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Corrigé maths ESSEC ECS 2018
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Partie 1 : Convergence de suite
1. Soient et . Pour tout , . Ceci implique la convergence de la série par comparaison à la série numérique , convergente ().
Pour , le résultat au dessus montre que . Tout ceci justifie l’inclusion .
2. Soient deux réels r et r’ tels que . Soit une suite , l’inégalité de la question 1. écrite pour et met en évidence que la convergence de vers 0 entraîne par encadrement celle de vers 0, ce qui justifie la première inclusion .
Enfin, puisque la convergence de la série pour k = 0 entraîne la convergence de son terme général vers 0, on a l’inclusion .
3. Soit . La suite nulle appartient de manière évidente à A(r). Soient deux suites , et un réel , on a pour :
de sorte que la série converge par comparaison aux séries convergentes et : la suite appartient donc à A(r). Ainsi A(r) est-il un sous-espace vectoriel de .
4.a. Pour , on a si bien qu’il existe un rang (dépendant de k) tel que pour tout , puis, par récurrence immédiate :
d’où l’on déduit par encadrement que tend vers 0 lorsque . Il en ressort que lorsque , et donc que la série converge par comparaison à la série de Riemann convergente . La suite appartient donc à A(r).
b. Soient deux réels , , la suite appartient à B(r) si, et seulement si, la suite géométrique converge vers 0 c’est-à-dire si, et seulement si, ou encore .
Lorsque , la suite converge vers 0 pour tout par croissances comparées, et l’on en déduit comme en a. que la série converge : la suite numérique appartient alors à A(r).
Pour en revanche, la série est grossièrement divergente et la suite n’appartient pas à A(r). En conclusion, la suite appartient à A(r) si, et seulement si, .
5. Soit . Pour ,
=
=
car le facteur tend vers 0 lorsque , d’où l’on déduit la convergence de la série par comparaison à la série , convergente d’après 4.b. puisque: la suite appartient donc à A(r).
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Partie 2 : convergence de série
6. La série est convergente pour x = 0. Pour elle est absolument convergente d’après la question 5. appliquée à sachant que par hypothèse.
7.a. On applique sur l’inégalité des accroissements finis à la fonction , de classe sur [-r, r] telle que pour tout , on obtient
=.
b. D’après a., pour et h tel que ,
toutes séries convergentes d’après la question 5..
c. De l’inégalité établie à la question 7.b., on déduit par encadrement que lorsque sous la contrainte . Ainsi la restriction à [-r, r] de est-elle continue.
Soit un réel , il existe alors tel que . Comme la continuité est une notion locale, la continuité de la restriction au point intérieur x donne celle de la fonction au même point, et l’on justifie ainsi que est continue sur ]-R, R[.
8.a. Sachant que et que , la question 5. assure que . Il en résulte en particulier que la série converge et par conséquent que la suite converge vers 0 : la suite appartient donc à . D’après la remarque suivant la question 3., on peut alors appliquer les questions 6. et 7. à la suite , qui garantissent que la fonction
est bien définie et continue sur . Puisque le réel est un élément quelconque de l’intervalle [r, R[, il en ressort par un raisonnement analogue à celui mené en 7.c. que est bien définie et continue sur ]-R, R[.
b. Il s’agit d’une application directe du théorème fondamental à la fonction , polynomiale donc de classe sur : pour ,
c. Pour et ,
Pour , on procède de même après avoir pris soin de réordonner les bornes d’intégration par ordre croissant (derrière les valeurs absolues), afin de pouvoir utiliser l’inégalité triangulaire et la croissance de l’intégrale :
d. D’après la question 8.c.
où le membre de droite converge vers 0 lorsque comme reste d’une série convergente. Par encadrement, on en déduit que :
e. Puisque la fonction est continue sur ]-R, R[ d’après a., la fonction en est par théorème une primitive . Vu la formule établie en d., la fonction est donc de classe sur ]-R, R[, de dérivée .
