Travailler et progesser en informatique en prepas scientifiques

Quelques exemples en Algorithmique et Programmation en informatique en prépas scientifiques

• Exemples de questions sur les instructions : langage minimal de l’algorithmique :

Exercice 1. Écrire un programme qui détermine l’ordre de grandeur d’un nombre x non nul donné, autrement dit l’entier relatif n tel que 10n ⩽ |x| < 10n+1. On n’utilisera pas les fonctions logarithmes du module math.

Exercice 2. Écrire un programme qui trouve le plus petit multiple commun à 2 entiers naturels m et n.

Exercice 3 :

1. Écrire un programme qui reçoit comme donnée un quadruplet (jours, heures, minutes, secondes) et vérifie que celui-ci respecte les conventions habituelles sur les durées (secondes entre 0 et 59, etc.).
2. Écrire un programme qui reçoit une durée exprimée en secondes et construit un quadruplet (jours, heures, minutes, secondes) désignant la même durée et respectant les conventions habituelles sur les durées.

• Exemples d’exercices sur les fonctions en informatique en prépas scientifiques :

Exercice 1. Écrire en Python une fonction qui prend comme argument un entier n et renvoie l’entier 2n.

Exercice 2. Qu’affiche le programme suivant ? Pourquoi ?

def     g(x):

            global

            a = 10

            return 2 * x

def   f(x) :

         v=1

         return g(x) + v

         a = 3

         print (f(6) + a)

Proposer une adaptation de ce programme dans laquelle le résultat affiché ne dépend pas de l’ordre d’évaluation.

• Exemples d’exercices en sur les Notions de complexité et algorithmique sur les tableaux :

Exercice 1. Le but de cet exercice est d’écrire une fonction qui détermine la médiane d’un tableau d’entiers :

1. Programmer l’algorithme suivant : on recherche le minimum et le maximum du tableau, on les supprime et on recommence jusqu’à obtenir un tableau de longueur inférieure ou égale à 2. On déduit alors facilement la valeur de la médiane du ou des entiers restants.
2. Quelle est la complexité de cet algorithme ?

Exercice 2. Écrire une fonction qui détermine si tous les éléments d’un tableau (d’entiers ou de flottants) sont positifs ou nuls. On veillera à sortir de la fonction dès qu’une valeur négative est rencontrée.

Exercice 3. Écrire une fonction qui prend en arguments trois entiers m, n et p et renvoie un tableau identique à celui désigné par l’expression list(range(m, n, p)), bien entendu sans utiliser cette dernière expression.

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Exemples de questions en Ingénierie numérique et simulation en informatique en CPGE scientifiques

• Exemples de questions sur Pivot de Gauss et résolution de systèmes :

Exercice 1. Démontrer rigoureusement à l’aide d’un invariant de boucle que la première phase de l’algorithme du pivot de Gauss conduit à un système sous forme triangulaire.

Exercice 2 : Le module fractions de Python fournit une représentation et des opérations pour manipuler des rationnels en valeur exacte. L’expression Fraction (numerateur, denominateur) construit la fraction correspondante, sur laquelle on peut ensuite utiliser les opérations usuelles. On consultera sa documentation pour plus de détails.

1. Adapter le programme Python du pivot de Gauss pour qu’il résolve des systèmes à coefficients rationnels de façon exacte.
2. Le tester sur des exemples tels que Vn et Hn (matrices de Virginie et de Hilbert).
3. Empiriquement, le temps de calcul de ce programme est-il toujours de l’ordre du cube de la dimension de la matrice à inverser ? Si ce n’est pas le cas, proposer une explication.

• Exercices sur la résolution numérique d’équations sur les réels :

Exercice 1. Comment approcher numériquement f′′(x0) ? Proposer une formule, puis une majoration du reste dans un cadre raisonnable. Tester la formule proposée sur des exemples simples et vérifier l’ordre de grandeur de l’erreur.

Dans les différents cas, dans quelle zone se trouvent les pas optimaux ?

Exercice 2. Les Babyloniens et √2.

1. Donner les quatre premiers chiffres significatifs de √2… en base 60.
2. Déchiffrer rapidement la tablette YBC 7279 dont l’âge est estimé à plus de 3 000 ans.
3. Constater que les Babyloniens connaissaient un peu de mathématiques !

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