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Corrigé du sujet HEC Maths 1 ECS 2018

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Partie Préliminaire

1/ a/ Pour tout k\in \mathbb{N}, la fonction f_k définie sur [0,+\infty[ par :

\ds f_k(t) = t^k e^{-t^2}dt est continue et positive sur [0,+\infty[,

et en +\infty \ds f_k(t) = o \left( \frac{1}{t^2}\right) ;

Par comparaison à l’intégrale de Riemann convergente

\ds \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt, \ds \int_1^{+\infty} f_k(t)dt converge

donc \ds\int_0^{+\infty} f_k(t)dt converge.

b/ Soit \ds g : t \mapsto \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2} une densité de la loi normale

\ds {\cal N}\left(0, \frac 12 \right), et X une VAR suivant cette loi normale ;

\ds A_0=\sqrt{\pi} \int_0^{+\infty} g(t)dt

=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

car g est paire et \ds \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)dt=1 ;

\ds A_2

=\sqrt{\pi} \int_0^{+\infty} t^2 g(t)dt

=\frac{\sqrt{\pi}}{2} E(X^2)

car t\mapsto t^2g(t) est paire

Donc \ds A_2

=\frac{\sqrt{\pi}}{2} (V(X)+E(X)^2)

=\frac{\sqrt{\pi}}{4}

\ds A_1

=\int_0^{+\infty}te^{-t^2}dt

=\lim_{x\to +\infty} \left[ -\frac 12 e^{-t^2}\right]

=\frac 12.

Ainsi, A_0

=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, \:\: A_1

=\frac {1}{2}

et  A_2=\frac{\sqrt{\pi}}{4}}

2/ La fonction qui à t\in [0,+\infty[ associe \ds \left| e^{-t^2}\cos(xt) \right| est continue, positive, et dominée par \ds f_0 ;

Ainsi \ds \int_0^{+\infty} \cos(xt)e^{-t^2}dt converge absolument, donc converge ;

De même \ds \int_0^{+\infty} t^2\sin(xt)e^{-t^2}dt converge absolument.

 

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Partie I. Calcul d’une fonction auxiliaire

3/ a/ D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 0 en 0, pour la fonction

\sin qui est de classe {\cal C}^1 sur \mathbb{R}z :

\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u)-\sin(0) \right| \leq M |u|

avec \ds M

=\sup _{t\in [0,u]} | \sin '(t)|

=\sup_{t\in[0,u]} |\cos(t) | \leq 1,

donc : {\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u) \right| \leq |u| }

b/ \ds \forall (a,b) \in \mathbb{R}z^2 \quad \cos(a-b)+\cos(a+b)

=2\sin(a)\sin(b) ;

pour (u,v)\in\rz^2, prenons

\ds a=\frac{u+v}{2}

et \ds b=\frac{u-v}{2},

On a bien a+b=u

et a-b=v d’où :

{\cos(u )-\cos(v)

=2\sin \left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\left(\frac{v-u}{2}\right)}

c/ Soit \ds (x,y)\in\mathbb{R}z^2 ;
\begin{array}{lll} \ds |F(x)-F(y)| &=& \ds \left| \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \cos(2xt) - \cos(2yt) \right)\right| dt \\ &\leq & \ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left| \cos(xt)-\cos(yt)\right| dt \\ &\leq & \ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} 2 \left| \sin((x+y)t) \right| \left| \sin((x-y)t) \right| dt\\ &\leq & \ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} 2 \left| (x-y)t\right| dt \\ &\leq & \ds 2|x-y| \int_0^{+\infty} te^{-t^2} dt \\ \end{array}

Ainsi { |F(x)-F(y)| \leq 2A_1 |x-y| }
donc :
{ \lim _{y\to x} F(y)=F(x) } F est continue en x

et ceci pour tout x\in\mathbb{R}z.

4/ a/ Par l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 en 0, pour la fonction \sin qui est de classe {\cal C}^2 sur \mathbb{R}z :
\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u)-\sin(0) - \sin'(0) u\right| \leq M \frac{u^2}{2}
avec \ds M= \sup _{t\in [0,u]} | \sin ''(t)| = \sup_{t\in[0,u]} |-\sin(t) | \leq 1, donc :

{\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u)-u \right| \leq \frac{u^2}{2} }

b/ Soit \ds (x,h)\in\mathbb{R}z^2 ;
|F(x+h)-F(x) + 2hG(x)|

=\left| \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \cos(2(x+h)t) - \cos(2xt)+2h t\sin(2xt) \right)dt\right|

avec :

\begin{array}{l} \ds \left| e^{-t^2} \left( \cos(2(x+h)t) - \cos(2xt)+2h t\sin(2xt) \right)\right| \\ = \ds e^{-t^2} \left| \cos(2xt)\cos(2ht)-\sin(2xt)\sin(2ht)-\cos(2xt)+2ht\sin(2xt) \right| \\ = \ds e^{-t^2} \left| \cos(2xt)\left(\cos (2ht)-1 \right) +\sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \\ \ds \leq e^{-t^2} \left( \left| \cos(2xt)\left(\cos (2ht)-1 \right)\right| +\left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \right) \\ \ds \leq e^{-t^2} \left( \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) +\left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \right) \\ \end{array}

