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Variation de Fonction en seconde générale : exercices

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde Générale

Le chapitre sur la variation d’une fonction est un cours important au programme de maths de seconde. Il est important de s’entraîner pour bien comprendre les exercices et les corrigés. Vous pouvez par ailleurs retrouver d’autres exercices de cours en ligne maths en seconde sur notre site, comme les généralités d’une fonction etc..

Variation de fonction : exercice n°1

Le tableau de variation d’une fonction suivant représente les $f$ définie sur $]-\infty;5]$ .

Question 1 : Donnez les variations de $f$ .
Question 2 : En justifiant votre réponse, comparez si possible :

$f(-3)$ et $f(0)$ ;

$f(2)$ et $f(4)$ ;

$f(-6)$ et $f(3)$ ;

$f(-4)$ et $f(-1)$ .

Question 3 : Donner les antécédents de $0$ par $f$ .
Question 4 : Résoudre l’équation $f(x)=-2$ .
Question 5 : Résoudre l’inéquation $f(x)\leq 0$ .

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Variation de fonction : exercice n°2

Identifier les incohérences dans le tableau de variation suivant.

Variation de fonction : exercice n°3

Le tableau de variation suivant donne les variations d’une fonction $f$ définie sur $[-4;5]$ .

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Question 1 : Donner les coordonnées des points extrémum.
Question 2 : Justifier que pour tous réels $a$ et $b$ , $-2 < a < b < 3$ entraîne $f(a) > f(b)$ .
Question 3 : Montrer que pour tout réel $x$ tel que $-2 < x < 5$ , $f(x) \geq 0$ .
Question 4 : Justifier qu’il existe un réel $a$ , $-4 < a < -2$ tel que $f(a)=0$ . Donner alors le signe de $f(x)$ pour $x\in [a;-2]$ .

Variation de fonction : correction de l’exercice n°1

Question 1 : La fonction $f$ est définie sur $]-\infty;5]$ .

Par lecture du tableau de variation de $f$ :

$\bullet$ $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ ;

$\bullet$ $f$ est strictement croissante sur $[-3;1]$ ;

$\bullet$ $f$ est strictement décroissante sur $[1;5]$ .

Question 2 : On a :

$\bullet$ $f(-3) < f(0)$ car $-3<0$ , la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-3;1]$ et $-3, 0\in[-3;1]$ ;

$\bullet$ $f(2) > f(4)$ car $2<4$ , la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1;5]$ et $2, 4\in [1;5]$ ;

$\bullet$ Il est impossible de comparer $f(-4)$ et $f(-1)$ .

En effet, $f(-4)$ peut prendre une valeur dans l’intervalle $[-2;0]$ et $f(-1)$ peut prendre une valeur dans l’intervalle $[-2;0]$ .

Question 3 : $f(-5)=0$ et $f(1)=0$ . Donc, les antécédents de $0$ par $f$ sont $-5$ et $1$ .
Question 4 : : $f(x)=-2$ est équivalent à $x=-3$ . Donc, $f(x)=-2$ pour $x \in \{-3\}$ .
Question 5 : Pour $x \in ]-\infty;-5],\ f(x) \in [0;5]$ alors $f(x)$ est de signe positif;

$\bullet$ Pour $x \in [-5;-3],\ f(x) \in [-2;0]$ alors $f(x)$ est de signe négatif (*);

$\bullet$ Pour $x \in [-3;1],\ f(x) \in [-2;0]$ alors $f(x)$ est de signe négatif (**);

$\bullet$ Pour $x \in [1;5],\ f(x) \in [-1;0]$ alors $f(x)$ est de signe négatif (***);

De (*), (**) et (***) : pour $x \in [-5;5],\ f(x)$ est de signe négatif.

Par conséquent, $f(x)\leq 0$ pour $x\in [-5;5]$ .

Variation de fonction : correction de l’exercice n°2

Dans le tableau, la flèche indique une décroissance de $-5$ vers $-2$ . Ce qui est impossible car $-2>-5$ .

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Variation de fonction : correction de l’exercice n°3

Question 1 : Par lecture du tableau de variation de $f$ : On a:

$\bullet$ La fonction $f$ admet un maximum (global) en $-2$ et un maximum (local) en $5$ .

Donc, la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un maximum au point de coordonnées $(-2;4)$ et au point de coordonnées $(5;3)$ .

$\bullet$ La fonction $f$ admet un minimum (global) en $-4$ et un minimum (local) en $3$ .

Donc, la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un minimum au point de coordonnées $(-4;-1)$ et au point de coordonnées $(3;0)$ .

Question 2 : La fonction $f$ est décroissante sur $[-2;3]$ alors pour tous réels $a$ et $b$ tels que $-2 < a < b < 3$ , on a $f(a) > f(b)$
Question 3 : Par disjonction de cas:

$\bullet$ Pour $x\in ]-2;3],\ f(x) \in [0;4[$ . Dans ce cas $f(x)\geq 0$ ;

$\bullet$ Pour $x\in [3;5[,\ f(x) \in [0;3[$ . Dans ce cas $f(x)\geq 0$ .

Comme l’ensemble de réels $x$ tels que $-2 < x < 5$ est identique à l’intervalle $]-2;5[$ et $]-2;5[=]-2;3] \cup [3;5[$ alors :

pour tout réel $x$ tel que $-2 < x < 5$ , $f(x)\geq 0$ .

Question 4 : Pour $x\in ]-4;-2[,\ f(x) \in ]-1;4[$ . Comme $0\in ]-1;4[$ , alors il existe un réel $a$ , $-4 < a < -2$ tel que $f(a)=0$ .

Etant donné que $f$ est croissante sur $]-4;-2[$ et $f(a)=0$ , alors pour $x\in [a;-2],\ f(x)\geq f(a)=0$ . C’est-à-dire que $f(x)$ est de signe positif.

Le reste des exercices sur la variation d’une fonction en seconde est à retrouver sur l’application Prepapp. Ainsi que tous les autres cours en ligne de seconde en maths, comme l’arithmétique, les fonctions affines etc..

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