
, et comme
est normal,
. Ainsi
.
6/ b/ Soient et
dans
. On a :
![Rendered by QuickLaTeX.com u^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0723259dd29b3e0b9ef19b4e981f0fc_l3.png)
soit, écrit autrement :
Par la définition d’un adjoint, on reconnaît, par unicité de l’adjoint, que
![Rendered by QuickLaTeX.com (u^*)^*=u](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a0066c40223d55cd3c4fb98705b8c51f_l3.png)
On applique 5. avec
![Rendered by QuickLaTeX.com F=E_{\lambda}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32ea2919de2f265fcf730583d20bdb5e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0723259dd29b3e0b9ef19b4e981f0fc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E_{\lambda}^\perp](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b26d5aca06b46f85f559c3e0a3f1060f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (u^*)^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-192f644fabf86337a53f2a2594577408_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43fe27dc3e528266a619764d90fce60b_l3.png)
Problème : Scilab, variable aléatoire et fonction génératrice
1/ car
est à valeurs dans
.
2/ est une fonction polynomiale donc
est dérivable sur
et pour
réel,
![Rendered by QuickLaTeX.com E(X)=G'(1)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef9aacea5cc74df3c5fe5be7dec1665d_l3.png)
3/ est deux fois dérivable sur
comme fonction polynomiale.
Si ,
et
.
Si ,
et pour
réel :
![Rendered by QuickLaTeX.com G''(1)=\sum\limits_{k=2}^n k(k-1)P(X=k)=\sum\limits_{k=1}^n k(k-1)P(X=k)-0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a06aea8f76677473fec56d391df06353_l3.png)
Pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2cd5b1ca0559714e0fff13e8361268f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com G''(1)=\sum\limits_{k=1}^n k(k-1)P(X=k)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2999403885622b751004a41f81fad279_l3.png)
Nous avons donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com V(X)=G''(1)+G'(1)-(G'(1))^2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f79b8353695ef5bb295da630bf51d25_l3.png)
4/ a/ Soit un entier naturel non nul. Pour
, on a
. Par « croissance de l’intégrale » :
Pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\mathbb{N}^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49125809de17192c3fb96b29259db8ad_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac 1{k+1}\leqslant \ln (k+1)-\ln k\leqslant \frac 1k](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55c4b277b01d37c4e5a2ddcb7de5ba87_l3.png)
4/ b/ Soit ,
. On somme les inégalités de a. pour
allant de 1 à
:
et par télescopage :
![Rendered by QuickLaTeX.com \sum\limits_{j=2}^n \frac 1j\leqslant \ln n - \ln 1\leqslant (\sum\limits_{k=1}^n \frac 1k)-\frac 1n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2df935894e9275a4a16c6df68edefe81_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u_n-1\leqslant \ln n\leqslant u_n-\frac 1n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a05a262669ea890586531221228aa421_l3.png)
Pour ,
.
4/ c/ Pour ,
, et l’encadrement précédent nous donne :
Sans forme indéterminée, les deux suites encadrantes tendent vers 1. Par le théorème d’encadrement,
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim \frac{u_n}{\ln n}=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aad1bc0ff1a95a71f11abd646d39bdb7_l3.png)
Un équivalent de
![Rendered by QuickLaTeX.com u_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03456a12d9cd528a7496bd99ec6a5e9d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ln n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ebda3c5e18f15b99e5e9c3be74e9c09_l3.png)
5/ est la suite des sommes partielles de la série de Riemann
. Comme
, cette série converge, et donc
admet une limite finie.
La suite est convergente.
6/ On peut compléter les lignes 6, 7 et 8 par : .
7/ a/ La boucle for programmée a pour effet d’attribuer à la plus grande valeur apparaissant dans
. Comme
contient les entiers 1 à
,
vaut bien
.
7/ b/ est la position du maximum, indice de
en lequel figure la valeur
.
7/ c/
8/ Lorsque vaut 1, la boucle
n’est pas exécutée, et il n’y a qu’une seule affectation concernant
, donc
est la variable aléatoire certaine égale à 1.
9/ a/ Le minimum du nombre d’affectations de a lieu ssi le maximum
figure en première place, cas où il y a l’affectation
et c’est tout (les tests de la boucle
sont tous
). La valeur minimale prise par
est 1.
Le maximum du nombre d’affectations de a lieu ssi le tableau est
, cas où il y a l’affectation
et une affectation par passage dans la boucle (les tests de la boucle
sont tous
). La valeur maximale prise par
est
.
Les situations intermédiaires sont toutes possibles ; par exemple, pour un tableau ,
vaut 2 (il y a l’affectation initiale
et l’affectation lors du dernier passage en boucle
).
9/ b/ est réalisé ssi le tableau est
, c’est-à-dire pour l’unique permutation
de
, sur l’ensemble des
permutations équiprobables. Donc
.
est réalisé ssi le tableau débute par
(soit
si on utilise les notations de l’énoncé). Il y a
permutations de
débutant par
. Donc
.
Loi de
:
et
.
suit la loi uniforme sur
.
Loi de
: On a
et
et
.
Ainsi , et on peut récapituler :
9/ c/ Soit et
.