On remarque que \ds e^{-t^2} \left( \left| \cos(2xt) \right| (1-\cos (2ht) ) \right)\leq 2 |\cos(2xt)| e^{-t^2}, qui est le terme général d’une intégrale convergente d’après la partie préliminaire ;

\ds e^{-t^2} \left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \leq e^{-t^2} |\sin(2xt)| \frac{(2ht)^2}{2}

Ainsi \ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) +\left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \right)dt converge comme somme d’intégrales convergentes, donc :

\ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \cos(2(x+h)t) - \cos(2xt)+2h t\sin(2xt) \right)dt est absolument convergente ;

D’après l’inégalité triangulaire :
{\left| F(x+h)-F(x) + 2hG(x)\right| \leq \int_0^{+\infty} \left( \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) +\left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \right)dt}

c/ D’après les inégalités établies dans la question précédente,

\ds e^{-t^2} \left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \leq e^{-t^2} |\sin(2xt)| \frac{(2ht)^2}{2} = 2 e^{-t^2} |\sin(2xt)| h^2t^2

et
e^{-t^2} \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) \leq 2 e^{-t^2} \sin ^2( ht) \left| \cos(2xt) \right| \leq 2 e^{-t^2} h^2t^2 \left| \cos(2xt) \right|

donc :
{ \left| F(x+h)-F(x) + 2hG(x)\right| \leq \ds 2 h^2 \int_0^{+\infty} e^{-t^2} t^2 \left( |\sin(2xt)|+ | \cos(2xt) | \right)dt }

Cette dernière intégrale converge de la même manière que la deuxième de la question 2), et ne dépend pas de h, ce qui justifie de remplacer sa valeur par une constante C :

{ \left| F(x+h)-F(x) + 2hG(x)\right| \leq \ds C h^2 }

5/ a/ Soit x\in \mathbb{R}z ; \ds\forall h \in \mathbb{R}z^* \:\: \left| \frac{F(x+h)-F(x)}{h}+2G(x) \right| \leq C|h|

donc : \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = -2G(x)

donc F est dérivable en x et \ds F'(x)=-2G(x).

Ceci étant vrai pour tout x\in \mathbb{R}z, F est dérivable sur \rz et {F'=-2G}

b/ Soit x\in \mathbb{R}z ; \ds F(x) = -2\int_0^{+\infty} te^{-t^2}\sin(2xt)dt.

Intégration par parties sur le segment [0,A] (A\geq 0), avec

    \[\begin{array}{ll} \ds u(t)=e^{-t^2} & v(t)= \sin(2xt) \\ \ds u'(t)=-2te^{-t^2} & v'(t) = 2x\cos(2xt) \end{array}\]

les fonctions u et v étant bien de classe {\cal C}^1 sur \mathbb{R}z :

\begin{array}{lll} \ds \int_0^{A} -2te^{t^2}\sin(2xt)dt &=& \ds \left[ \sin(2xt)e^{-t^2} \right]_0^{A} -2x\int_0^{A} \cos(2xt)e^{-t^2}dt \\ &=& \ds \sin(2Ax)e^{-A^2} -2x \int_0^{A} \cos(2xt)e^{-t^2}dt \end{array}
donc :

    \[\lim_{A\to +\infty} \int_0^{A} -2te^{t^2}\sin(2xt)dt = 0 -2x \int_0^{+\infty} \cos(2xt)e^{-t^2}dt\]

donc : {F'(x)=-2xF(x)}

c/ Soit H la fonction définie sur \mathbb{R}z par : H(x)=F(x)e^{x^2}.

H est dérivable et \ds \forall x\in \mathbb{R}z \quad H'(x) = F'(x)e^{x^2} + F(x)2xe^{x^2}=0

Ainsi, H est constante donc : \ds \forall x \in \mathbb{R}z \quad H(x)=H(0)=F(0)=A_0=\frac{\sqrt{\pi}}{2} ;

Ainsi, {\forall x \in \mathbb{R}z \quad F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-x^2}}

 

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II. Fonction de Dirichlet

6/ a/ Sur {\cal D} : \ds \:\:\: \frac u2 \in \mathbb{R}z \setminus \{k\pi, k\in \mathbb{Z} \} donc \ds \sin \left( \frac u2 \right) ne s’annule pas, et \varphi_n est continue comme quotient de fonctions continues avec un dénominateur non nul.

