Docteur en Mathématiques, Agrégé et Normalien, mais d'abord votre prof

Ma méthodologie est simple, et commence à être relativement bien rôdée.
Avant de commencer les cours, je commence par un coup de téléphone, soit avec le parent d'élève, soit directement avec l'élève. Durant cet échange, je me présente, mais j'écoute surtout la situation dans laquelle se trouve l'élève. Le contexte joue souvent beaucoup : il m'est arrivé d'avoir à enseigner à un élève alors que son père, ingénieur, aurait largement pu l'aider en maths, mais leur relation conflictuelle rendait cela impossible. J'ai donc joué à la fois le rôle de professeur, mais aussi d'intermédiaire : j'avais un très bon contact avec l'élève, et j'ai maintenu l'échange avec les parents en permanence. C'est justement suite à cette expérience que j'ai compris l'importance du lien avec les parents d'élève. Particulièrement en maths où le retour sur investissement n'est pas immédiat, il faut tout le temps échanger sur ce qui va - et ce qui ne va pas.
Lorsque j'échange pour la première fois avec l'élève (par téléphone, ou lors du premier cours), j'établis un premier diagnostic, en terme de besoins. Si les élèves connaissent souvent bien - de fait - où sont leurs difficultés, beaucoup ne savent pas quelles en sont la source. Nous fixons alors en commun des objectifs, en fonction du calendrier. Je fixe toujours des séances de 2h. Je demande tous le matériel de cours dont dispose l'élève (exos, polycopiés, etc.).
Je mets toujours l'accent sur le cours, et sa connaissance. Bien que cela puisse être pénible, la bonne connaissance du cours est indispensable pour la résolution des exercices. En fonction du niveau, je demande toujours de préparer à l'avance un point du cours, et je  commence toujours le cours par - au moins - la restitution complète d'un théorème, voire de sa démonstration. Je fais aussi des "pop quizz", où je demande une définition, ou un théorème en plein milieu du cours. Tout ceci vient en fait naturellement, la mobilisation du cours étant souvent nécessaire pour la résolution des exercices.
En fonction du degré de connaissance comme de compréhension du cours, je passe plus ou moins de temps sur le cours, en expliquant les point clés. J'en profite parfois pour faire de l'histoire des mathématiques, pourquoi et comment en est-on arrivé aux concepts utilisés actuellement, ou encore l'utilisation de ceux-ci dans les différents domaines de la technologie etc. D'expérience, c'est assez efficace pour expliquer certaines notions-clés rencontrées dans le supérieur qui, souvent, n'ont aucun sens pour l'élève.
Pour gagner du temps, je propose aussi des exercices, le plus souvent d'une séance à l'autre. Lors de leur correction, j'encourage toujours mes élèves à m'expliquer ce qu'ils ont fait, ce qu'ils ont compris ou non. Je prends toujours soin de distinguer les erreurs pourtant sur le cours et sa compréhension, des erreurs de calcul, qu'un professeur peut détecter mais pas "soigner" (seul l'élève, à force de pratique, finira par les réduire). Je prends aussi le temps de reprendre avec l'élève les examens, et de discuter comment il peut s'améliorer sur tel ou tel point, ou éviter tel ou tel piège.
Je réponds bien sûr à toute question que peut me poser l'élève pendant la séance, et même en dehors : en cas de besoin, l'élève peut toujours me contacter par SMS, et je lui répondrai par SMS ou par mail.