Les événements et
forment un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales :
Intéressons-nous à
![Rendered by QuickLaTeX.com P_{[A_n=n]}([X_n=j])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-959fca701693adfaadc57dc210aa9aab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com [A_n=n]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca3e01af304202502a3789852f097d24_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com m](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com for](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee5921031ee4036c9afb08eb081e96e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com c](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com for](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee5921031ee4036c9afb08eb081e96e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com X_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a6d58f19c96733ffd455fc5f1749690_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com j](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43c82d5bb00a7568d935a12e3bd969dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com j-1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1701c3e4762446bbd1c4733bd57ee1a6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f30b71e7fcec69d119f30f67cf09c975_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com for](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee5921031ee4036c9afb08eb081e96e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com [\!1,n-1]\!]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aca9aa5ac7b04b77e7fe8bdc9f90a2e7_l3.png)
Enfin, il y a
![Rendered by QuickLaTeX.com (n-1)!](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b1e59c9eb17c1441cccd168a70cfab3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n!](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da0ef996f36e1b32a0f26f6e896e1771_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(A_n=n)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac 1n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff054b24051e1b4b7061fa459ed87be4_l3.png)
Réfléchissons à
![Rendered by QuickLaTeX.com P_{[A_n<n]}([X_n=j])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14e602fc202037e35177811f24e73edc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com [A_n<n]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26c05d38a32da8826133151fcb5d90c9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com m](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com for](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee5921031ee4036c9afb08eb081e96e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com c](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com for](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee5921031ee4036c9afb08eb081e96e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com X_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a6d58f19c96733ffd455fc5f1749690_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com j](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43c82d5bb00a7568d935a12e3bd969dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com j](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43c82d5bb00a7568d935a12e3bd969dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f30b71e7fcec69d119f30f67cf09c975_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com for](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ee5921031ee4036c9afb08eb081e96e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f30b71e7fcec69d119f30f67cf09c975_l3.png)
Enfin, . On a finalement :
9/ d/ On a vu que et
et
. Par c. :
10/ a/ Pour ,
car 0 n’est pas une valeur prise par
.
D’une part, par 9.b. ; d’autre part, toujours par 9.b.,
, donc la relation de 9.c. est valable.
9.c. reste valable pour .
10/ b/ Ainsi pour réel et
,
Sommons pour
![Rendered by QuickLaTeX.com j](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43c82d5bb00a7568d935a12e3bd969dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall n\geqslant 2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d6130ad4ebe1ddb12eee6660665485d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall t\in\mathbb{R}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be2657f0e91c14466e87732ee82388f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com G_n(t)=\frac{t+n-1}{n}G_{n-1}(t)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dbe6e873ee0ade5e58110ec55e857c6_l3.png)
10/ c/ Soit la propriété : »
,
» qu’on montre par récurrence pour
.
Pour réel,
par 8. Et
. Donc
est vraie.
Soit tel que
est vraie. Soit
. Par la question précédente, appliquée avec
qui est bien supérieur ou égal à 2 :
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathcal{P}_{n+1}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7708a455e48b367767161cdfb7344bf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall n\in\mathbb{N}^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97502644a9708b8028c179493d2f9640_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall t\in\mathbb{R}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be2657f0e91c14466e87732ee82388f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com G_n(t)= \frac 1{n!}\prod\limits_{j=0}^{n-1}(t+j)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e81785a51cfb1ed037d67cec6a09f656_l3.png)
11/ La dérivation de donne :
On évalue en
![Rendered by QuickLaTeX.com t=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abf8f2abfdf1913d009a51ad64786690_l3.png)
Ainsi,
![Rendered by QuickLaTeX.com E_n-E_{n-1}=\frac 1n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2478abf1adeeffd3ff51f326aeed0ceb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p\geqslant 2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85f853a48b3b55538088f9d94f4c0801_l3.png)
De plus, par 8.,
![Rendered by QuickLaTeX.com E_1=E(X_1)=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e2808ca936eaad6ba77c9c54a998a00_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p\geqslant 2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85f853a48b3b55538088f9d94f4c0801_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E_p=u_p](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2241ea58d48b2d4d6b505f70811a68d5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e8f69673e3605f009288f06a399d3e2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E_1=1=u_1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-209143df8ac1ca648c9ebc19f4ba5ebf_l3.png)
Pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2cd5b1ca0559714e0fff13e8361268f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E_n=u_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc527d0a8d14ca131cfe205cb8afdac8_l3.png)
12/ a/ On dérive la relation obtenue en 11.
Avec 2., en évaluant en
![Rendered by QuickLaTeX.com t=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abf8f2abfdf1913d009a51ad64786690_l3.png)
et par 3. :
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall n\geqslant 2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d6130ad4ebe1ddb12eee6660665485d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V_n-V_{n-1}=\frac 1n -\frac 1{n^2}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41749a4c8cbe1cccec8e38d96fb50710_l3.png)
12/ b/ ,
. Sommons ces égalités pour
allant de 2 à
. Par télescopage :
Donc
![Rendered by QuickLaTeX.com V_n-V_1=u_n-h_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcbe2b57e34ef16c18ac1012ca4ccb8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u_1-h_1=0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96a2d8bd52906cee0a30eefad391dd3f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n=1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a51661019cc26a5931f8cb0d5fd63f30_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V_1=V(X_1)=0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac59deb1b674c2a46d4983ea0b6fdfc5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V_n=u_n-h_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5da5a9f5c91eaf881c768c8a21a4bda6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall n\in\mathbb{N}^*](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97502644a9708b8028c179493d2f9640_l3.png)
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12/ c/ Pour ,
.
Comme admet une limite finie (question 5.), on a
.
Et par 4.c., .
Donc .
On a .