En 0 : \ds \varphi_n(u) \sim \frac{\left(n+\frac 12 \right)u}{2 \frac u2} \sim n+\frac 12,
donc : {\varphi_n \mbox{ est prolongeable par continuité avec } \varphi_n(0)=n+\frac 12}

b/ \begin{array}{lll} \ds \ds \forall u \in {\cal D}, \:\:\: \forall k \in \zz, \: \:\: \varphi_n(u+2\pi) &=&\ds \frac{\sin \left(\left( n+\frac 12 \right)(u+2\pi) \right)}{2\sin \left( \frac{u+2\pi}{2}\right)} \\ &&\\ &=&\ds \frac{\sin \left(\left( n+\frac 12 \right)u+(2n+1)\pi ) \right)}{2\sin \left( \frac{u}{2}+\pi \right)} \\ &&\\ &=& \ds \frac{(-1)^{2n+1} \sin \left(\left( n+\frac 12 \right)u \right)}{-2 \sin \left( \frac{u}{2} \right)} \:\: \mbox{ car } \sin(k\pi+x)= (-1)^k \sin(x) \\ &=& \varphi_n(u)\\ \end{array}
Ainsi \ds \varphi_n est 2\pi-périodique, donc : {\forall k\in \zz, \:\:\: \lim_{x\to 2k\pi} \varphi_n(x)=\lim_{x\to 0} \varphi_n(x) = n+\frac 12}

\varphi_n est bien prolongeable par continuité sur \mathbb{R}z.
c/ \varphi_n est paire comme quotient de fonctions impaires.

7/ a/ \ds (e^{iku})_{k\in\nz} est une suite géométrique de raison \ds e^{iu}, donc :

si u\in {\cal D} : \ds e^{iu}=1 donc \ds \sum_{k=1}^n e^{iu} = n ;

si u\not\in {\cal D} :
\begin{array}{lll} \ds \sum_{k=1}^n e^{iku} &=& \ds e^{iu}\times \frac{1-e^{inu}}{1-e^{iu}}\\ &&\\ &=& \ds e^{iu} \times \frac{ e^{inu/2} \left( e^{-inu/2}-e^{inu/2} \right)}{e^{iu/2} \left( e^{-iu/2}-e^{iu/2} \right)} \\ &&\\ &=& \ds e^{i (n+1)u/2}\times \frac{-2i \sin \left( \frac{nu}{2}\right)}{-2i \sin \left(\frac u2\right)} \\ \end{array}

{ \sum_{k=1}^n e^{iku} = \left\{\begin{array}{l} \ds n \mbox{ si }u\in {\cal D},\\ \ds e^{i (n+1)u/2} \times \frac{\sin \left( \frac{nu}{2}\right)}{\sin \left(\frac u2\right)} \mbox{ si } u\not\in{\cal D} \end{array}\right.}

b/ Si u\in {\cal D} : \ds \cos(ku)=1 donc \ds \sum_{k=1}^n \cos(ku) = n = \varphi_n(u)-\frac 12 ;

si u\not\in {\cal D} :
\begin{array}{lll} \ds \sum_{k=1}^n \cos(ku) &=& \ds \Re \left( \sum_{k=1}^n e^{iku} \right) \\ &=&\ds \frac{\sin \left( \frac{nu}{2}\right)}{\sin \left(\frac u2\right)} \times \cos \left( \frac{(n+1)u}{2} \right) \\ &&\\ &=& \ds \frac{ \sin\left( \frac{nu}{2}+\frac{(n+1)u}{2}\right) + \sin\left( \frac{nu}{2}-\frac{(n+1)u}{2}\right)}{2\sin \left(\frac u2\right)} \mbox{ car } \sin a \cos b =\frac 12 (\sin(a+b)+\sin(a-b)) \\ &&\\ &=&\ds \frac{ \sin\left( \left( n+\frac{1}{2} \right)u\right) - \sin \left(\frac u2\right)}{2\sin \left(\frac u2\right)} \\ &&\\ &=&\ds \frac{ \sin\left( \left( n+\frac{1}{2} \right)u\right) }{2\sin \left(\frac u2\right)} - \frac 12 \\ \end{array}

Dans tous les cas, { \sum_{k=1}^n \cos(ku) = \varphi_n(u)-\frac 12}

c/ \ds \int _0^{2\pi} \varphi_n(u)du = \int_0^{2\pi} \left( \frac 12 + \sum _{k=1}^n \cos(ku)\right) du = \pi + \sum_{k=1}^n \left[ \frac{\sin(ku)}{k}\right]_0^{2\pi} = \pi + 0

{\int _0^{2\pi} \varphi_n(u)du =\pi}

8/ Soit x\in\mathbb{R}z et \ds n=\left\lfloor \frac xT \right\rfloor ; alors \ds n \leq \frac xT < n+1, donc :
nT \leq x < (n+1)T \leq x+T
La relation de Chasles donne :
\int_x^{x+T} \psi(u)du = \int_x^{(n+1)T} \psi(u)du + \int_{(n+1)T}^{x+T} \psi(u)du

Effectuons les deux changements de variables suivantes, affines donc licites :

Première intégrale : v=u-nT donne : \ds \int_x^{(n+1)T} \psi(u)du = \int _{x-nT}^T \psi(v)dv.

