Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur la récurrence en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous un cours principe et raisonnement par récurrence adapté aux élèves de terminale D.

1. Découverte de la récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 2 \times u_n +1$

Écrivons les premières valeurs de cette suite

$u_0 = 1 = 2^1 - 1$

$u_1 = 3 = 2^2-1$

$u_2 = 7 = 2^3-1$

$u_3 = 15 = 2^4-1$

$u_4 = 31 = 2^5-1$

$u_5 = 63 = 2^6-1$

$u_6 = 127 = 2^7-1$

On peut alors faire la conjecture que $u_n = 2^{n+1}-1$ pour tout entier naturel $n$ .

Cette formule est vraie jusqu’à $n=6$ , mais on ne sait pas encore si elle est vraie pour $n$ plus grand.

En revanche, si elle est vraie pour $n=7$ , alors elle est vraie pour $n=8$ .

En effet, si $u_7 = 2^8-1$ , alors $u_8 = 2 \times (2^8-1)+1$

$u_8= 2^9-2+1 = 2^9-1$

Plus généralement, si la formule est vraie pour un certain entier $n$ donné, alors elle est vraie pour l’entier suivant $n+1$ .

En effet, si $u_n = 2^{n+1}-1$ , alors $u_{n+1} = 2 \times (2^{n+1}-1)+1$

$u_{n+1} = 2^{n+2}-2+1 = 2^{n+2}-1$

$u_{n+1}= 2^{(n+1)+1}-1$ .

Ainsi, si la formule est vraie pour $n=0$ , alors elle est automatiquement vraie pour $n=1$ , puis pour $n=2$ , puis pour $n=3$ …

Finalement, la formule sera vraie pour un entier naturel $n$ aussi grand que l’on souhaite, donc pour tout entier naturel $n$ .

Nous avons tenu un raisonnement par récurrence.

Dans le paragraphe suivant, nous allons formaliser ce type de démonstration.

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Exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 3 \times u_n+2$

Calculer les premiers termes de $(u_n)$ .

Corrigé :

Les premiers termes de $(u_n)$ sont 2; 8; 26; 80; 242 …

En rajoutant $1$ , on reconnait la suite des puissances de $3$ : 3, 9, 27, 81, 243 …

On souhaite donc démontrer la formule explicite $u_n = 3^{n+1}-1$ .

$u_n = 3 \times u{n-1} +2$ est vraie pour $n>1$ mais n’est pas une formule explicite.

$u_n = 3^{n+2}-1$ ne convient pas car elle est fausse pour $n=0$

2 – Raisonnement par récurrence

Théorème : Principe de récurrence

On veut prouver qu’une propriété $P(n)$ , dépendant d’un entier naturel $n$ , est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Hypothèses :

$P(0)$ est vraie (initialisation)

Pour tout entier naturel $n$ , si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie. (hérédité)

Conclusion :

La propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$

Exemple

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{5+u_n}$

Nous allons démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $0 \leq u_n \leq 3$

Appelons $P(n)$ la propriété : $0 \leq u_n \leq 3$

Initialisation

$P(0)$ est vraie car $0 \leq u_0 \leq 3$

Hérédité

Soit $n$ un entier naturel fixé tel que $P(n)$ est vraie.

On sait que $0 \leq u_n \leq 3$

Par croissance de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{5+x}$ ,

$\sqrt{5} \leq \sqrt{5+u_n} \leq \sqrt{5+3}$

donc $0 \leq u_{n+1} \leq 3$ car $\sqrt{5} \geq 0$ et $\sqrt{8} \leq 3$

donc $P(n+1)$ est vraie

Conclusion

D’après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Nous avons donc pour tout entier naturel $n$ , $0 \leq u_n \leq 3$ .

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3 – Récurrence à partir d’un rang $n_0$

Théorème : Récurrence à partir d’un rang $n_0$

On veut prouver qu’une propriété $P(n)$ , dépendant d’un entier naturel $n$ , est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Hypothèses :

$P(n_0)$ est vraie (initialisation)

Pour tout entier naturel $n \geq n_0$ , si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie. (hérédité)

Conclusion :

La propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$

Exemple

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 10$ , $2^n > 100 \times n$

Appelons $P(n)$ la propriété : $2^n > 100 \times n$

Initialisation au rang $n_0 = 10$

$P(10)$ est vraie car $1024 > 1000$

Hérédité

Soit $n$ un entier naturel fixé, vérifiant $n \geq 10$ , tel que $P(n)$ est vraie.

On sait que $2^n > 100 \times n$
donc $2^{n+1} > 200 \times n$

donc $2^{n+1} > 100 \times n + 100 \times n$

donc $2^{n+1} > 100 \times (n+1)$ car $n >1$

donc $P(n+1)$ est vraie

Conclusion

D’après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq 10$ .

Nous avons donc pour tout entier naturel $n \geq 10$ , $2^n > 100 \times n$