Chapitres de maths en Terminale D

Suites en Terminale D : exercices et corrigés

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SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur les suites pour les élèves préparant le bac D.

1. Suites récurrentes et étude de suites

Exercice 1 :

On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c} u_{0} = 2 \\ u_{n+1} = 2u_{n}-3 \\ \end{array} \right.$

Montrez que $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n}=3-2^{n}$

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Corrigé de l’exercice 1 :

Montrons ceci par récurrence :

Posons la propriété à démontrer : soit $P(n)\text{ : }"u_{n}=3-2^{n}"$ .

Initialisation : $u_{0}=2$ et $3-2^{0}=3-1=2$ , on a donc bien $u_{0}=3-2^{0}$ . $P(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$ , supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.

$u_{n+1}=2u_{n}-3=2\left(3-2^{n}\right)-3=6-2^{n+1}-3=3-2^{n+}$ . Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion :} $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }P(n)$ est vraie, c’est-à-dire

$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n}=3-2^{n}}$

2 – Vrai / Faux sur la monotonie

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses. Justifiez vos réponses :

Question 1 :

Toute suite décroissante est majorée.

Question 2 :

Toute suite décroissante et minorée par 0 a pour limite 0.

Question 3 :

Toute suite croissante et majorée est bornée

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Corrigé de la question 1 :

Toute suite décroissante est majorée par son premier terme

$\text{Soit }n_{0} \in \mathbb{N}\text{, }\forall n \geq n_{0}\text{, }u_{n+1} \leq u_{n}$

$\Longrightarrow u_{n} \leq u_{n_{0}}$

Corrigé de la question 2 :

Soit $\epsilon >0$ et $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n}=\epsilon + \frac{1}{1+n}$ . La suite $(u_{n})$ est strictement décroissante (car la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ ) et minorée par $0$ : $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n} > \epsilon > 0$ . Cependant :

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n} = \epsilon >0$

La suite $(u_{n})$ ne peut donc pas converger vers $0$ .

Corrigé de la question 3 :

Toute suite croissante est minorée par son premier terme. Si elle est de plus majorée, elle est donc bien bornée

3 – Limites de suites

Exercice 1 :

Calculer la limite quand $n \rightarrow +\infty$ de la suite suivante $u_{n}=-n^{3}+2n^{2}$

Exercice 2 :

Calculer la limite quand $n \rightarrow +\infty$ de la suite suivante $u_{n}=2+(-0.3)^{n}$ :

Exercice 3 :

Calculer la limite quand $n \rightarrow +\infty$ de la suite suivante $u_{n}=1+\displaystyle{\frac{1}{n}}-\displaystyle{\frac{2}{n^{2}}}$

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Corrigé de l’exercice 1 :

On est en présence d’une forme indéterminée : $-\infty+\infty=F.I$ . Pour lever l’indétermination, il faut factoriser par le terme dominant à l’infini, ici $-n^{3}$

$u_{n}=-n^{3}\left(1-\frac{2}{n}\right)$

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} \frac{2}{n} = 0$

Donc par somme et produit :

$\boxed{\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n}=-\infty}$

Corrigé de l’exercice 2 :

La suite $((-0.3)^{n})$ est une suite géométrique de raison $q=-0.3$ . Comme $|q|<1$ ( $\Longleftrightarrow q \in ]-1,1[$ ), nous pouvons affirmer que $\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} (-0.3)^{n} = 0$ . Ainsi, par somme, nous avons :

$\boxed{\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n} = 2}$

Corrigé de l’exercice 3 :

Les suites $(\displaystyle{\frac{1}{n})}_{n \in \N{*}}$ et $(\displaystyle{\frac{2}{n^{2}})}_{n \in \N^{*}}$ convergent toutes deux vers $0$ . Ainsi, par somme :

$\boxed{\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n} = 1}$

4. Convergence et limites

Exercice 1 :

On considère la suite géométrique $Un$ de raison $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ telle que $u_4= 32$ . Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$

a. $u_n = 32 + \displaystyle{\frac{n-4}{2}}$

b. $32 \times (\displaystyle{\frac{1}{2}})^n$

c. $32 \times (\displaystyle{\frac{1}{2})^{n-4}}$

b. $32 + (\displaystyle{\frac{1}{2})^{n-4}}$

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Corrigé de l’exercice 1 :

On sait que pour une suite géométrique de raison $q$ on peut écrire $u_n = u_0 \times q^n$

On a donc $u_4 = u_0 \times (\displaystyle{\frac{1}{2})}^4 = 32$
Donc $u_0 = \displaystyle{\frac{32}{(\displaystyle{\frac{1}{2})}^4}}$
On peut en déduire $u_n = 32 \times (\displaystyle{\frac{1}{2})}^{n-4}$

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Exercices corrigés sur les récurrences en terminale D

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