Deuxième intégrale : v=u-(n+1)T donne : \ds \int_{(n+1)T}^{x+T} \psi(u)du = \int _{0}^{x-nT} \psi(v)dv.

Ainsi {\int_x^{x+T} \psi(u)du = \int _{x-nT}^T \psi(v)dv + \int _{0}^{x-nT} \psi(v)dv = \int_0^T \psi(v)dv}

Partie III. Formule sommatoire de Poisson

9/ a/ Pour tout x\in \mathbb{R}z,
\ds k^2f(x+2k\pi) = \exp\left( 2\ln(k) -\theta(x+2k\pi)^2 \right) ;

or, lorsque k \to +\infty, \ds -\theta(x+2k\pi)^2 \sim -4\theta \pi^2 k^2, et \ln(k) = o(k^2), donc :

2\ln(k) -\theta(x+2k\pi)^2 \sim -4\theta \pi^2 k^2 donc : \lim_{k\to+\infty} 2\ln(k) -\theta(x+2k\pi)^2 = -\infty

donc : \ds \lim_{k\to+\infty} k^2f(x+2k\pi) =0 et par conséquent f(x+2k\pi) = o\left( \frac{1}{k^2}\right)

Par critère de comparaison à une série de Riemann convergente, \ds \sum_{k\geq 1} f(x+2k\pi) converge et de même pour \ds \sum_{k\geq 1} f(x-2k\pi).

b/ f étant paire,
\begin{array}{lllll} \forall x \in \mathbb{R}z \:\:\: H(-x)&=& \ds f(-x) &+ \ds \sum_{k\geq 1} f(-x+2k\pi) &+ \ds \sum_{k\geq 1} f(-x-2k\pi) \\ &=& \ds f(x) &+ \ds \sum_{k\geq 1} f(x-2k\pi)& + \ds \sum_{k\geq 1} f(x+2k\pi) \\ &=&H(x)&& \end{array}

Ainsi, H est paire et donc sa dérivée est impaire

10/ a/ Pour N\in \nz^*,

\ds \begin{array}{lll} \ds \int_0^{2\pi} H_N(x)\cos(nx)dx &=& \ds \int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx) dx+\sum_{k=1}^N \int_0^{2\pi} f(x+2k\pi)\cos(nx)dx + \sum_{k=1}^N \int_0^{2\pi} f(x-2k\pi)\cos(nx)dx \\ &&\\ &=&\ds \int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx)dx + \sum_{k=1}^N \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(u)\cos(nu-n2k\pi)du + \sum_{k=1}^N \int_{-2k\pi}^{-(2k-1)\pi} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(u)\cos(nu+n2k\pi)du \\ %&& \mbox{ par changements de variables } u= x+2k\pi \mbox{ et } u=x-2k\pi\\ &&\\ &=&\ds \int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx)dx + \sum_{k=1}^N \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \!\!\!\!\!\!\!\!\! f(u)\cos(nu)du + \sum_{k=1}^N \int_{-2k\pi}^{-(2k-1)\pi} \!\!\!\!\!\!\!\!\! f(u)\cos(nu)du \\ && \mbox{ car cos est } 2\pi-\mbox{périodique} \\ &&\\ &=&\ds \int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx)dx + \int_{2\pi}^{(2N+1)\pi} f(u)\cos(nu)du + \int_{-2N\pi}^{0} f(u)\cos(nu)du \\ &&\\ &=&\ds \int_{-2N\pi}^{(2N+1)\pi} f(u)\cos(nu)du \\ \end{array}

b/ \ds \int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu) du=\int_0^{+\infty} e^{-\theta u^2} \cos(nu) du= \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos\left(\frac{nt}{\sqrt{\theta}}\right) \frac{dt}{\sqrt{\theta}} ;

cette intégrale est donc absolument convergente d’après la partie préliminaire;

\ds u\mapsto f(u)\cos(nu) est paire ;

donc \ds \int_{-\infty} ^{+\infty} f(u)\cos(nu)du converge et vaut \ds 2 \int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu) du ;

donc \ds \lim_{N\to+\infty} \int_{-2N\pi}^{(2N+1)\pi} f(u)\cos(nu)du = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u)\cos(nu)du

et \encadre{\ds \lim_{N\to+\infty} H_N(x)\cos(nx)dx = 2 \int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu) du}

c/ Pour tout \encadre{ x\in [0,2\pi] } et N\in \nz^* :

\begin{array}{lll} \ds \left| H(x)-H_N(x)\right| &=& \ds \left| \sum_{k=N+1}^{\infty}f(x+2k\pi) + \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x-2k\pi) \right|\\ && \mbox{ (reste d'une série convergente)} \\ &= & \ds\sum_{k=N+1}^{\infty} \exp( -\theta (x+2k\pi)^2) + \sum_{k=N+1}^{\infty} \exp(-\theta (x-2k\pi)^2) \\ \end{array}