9.a. Pour ,
On a donc
Par suite, les séries et sont de même nature. Dans ces conditions,la suite appartient à A(r) si, et seulement si, la série converge pour tout .
b. On montre par récurrence sur que pour toute suite , la fonction est de classe sur ]-R, R[ avec :
Le résultat a été établi au rang k = 0 dans la question 7.. S’il est prouvé à un rang k > 0 et si est une suite de B(R) alors, d’après l’hypothèse de récurrence appliquée (cf. remarque suivant la question 3.) à la suite , la fonction
est de classe sur ]-R, R[, avec :
d’où le résultat d’après 8.e. : est de classe sur ]-R, R[ avec .
c. En évaluant en x = 0 la formule établie en b., on obtient :
10.a. On a :
et pour tout .
b. On a :
Il apparaît que la fonction est de classe sur avec, par récurrence immédiate :
En appliquant, pour , la question 9.b. à la suite , on obtient donc :
avec convergence de la série, puis le résultat s’étend à tout puisque est quelconque dans .
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Partie 3 : Formule de réciprocité
11.a. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral entre 1 et 0 à la fonction fa, de classe sur ]-R, R[ avec d’après 9.b., il vient pour :
=
b. Toujours d’après la question 9.b., on a :
Par suite, les dérivées successives de sont positives et croissantes sur [0, R[. Dès lors,
où le membre de droite converge vers 0 lorsque par hypothèse. Par conséquent,
c. D’après les questions a. et b., la série converge avec :
12.a. Il s’agit là encore d’une application directe de la formule de Taylor avec reste intégral, comme en 11.a., cette fois-ci à la fonction
b. Comme en 11.b., la positivité et la croissance de sur [0, R[ amènent :
c. Au second membre de l’inégalité établie en b., tend vers 0 lorsque par hypothèse, ainsi que
car . Il en ressort par encadrement que
d. Des questions a. et c., on déduit la convergence de la série de terme général
avec, d’après 9.c. :
13.a. Dans les conditions de l’énoncé, la fonction fa est polynomiale de degré inférieur ou égal à d.
b. D’après a., on a et donc pour tout , si bien que la condition (H) est réalisée : la suite converge vers 0 pour tout réel .
c. La formule de la question 12.d. s’applique donc et devient :
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Partie 4 : Application aux variables aléatoires discrètes
14.a. La série étant convergente, son terme général converge vers 0 : la suite appartient à B(1).
b. Dans ces conditions, la fonction est de classe sur ]-1, 1[ d’après la question 9.b.
15.a. On a :
Il apparaît que la fonction est de classe sur R avec, pour tout pour tout et en particulier .
b. Dans les conditions de l’énoncé, on a pour tout si bien que converge vers 0 pour tout comme terme général d’une série exponentielle convergente : l’hypothèse (H) est donc satisfaite. Par suite, la formule de la question 12.d. s’applique et donne :
La variable X suit donc la loi de Poisson P(1).
16.a. Il vient pour tout
et :
Il apparaît que est de classe sur avec :
En particulier, pour tout .
b. La fonction est décroissante sur ]0, 1[ si bien que pour , on a . Sous les conditions de l’énoncé, on a pour tout , si bien que converge vers 0 pour tout tel que : l’hypothèse (H) est donc vérifiée. La question 12.d. s’applique alors et donne :
d’après 10.b. sachant . Il en ressort comme en a. que X + 1 suit la loi géométrique G(p).
17. On note le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à d.
a. Les polynômes , , …. , sont non nuls et de degrés deux-à-deux distincts : ils forment donc une famille libre de , formée de vecteurs, c’est-à-dire une base de .
b. C’est immédiat : est clairement linéaire sur et à valeurs dans .
c. On a bien sûr et, pour ,
ainsi que .
d. On commence par vérifier la formule pour un polynôme , . Or, en itérant le résultat obtenu en c., il vient :
si bien que
d’où finalement
Puisque les applications et sont linéaires sur et coïncident comme on vient de le voir sur les vecteurs de la base , elles sont donc égales :
e. Il sufit d’appliquer la formule de la question d. au polynôme
f. Pour , il vient par transfert et d’après e.
où :
ce qui conduit au résultat :
g. En calculant les valeurs de , , , on explicite les relations de la question f. pour , qui permettent d’accéder aux valeurs de :
Vu 13.b., on peut alors appliquer la formule obtenue en 13.c. pour obtenir :
,
et
ce qui met en évidence que X suit la loi binomiale .