\left| H(x)-H_N(x)\right| =\ds \left| \sum_{k=N+1}^{\infty}f(x+2k\pi) + \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x-2k\pi) \right|

    \[\begin{array}{ll} & 0 \leq x \leq 2\pi \\ \Rightarrow &\ds 2k\pi \leq x+2k\pi \leq (2k+1)\pi \\ \Rightarrow & \ds -\theta (2k+1)^2\pi^2 \leq -\theta (x+2k\pi)^2 \leq -\theta (2k\pi)^2 \\ \Rightarrow & \ds \exp(-\theta (2k+1)^2\pi^2 ) \leq f(x+2k\pi) \leq \exp(-\theta 4k^2\pi^2 ) \\ &\\ \Rightarrow & \ds ${0 \leq \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x+2k\pi) \leq \sum_{k=N+1}^{\infty} \exp(-\theta 4k^2\pi^2 )}$ \\ \end{array}\]

et

    \[\begin{array}{ll} & 0 \leq x \leq 2\pi \\ \Rightarrow &\ds -2k\pi \leq x-2k\pi \leq -(2k-1)\pi <0 \\ \Rightarrow & \ds (2k-1)^2\pi^2 \leq (x-2k\pi)^2 \leq (2k\pi)^2 \\ \Rightarrow & \ds \exp(-\theta (2k)^2\pi^2 ) \leq f(x+2k\pi) \leq \exp(-\theta (2k-1)^2\pi^2 ) \\ \Rightarrow & \ds \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x-2k\pi) \leq \sum_{k=N+1}^{\infty} \exp(-\theta (2k-1)^2\pi^2 ) \\ \Rightarrow & \ds \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x-2k\pi) \leq \sum_{j=N}^{\infty} \exp(-\theta (2j+1)^2\pi^2 ) \\ &\\ \Rightarrow & \ds ${ 0\leq \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x-2k\pi) \leq \sum_{j=N}^{\infty} \exp(-\theta 4j^2\pi^2 )}$ \\ \end{array}\]

Ainsi,
{\left| H(x)-H_N(x) \right| \leq \sum_{k=N+1}^{\infty} \exp(-\theta 4k^2\pi^2 ) + \sum_{j=N}^{\infty} \exp(-\theta 4j^2\pi^2 ) \leq 2 \sum_{k=N}^{\infty} \exp(-\theta 4k^2\pi^2 ) }

d/ D’après la question précédente,
\begin{array}{l} \ds \left| \int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx - \int_0^{2\pi} H_N(x)\cos(nx)dx \right| \\ \ds \leq \int_0^{2\pi} |H(x)-H_N(x)| |\cos (nx)|dx \\ \ds \leq \int_0^{2\pi} 2 \left| \sum_{k=N}^{\infty} e^{-4\theta ^2 k^2} \right| dx \ds \leq 2 \left| \sum_{k=N}^{\infty} e^{-4\theta ^2 k^2} \right| \times 2\pi \\ \ds \underset{N\to\infty}{\longrightarrow} 0 \mbox{ comme reste d'une série convergente} \end{array}

donc : {\int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx = \ds \lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi} H_N(x)\cos(nx)dx = 2 \int_0 ^{+\infty} f(u)\cos(nu)du}

\begin{array}{lll} \ds 2\int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu)du &=& \ds 2\int_0^{+\infty} e^{-\theta u^2}\cos(nu)du \\ &=& \ds 2 \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos \left( \frac{nt}{\sqrt{\theta}} \right) \frac{dt}{\sqrt{\theta}} \\ &=& \ds \frac{2}{\sqrt{\theta}} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos \left(2 \frac{nt}{2\sqrt{\theta}} \right) \frac{dt}{\sqrt{\theta}} \\ &=& \ds \frac{2}{\sqrt{\theta}} F \left( \frac{n}{2\sqrt{\theta}}\right) \:\: (F \mbox{ étudiée en partie I}) \\ &=& \ds \frac{2}{\sqrt{\theta}} \times \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\left( \frac{n}{2\sqrt{\theta}} \right)^2} \\ &=& \ds \sqrt{\frac{\pi}{\theta}} e^{-n^2/4\theta} \end{array}

donc : {\int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx = 2 \int_0 ^{+\infty} f(u)\cos(nu)du = \sqrt{\frac{\pi}{\theta}} e^{-n^2/4\theta}}

11/ \ds a_n=\int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx = 2\int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu)du = \sqrt{\frac{\pi}{\theta}} \exp\left( -\frac{n^2}{4\theta}\right).

a/ \begin{array}{lll} \ds a_0+2\sum_{n=1}^{N} a_n\cos(nx) &=& \ds a_0 +2\sum_{n=1}^N \cos(nx) \int_0^{2\pi} H(u)\cos(nu)du \\ &=& \ds a_0 + 2\sum_{n=1}^N \int_0^{2\pi} H(u)\cos(nx)\cos(nu)du \\ &=& \ds a_0 + \sum_{n=1}^N \int_0^{2\pi} H(u) \left( \cos(n(x+u)) + \cos(n(x-u)) \right)du \\ &=& \ds a_0 + \int_0^{2\pi} H(u) \left( \sum_{n=1}^N \cos(n(x+u)) + \sum_{n=1}^N\cos(n(x-u)) \right)du \\ &=& \ds a_0 + \int_0^{2\pi} H(u) \left( \varphi_N(x+u)-\frac 12 + \varphi_N(x-u)-\frac 12 \right) \mbox{ d'après 7)b)} \\ &=& \ds a_0 + \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x+u)du + \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x-u)du - \int_0^{2\pi} H(u)du \\ \end{array}

or \ds \int_0^{2\pi} H(u)du=a_0, donc :

{ a_0+2\sum_{n=1}^{N} a_n\cos(nx) = \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x+u)du + \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x-u)du }

b/ Transformons \ds \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x+u)du à l’aide du changement de variable affine v=u+x :

\int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(u+x)du = \int_x^{2\pi+x} H(v+x)\varphi_N(v)dv

Or H est 2\pi-périodique, car

\begin{array}{lll} H(x+2\pi) &=& \ds f(x+2\pi) +\sum_{k=1}^{\infty} f(x+2\pi+2k\pi) + \sum_{k=1}^{\infty} f(x+2\pi-2k\pi) \\ &=& \ds f(x+2\pi) \sum_{j=2}^{\infty}f(x+2j\pi) + \sum_{i=0}^{\infty} f(x-2i\pi) \\ &=& \ds \sum_{k=1}^{\infty} f(x+2k\pi) + f(x)+ \sum_{k=1}^{\infty} f(x-2k\pi) \\ &=& H(x) \end{array}
\varphi_N est également 2\pi-périodique d’après le résultat établi en 6)b), donc la fonction \\ \ds v \mapsto H(v+x)\varphi_N(v) est 2\pi-périodique, et ainsi, d’après la question 8),

    \[\int_x^{2\pi+x} H(v+x)\varphi_N(v)dv = \int_0^{2\pi} H(v+x)\varphi_N(v)dv = \int_0^{2\pi} H(v+x) \frac{\sin \left( \left( N+\frac 12 \right)v\right)}{2\sin \left(\frac v2 \right)}dv\]

et de même pour \ds \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(u-x)du.

Par conséquent : { a_0+2\sum_{n=1}^{N} a_n\cos(nx) = \int_0^{2\pi} \frac{H(v+x)+H(v-x)}{2\sin(v/2)} \times \sin \left( \left( N+\frac 12 \right)v\right) dv}

c/ Sur ]0,2\pi[ : H est de classe {\cal C}^1 (admis) donc continue ; \ds v \mapsto \sin(v/2) est continue et ne s’annule pas, donc K_x est continue par quotient.

En 0 : v \mapsto H(x+v) étant de classe {\cal C}^1 sur \mathbb{R}z, elle est notamment dérivable en 0 et y admet un DL d’ordre 1 :

\begin{array}{l} H(v+x) = H(x) +H'(x)v +o(v) \\ H(v-x) = H(x) - H'(x) v + o(v) \\ \end{array}

donc : \ds H(v+x)+H(v-x) -2H(x) = o(v)

Par ailleurs, lorsque v\to 0, \ds 2\sin \left(\frac v2 \right) \sim 2\frac v2 \sim v, donc :
{\lim_{v\to 0} \frac{H(v+x)+H(v-x) -2H(x)}{2\sin \left( \frac v2 \right)} =0 \mbox{ donc } K_x \mbox{ continue en 0} }

En 2\pi :

\begin{array}{lll} K_x(2\pi-v) &=&\ds \frac{H(2\pi-v+x) +H(2\pi-v-x)-2H(x)}{2\sin \left( \frac{2\pi-v}{2}\right)} \\ &=& \ds \frac{H(-v+x) +H(-v-x)-2H(x)}{2\sin \left( \pi - \frac{v}{2}\right)} \mbox{ car } H \:\: 2\pi-\mbox{périodique}\\ &=&\ds \frac{H(v-x) +H(v+x)-2H(x)}{2\sin \left(\frac{v}{2}\right)} \mbox{ car } H \mbox{ est paire (9)b)), et } \sin(\pi-t)=\sin(t)\\ &=& K_x(v) \end{array}

donc : \lim_{v \to 2\pi^-} K_x(v)=\lim_{u\to 0^+} K_x(u) = 0 donc K_x  continue en 2\pi
(par le changement de variable u=2\pi-v.)

d/ D’après 7)c),

    \[\forall n \in \nz \:\: \: \pi = \int _0^{2\pi} \varphi_n(x)dx\]

donc :

    \[\ds \pi = \int_0^{2\pi} \varphi_N(x)dx = \int_0^{2\pi} \frac{\sin \left( \left( N+\frac 12\right)v\right)}{2\sin \left(\frac v2\right)}dv\]

donc :

    \[\begin{array}{l} \ds a_0+ 2\sum_{n=1}^N a_n\cos(nx)-2\pi H(x) \\ \ds = \int_0^{2\pi} \left( \frac{H(v+x)+H(v-x)}{2\sin(v/2)} \right) \times \sin \left( \left( N+\frac 12 \right)v\right) dv - 2H(x)\int_0^{2\pi} \frac{\sin \left( \left( N+\frac 12\right)v\right)}{2\sin \left(\frac v2\right)}dv \\ \ds = \int_0^{2\pi} \left( \frac{H(v+x)+H(v-x)-2H(x)}{2\sin(v/2)} \right) \times \sin \left( \left( N+\frac 12 \right)v\right) dv \\ \ds =\int_0^{2\pi} K_x(v) \sin \left( \left( N+\frac 12\right)v\right) dv \end{array}\]

12/ a/

    \[\int_0 ^1 g(t)\sin(\lambda t)dt = \left[ g(t)\frac{\sin(\lambda t)}{\lambda} \right]_0^1 - \frac{1}{\lambda} g'(t)\sin(\lambda t)dt = g(1) \frac{\sin( \lambda)}{\lambda} + \frac{1}{\lambda}\int_0^1 g'(t)\sin(\lambda t) dt\]

(Intégration par parties avec \ds u(t)=g(t) et \ds v'(t) = \sin(\lambda t) \mbox{ pour }\lambda >0)

\ds \left| g(1) \frac{\sin(\lambda)}{\lambda} \right| \leq \frac{|g(1)|}{\lambda} donc \ds \lim_{\lambda \to\infty} g(1) \frac{\sin(\lambda)}{\lambda}=0 ;

\ds \left| \frac{1}{\lambda}\int_0^1 g'(t)\sin(\lambda t) dt\right| \leq \frac{1}{\lambda} \int_0^1 |g'(t)\sin(\lambda t)| dt \leq \frac{1}{\lambda} \int_0^1 |g'(t)| dt =\frac{K}{\lambda},

donc \ds \lim_{\lambda \to\infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^1 g'(t)\sin(\lambda t) dt = 0.

Par somme, {\lim_{\lambda \to\infty}\int_0^1 g(t)\sin(\lambda t)dt = 0}

b/

    \[\begin{array}{lll} \ds \frac{1}{\sqrt{\pi\theta}} \left(\frac 12 +\sum_{n=1}^{\infty} \exp \left( -\frac{n^2}{4\theta}\right)\cos(nx) \right) &=& \ds \frac{1}{2\sqrt{\pi\theta}} + \frac{1}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \\ &=& \ds \frac{1}{2\pi} \left( a_0 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \right) \end{array}\]

Or, d’après 11)d),

    \[a_0+2\sum_{n=1}^N a_n\cos(nx) -2\pi H(x) = \int_0^{2\pi} K_x(v)\sin \left( \left(N+\frac 12 \right) v \right) dv\]

d’après 11)c), K_x est continue sur [0,2\pi] ;

d’après 12)a), \ds \lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi} K_x(v) \sin\left( \left( N+\frac 12 \right) v \right)dv=0

donc \ds a_0 +2\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) = 2\pi H(x)

donc : { \ds \frac{1}{2\pi} \left( a_0 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \right) = H(x) = e^{-\theta x^2} +\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta (x+2k\pi)^2} +\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta(x-2k\pi)^2}}

Partie IV. Une application probabiliste de la formule sommatoire de Poisson

13/ \tt s=s+2 ; j=1
\tt i est le nombre de lancers effectués depuis le début de la partie et jusqu’à l’arrêt du jeu.
\tt v est un indicateur permettant de savoir quel est le joueur en cours (et donc qui gagne).
Dans les initialisations ajouter : \tt k=1

Dans la boucle \tt while, avant l’instruction if j>s …, ajouter :

if v==1 then

k=k+1

end

Méthode de Monte-Carlo : une valeur approchée est la fréquence de l’événement « A vainqueur » sur un grand nombre de simulations :

N=10000 ;

f=0 ;

p=input(‘entrez probabilité de Pile’) ;

for k=1:N

if jeu(p)==1 then

f=f+1

end

end

disp(f/N)

14/ a/ H\cup K signifie qu’il y a un vainqueur (le jeu se termine) ; \ds \overline{H\cup K} signifie qu’il n’y a pas de vainqueur : le jeu continue indéfiniment, ce qui signifie que « Pile » ne sort jamais.

Notons, pour n\in\nz^*, F_n l’événement : « il n’y a eu que des Face lors des n premiers lancers ».

\ds (F_n)_{n\in\nz^*} est une suite décroissante d’événements, donc, par le théorème de limite monotone~:
P_p( \overline{H\cup K}) = P_p \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \right) = \lim_{n\to\infty} P_p(F_n) = \lim_{n\to\infty} (1-p)^n=0
donc :
{P_p(H\cup K)=1 }

X+Y est le nombre total de lancers effectués jusqu’à l’arrêt du jeu (obtention du premier « Pile »). D’après ce qui précède, X+Y a une valeur finie presque s\^urement et :
{ X+Y \hookrightarrow {\cal G}(p)}

b/ Notons A_1 l’événement : le joueur A gagne dès le premier lancer (autrement dit, « Pile » sort au premier lancer). Alors

    \[\begin{array}{lc} & A_1 \subset H \\ \mbox{donc } & P_p(A_1) \leq P_p(H) \leq 1 \\ \mbox{donc } & p \leq P_p(H) \leq 1 \end{array}\]

Par théorème d’encadrement, {\lim_{p\to 1} P_p(H)=1}

15/ a/ Les séquences sont de longueur impaire : 1,3,5 …

Ainsi, la séquence numéro j est de longueur 2j+1, avec les conventions suivantes :

La première porte le numéro 0, elle ne comporte que le premier lancer (effectué par le joueur A)

A joue les séquences de numéro j pair et B les séquences de numéro j impair

Lorsque la séquence numéro j commence, le nombre total de lancers déjà effectués est donc :

    \[\sum_{k=0}^{j-1} (2k+1) = 2 \sum_{k=0}^{j-1}k + j =j(j-1)+j = j^2\]

Par conséquent, \encadre{\mbox{ la séquence numéro } j \mbox{ commence au lancer numéro }j^2+1}

Or, {A effectue les séquences de numéro pair : j=2n} donc :

Le premier lancer de la séquence est le lancer numéro (2n)^2+1=4n^2+1 ;

La séquence est de longueur 2j+1 = 4n+1 donc le dernier lancer (s’il a lieu) porte le numéro 4n^2+4n+1

Ainsi, les valeurs de I sont incluses dans l’ensemble \ds \bigcup _{n\in\nz}\llbracket 4n^2+1,4n^2+4n+1\rrbracket.

b/ Notons A_n l’événement : « A gagne lors de la séquence numéro 2n« .

    \[A_n= F_1\cap \cdots \cap F_{4n^2} \cap \left( \bigcup_{k=1}^{4n+1} (\underbrace{F\cdots F}_{\mbox{k-1 fois}}P) \right)\]

donc, la réunion étant disjointe et les lancers indépendants,

    \[\begin{array}{ll} \ds P_p(A_n) &= \ds (1-p)^{4n^2} \times \left( \sum_{k=1}^{4n+1} (1-p)^{k-1}p \right) \\ &= \ds (1-p)^{4n^2} \times \frac{1-(1-p)^{4n+1}}{1-(1-p)} \\ &=\ds (1-p)^{4n^2}-(1-p)^{4n^2+4n+1} \\ \end{array}\]

H étant l’union disjointe des A_n,
{P_p(H) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( (1-p)^{4n^2}-(1-p)^{4n^2+4n+1}\right)}

J prend ses valeurs dans l’ensemble complémentaire de celles de I : les séries démarrent aux lancers 4n^2+4n+1 et terminent aux lancers 4(n +1)^2-1 :

{P_p(K)=\sum_{n=0}^{\infty} \left( (1-p)^{4n^2+4n+1}-(1-p)^{4(n+1)^2}\right)}

16/ a/ D’après 12)b),

    \[\frac{1}{\sqrt{\pi\theta}} \left( \frac 12 +\sum_{n=1}^{\infty} \exp \left( -\frac{n^2}{4\theta}\right) \cos(nx) \right) = e^{-\theta x^2} +\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta (x+2k\pi)^2} + \sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta (x-2k\pi)^2}\]

Appliquons cette égalité avec :

x=\pi donc \cos(nx)=(-1)^n

\ds \theta =-\frac{1}{4\ln(1-p)} donc \ds e^{-1/4\theta} = 1-p et \ds \exp \left( -\frac{n^2}{4\theta}\right) = (1-p)^{n^2}

Ainsi,

    \[\begin{array}{ll} \ds \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (1-p)^{n^2} & \ds = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1-p)^{n^2} \\ &\ds = \frac 12 + \left( \frac 12 + \sum_{n=1}^{\infty} \cos(nx) \exp \left( -\frac{n^2}{4\theta} \right) \right) \\ &\ds = \frac 12 +\frac{1}{\sqrt{\pi \theta}} \left( e^{-\theta \pi^2} +\sum_{k=1}^{\infty} \exp \left( -\theta (\pi + 2k\pi)^2\right) + \sum_{k=1}^{\infty} \exp \left( -\theta (\pi - 2k\pi)^2\right)\right) \\ & >\ds \frac 12 \mbox{ car sommes de séries à termes strictement positifs} \end{array}\]

b/ \ds P_p(H)=\sum_{n=0}^{\infty} \left( (1-p)^{4n^2}-(1-p)^{(2n+1)^2} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (1-p)^{k^2} > \frac 12

Conclusion : le jeu est inéquitable car A a plus de chance de gagner que B.

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